第1章 集合与常用逻辑用语 单元学能测评-【重难点手册】2025-2026学年高中数学必修第一册同步练习册（人教A版2019）

翻重难点手册高中数学必修第一肿RJA, 第一章单元学能测评 考试时长：120分钟 试卷满分：150分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共 A},则图中阴影部分所表示的集合为( 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 U 是符合题目要求的)】 1.若a+2∈{1,3，a2,则a的值为( A.-1或1或2 B.-1或1 A.{-2,-1,2 B.{-2,-1,0,1,2 C.-1或2 D.2 C.{-1,-2 D.{-1} 2.“一元二次方程(.x一a)(x一a一1)=0有一个正 7.整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数 实数根和一个负实数根”的一个充分不必要条件 组成一个“类”，记为[k],即[k]={5m+kn∈ 是() Z),其中k∈{0,1,2,3.以下判断中不正确的是 A.-2<a<0 B.-1<a<0 () c-2a<0 D.-1≤a≤0 A.2023∈[3] B.Z=[0]U[1]U[2U[3]U[4] 3.设等腰三角形△ABC的腰长为x,底边长为y, C.-2∈[2] 且y=x+1,则“△ABC的周长为16”是 D.若a-b∈[0]，则整数a,b属同一类 “△ABC其中一条边长为6”的( ) 8.设集合A是关于x的不等式|x十a|+|2x-1 A.充分不必要条件 ≤|2x+1的解集，且{x1≤x≤2CA,则实数 B.必要不充分条件 a的取值范围是( C.充要条件 A.[-2,0] B.[-3,0] D.既不充分也不必要条件 C.[-2,1] D.[-3,1] 4.定义集合运算A◇B={c|c=a十b,a∈A,b∈ 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分 B}.设A={0,1,21,B=2,3,4},则集合A◇B 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目 的真子集个数为( 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分 A.32 B.31 C.30 D.15 分，有选错的得0分) 5.下列命题正确的是( ). 9.下列选项正确的有( ). A已知x∈R则x>1”是<1”的充要条件 A.比较接近1的整数的全体能构成一个集合 B.命题“若3x≥1，使得x<2”的否定是“Hx< B.由实数x,一x,.xl√x2,-x所组成的集 1,x2≥2” 合，其元素的个数最多为2 C已知x,y∈R,则“|x|+|y>0”是“x>0”的 C.设x,y∈R,A={(x,y)|y=x),B 既不充分也不必要条件 (xy)川≥=1，则A=B D.已知a,b∈R.则“a-3b=0”是“4=3”的必 b D若集合M==合+kE乙，集合N 要不充分条件 6.如图，已知矩形U表示全集，A,B是U的两个 女女=冬+号k∈乙则MN 子集，若U={x∈Z|x一2|+x+2|=4},集 10.设全集为U,在下列选项中，是B二A的充要条 合A={x|x2-x=0},B={x|x+a=0,a∈ 件的有(). 12 第一章集合与常用逻辑用语用 A.AUB=A B.A∩B=A 16.(15分)设a,b,c为△ABC的三边，求证：方程 C.(CA)(CB)D.AU(CB)=U x2+2a.x十b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根 11.对任意A,B二R,记A⊕B={x|x∈AUB,x 的充要条件是∠A=90°. 任A∩B},则称A⊕B为集合A,B的对称差. 例如，若A={1,2,3},B={2,3,4},则A⊕B ={1,4},下列命题中，为真命题的是(). A.