23.指数均值与对数均值不等式讲义-2026届高三数学一轮复习

指数均值与对数均值不等式 一．基本原理 1．对数均值不等式：两个正数和的对数平均定义： 对数平均与算术平均､几何平均的大小关系： （此式记为对数平均不等式），取等条件：当且仅当时，等号成立． 证明如下：不失一般性，可设．（1）先证：……① 不等式①（其中） 构造函数，则． 因为时，，所以函数在上单调递减，故，从而不等式①成立. （2）再证：……② 不等式②（） 构造函数，则． 因为时，，所以函数在上单调递增， 故，从而不等式②成立；综合（1）（2）知，对，都有对数平均不等式成立，当且仅当时，等号成立． 注：对数均值不等式实际上是对数不等式链：在双变元情形下的应用. 2.对数不等式链 ； . 3.指数均值不等式.若，则. 证明：（方法1.双变量消元直接证明） 欲证，两边同除以，即证，即证，即证 令即证不等式当时恒成立. 设，∴ 而，即，∴，∴在上是减函数，又∴恒成立，得证. 接着证明右边的不等式，同样设等价于.令，则，两边同时除以得1）. 设 ，再求（因为），所以在上单调递增.由于，因为在上单调递增，所以在上单调递增，1），即 0，所以，也就是. 综上，不等式得证. （方法2.对数均值不等式转化） 设，则，将代入对数均值不等式中，可得，即 把代入. 综上，由对数均值不等式可得到指数均值不等式. 二．典例分析 例1.已知函数 （1）讨论的单调性； （2）若函数的图像与轴交于两点，线段的中点的横坐标为，证明： . 例2.已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）如果，且，证明：. . 例3.已知函数. （1）讨论的单调性； （2）设为两个不相等的正实数，且，证明：. 例4已知函数. （1）若恒成立，求的取值范围； （2）若有两个零点，证明：. 例5．已知函数． （1）当时，讨论的单调性； （2）当时，，求a的取值范围； （3）设，证明：． ． 例6.设函数，已知是函数的极值点． （1）求； （2）设函数．证明:． 例8．已知函数的图象与椭圆交于两个不同的点.是上的点，在处的切线交轴于点，过作轴的垂线交于在处的切线交轴于点，过作轴的垂线交于，重复上述操作，依次得到. （1）求； （2）记直线的斜率为. （i）设的面积分别为，证明：； （ii）若，求证：. 例9.（2024年四川省预赛）已知为正实数,若曲线与椭圆交于、两个不同的点,求证:直线的斜率. 三.习题演练 1.已知函数． （1）若函数在上是增函数，求实数的取值范围； （2）如果函数恰有两个不同的极值点，，求证：． 2.已知函数，其中. （1）若函数在上单调递增，求的取值范围； （2）若函数存在两个极值点，当时，求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 指数均值与对数均值不等式 一．基本原理 1．对数均值不等式：两个正数和的对数平均定义： 对数平均与算术平均､几何平均的大小关系： （此式记为对数平均不等式），取等条件：当且仅当时，等号成立． 证明如下：不失一般性，可设．（1）先证：……① 不等式①（其中） 构造函数，则． 因为时，，所以函数在上单调递减，故，从而不等式①成立. （2）再证：……② 不等式②（） 构造函数，则． 因为时，，所以函数在上单调递增， 故，从而不等式②成立；综合（1）（2）知，对，都有对数平均不等式成立，当且仅当时，等号成立． 注：对数均值不等式实际上是对数不等式链：在双变元情形下的应用. 2.对数不等式链 ； . 3.指数均值不等式.若，则. 证明：（方法1.双变量消元直接证明） 欲证，两边同除以，即证，即证，即证 令即证不等式当时恒成立. 设，∴ 而，即，∴，∴在上是减函数，又∴恒成立，得证. 接着证明右边的不等式，同样设等价于.令，则，两边同时除以得1）. 设 ，再求（因为），所以在上单调递增.由于，因为在上单调递增，所以在上单调递增，1），即 0，所以，也就是. 综上，不等式得证. （方法2.对数均值不等式转化） 设，则，将代入对数均值不等式中，可得，即 把代入. 综上，由对数均值不等式可得到指数均值不等式. 二．典例分析 例1.