2.2 基本不等式-【重难点手册】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

重难点手册高中数学必修第一册RJA 2.2基本不等式 重点和难点 课标要求 重点：基本不等式的定义、证明方法和几何解释，用 1.理解基本不等式 基本不等式解决简单的最值问题 2.能初步应用基本不等式求最值和证明简 难点：基本不等式的几何解释，用基本不等式解决简 单的不等式 单的最值问题 3.能利用基本不等式解简单的应用问题 必备知识梳理 基础梳理 】物他”常””=带”常 知识点(1 重要不等式与基本不等式 重要不等式 基本不等式 记方法@ v 除救材中介绍的替换的方 符号语言 a2+b2≥2ab ◆记方法到 法外，还可以用几何法证明. 适用范围 a,b∈R a>0,b>0(一定要保证a,b都是正数) 如图，AB是圆O的直径， 等号成 点C在AB上，设AC=a,BC 当且仅当a=b时 当且仅当a-b时 立条件 =b,过点C作垂直于AB的弦 两数的平方和不 两个正数的算术平均数 DE,连接AD,BD. 文字语言 小于它们积的二倍 不小于它们的几何平均数 ①a+b≥2vab; 常用变形 06, ②ub≤告) 在R△ACD和Rt△DAB中. [注意]正数a,b的算术平均数是十 ,几何平均数是ab. 因为∠DAC+∠ADC= 90°，∠ADC+∠BDC=90°， 知识点②最值定理 所以∠DAC=∠BDC. 设a,b均为正数. 又∠ACD=∠DCB, 1若a十b为定值S,则当a=b时，积ab取最大值S. 所以△ACDD△DCB,CD -CD CD-/ab. 2.若ab为定值G,则当a=b时，和a十b取最小值2G. [证明]a>06>0,≥d。 因为CD<OD=a+b 2， 所以v历<告学（多里仅 当a+b=S时，有≥一历，即b<,当且仅当a=b时，等 当点C与点O重合，即a=b 时，等号成立) 号成立 50 第二章一元二次函数、方程和不等式 当b=G时，有>G,故a+b≥2，G,当且仅当a=b 敲黑板⊙ 利用基本不等式求最值 时，等号成立 需注意的问题 最值定理可简记为：和定积最大，积定和最小，◆融黑 (1)利用基本不等式求最值 重难拓展 要牢记三个关键词：一正、二定、 重难点①基本不等式的几何意义及拓展 三相等 ①一正：各项必须为正 例①[回归教材P45探究]如图，AB是圆的直径，点C是 ②二定：各项之和或各项之 AB上一点，AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE,连接 积为定值 AD,BD.你能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释吗？ ②三相等：必须验证取等号 时条件是否具备 (2)应用基本不等式求最值 a C b B 的关键：根据定值去探求最值， 在探求的过程中常需依照具体 E 的问题进行合理的拆、凑、配等 解析易证△ACD△DCB,因而CD=√ab,由于CD小于或等于周 变换 的丰径，月不等式表示为v历<“生，显然，当且仅当点C与国心重合，即 当a=b时，等号成立 深招教材 基本不等式链 由基本不等式我们可以推导求以下基本不等式链： 2 11 <</产a>0,6>0. a2+b2 当且收当a=6时等号成立.其中2叫作a,6的调和平均数。 a+b2 2 叫作a,b的平方平均数 其几何意义如图所示。 图形解密 a+6 CF=2 OD=OF=+ 2 CD=ab. DE=-2 ◆佑程野 拓视野。 对基本不等式链的理解与拓展 2 a2+b2 (1)基本不等式能的内涵丰 2 富，在实际的运用中相对于基本 a b 51 重难点手册高中数学必修第一册RJA: 11 不等式更为广泛，但它们都是在 正明0>0b>≥·石-高 基本不等式的基础上拓展而来 的，也都可以由基本不等式（或 1 1 ≤ab,当且仅当a=b时，等号成立. 