若A,B二R且A⊕B=B,则A=☑ B.若A,B二R且A⊕B=O,则A=B C.若A,BCR且A⊕B二A,则A二B D.存在A,BCR,使得A⊕B=CRA⊕CRB 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）】 12.已知命题“3x∈R,a.x-ax十1≤0”是假命 题，则实数a的取值范围是 17.(15分)请在①充分不必要条件，②必要不充分 13.高一某班共有54人，每名学生要从物理、化学、 条件，这两个条件中任选一个，补充在下面问题 生物、历史，地理，政治这六门课程中选择3门 (2)中.已知集合A={.xx2-4x-12≤0}，B 进行学习.已知选择物理的有32人，选择化学 ={xx2-2x+1-m≤0，m>0. 的有24人，选择生物的有22人，其中选择了物 (1)求集合A,B. 理和化学的有18人，选择了化学和生物的有 (2)若x∈A是，x∈B成立的 条件，判 10人，选择了物理和生物的有16人.那么班上 断实数m是否存在？若实数m存在，求出 选择物理或者化学或者生物的学生最多有 n的取值范围：若不存在，说明理由. 人 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个 14.已知集合A={x0≤x≤a},集合B={xm 解答计分. +3≤x≤m2+4},如果命题“3m∈R,A∩B ≠⑦”为假命题，则实数4的取值范围为 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文 字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)已知集合A={xl0≤x≤2}，B={xa≤ x≤3-2a}. (I)若(CRA)UB=R,求实数a的取值范围； (2)若A∩B≠B,求实数a的取值范围. 13 翻重难点手册高中数学必修第一佛RJA, 18.(17分)已知命题p:1≤x≤2，x2-a≥0，命 19.(17分)设全集U={1,2,…,n}(n∈N°)，集合 题q:3x∈R,x2+2a.x+2a+a2=0. A是U的真子集，设正整数1≤m,若集合A满 (1)若命题一p为真命题，求实数a的取值范围： 足如下三个性质，则称A为U的R(t)子集： (2)若命题p和一q均为真命题，求实数a的取 ①L∈A: 值范围. ②Ha∈A,Hb∈CA,若ab∈U,则ab∈A: ③Va∈A,Hb∈CA,若a十b∈U,则a+bA. (1)当n=6时，判断A={1,3,6}是否为U的 R(3)子集，说明理由： (2)当n≥7时，若A为U的R(7)子集，求证： 2旺A: (3)当n=23时，若A为U的R(7)子集，求集 合A. 14又3x∈{xx<-3,y1y<0,显然y2<0, 证明如下： 则3x∈{xx<-3,y1>0,而m<0, 先证明：k≤2，假设k>2,则3C,C,∈Q=(C1,C,…, 即3x∈{xx<-3},(x-2m)(x+m+2)<0, C),使得C,∩C,=必，与条件矛盾，所以假设不真，即 显然2m≠一m一2，否则Vx∈{xx<一31，y1<0,不符合 k≤2m: 题总， 再证明：k≥22，假设k<2,则CQ中的元素个数大于2， 当2m<-m-2,即m< 号时2m<-. 所以3D,E∈CQ,D∩E=⑦，DUE=A. 根据条件“VD∈CnQ,3C,∈Q,使得D∩C,=☑”， 解得m<一号此时-m一2>一3符合题意。 所以3两个不同的集合C,C,∈Q={C1,C2…,C, 因此-3Km<一2： 使得C,∩D=⑦，C,∩E=②. 又因为D∩E=.DUE=AC,二E,C,二D. 当-m-22m,即m>导时，-m-2K-3 所以C,nC,二DnE=g, 解得m>1.与一3<m<0矛盾， 与C,∩C,≠矛盾，所以假设不真，≥2， 综上所述，k=2 所以m的取值范围是m一3<m<一号引 思维过程雪 培优突破练 (1)(1)由n=3,所以B二A=12,3,4,5,6,71,再列 1.