(2011年辽宁卷)已知函数 （1）讨论的单调性； （2）若函数的图像与轴交于两点，线段的中点的横坐标为，证明： 解：（2），由 ，同除以得， 要证，只需证； 只需证； 根据对数平均不等式，故原命题得证. 例2.（2010天津卷）已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）如果，且，证明：. 解析：（2）等价于，故可得： ，由对数均值不等式可得：，故. 小结：由上例可知，形如：或者型，对数式单独放，在构造对数均值不等式的方向上均是可行的.同时，一些指数结构通过指对转化，亦可转化为上面两个形式，利用对均不等式可得偏移. 例3.（2021新高考1卷）已知函数. （1）讨论的单调性； （2）设为两个不相等的正实数，且，证明：. 解析：证明同证法2．以下证明．不妨设，则， 由得，， 要证，只需证，两边取对数得， 即，即证．记，则.记，则， 所以，在区间内单调递减．，则， 所以在区间内单调递减．由得，所以， 即． 例4.（2022全国甲卷）已知函数. （1）若恒成立，求的取值范围； （2）若有两个零点，证明：. 解析：（2）此时，有两个解，且. 此时，，两式相除，可得：. 于是，欲证只需证明：（对数均值不等式）.易证！ 例5．（2022新高考2卷）已知函数． （1）当时，讨论的单调性； （2）当时，，求a的取值范围； （3）设，证明：． 解析：（1）略. （2）由当时，，得在区间内恒成立，即在区间内恒成立，在不等式中， 令,可得当时,,即,故当时,不等式成立. 当时，在区间内恒成立，即在区间内恒成立，满足题意. 当，即,则，因为为连续不间断函数，故存在，使得，总有，故在为增函数，故，故在为增函数，故，与题设矛盾. （3）由于 ，接下来 令，，可得，. 由上述不等式，，进一步求和可得： ， 即． 例6.（2021年全国乙卷）设函数，已知是函数的极值点． （1）求； （2）设函数．证明:． 解析：（2）令，因为，所以在区间内是增函数，在区间内是减函数，所以，即（当且仅当时取等号）．故当且时，且，，即，所以．当时，，所以，即，所以．当时，，同理可证得． 综上所述，当且时，，即． 例8．（湖北省七市州2025届高三联考）已知函数的图象与椭圆交于两个不同的点.是上的点，在处的切线交轴于点，过作轴的垂线交于在处的切线交轴于点，过作轴的垂线交于，重复上述操作，依次得到. （1）求； （2）记直线的斜率为. （i）设的面积分别为，证明：； （ii）若，求证：. 解析：（1）由题意在处的切线方程为； 令，可得，即.由可知在处的切线方程为；令可得，即；所以数列是以为首项，公差为的等差数列，所以. （2）（i）设，由题意不同时为0，不妨令且； .由（1）可知； 则.要证，即证，即证；令，即证，再令，即证，即证.构造函数，则，所以在上单调递增；即.所以得证.即. （ii）由（i）可知，，所以.因为，得；即，即. 得，因为，所以；所以.所以.即.当时，有，即；所以，从而. 例9.（2024年四川省预赛）已知为正实数,若曲线与椭圆交于、两个不同的点,求证:直线的斜率. 解析：设，其中.注意到对数不等式:若,则. 取，得. ①将和 相减，得②.再将和相加，得③.注意到:时，由知，结合①②③知： ，解得. 三.习题演练 1.已知函数． （1）若函数在上是增函数，求实数的取值范围； （2）如果函数恰有两个不同的极值点，，求证：． 解析：（2）根据条件，，则 -2．因为是极值点，所以，两式相减得．所证不等式等价于，设两边同除以得．令，．所证不等式只需证明： ．设，则．易证，所以，因此在上单调递减，．所以原不等式成立，即． 2.已知函数，其中. （1）若函数在上单调递增，求的取值范围； （2）若函数存在两个极值点，当时，求的取值范围. 解：（1）的取值范围是. (2)，对函数，设上一点为， 过点的切线方程为，将代入上式得，所以过的的切线方程为.所以，要使与有两个交点，则，此时有两个极值点，且.，令，则，所以，所以，即 所以，令， 令，所以在上递增. 因为，所以在上恒成立. 所以在上恒成立. 所以在上递增. ，所以当时，，所以的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $$