专题2.3 函数的奇偶性讲义+巩固训练-2026届高三数学一轮复习（新高考专用）

2.3函数的奇偶性 题型1 函数奇偶性的判断 4 考点1 常见函数奇偶性的判断 4 考点2 抽象函数奇偶性的判断 5 题型2 由函数的奇偶性求值 6 题型3 由函数的奇偶性求函数解析式 7 题型4 奇函数+常数模型 8 题型5 由函数的奇偶性与单调性解不等式 8 高考真题演练 9 知识点一 函数的奇偶性定义 奇偶性 偶函数 奇函数 定义 一般地，设函数的定义域为，如果,都有, 若,那么函数就叫作偶函数. 一般地，设函数的定义域为，如果,都有, 若,那么函数就叫作奇函数. 图像特征 函数图象关于轴对称 函数图象关于原点对称 注：(1)函数是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件：定义域关于原点对称. (2)若奇函数在原点处有定义，则必有. (3)若,且,则既是奇函数又是偶函数，既奇又偶的函数有一类，即，，是关于原点对称的实数集. 知识点二 奇函数和偶函数的性质 性质1：奇函数在关于原点对称的区间上的单调性一致，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反. 性质2：如果一个奇函数在处有意义，那么 性质3：如果一个奇函数有最值，那么 性质4：偶函数满足 性质5：定义域关于原点对称的函数可拆分为一个奇函数与一个偶函数之和. 简析：任意一个定义域关于原点对称的函数，都可以表示为,其中为偶函数，为奇函数，即任意一个定义域关于原点对称的函数，总可以表示为一个奇函数与一个偶函数之和. 特别地，任意一个多项式函数总可以表示为，显然中所有偶次项合在一起构成偶函数，所有奇次项合在一起构成奇函数. 性质6：已知函数与定义域的交集不为 ①若函数是奇函数，是奇函数，则是奇函数，是偶函数. ②若函数是偶函数，是偶函数，则是偶函数，是偶函数. ③若函数是奇函数但不是偶函数，是偶函数但不是奇函数，则既不是奇函数也不是偶函数，是奇函数. 知识点三 用定义法判断函数奇偶性的步骤 (1)求函数的定义域. (2)若函数的定义域不关于原点对称，则可判定该函数不具有奇偶性，即该函数既不是奇函数，也不是偶函数；若函数的定义域关于原点对称，则进行下面的步骤. (3)求. (4)根据与之间的关系,判断函数的奇偶性: ①若,则是奇函数; ②若,则是偶函数; ③若,且,则既不是奇函数,也不是偶函数； ④若,且,则既是奇函数,又是偶函数. 实际上，由知,所以,即定义域关于原点对称的常函数既是奇函数，又是偶函数.而定义域关于原点对称的非零常函数是偶函数. 拓展1 抽象函数 抽象函数主要研究赋值求值、证明函数的性质、解不等式等，一般通过代入特殊值求值、通过的变换判定单调性、出现及判定抽象函数的奇偶性、换为确定周期性． (1)判断抽象函数单调性的方法 ①若给出的是“和型”抽象函数，判断符号时要变形为 或； ②若给出的是“积型”抽象函数，判断符号时要变形为或 (2)常见的抽象函数模型 ①正比例函数，对应； ②幂函数，对应或； ③指数函数，对应或； ④对数函数，对应或或； ⑤正弦函数，对应， 来源于； ⑥余弦函数，对应， 来源于 ⑦正切函数，对应， 来源于. 拓展2 常见奇偶的七大模型 奇函数：“两指两对”；偶函数：“一指一对一绝” （1）奇函数： ①函数或函数． ②函数． ③函数或函数． ④函数． 注意：关于①式，可以写成函数或函数． （2）偶函数： ① 函数． ② 函数． ③ 函数类型的一切函数． 题型1 函数奇偶性的判断 考点1 常见函数奇偶性的判断 1．判断下列函数的奇偶性： （1）； （2）； （3）； （4）（且）. 2．下列函数，在定义域内是偶函数的为（ ） A． B． C． D． 3．（2025·上海·三模）下列函数中是奇函数的为（   ） A． B． C． D． 4．(多选)下列函数是偶函数的是（   ） A． B． C． D． 考点2 抽象函数奇偶性的判断 5．(多选)设函数，的定义域都为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（    ） A．是偶函数 B．是偶函数 C．是奇函数 D．是奇函数 6．(多选)已知函数的定义域为，则下列说法正确的是（    ） A．可以表示为一个偶函数与一个奇函数之和 B．若是奇函数，则是偶函数 C．若是偶函数，则是偶函数 D．若是奇函数，则是奇函数 7．(多选)已知函数的定义域为，，则（   ）. A． B． C．是偶函数 D．是奇函数 8．设函数的定义域为R，对任意，有且，则函数是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 9．已知函数的定义域为，且满足：，，，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．为奇函数 题型2 由函数的奇偶性求值 10．若函数是上的偶函数，则实数 ． 11．（2025·吉林·模拟预测）若函数是定义域为的偶函数，则 . 12．（24-25高三上�陕西榆林�阶段练习）已知为奇函数，则（    ） A．1 B．2 C．0 D． 13．