(1)(1)由n=3,所以B二A={1,2,3,4,5,6,7},可得：四元 出满足题意的集合B即可： 素的集合B可以是B=(1,2,4,7}或B=1,3,5,7}或B= (1)记集合M={1,3,5,…,2n十1}，N={2,4,…, (2,3,6,7}或B=(3,4.5,6}或B=(3.5,6,71或B=(4,5, 2n,设满足条件的集合B=(m1m:…,m,n1,n:,, 6.71. },其中m1,m2,,m,∈M,,2,…,n,∈N,且m1< (1)对于任意给定的n(n∈N”,n≥2)，集合B中的元素个 m:<<m,n1<n4<…<n,别集合B中的元素个数等 数的最大值为n+1, 于s十1，证明x十1≤n十1即可得答策： 其证明过程如下： (2)本题幕(2)问的关键是充分理解①②两条性质，然 记集合M={1,3,5.…,2m+1},N={2,4,…,2n}, 后利用反证法，分k2和≥2两种情况进行讨论，以 设满足条件的集合B={m1m:,…,m,n1n:,…,n,}, 上不等式同时满足时，可直接得到结论k=2. 其中1n:,m,∈M,1n2…,n,∈N,且m1<mg<< 第一章单元学能测评 m,n1<ng<<n, 1.D[因为a+2∈{1,3，a2),所以a+2=1或3或a2.当a+ 则集合B中的元素个数等于x十， 根据条件对任意的1≤i≤x一1,1≤j≤，都有m.一m,≠n· 2=1时，即a=一1，此时集合中元素为1,3,1，不满足集合 中元素的互异性，舍去：当a十2=3时，即a=1,此时集合中 （雪创，就有m,十机，=州，不杆合超意) 又因为m,一m,∈N,n,∈N,其中1≤i≤s一1,11， 元素为1,3,1，不满足集合中元素的互异性，舍去：当a十2 即n,一m1m,一m,…m,一m-1…,n,是N中的 a时，解得a=2或a=一1（舍去），此时集合中元素为1,3， 不同的元素， 4符合题意.] 所以(8一1)十1≤n,即集合B中的元素个数x十1≤n十1， 2.C[由一元二次方程(x-a)(x一a-1)=0的两个根为a, 取B=《n+1,n十2，…，2+1满足条件.且元素个数等于 Q+1,又方程有一个正实数根和一个负实数根， n十1，所以集合B中的元素的最大值等于n十1. a<0: ∴.一1Ca<0,即“一元二次方程(x一a)(x (2)以A=1,2,3为例：（多取不符令系件①，少服不每合豪件②） a+1>0, 这时P={⑦，{1}，(2，{3}，{1,21,1,3，(2,3}，{1,2,3})， a一1)=0有一个正实数根和一个负实数根”的充要条件为 因为1}∩(2,3}=0：1}U{2.3}=A.取Q={1.(1,21, a∈（一1,0），则其充分不必要条件a的范围应为（一1,0）的 1,3},{1,2,3}即可， 真子集，结合选项可得选项C符合题意.] (1,2∩(3}=⑦：1.21U3}=A,则 3A[若△AC的周长为16，则x+1 解得=5， VD∈CnQ={2,3,3.2,01. 2x+y=16 y=6, 1,3)∩{21=0：1,31U{2}=A, 所以△ABC其中一条边长为6.若△ABC其中一条边长为 若取Q={1},1.2}.{1,3}.(1,2,3)∩0=0： 6,如x=6,则y=6+1=7,此时△A1BC的周长为6+6+7 (1,2,3)U0=A,则CmQ={2,31,{31,2,0,1,2,3}1, =19,即无法得出△ABC的周长为16， 12 所以△ABC的周长为16是△ABC其中一条边长为6的充： .-2x十a≤2， 分不必要条件] ∴.-x-2≤u≤-x十2在1≤x≤2上恒成立， 4.B[因为A={0.1.2,B=(2,3,4}, ∴.(-x-2)mx≤a≤(-x+2)mm,∴.-3≤a≤0， 又A◇B={cc=a十b,a∈A,h∈B}, 所以实数a的取值范围是[一3,01.] 