30.和差化积公式及四大应用讲义-2026届高三数学一轮复习

30.和差化积公式及四大应用 抽象的东西不是无源之水，找到它的原型，这也是我们处理函数方程的一个重要方法，例如，最常见的函数方程：其实就是我们的指数乘法公式： .所以，处理函数方程问题的一个重要手法就是找原型. 三角函数和差化积公式，一个出现在新教材必修一226页习题！ 一．基本原理 1.公式汇编与证明: ；； ； . 证明：由，，得 . 也可利用单位圆予以证明： 证明：线段AB的中点M的坐标为.过点M作垂直于x轴，交x轴于，如图，则.在中，. 在中，. 2.和差化积公式推导出的一些常见恒等式 （1）平方差公式： 即 （2） 证明：左边右边，所以原式得证. 3利用和差化积公式解决抽象函数 （1）将上述公式予以抽象，若令，则上述积化和差公式可进一步抽象得： （2）若令，则有 （3）进一步，倘若令，那么上述和差化积公式可以表示为： ，抽象为： （4）若令，那么： 则有： 综上所述，有关和差化积，我们可以得到如下的抽象函数模型； ①. ②. ③. 二．典例分析 ★应用1.利用和差化积（积化和差）公式求值与化简 例1．如图，在平面直角坐标系中，以为始边，角与的终边分别与单位圆相交于两点，且若直线的斜率为，则（   ）    A． B． C． D． 例2．已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 例3．如图所示，已知角的始边为轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为为线段的中点，射线与单位圆交于点，则（    ） A． B． C．当面积为时，点在圆上运动 D．点的坐标为 例4．已知函数，则（    ） A．的一个周期为 B．的图像关于中心对称 C．的最大值为2 D．在上的所有零点之和为 ★应用2.利用和差化积（积化和差）公式处理抽象函数 例5.（2022新高考2卷） 已知函数的定义域为，且，则 A. B. C. D. 例6．已知函数对任意实数，都满足，且，则（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C． D． 例7．已知定义域为的函数对任意实数、满足，且，．其中正确的是（    ） A． B．为奇函数 C．为周期函数 D．在内单调递减 例8．已知函数的定义域为，且，则下列说法中正确的是（    ） A．为偶函数 B． C． D． ★应用3.和差化积（积化和差）公式解决实际问题 例9．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.如图，某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要. (1)游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式； (2)求游客甲在开始转动后距离地面的高度； (3)若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：）关于的函数解析式，并求高度差的最大值（精确到0.1）. （参考公式与数据：；；.） ★应用4.新定义问题与应用 例10．定义二元函数，同时满足：①；②；③三个条件． (1)求的值； (2)求的解析式； (3)若．比较与0的大小关系，并说明理由． 附：参考公式 例11．设次多项式，若其满足，则称这些多项式为切比雪夫多项式.例如：由，可得切比雪夫多项式，由，可得切比雪夫多项式. (1)若切比雪夫多项式，求实数，，，的值； (2)对于正整数时，是否有成立？ (3)已知函数在区间（-1，1）上有3个不同的零点，分别记为，，，证明：. 三．习题演练 1．已知函数的定义域为，不恒为0，且，则（   ） A．可以等于零 B．的解析式可以为： C．曲线为轴对称图形 D．若，则 2．定义在R上的函数满足，则下列结论正确的有（   ） A． B．为奇函数 C．6是的一个周期 D． 3．已知函数，则（） A． B．当时， C．当时， D．当时， 4．已知定义域为的函数，满足如下条件： ①.对任意实数都有； ②.，. 则_________. 5．筒车（chinese noria）亦称“水转筒车”.一种以水流作动力，取水灌田的工具.据史料记载，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史．这种靠水力自动的古老筒车，在家乡郁郁葱葱的山间、溪流间构成了一幅幅远古的田园春色图．水转筒车是利用水力转动的筒车，必须架设在水流湍急的岸边．水激轮转，浸在水中的小筒装满了水带到高处，筒口向下，水即自筒中倾泻入轮旁的水槽而汇流入田．某乡间有一筒车，其最高点到水面的距离为，筒车直径为，设置有8个盛水筒，均匀分布在筒车转轮上，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转一周需要，如图，盛水筒A（视为质点）的初始位置距水面的距离为．      (1)盛水筒A经过后距离水面的高度为h（单位：m），求筒车转动一周的过程中，h关于t的函数的解析式； (2)盛水筒B（视为质点）与盛水筒A相邻，设盛水筒B在盛水筒A的顺时针方向相邻处，求盛水筒B与盛水筒A的高度差的最大值（结果用含的代数式表示），及此时对应的t． （参考公式：，） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 30.