34.解三角形中的常见几何构型 讲义——2026届高三数学一轮复习

34.解三角形中常见几何构型 一．基本原理 1.正弦定理：在中，、、分别为角、、的对边，，则有，(为的外接圆的半径). 2.正弦定理的变形公式： ①，，； ②，，；③；④. 3.余弦定理：在中，有， 推论：；变形：. 4.解三角形中，用正（余）弦定理主要解决以下类型： （1）知道两边及其一边所对角，正弦定理解另一角，再用内角和定理解最后那个角，然后正弦（余弦）解最后那个边，且需注意以下情形的讨论： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsin A bsin A<a<b a≥b a>b a≤b 解的个数 一解 两解 一解 一解 无解 （2）知道两边及其夹角，余弦定理解第三边后再用正弦定理解角； （3）知道两角一边，先内角和定理解第三个角，再正弦定理逐次解边. 5.三角形面积公式：． 6.解三角形所涉及的其它知识 （1）三角形内角和定理 （2）三角形边角不等关系：. 7.诱导公式在中的应用 （1）； （2） 8.对边对角结构：由余弦定理：变式可得：此公式在已知的情况下，可得到和的等式，配合均值不等式，这样就可实现周长或者面积的最值. 在中,设.由余弦定理知 所以(当且仅当时等号成立).因此,即 又因为,当且仅当时等号成立,所以 即,故,从而,即 下面两个结论可做了解，并非一定熟记，但有意识的话会有助于做题 9. 正余弦平方差公式 ， . 10.射影定理：在中， 11.爪型三角形 （1）.爪型三角形的基本几何特征:如图， . （2）若已知顶角的大小，且时，若线段长度已知，可利用向量共线的基本结论求得，此时，根据向量共线的基本结论：，再平方即可的到一组有用的关系，特别地，若，得到中线公式. （3）.等面积思想. 设为的平分线，则设，那么有等面积可得： ， 进一步可得：，于是可以看到，倘若我们知道角与角平分线的长度，则可得到的转化关系 二．考情研究 ★考情1.关注解三角形中的恒等变换与边角转换 例1.(2022新高考全国II卷)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b， c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知． （1）求面积； （2）若，求b． 解析：（1）由题意得，则 ，即，由余弦定理得 ，整理得，则，又，则 ，，则； （2）由正弦定理得：，则，则，． ★考情2.爪型三角形中的几何特征 例2.（23新高考2）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且． （1）若，求； （2）若，求． 解析：（1）在中，因为为中点，，，    则，解得， 在中，，由余弦定理得， 即，解得，则， ，所以. （2）方法1：（双余弦） 在与中，由余弦定理得， 整理得，而，则， 又，解得，而，于是， 所以. 方法2：（中线的向量表达） 在中，因为为中点，则，又， 于是，即，解得， 又，解得，而，于是，所以.．故答案为：． ★考情3.对边对角问题 例3.（2020全国2卷）在中， （1）求； （2）若，求周长的最大值. 解析：（1）由正弦定理可得：， ，. （2）方法1：（化边配均值不等式） ， 即.（当且仅当时取等号），， 解得：（当且仅当时取等号），周长，周长的最大值为. 方法2.（化角用三角函数求范围） 设，则，根据正弦定理可，所以，当且仅当，即时，等号成立．此时周长的最大值为． 例4.（2024新课标全国2卷）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A． （2）若，，求的周长． 解析：（1）方法1（辅助角公式） 由可得，即， 由于，故，解得 方法2（同角三角函数的基本关系）由，又，消去得到：，解得， 又，故 （2）由题设条件和正弦定理 ，又，则，进而，得到，于是， ，由正弦定理可得，，即，解得，故的周长为 ★考情4.解三角形中的范围问题 方法1.消角构造三角函数 例5.（2020浙江卷）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角B； （2）求cosA+cosB+cosC的取值范围． 解析：（1）由结合正弦定理可得： △ABC为锐角三角形，故. （2）结合（1）的结论有： . 由可得：，， 则，. 即的取值范围是. 在正弦定理中： 此时，我们并非一定需要对边对角，实际上，只要知道任意一边和一角，即可结合内角和定理得到一组边角定量关系，下面我通过例题予以分析. 例6.（2019全国3卷）的内角对边为，. （1）.求角的值； （2）.若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 解析：（1）根据题意，由正弦定理得，因为，故，消去得． ，因为故或者，而根据题意，故不成立，所以，又因为，代入得，所以. （2）因为是锐角三角形，由（1）知，得到， 故，解得. 又应用正弦定理，，由三角形面积公式有： . 又因,故， 故.故的取值范围是 在这一部分中，我们经常会看到诸如：等结构，这种类型当然还可利用正弦定理转化为纯角结构，所以，我们只需要做的就是消元，把三个角消成一个角，或用均值不等式，或用一元函数处理. 例7.（2022新高考1卷）记的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）若，求； （2）求的最小值． 