所以A◇B=(2,3,4,5,61, 思维过程 由于集合A◇B中共有5个元素， 由题意可得当1≤x≤2时，关于x的不等式|x十a 则集合A◇B的真子集个数为2一1=31（个）.] +12x-1≤2x+1|位成立，即x+a+2x-1≤2x+1 思维过程 恒成立，即一x一2≤a≤一x十2恒成立，由此可得实数a的 由已知中集合A,B之间的运算“◇”的定义，可计算出 取值范围 集合A◇B的元素个数，可根据含有n个元素集合的真子 9.BD[A(×),比较接近设有一个标准，故不符合集合确定性 集有(2一1)个，得到答案。 的性质： 5.D[A(×),当】<1时，x<0或x>1,故x>1能推出 B(√)，因为x=x,一x=一x,所以当x=0时，这 几个数均为0，当x>0时，它们分别是r,一x,x,x,一x,当 上<1，但上<1不能推出x>1,所以“x>1“是1<1“的 x<0时，它们分别是x,一x,一x,一x,一x,均最多表示两 充分不必要条件： 个不同的数，故所组成的集合中的元素最多为2个： B(X),由存在量词命题的否定为全称量词命题知，命题“若 C(×),集合A中包含(0,0)，而集合B中不含(0,0)： 3x≥1，使得x<2”的否定是“Hx≥1，x≥2”： D√)，对于集合Mx=专+上-2坠k∈乙对于集合 2十4 4 C(×),由x+|y>0得x≠0或y≠0，故x+|y|>0 推不出x>0,但是当x>0时，x+ly≥x+0=x>0 N-冬十号生学，4€五因为必+1是奇数+2是整 一定成立，即x>0能推出x十y>0,所以“x十y> 数集，则MN,门 0”是“x>0”的必要不充分条件： 10.ACD[如图1所示. D(/),已知a,b∈R,当a=b=0时，满足4一3b=0,但是不 选项A中，若AUB=A,则B二A:反过来，若B二A,则A 满足号=3，反之，当号=3时.则4=3动，即a一3动=0，所以 UB=A.故互为充要条件 选项C中，若CA二CB,则B二A:反过来，若B二A,则 “。一3动=0“是“号=3”的必要不充分条件.] CA二CB.故互为充要条件 6.D[对于方程x-2|十x+2=4,当x≥2时，x一2+x十 故选D中，若AU(CB)=U,则CA三CB,故B二A:反过 2=4,解得x=2,当-2x<2时，2一x十x十2=4，即4= 来，若B二A,则CA二CB,故AU(CB)=U,故互为充要 4,恒成立，当x≤一2时，2-x-(x十2)=4，解得x=-2, 条件 .U={x∈Z一2≤x2}.由题意得A={0,1},B={x 选项B中，如图2所示， x=一a,a∈A}=(0,一1.图中阴影部分表示在集合B中， U 不在集合A中的元素构成的集合，为（一1.] 7.C[A(√)，2023=5×404+3，故2023∈[3]： B(√)，全体整数被5除的余数只能是0,1,2,3,4，故Z= 图1 图2 [0U[1]U[2]U[3]U[4]: 若A∩B=A,则A二B,推不出B二A.] C(×),-2=5×(-1)+3,故-2∈[3]： D(√)，由题意可知a一b能被5整除，故a,b分别被5除的 11.ABD[A(√)，因为A①B=B,所以B={xx∈AUB,x EA∩B},所以A二B,且B中的元素不能出现在A∩B 余数相同，故整数a,b属于同一类.] 中，因此A=必： 8.B[由集合A是关于x的不等式|x十a十2x一1|≤2.x B(/),因为A①B=,所以d={xx∈AUB,x任A∩ +1的解集，且(x1≤x2)二A. B},即AUB与A∩B是相同的，所以A=B: 则当1≤r≤2时，不等式x十a十l2x-1≤2x十1恒成立， ✉减通，点：把第合关系转化为渔成立 C(×),因为A①B二A,所以{xx∈AUB,x任A∩B}日 即|x+a+2x-1≤2x+1在1≤x≤2上恒成立， A,所以B二A: .x+a十2x-1≤2.x十1，即x+a2, D(J),A=B时，A⊕B=⑦，CgA④CgB=0=A④B.] 13 12.{a0≤a<4h.[因为命题“3x∈R,a.x2-ax十1≤0"是 思维过程 假命题，所以其否定“Vx∈R,ax2一ax十1>0”是真命题， 由题可知，命题“Vm∈R,A∩B=0”为真命题，进而 即ax2-ax+1>0在R上恒成立，当a=0时，不等式化 分A=②和A≠两种情况讨论求解即可 为1>0恒成立，当a≠0时，若ax2一a.x十1>0在R上恒 15.(1)因为A={x0≤x≤21，所以CRA={xx<0或x>21. a>0, 又B={.rlar≤3-2a}且(CRA)UB=R. 成立，则 解得0<a<4,综上所述，实 4=(-a)-4a<0, 3-2aa, 数a的取值范围为{a0≤a<4.门 所以a≤0， 解得a≤0. 13.44.[把54个学生看成集合U,选择物理的人组成集合 3-2a≥2. A,选择化学的人组成集合B,选择生物的人组成集合C. 所以实数a的取值范围是（一oo,0们. 如图1所示. (2)若A∩B=B(补来思总)，则B二A。 由题意知card(U)=54.card(A)=32,card(B)=24. 当B=0时，3-2a<a,解得a>1: 当B≠心时，3-2a≥a.即a≤1， card(C)=22. 且card(A∩B)=18,card(B∩C)=10,card(C∩A)=16, a≥0， 要使B二A,则 3-2a≤2. 则card(A∩BnC)≤10，由card(AUBUC)=card(A)+ 1 card(B)++card(C)-card(AnB)-card(BC)-card(C 综上可知，当A∩B=B时u≥2： nA)+card(A∩B∩C)可得， 所以AnB≠B时，实数a的取值范围是{aa<}。 card(AUBUC)=32+24+22-18-10-16+card(AnB ∩C)≤34+10=44. 16.必要性：设方程x2+2ax十b2=0与x2+2x-=0有公 当且仅当ad(A∩BnC)=10时，即cmrd(AUBUC)=44 共根xo,则x6+2a.x0十b2=0,x8十2cx0-b2=0. 验证：此时各区域人数如图2所示，满足题中所有条件. 两式相减，得c一a)x。=b2, C U 由>0，可得c一Q≠0.故= c-a 将此式代入+2a,+6-0得（停与）'+2a() 10 b2=0, 图1 图2 可得b2+c2=a2.故∠A=90° 故班上选择物理或者化学或者生物的学生最多有44人，] 充分性：∠A=90°，.=a2-c”. ① 思维过程 将①代人方程x2+2a.x十b“=0, 根据题意，将51个学生看成集合U,选择物理的人组 可得x2+2ax+a°-c2=0.即(x+a-c)(x十a十c)=0, 成集合A,选择化学的人组成集合B,选择生物的人组成集 方程两根为r=c一a或x=一a一c, 合C,结合Venn图与客斥原理可知，当cmrd(A∩B∩C)取 将①代人方程x2+2cx-b=0,可得x2+2cx+e2-a2=0, 最大值时card(AUBUC)最大，验证即可得. 即(x十c一a)(x十c十a)=0,方程两根为x=a一c或x 14.{ala<3.[因为命题“3m∈R,A∩B≠"为假命题. 所以，命题“Vm∈R,A∩B=”为真命题：因为集合A= 故两方程有公共根x=一(a十c). {x0≤x≤a},集合B={xm+3≤r≤m2十4}， ∴.方程x2十2ax十b=0与x+2cx-b=0有公共根的 四为m+>m2+3,所4B+ 充要条件是∠A=90 所以，当A={xl0≤x≤a}=☑时，即a<0时，A∩B=☑ 17.(1)由x2-4r-12≤0得-2x6. 成立， 故集合A={.x-2≤x≤6)， 当A=(xl0≤x≤a}≠时， 由x2-2x十1-m2=0得x1=1一m,x4=1十m, a20, 因为m>0,故集合B={x1一m≤x≤1十m. 由“Vm∈R,A∩B=☑”得 解得0≤a<3, a<m2+3. (2)若选择条件①，即x∈A是x∈B成立的充分不必要条 综上所述，实数a的取值范围为{aa<3.] 件，集合A是集合B的真子集， 14 (1-m≤-2， 若A为U的R(7)子集，1∈A,2∈CA,7∈A: 则有1十m≥6，其中等号不同时取到，解得m≥5， 若3∈A,取a=3,b=1,a+b=4∈U,则4任A,4∈CA, m>0. 再取a=3,b=4,a十b=7∈U,则7任A,与7∈A矛盾， 所以，实数存在且实数m的取值范围是{m≥5}. 