重要不等式)加以证明. (2)一般来说，以下四组不 (2a<,当且仅当a=6时，等号成立，已证 等式可以作为基本不等式的应 用形态： a2+6* a2+b* (3) (a+b) 2 2 2 +a>0 a a+62+a2+b2 a*+62+2ab b>0) = 4 ,a2十b2≥2ab,当且仅当a=b时，等号成立， @+>6a>0, b>0). a+ba十b 2 2≥0， ⑧(a+6)(日+号）≥ 4(ab>0). 综上1+ a*+b ④生≥ya, 2 一得证 b∈R) (3)不等式链包含六个不等 例③[数学文化]（多选）《几何原本》中的几 式(a>0,b>0): 何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法 是西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原A C B a+6 理，很多的代数公理或定理都能够通过图形证明，称之为无字证 2a+b 明.现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且AC=a,BC=b, ② O为AB的中点，以AB为直径作半圆.过点C作AB的垂线交半 圆于D,连接OD,AD,BD,过点C作OD的垂线，垂足为E.则利 ③ 2 a+b丽 用该图形可以完成的证明为( ). a+6 A B.a2+b2≥2ab 0瓜< 2 C.ab≥1+1 n < 2 a+6 a+b 解析因为AC=a,BC=b,所以AB=AC十CB=a十b. 以上六个不等式中的等号， 由于0为AB的中点，那么半圃的半径r-AB_a十也， 都是当且仅当a=b时取得. 2 2 实际应用中，可根据题设条 根据射影定理，在Rt△ABD中(AB为直径，∠ADB=90),CD是AC 件和所求，选择性地应用上述不 和CB在AB上的射影， 等式 所以CD2=AC·CB,即CD=√ab (4)基本不等式的拓展 在△OCD中，OD为半径r=a+b, ①三元基本不等式 2 52 第二章一元二次函数、方程和不等式 因为OD是半聞的半径，CD是半圆内垂直于直径的弦的一部分， a3+b3+c3≥3abrc→ 所以0D≥CD,脚生a压a>0,6>0),所以选项A正确 aar≤(atb+c 3， 由射影定理可知CD2=DE·OD abca'tb'+c 3 我们已经求得CD=√ab,OD=a十也 2 a+b+c≥ac, 3 所以DE=CD°_b_2ab 2 OD a+b a+b 11' 其中a,b,c都大于0. 2 a+6 当且仅当a=b=c时，等号 又因为CD≥DE, 成立. 即√ab≥ 2 ②推广到n元的基本不等 (a>0,b>0),所以选项C正确. 1+1 式为 答案AC a十a十ta≥aag…a 培优突破 (a1a2,…an都大于0). 当且仅当a,=a2==a 突破点① 高阶拓展 柯西不等式 时，等号成立 1柯西不等式 (1)柯西不等式（二维） (a1b1十a2b2)2≤(a+a)(b+b). 当且仅当分-公时等号成立+ 敲黑板。 [二雏形式]对于任意的4， (2)柯西不等式（三维》 b,c,d∈R,恒有(a2+b)(c+ (a1b1+a2b2+a3b)2≤(a+a+a)(b1+b号+b). d)≥(ac+bd)2,当且仅当ad 当组仅当会公公时等号成立 =c时取等号. [证明1门(a2+b)(c2+d) 2.