和差化积公式及四大应用 抽象的东西不是无源之水，找到它的原型，这也是我们处理函数方程的一个重要方法，例如，最常见的函数方程：其实就是我们的指数乘法公式： .所以，处理函数方程问题的一个重要手法就是找原型. 三角函数和差化积公式，一个出现在新教材必修一226页习题！ 一．基本原理 1.公式汇编与证明: ；； ； . 证明：由，，得 . 也可利用单位圆予以证明： 证明：线段AB的中点M的坐标为.过点M作垂直于x轴，交x轴于，如图，则.在中，. 在中，. 2.和差化积公式推导出的一些常见恒等式 （1）平方差公式： 即 （2） 证明：左边右边，所以原式得证. 3利用和差化积公式解决抽象函数 （1）将上述公式予以抽象，若令，则上述积化和差公式可进一步抽象得： （2）若令，则有 （3）进一步，倘若令，那么上述和差化积公式可以表示为： ，抽象为： （4）若令，那么： 则有： 综上所述，有关和差化积，我们可以得到如下的抽象函数模型； ①. ②. ③. 二．典例分析 ★应用1.利用和差化积（积化和差）公式求值与化简 例1．如图，在平面直角坐标系中，以为始边，角与的终边分别与单位圆相交于两点，且若直线的斜率为，则（   ）    A． B． C． D． 解析：由题意可设，，则直线的斜率，所以， 所以．故选：A． 例2．已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 解析：由和差化积公式，得， ，两式相除，所以. 所以.故选：B． 例3．如图所示，已知角的始边为轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为为线段的中点，射线与单位圆交于点，则（    ） A． B． C．当面积为时，点在圆上运动 D．点的坐标为 解析：由已知，得，则，依题意为的中点，则，故A正确； 由题意，得，，则，，所以，故B正确； 由题意可得，，因为的中点，则，其中，因 故，故D正确； 由，则，， 设，则，将两式平方相加得，即，即点在园上运动，故C错误.故选：ABD 例4．已知函数，则（    ） A．的一个周期为 B．的图像关于中心对称 C．的最大值为2 D．在上的所有零点之和为 解析：对于A，，所以A正确； 对于B，，所以B正确； 对于C，若最大值为2，则，， 当，，此时，，，故C不正确； 对于D，， 令得，所以或，又， 所以或或或或，解得或或或或，即所有零点之和为，故D正确.故选：ABD ★应用2.利用和差化积（积化和差）公式处理抽象函数 例5.（2022新高考2卷） 已知函数的定义域为，且，则 A. B. C. D. 解析：方法1.由余弦函数积化和差公式可得，考虑函数，则满足题意. 于是，周期为6，且，进一步，故选A. 方法2.因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．因为，，，，，所以一个周期内的．由于22除以6余4， 所以．故选：A． 例6．已知函数对任意实数，都满足，且，则（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C． D． 解析：（方法1.函数模型）由①，构造，易得结果选AC. （方法2.赋值分析）：在中， 令，可得，即，解得，故B错误； 令可得,即，故函数是偶函数，即是偶函数,故A正确； 令，则，故， 令，可得,故，故C正确； 因为是偶函数，所以，故,即， 所以,所以，故函数的周期为2， 因为，，所以，. 所以，故D错误.故选：AC. 例7．已知定义域为的函数对任意实数、满足，且，．其中正确的是（    ） A． B．为奇函数 C．为周期函数 D．在内单调递减 解析：（方法1.函数模型）由③，构造，且，，易得结果：,故选：BC （方法2.赋值分析）： 对于A，令，得，因为，， 所以，所以，所以A错误， 对于B，令，则，因为，所以，所以为奇函数，所以B正确， 对于C，令，则，所以，所以，所以，所以， 所以的周期为，所以C正确， 对于D，因为，，，的周期为， 所以，令，则，所以，得，所以，所以在上不单调，所以D错误，故选：BC 例8．已知函数的定义域为，且，则下列说法中正确的是（    ） A．为偶函数 B． C． D． 解析：方法一：由于． 由题意，可以令，因为为奇函数，故选项A错误． 因为，故选项B正确．因为，故选项C正确． 因为，故，故选项D错误． 方法二：对于选项A，因为的定义域为，令，则，故，则，令，则， 又不恒为0，故，所以为奇函数，故A错误． 对于选项B，令，则．而，所以，故选项B正确． 对于选项C，由选项B可知，，令，则，所以．又因为为奇函数，所以，故C正确． 对于选项D，由选项B以及，可得， 所以，同理可得．因为，故，故D错误．故选：BC ★应用3.和差化积（积化和差）公式解决实际问题 例9．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.如图，某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要. (1)游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式； (2)求游客甲在开始转动后距离地面的高度； (3)若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：）关于的函数解析式，并求高度差的最大值（精确到0.1）. （参考公式与数据：；；.） 解析：（1）如图，设座舱距离地面最近的位置为点，以轴心为原点，与地面平行的直线为轴建立直角坐标系.