则3∈A,3∈CA: 若选择条件②，即x∈A是x∈B成立的必要不充分条件， 若4∈A,取a=4,b=3,a十b=7∈U,则7∈A,与7∈A矛 集合B是集合A的真子集， 盾，则4EA,4∈CA: f1-m≥-2， 若5∈A,取a=5,b=2,a十b=7∈U,则7任A,与7∈A矛 则有1十m≤6，其中等号不同时取到，解得0<m≤3， 盾，则5任A,5∈CA: m>0, 若6∈A,取a=6,b=1,a十b=7∈U,则7任A,与7∈A矛 盾，则6庄A,6∈CA: 所以实数m存在且实数m的取值范用是(m0<m3}. 取a=7,b=1,2,3,4,5,6,a+b=8,9,10,11,12,13∈U,则 18.(1)根据题意知，当1≤x≤2时，1≤x≤4.一p:31≤x≤ 8,9,10,11,12,13gA,8.9,10,11,12,13∈C4: 2,x-a<0,为真命题，即a>(x')m: 取a=7,b=2,ab=14∈U,则14∈A: 又1≤r≤2..(x)m=1.a>1. 取a=14,b=1,2,3,4.5,6,a+b=15,16,17,18,19,20∈ ∴.实数a的取值范围是{aa>1). U,则15,16,17,18,19,20年A,15,16,17,18,19,20∈C4: (2)由(1)知命题p为其命题时a≤1. 取a=7,b=3,ab=21∈U,则21∈A: 力为真所对应的ù的范的等价千一P为恨片时在的a的范圆 取a=21,b=1,2,a+b=22,23∈U,则22,23任A.22.23∈ 命题g为真命题时，△=4a2-4(2a十a2)≥0，解得a≤0， CA. ∴二q为真命题时，a>0, 综上所述，集合A={7,14,21}, 不用写出一日命班，而走果力为真时a范围在R上的补事印可 恩维过程 a≤1， (1)取a=1,b=2,由ab=2任A不满足性质②可得A 解得0<a≤1. a>0, 不是U的R(3)子集： 即实数a的取值范围为{a0<a≤1. (2)通过反证法，分别假设1∈A,2∈A的情况，由不满 思维过程 足R(7)子集的性质，可证明出2任A: (1)写出命题力的否定，由它为真命题求解： (3)由(2)得，1∈CA,2∈CrA,7∈A,再分别假设3 (2)由(1)易得命题p为真时4的范国，再由g为真命 A,4∈A,5∈A,6∈A四种情况，由不满足R(7)子集的性 质，可得出3,4,5,6正A,再根据性质②和性质③，依次验证 题时a的范国得出非g为真时a的范国，两者求交集可得， 823中的每个数值是否满足条件即可. 19.(1)当n=6时，U=1.2,3,4.5,6},A={1.3,6),CA= {2,4,5},取a=1,b=2,则ab=2∈U,但ab=2任A,不满 第二章一元二次函数、方程和不等式 足性质②， 2.1等式性质与不等式性质 所以A={1,3,6}不是U的R(3)子集 (2)当n≥7时.A为U的R(7)子集，则7∈A: 变武孤练 假设1∈A,设x∈CA,即xA: [变式1门：(+I+√a+2)”-(√a+I++2)°= 取a=1,b=x,则ab=xEU,但ab=xEA,不满足性质②， a+b+3+2√a+2)(h+1D-(a十b+3+2a+1)b+2)= 所以1任A,1∈CA: 原式若直接作差，刚下一步变衫不好特作，现客发现年项和有根与， 假设2∈A, 放专盘先移项，再平方作差，减少根号个数 取a=2,b=1,a+b=3∈0，且a+b=34A,则3∈CA, 2(√ab+a+2hb+2-√ah+2a+b+2), 再取a=2,b=3,ab=6∈U,则ab=6∈A, 又(a+2b)-(2a+b)=b一c<0, 再取a=6,b=1,a+b=7∈U,且a+b=7EA, ∴.w/ab+a+2h+2<√ab+2a+b+2. 但与性质①7∈A矛盾， ∴.(6+I+a+2)<(√a+I+√6+2)， 所以2廷A. 又√b+1+a+2>0.a+1+b+2>0. (3)由(2)得，当n≥7时，若A为U的R(7)子集，1∈CA, 2∈CA,7∈A, ∴.√+T+a+2<wa+I+0+2, 所以当=23时，U=(1,2,…,23}, 即a+I-√a+2>√+I-√+2. 15