柯西不等式的应用 -(ac+bd)°=a'c2+a'd+ (1)根式型 62c2+b'd-(a”c2+bd+ 例④求y=√x-4+√15-3x的最大值， 2acbd)=(ad-bc)≥0，当且仅 当ad=bc时取等号. x-4≥0， 解析要使函数有意义，则 解得4≤x≤5. [证明2](a2+b)(c+d) 15-3x≥0， =a'c+a'd*+b'c*+b'di= x的取值范围为{x|4≤x≤5}，且y>0. a'c*+b'd*+2acbd +b'c+ 由柯西不等式得 a'd*-2acbd =(ac +bd)*+ y=x-4+√/15-3z=√x-4+3·√5-x (ad-bc)≥(ac十bd)2,当且仅 ≤√1+(3)2·√/(Wx-4)2+(5-x)2=2. 当ad=bc时取等号. 当且仅当·V一=5元时等号成立，即当工-号时画数取最大值2 (2)幂式型 拓视野) 例已知a,b,c均为正数，且a2十b2+4c2=3,证明：a十b 柯西不等式的一般形式 (ab1+ab2+…+ab.) +2c≤3. 53 重难点手册高中数学必修第-册RJA, 证明根据柯西不等式得(1+1+1)[a2+b2+(2c)2>(a十b+2)2, ≤(a8+a+…+a)(b好+b (巧配添，这是刺用柯西不等式的食用方法) +…十b) 则a十b十2c≤3，当且仅当a=b=2c=1时等号成立. 当且仅当2=2=… b. 所以a十b+2c≤3. 时等号成立， (3)分式型 例日已知a6ceR,求证e十中a+ab产号 证明周为g千e十中。十a千6+3 -(6++(年a+)+(6+) =a+b+e6+e+e+a+a+》 )+(ctu)+ ≥号×1+1+1 当且仅当a=b=c时等号成立即千c十中。十a千622 、3 突破点②高阶拓展—权方和不等式 1.权方和不等式 若a,b,x,y>0,则4+≥a十b) ,当且仅当=时取 x y x+y 等号.◆质为 2.权方和不等式的应用 敲黑板⊙ 例日已知8>0，b>0,且异2+。2=1，则a+b的最小 1 大家注意到没有，权方和不 等式可以看成是柯西不等式的 值是 变形。由柯西不等式可知 新1-品22 ① 但+g)a+0≥a+6 当显收当品26时，中。=区h时，0式泽号成主 因为a,b,x,y>0,所以两边同 时除以x十y,可得+ 中1228”2+6>2少-1-+ (W2+1)2 y 2 (a+b) x+y ,当且仅当：=名时等 x y 故a十b的最小值是，厄+ 号成立。 答案+ 54 第二章一元二次函数、方程和不等式雠 例8已知>0，>0，且2z3十)-2则6+y的最 小值是 1 +31112、1+25)2 解折2=2x+y十z+2z+y4z+少)产6z+5y' 6x+5y≥1+23)2_13+43 2 2 故当且收当2x十y年时，6r+5y取得最小值18+4日 1 2/3 2 答案13+43 2 例日已知a+6=1a>0,6>0,则日+名+。6的最小值 是 2 4 a干b≥2+b是=2+2)=6+42. 当且仅当 2 2a6a2+b时等号成立. 故+合+。6的溪小维为6+4恒。 答案6十42. LHIIIIEEAEAA 关键能力提升 BA111B1111B1A10111101111111111011100111111111111111120111111111111110 题型①利用基本不等式证明不等式 (2)由a十b+c=1及所证不等式的结构特征 例Da已知a,6e>0,求证+ 可想到先将1用条件代换掉 证明(1)，a,b,c>0,.利用基本不等式可得 G2atbte 6t+b≥2a,2+c≥2%， "a +a≥2c, (2)若a+b+c=1,求证：a+)+(b+ 、小%+++a+b+c≥2a+2b+2c 2》+(e+2）≥10， 6+c+a 思维过程 当且仅当a=b=c时，等号成立. (1)由条件中a,b,c>0及所证不等式的结构 特征知，先用基本不等式证 +6≥2,2+c≥2%. 2atb+c=1.