解析：（1）由已知条件得： 所以，即，由已知条件：，则，可得，所以，． 2）由（1）知，则，， ，由正弦定理 当且仅当时等号成立，所以的最小值为． 方法2.齐二次结构与余弦定理求最值 余弦定理的最大特色就是齐次分式结构，同时，在上的严格单调性保证了我们可以利用余弦函数的最值来找到角的最值. 若，倘若再能找到这样一个约束条件，代入余弦定理消掉，即可得到一个均值结构，利用均值不等式即可求得最值，下面通过例题予以分析. 例8.记的内角，，的对边分别为，，．已知． （1）求的值： （2）求的最大值． 解析：（1）由余弦定理可得，代入，得到，化简得，即.由正弦定理可得，即，展开得，即，所以． （2）由得，故， 当且仅当，即时等号成立．因为，所以，所以的最大值为. 三．对点训练与考情预测 1．在中，，，，则（    ） A． B．4 C． D． 2．在中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若的面积是，则（    ） A． B． C． D． 3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则角A的最大值为（   ） A． B． C． D． 4.的内角A、B、C的对边分别为a、b、c， ，则_______. 5．（2025年四川成都二模）在中，角的对边分别是，已知. （1）求； （2）若，且的周长为，求. 6．（2025年江西南昌一模）在中，角的对边成公差为2的等差数列． （1）若为锐角三角形，求a的取值范围； （2）若，求的面积． ． 7．（2025年湖北七市州高三联考）在中，内角的对边分别为，且满足. （1）求； （2）若为边上一点（异于端点），，求的取值范围. 8．（2025年广东一模）已知的内角所对的边分别为，且． （1）证明：； （2）若的面积为，求． 9．（2025年湖北武汉二模）如图，与存在对顶角，，，且． （1）证明：为中点； （2）若，求的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 34.解三角形中常见几何构型 一．基本原理 1.正弦定理：在中，、、分别为角、、的对边，，则有，(为的外接圆的半径). 2.正弦定理的变形公式： ①，，； ②，，；③；④. 3.余弦定理：在中，有， 推论：；变形：. 4.解三角形中，用正（余）弦定理主要解决以下类型： （1）知道两边及其一边所对角，正弦定理解另一角，再用内角和定理解最后那个角，然后正弦（余弦）解最后那个边，且需注意以下情形的讨论： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsin A bsin A<a<b a≥b a>b a≤b 解的个数 一解 两解 一解 一解 无解 （2）知道两边及其夹角，余弦定理解第三边后再用正弦定理解角； （3）知道两角一边，先内角和定理解第三个角，再正弦定理逐次解边. 5.三角形面积公式：． 6.解三角形所涉及的其它知识 （1）三角形内角和定理 （2）三角形边角不等关系：. 7.诱导公式在中的应用 （1）； （2） 8.对边对角结构：由余弦定理：变式可得：此公式在已知的情况下，可得到和的等式，配合均值不等式，这样就可实现周长或者面积的最值. 在中,设.由余弦定理知 所以(当且仅当时等号成立).因此,即 又因为,当且仅当时等号成立,所以 即,故,从而,即 下面两个结论可做了解，并非一定熟记，但有意识的话会有助于做题 9. 正余弦平方差公式 ， . 10.射影定理：在中， 11.爪型三角形 （1）.爪型三角形的基本几何特征:如图， . （2）若已知顶角的大小，且时，若线段长度已知，可利用向量共线的基本结论求得，此时，根据向量共线的基本结论：，再平方即可的到一组有用的关系，特别地，若，得到中线公式. （3）.等面积思想. 设为的平分线，则设，那么有等面积可得： ， 进一步可得：，于是可以看到，倘若我们知道角与角平分线的长度，则可得到的转化关系 二．考情研究 ★考情1.关注解三角形中的恒等变换与边角转换 例1.(2022新高考全国II卷)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b， c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知． （1）求面积； （2）若，求b． 解析：（1）由题意得，则 ，即，由余弦定理得 ，整理得，则，又，则 ，，则； （2）由正弦定理得：，则，则，． ★考情2.爪型三角形中的几何特征 例2.（23新高考2）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且． （1）若，求； （2）若，求． 解析：（1）在中，因为为中点，，，    则，解得， 在中，，由余弦定理得， 即，解得，则， ，所以. （2）方法1：（双余弦） 在与中，由余弦定理得， 整理得，而，则， 又，解得，而，于是， 所以. 方法2：（中线的向量表达） 在中，因为为中点，则，又， 于是，即，解得， 又，解得，而，于是，所以.．故答案为：． ★考情3.对边对角问题 例3.（2020全国2卷）在中， （1）求； （2）若，求周长的最大值. 解析：（1）由正弦定理可得：， ，. （2）方法1：（化边配均值不等式） ， 即.（当且仅当时取等号），， 解得：（当且仅当时取等号），周长，周长的最大值为. 方法2.（化角用三角函数求范围） 设，则，根据正弦定理可，所以，当且仅当，即时，等号成立．此时周长的最大值为． 例4.