设时，游客甲位于点， 以为终边的角为；根据摩天轮转一周大约需要，可知座舱转动的角速度约为，由题意可得，    （2）当时，.所以，游客甲在开始转动后距离地面的高度约为. （3）如图，甲、乙两人的位置分别用点，表示，则，经过后甲距离地面的高度为，点相对于点始终落后， 此时乙距离地面的高度为，则甲、乙距离地面的高度差 利用，可得，. 当（或），即（或22.8）时，的最大值为.所以，甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为. ★应用4.新定义问题与应用 例10．定义二元函数，同时满足：①；②；③三个条件． (1)求的值； (2)求的解析式； (3)若．比较与0的大小关系，并说明理由． 附：参考公式 解析：（1）由条件②可得； 由条件③可得． （2）由条件②）可得：，，， 将上述个等式相加，得；由条件③可得： ，，， 将上述个等式相加，得． （3）由（2），所以，则， 则 ， 当且仅当时，，上式取得等号，即时，均有， 所以，当时，；当时，；当时，，所以． 例11．设次多项式，若其满足，则称这些多项式为切比雪夫多项式.例如：由，可得切比雪夫多项式，由，可得切比雪夫多项式. (1)若切比雪夫多项式，求实数，，，的值； (2)对于正整数时，是否有成立？ (3)已知函数在区间（-1，1）上有3个不同的零点，分别记为，，，证明：. 解析：（1）依题意， ， 因此，即，则； （2）成立.只需考虑和差化积式，首先有如下两个式子： ， ， 两式相加得，， 将替换为，所以对于正整数时，； （3）函数在区间上有3个不同的零点，即方程在区间上有3个不同的实根，令，由（1）知， 而，则或或，于是， 则， 而，所以. 三．习题演练 1．已知函数的定义域为，不恒为0，且，则（   ） A．可以等于零 B．的解析式可以为： C．曲线为轴对称图形 D．若，则 2．定义在R上的函数满足，则下列结论正确的有（   ） A． B．为奇函数 C．6是的一个周期 D． 3．已知函数，则（） A． B．当时， C．当时， D．当时， 4．已知定义域为的函数，满足如下条件： ①.对任意实数都有； ②.，. 则_________. 5．筒车（chinese noria）亦称“水转筒车”.一种以水流作动力，取水灌田的工具.据史料记载，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史．这种靠水力自动的古老筒车，在家乡郁郁葱葱的山间、溪流间构成了一幅幅远古的田园春色图．水转筒车是利用水力转动的筒车，必须架设在水流湍急的岸边．水激轮转，浸在水中的小筒装满了水带到高处，筒口向下，水即自筒中倾泻入轮旁的水槽而汇流入田．某乡间有一筒车，其最高点到水面的距离为，筒车直径为，设置有8个盛水筒，均匀分布在筒车转轮上，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转一周需要，如图，盛水筒A（视为质点）的初始位置距水面的距离为．      (1)盛水筒A经过后距离水面的高度为h（单位：m），求筒车转动一周的过程中，h关于t的函数的解析式； (2)盛水筒B（视为质点）与盛水筒A相邻，设盛水筒B在盛水筒A的顺时针方向相邻处，求盛水筒B与盛水筒A的高度差的最大值（结果用含的代数式表示），及此时对应的t． （参考公式：，） 参考答案： 1.解析：令，可得，可得， 解得或， 当时，则可得， 则，与不恒为0矛盾，所以，故A错误； 令，可得，所以为偶函数， 因为是偶函数，所以的解析式可以为：，故B正确； 因为为偶函数，所以的图象关于直线对称， 所以关于直线对称，所以曲线为轴对称图形，故C正确； 令，则可得， 所以，又， 解得，所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以，故D正确.故选：BCD. 2.解析：该函数满足且， 对于A，令，可得，解得，故A正确； 对于B，令，，所以，所以为偶函数，故B错误； 对于C，令，， 可得，令，可得， 将两式相加得：，所以， 所以，所以， 因此，6是的一个周期，故C正确； 对于D，令，，，所以， 所以， 因为，，因为，令，，所以，令，，所以，令，，所以，令，，所以，由于6是的一个周期，所以，所以，故D正确；故选：ACD 3.解析：对于A，， 由和差化积公式:得： , 其中，故所以即A正确； 对于B，对求导,， 在上，令得令得 所以在和单调递减,在单调递增, 故在区间上的最大值为,且,故B错误； 对于C，当时单调递增,故在上单调递增, 而当时,，且,故正确； 对于D， ，由和差化积公式:得 ，因为，所以，所以，所以，而, 由积化和差得 ,其中, 上述不等式显然成立，故D正确,故选：ACD 4.解析：（方法1.函数模型）由③，构造，且，，易得结果：,于是： . （方法2.赋值分析）： 取，则得,即函数为奇函数； 取，则得,所以函数的周期为； 再取得所以； 又由于函数为奇函数，所以． 5.解析：（1）以简车转轮的中心O为原点，与水面平行的直线为x轴建立平面直角坐标系，    设，，由题意知，，， ∴，，即， 当时，，解得， 结合图像初始位置可知， 又因为，所以， 综上． （2）经过后A距离水面的高度， 由题意知，所以经过后B距离水面的高度， 则盛水筒B与盛水筒A的高度差为， 利用， ， 当，即时，H取最大值， 又因为，所以当或时，H取最大值， 综上，盛水筒B与盛水筒A的高度差的最大值约为，此时或． 学科网（北京）股份有限公司 $$