(a+）+b+)+(c+2》 二十a≥2c,再将同向不等式相加即可。 -a+t）+6+9)+(a+9) 齐次化思想 55 重难点手册高中数学必修第一册RJA, 4+(2+号)+（侣+）+（后+）≥4+2+2+2= 2x>0x+>2-4， x 10,当且仅当a=6=c=号时取等号， 2x 2 221 x2+4 4421 (a+2）+6+8)+(+2)≥10 当且仅当x2=4,即x=2时取等号。 归纳总结 此題中结构也被称为轮换对称结构（用b替换 ∴>0时，纤的最大值为号 a,a替换c,c替换b后，代数式不变的式子，其特征 归纳总结 是a,b,c的地位一样) 对于分式型求最值，适合用裂项拆项的策略来 解决，具体如下： 变式0(2025·安徽宿州高一联考)已知 (1)当分子的次数高于分母的次数时，将分式 a,b,c均为正实数，求证，6十c一a+c十a-b 进行整式分拆—分拆成整式十“真分式”再配凑. a b (2)当分母次数高于分子次数时，将分式转化 +a+b-≥3. 为分子为常数的形式，再对分母进行(1)中的拆解. 题型②利用基本不等式求最值 变式2(2024·河南驻马店期中)已知x 思路1“拆”—裂项拆项 >-1,求y= (x+5)(x+2)的最小值。 x+1 例11(1)(2024·重庆八中高一期中)已 思路2“配”一配凑式子结构、配系数 知x>3,求-6x+1 x-3 的最小值； 例12(1)(2024·山东青岛二中高一期中) ②已知>0，求，纤的最大值 已知>-1，求x十的最小值： 解析(1)方法一（整体法），x>3, （2已知0<号求y=x(5-2z)的最 (保证了x一3>0，符合暴本不式使用条件中的“一正”) :-6z+11_-3》+2 大值 x-3 x-3 x-3+2 3≥2 解析(0当>1时x十有=x中1+ -0系-. -1≥2， (写成“整式十分式"的形式后利用集本不等式求解) c+五-11 当且仅当x一3=是3即x=3十2时取等号， (整式与分母比缺少“1”，进行补“1”减"1”的配漆) :-6x+山的最小值为22 当且仅当x十1=7，中x=0时取等号， x-3 方法二（换元法】 故x十1 有的最小位为1 x>3, .x-3>0,令t=x-3>0,即x=t十3， 2)方法-y=x5-2x)=号·2x6-2x). :t-6z+11-+32-6+3)+1_2+2 (调整工的系数，使原等式中出现和为定值的代数式) '0x<2,∴.02x<4,1<5-2x<5, x-3 ∴<×+传-×9 当且仅当2=2，即t=√2，x=3十2时等号成立. 仅当2x=5-2x,即x=时取等号 56 第二章一元二次函数、方程和不等式辑 (e+)+(+2》 的最小值为4. 方法二由0<x<2知2 -x>0 变式④(2024·天津滨海新区期中)若实 当且 数a,b满足a6>0,则a2+4仙+品的最小值 为 仅当x= 时取等号.故当x= 5 一x,即x= 4 时 思路4常数代换与消元法 81 例国已知x>0,y>0,且上+9-1，求 y 归纳总结 x十y的最小值 为使“积”或“和”为定值，常需要根据题设条件 配凑系数或者常数 思维过程 (1)配式：常需要分析式子的构成进行配凑，使 要求x十y的最小值，应构建某两个数（或式） 匹配后的和式中两部分的乘积为定值 的积为定值，因而需要对条件进行必要的变形，有 (2)配系数：如果和式的两个式子中变量的系 三种思路：①利用“1”的代换进行变形：②消去x,y 数不同，可以通过乘一个系数的方式进行配凑 中的任意一个变量；③因式分解。 变式3(2024·江苏南通高一期末)已知 解析方法一（“1”的代换)：】+9=1， x>0,则下列说法错误的是(). x y A.x(2-x)的最大值为1 x+y-e+)侵+）-10+2+g x y B.2-x- 1的最大值为0 的代换 ,x>0,y>0, C.+5的最小值为2 x2+4 ÷+≥2 .9=6. y 十的最小值为3 D.x 4 当且仅当义-g,即y=3x时取等号. 思路3多次使用基本不等式 又：1+9=1，x=4y=12. 例国若xy是正数，求+》”+（心 x y ∴.当x=4,y=12时，(x十y)=16. 的最小值. 方法二（消元法）1+9=1，x= x y y一9 解析(+)°+(+2)°=x+号+分) x>0,y>0,y>9. +y++(2)广=[+(2门++)门 y-9+y=y+9+9 x+y=义n +）≥2+2y+2于=4 =y-9+9 9+10. 2y y y>9,y-9>0. x2= 4x2 当且收办脚=号时取等子 iy-9+,”)>8g9x 当进续使用套本不等式时，要 当且仅当y一9=，”即y=12时，取等号，此 =E x 注意等号成立的一狄性 y 时x=4, 57 重难点手册高中数学必修第一册RJA .当x=4,y=12时，(x十y)m=16. 当且仅当x=y>0,x2+y2+xy=1,即x=y= 方法三（因式分解法） 由上+9=1得9x+y= 3 x y 3 时，等号成立 xy,即(x-1)(y-9)=9. (2)23 x>0,y>0,x>1,y>9, 答案(1)18. 3 .x+y=10+(x-1)+(y-9)≥10+ 变式6（经典·天津卷）已知a>0,b>0, 2√(x-1)(y-9)=16. 当且仅当x一1=y一9，即x=4,y=12时，等号 且=1，则++的最小值为 成立 故(x+y)m=16. 题型 4 与基本不等式有关的恒成立 变式6(2024·江西九江一中期末)若正 与有解问题 数xy满足x十3y=5xy,则3x+4y的最小 例16设x>0,y>0,不等式√x十√y≤ 值是(). a√x+y恒成立，则a的最小值为 A.2 B.3 C.4 D.5 解析显然a>0. 题型（③由方程转化为不等式求最值 由题意知，不等式≥丘十互恒成立 √x十y 例15(1)若正实数x,y满足2x+y十6 (对于幢成立求泰问题，若条件九许，常采用分高泰数法 =xy,则xy的最小值是 求解》 (2)若实数x,y满足x2+y2+xy=1,则 则a必领大于或等于匠十互的最大值 x十y的最大值是 √x+y 思维过程 而 E+)”-+y+2区=1+2≤ (1)中，将原方程变为关于√xy的一元二次不 +y x+y x十y 等式：(2)中，将原方程变为关于x十y的不等式，然 1十2受=2，当且仅当工=y时，取等号. 后解不等式即可 2√ry 解析(1)设√xy=t(t>0), 故匠+互的最大值为，2， x十y 由xy=2x+y+6≥2√2xy+6, 故a≥2，即a的最小值是√2. 得t2≥22t+6,(t-3√2)(t+√2)≥0， 答案√2」 .t≥32，则xy≥18， 归纳总结 当且仅当2x=y,2x十y十6=xy, (1)对于变量和参数可分离的不等式恒成立问 即当x=3,y=6时，等号成立. 题，常采用分离参数法求解，其解题步骤为： xy的最小值为18. 第一步，对待含参的不等式，在能够判断出参 (2)(题中式芋消元有难度，而目标是x+y,且由已知条 数的系数的正负时，根据不等式的性质将参数分离 件可以构造出x十y韵平方) 出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式 1=+-w≥u+-() 的不等式： 第二步，求出含变量一边的代数式的最值； (ty) 第三步，由此推出参数的取值范围，得出结论 一般地，若a>y(y为含某一变量的代数式) 小号≥+即<2。 恒成立，则a>yx;若a≥y,则a≥yma;若a<y, 58 第二章一元二次函数、方程和不等式铺 则a<ymi若a≤y,则a≤y 变式⑦(2024·安微合肥期末)已知a> (2)对于有解问题，第三步结论变为： 一般地，若a>y有解，则a>ym若a≥y有 0.6>0者不等式+片。6恒皮立则m 解，则a≥ymn.若a<y有解，则a<ymx;若a≤y 的最大值为( ). 有解，则a≤ym A.9 B.12 C.16 D.10 AEFNEEB11B11BB011BA1A1111111001111101011110111101111130011110111101181131 〔食核心素养聚焦 BRE11111B1110NN1B1KA1EB10111110111111000110011111011131011131111111101101101 考向①利用基本不等式求最值 2 所以x2+y≥3，故D错误. 例17（经典·全国Ⅱ卷）（多选）对任意 答案BC x,y,x2+y2-xy=1,则( ). 考查内容 核心素养 高考难度 A.x+y≤1 B.x+y≥-2 逻辑推理 考查基本不等式的应用 ★★★☆☆ C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1 数学运算 舞折周为a6≤生y广<生少abE,由 考向② 利用常数代换法求最值 x2+y2-xy=1可变形为(x十y)2-1=3xy≤ 例国（经典·山东卷）若直线后+名-1 3生)，解得-2x+y≤2，当且仅当x=y=- (a>0,b>0)过点(1,2)，则2a+b的最小值为 时，x十y=一2，当且仅当x=y=1时，x十y=2,所 以A错误，B正确 解析由已知得上+2 b =1, a 由x2十y2-xy=1可变形为(x2+y2)-1=xy≤ 义，解得x+y≤2，当且仅当x=y=士1时取 则2a+6=(2a+日+号)=4+2+ a 2 等号，所以C正确。 b.=4, 因为a>0,b>0,所以+6≥2√后·方 a b 因为x2+y2≥2lxy|, 故2a+b>≥8，当且仅当b-=4 12=1,即a 且+ 所以1y告艺，从而得y>告产 a ba b 2 =2,b=4时等号成立. 由x2十y2-xy=1可变形为(x2十y)-1=xy≥ 答案8. ,解得2≥1，即2+y≥号当且 考查内容 核心素养 高考难度 2 2 考查利用基本不等式求 逻辑推理 ★★★☆向 最值 数学运算 59(视客发现：和：以：一名，：一2的梦体结物出见，款专意将它 们整体换无，满化上还式手) 因为+克=+1+一1>+ x+1 令a=x1一2，b=x:一2.由x>x1>2可得b>a>0, 1=3。当且仅当+1克即=1时取等号，D正商. 式为9。。-（仔+）。 [变式4、[因为h>0,所以。+6+>2后·5+ 4ab-(a+b)24ab-(a'+2ab+b2)(a-b) (a+b)ab (a+b)ab (a+bab' a2=4b2, b≥2√ab 1 1 =4,当且仅当 因为b>a>0,所以(a-b)>0.a+b>0, ah' 从而p一g= (a-b)9 a+i)ab<0,故p<g. 1a=1,a=-1, 2.2基本不等式 或 】时等号成立.（连胜两次使用暴本不等其要 b=2 6=- 2 变武细练 保接等号成点的一数仕)门 [度武。4+8+-（合+）+（无+ [变式5]D[方法-（消元法）由条件得y一5一3 2）+(2+）-3.a>0.b>0e>0… 由>0y>0知>号 幸重链配对后，奉组式手的松为空值1 么.g=2当且仅善a=b时数等号： 从而3x+4y=3x+x-3=3r+ 5(-】 同理，分十名≥2当鱼众等6时家等专… 转化配海成分于不含变量的形式 3 12 4十二≥2多且优苦：=时取等号》 5 c。4 2-) ≥2，+号=5当且仅当 (合+号)+（后+）+(2+）-3≥6-3=3.即 3(-） 12 b什（一@+十a一b4a十b二S之3.（当夏仅当ab-c时永￥号） 2(-】 .y- 之3即x=1y=之时取 h 等号，故3.x十4y的最小值为5. [变式2]x>-1,.x+1>0, y=+5)x+2_[x+1D+4[x+1D+1 方法二（常数代换法） 对原条件式转化得3+上=5，则 y r+1 x+1 变形确定常数《 -少"++》4=++5 x+1 3x+4y= （+）a+)-(9+4++) y ≥2+D·石+5=9+.=1时 、巧炒惜助于“”的代换 ≥号8+坠·受)-5当组仅当坚- ,x+3y 等号成立)，所以y有最小值9. y y [变式3c[因为>0，所以x2-x)<(号-）'-1，当 5xy,即x=1,y=2时取等号.故3r十4y的最小值为5.] 且仅当x=2一x,即x=1时取等号，A正确： [座式因为站+六密-中 因为x+>≥2，·=2，当且仅当=即x=1时 所以十b8 a+b 8 取等号，所以2一工一1≤0，B正确： 当且仅当十力 2 a十b,即a+b=4且b=1, 令1-什7，则≥2，原武可化为中1+≥2，当且 a=2-5,a=2+3, 即 或 时等号成立 仅当1=，即1=1时取等号，又≥2，所以产5的最小 h=2+5h=2-5 x2+4 值不是2，C错误：（注意政等景件） 故好+六+的最小值为心门 18 [变式7刀C[根据题意可知，m<(合+方)口十h)恒成立， 9y)m≥1，因此t≤25，故实数t的最大值为25.] 6.因为a>0.b>0.所以ab=a十b≥2ab,当且仅当a=b=2 即转化成求y=(信+方)口十b)的最小值又y 时取等号，即有6≥4，于是得(1+)(1+公）=1+} (信+)a+6-8++8+2 =16 +品=1++品=2+<2+}=所以 ab 当且仅当a=4b时取等号，所以m≤16，即m的最大值 (1+)(1+)是成立. 为16.] 基甜过关练 运南。）（以引】 1.B尼知a>0.则a+=a+。l≥2a 3,当且仅当a=。,即a=2时等号皮立. 综合提能练 1.C[设左，右两臂长分别为1，l4,则l1m=l4,lm=l1b, 2.D[:2x+y=xy,x>0,y>0,.2x+y≥22xy,即 m=√ab, xy≥2W2xy,当且仅当y=2.x,即x=2,y=4时取等号， a≠b, 历=m门 xy≥8，即xy的最小值为8.] 2.B[,关于x的方程x”一ax十b一1=0有两个相等的正根， 3D[因为0Kx<号，所以1-3x>0,又1-3r)+3x=1, a>0, 2 9 b-1>0. b-+1w70 △=a2-4(b-1)=0, 9是+>+2gw /9(1-3.x） 6.r +2 =2+4 4=2十 1 一2 2×3.x 1-3x -当 a+b b2+。 +1 一等式泰"1“值不度，海出积为定便 +a+1 + 且仅当901-32x 3 2×3. 2-即x=号时等号成立，放 分号、分母同时除以口，物造积为定值的条针 1 的最小值为曾放选D] -2+令-号：当且仅当。-6=2时取等 链授教材 这道题目是由教材上的P48习题2.2的第1题改编得 号，所以十有最大值号] a+b 到的，基本的郎题思路是将是+昌文形为（入 9 思维过程 多充问道-元化.候道意可得6=号+10>0，则2 ath 13)[1-3r)+3x],由已知条件确定1-3r>0.且a 2 2十 41+ ，再利用基本不等式即可求得最大值 4 a 一3.x)十3.x=1,展开后利用基本不等式，即可求得答案 3.C[g=x”+4y2-3xy≥2(x·2y)-3y=xy,当且仅当 415。[由题意可知，利润为10(-1 (.x-5)2 ,10<r≤25，不妨令 x=23时等号成立，此时三取得最小值，于是x+2y TV 1=I一10∈ul0<1<15,则利涧为，10 10 (1+5)= +5+10 =2y+2y-2y=2(2-y)≤2（号）=2，当且仅 t 当y=1时等号成立.综上可得，当x=2y=1,x=2时.x十 10 25+1 =50,当且仅当1=克，即1=5时取等号， 2y一g取得最大值2.] 4,B[由题设得m≥4(a+b)-（ 此时x=15,故销售价格每件应定为15元.] 日+若)a+6)=4a+b) (a+b)产相成立，而4(a+b)-(a+b)2=4-(a+b-2)2, 525.[红+9y=(4+9y)(侵+)=18+2+g≥18+ 又a十b≥2√ab=2,当且仅当a=b=1时等号成立，所以 2受号-5当且仅当整-号即=号y一号时 4(a十b)-(a十b)'≤4，当且仅当a=b=1时等号成立，故 ±用换元法令1=4十6≥2，得一=一(1一2)十4≤1： 等号成立.又不等式4r十9y-t≥0恒成立，只需(4x十 从而得所参范周 19 m≥4.故选B] 优突破练 归纳总结 含参效的不等式恒成立问题，通过分离参数，把参数的 1.54. [由题设知，9=xx+2)=x(分r+号x+2)≥ 取值范国化归为代数式的最值问题.a>y恒成立一a> ymsa<y恒成立=a<ym x·3√2x·2x·2y,所以3≥x· 5.2,[因为(x一y)尸=(xy)且x,y是正实数，所以两边同 r<2·3=54,当且仅当分=2，即x-后y-时等 时除以(w只，得（号）”=，又因为（侵+）广 号成立.所以xy的最大值为54，] 25 （号-)+女=+>2,=4当且仅当 2.10.[由题意知，t≥x2>0,1≥ )>0. >≥x2· 25 y一年即x=2+2y=2-一厄时等号成立，所以上+ y(r-y)" y 25 25 ≥4=2.] 又x2· 厂y+(x)7三=x·=100. 61)若正实数xy满足y=3x+y,则上+3=1， 2 r y t≥100即t≥10，则当正数x,y(x>y)变化时，1 所以+y=+y(侵+）=4+2+4+2. m,台的最小值为0] 当且仅当之-3延，即x=1+5y=3+5时取等号. 2.3二次函数与一元二次方程.不等式 所以x十y的最小值为4十2√3 变试即练 (②)正实数a,6,xy满足5- a =1,且a>b, [变式1门(1)解方程x2-5x一6=0，得x1=一1，x:=6. 结合二次函数y=x2一5x一6的图象知，原不等式的解集为 则。-=-6)后) (xx<一1或x>6}. (2)原不等式可化为x2-7x十6<0， =x2+y2-（ 解方程x2-7x十6=0，得x1=1,x:=6. 因为x 结合二次函数y=x一7.x十6的图象知，原不等式的解集为 =2lxyl· {x1x<6}. 当组仅学-子时取等母 (3)原不等式可化为8x2-8x+4>4x-x2, 即9x2-12x+4>0. 所以a2-6=x2+y2-( 2 解方程9x2-12x十4=0，得x1=x=3 x2+y2-2xy=(x-y)2, 结合二次函数y=9.x2一12x+4的图象知，原不等式的解集 所以a2-b2≤(x-y) (3)若m>0,M=√3m-5-√m-2, 为≠引 令x=√3m-5,y=Vm-2,则x2-3y2=1, [变式2]当a<2时，(a-2)x+(2a-1)x+6>0→ 令a2=1a>0.6=b>0. [2-ar-3x+2<0,放解集为-2<22： 所以M=√3m5-Vm-2=x-y≥Va-方- 当a=2时.3x十6>0，解得x>-2.故解集为(xx>-2: 3 当且仅当行x=3y2即x=3y时取等号， 当a>号时.a-2)r2+(2a-10r+6>0→[a-20z 结合x2-3y=1,解得x= +3x+2》>0,由于2。>-2，故解集为>22或 2y=6 即√3m-5= 受所以m是 x<-2: 所以M的最小值为否此时m-号 当2<号时，由于2己。<-2故解集为>-2或 20