（2024新课标全国2卷）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A． （2）若，，求的周长． 解析：（1）方法1（辅助角公式） 由可得，即， 由于，故，解得 方法2（同角三角函数的基本关系）由，又，消去得到：，解得， 又，故 （2）由题设条件和正弦定理 ，又，则，进而，得到，于是， ，由正弦定理可得，，即，解得，故的周长为 ★考情4.解三角形中的范围问题 方法1.消角构造三角函数 例5.（2020浙江卷）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角B； （2）求cosA+cosB+cosC的取值范围． 解析：（1）由结合正弦定理可得： △ABC为锐角三角形，故. （2）结合（1）的结论有： . 由可得：，， 则，. 即的取值范围是. 在正弦定理中： 此时，我们并非一定需要对边对角，实际上，只要知道任意一边和一角，即可结合内角和定理得到一组边角定量关系，下面我通过例题予以分析. 例6.（2019全国3卷）的内角对边为，. （1）.求角的值； （2）.若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 解析：（1）根据题意，由正弦定理得，因为，故，消去得． ，因为故或者，而根据题意，故不成立，所以，又因为，代入得，所以. （2）因为是锐角三角形，由（1）知，得到， 故，解得. 又应用正弦定理，，由三角形面积公式有： . 又因,故， 故.故的取值范围是 在这一部分中，我们经常会看到诸如：等结构，这种类型当然还可利用正弦定理转化为纯角结构，所以，我们只需要做的就是消元，把三个角消成一个角，或用均值不等式，或用一元函数处理. 例7.（2022新高考1卷）记的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）若，求； （2）求的最小值． 解析：（1）由已知条件得： 所以，即，由已知条件：，则，可得，所以，． 2）由（1）知，则，， ，由正弦定理 当且仅当时等号成立，所以的最小值为． 方法2.齐二次结构与余弦定理求最值 余弦定理的最大特色就是齐次分式结构，同时，在上的严格单调性保证了我们可以利用余弦函数的最值来找到角的最值. 若，倘若再能找到这样一个约束条件，代入余弦定理消掉，即可得到一个均值结构，利用均值不等式即可求得最值，下面通过例题予以分析. 例8.记的内角，，的对边分别为，，．已知． （1）求的值： （2）求的最大值． 解析：（1）由余弦定理可得，代入，得到，化简得，即.由正弦定理可得，即，展开得，即，所以． （2）由得，故， 当且仅当，即时等号成立．因为，所以，所以的最大值为. 三．对点训练与考情预测 1．在中，，，，则（    ） A． B．4 C． D． 解析：，，，所以，解得，，因为，所以，.故选：C. 2．在中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若的面积是，则（    ） A． B． C． D． 解析：由余弦定理可得：，由条件及正弦定理可得： ，所以，则．故选：A 3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则角A的最大值为（   ） A． B． C． D． 解析：因为，所以，进而可得 因为，当且仅当时等号成立，所以又因为，所以角A的最大值为 4.（2017全国新课标2卷）的内角A、B、C的对边分别为a、b、c， ，则_______. 解析：解法1： ，即，因为，所以，故，即. 解法2：由射影定理，，故，结合知. 5．（2025年四川成都二模）在中，角的对边分别是，已知. （1）求； （2）若，且的周长为，求. 解析：（1）在中，由及正弦定理得，而， 则，又，所以或. （2）由的周长为，，得， 在中，由余弦定理得，即， 则，当时，，于是，，此方程无解； 当时，，于是，解得或， 所以当时，无解；当时，或. 8．（2025年江西南昌一模）在中，角的对边成公差为2的等差数列． （1）若为锐角三角形，求a的取值范围； （2）若，求的面积． 解析：（1）∵是公差为2的等差数列，∴，由三角形三边关系得，，∴，又∵为锐角三角形，∴最大角， ∴，即，∴，即，解得或， ∴. （2）∵，∴由正弦定理可得，∴，解得，则， ∴，∴，∴． 7．（2025年湖北七市州高三联考）在中，内角的对边分别为，且满足. （1）求； （2）若为边上一点（异于端点），，求的取值范围. 解析：（1）在中，因为，所以， 得到，据正弦定理可得，则，由余弦定理得，因为，所以. （2）在中，因为，所以，则， 由正弦定理得， 则，又因为，所以，则，结合函数性质可得，故的取值范围为. 5．（2025年广东一模）已知的内角所对的边分别为，且． （1）证明：； （2）若的面积为，求． 解析：（1）根据正弦定理设，则， 代入，得，即，整理得，由，得，所以； （2）由面积公式得，由正弦定理得， 整理得，由，得， 由（1）得，由平方关系得 解得或因为，所以，所以． 6．（2025年湖北武汉二模）如图，与存在对顶角，，，且． （1）证明：为中点； （2）若，求的长． 解析：（1）设，，则，.在中，由余弦定理得： 在中，由余弦定理得：.由，所以.化简得：. 故为中点. （2）如图：过点做，交与.则.由（）.所以，又，所以. 所以.所以，又，. 所以.由所以.又，所以，所以.所以.即.在中，根据正弦定理，可得：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$