（2024·广东佛山·一模）已知是奇函数，则（    ） A． B．0 C． D．4 14．（2025·湖北·模拟预测）已知函数是奇函数，则实数a的值为（    ） A．0 B．1 C． D．2 15．（2025·全国·模拟预测）若函数（）为奇函数，则（   ） A． B．1 C． D．2 16．（2025·辽宁·一模）若，若为偶函数，则（   ） A． B． C．0 D．2 17．（2025·四川泸州·模拟预测）已知函数，对满足恒成立，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 题型3 由函数的奇偶性求函数解析式 18．已知函数满足，当时，，当时， （   ） A． B． C． D． 19．已知是定义在上的偶函数，且当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 20．已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的表达式为（    ） A． B． C． D． 21．已知函数和分别是定义在上的奇函数和偶函数，且. (1)求的值； (2)求和的解析式； 22．（2025·广东广州·三模）已知奇函数和偶函数的定义域均为，且满足，则（    ） A．1 B． C． D． 23．（2025·云南曲靖·模拟预测）函数可以表示成一个奇函数和一个偶函数之和，则的最小值为 ． 题型4 奇函数+常数模型 24．已知函数，且，那么等于（    ） A． B． C．6 D．10 25．已知函数的最大值为M，最小值为m，则 ． 26．若函数在区间上的最大值为M，最小值为m，则 . 27．（24-25高三上�陕西咸阳�开学考试）已知函数在区间的最大值是M，最小值是m，则的值等于 ． 题型5 由函数的奇偶性与单调性解不等式 28．（2025·广西河池·二模）设函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 29．已知函数，则关于的不等式的解集为 . 30．已知函数为上的奇函数，当时，，则的解集为（    ） A． B． C． D． 31．(多选)若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的值可以是（    ） A． B． C．1 D．3 32．定义在上的偶函数满足：对任意的，，，有，且，则不等式的解集为　　 A． B． C． D． 33．（2025·甘肃张掖·模拟预测）已知函数是上的奇函数，且，对于任意的，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 34．（2025·湖北·模拟预测）已知函数，若对，，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（2020·全国II卷·高考真题）设函数,则（    ） A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减 C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减 2．（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的为（   ） A． B． C． D． 3．（2023·全国乙卷·高考真题）已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 4．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）若为偶函数，则（    ）． A． B．0 C． D．1 5．（2021·全国乙卷·高考真题）设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·天津·高考真题）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 7．（2023·天津·高考真题）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（    ）      A． B． C． D． 8．（2025·全国一卷·高考真题）设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 9．（2020·全国II卷·高考真题）设函数，则f(x)（    ） A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减 C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减 10．（2020·山东·高考真题）若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 11．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数的定义域为，，则（    ）． A． B． C．是偶函数 D．为的极小值点 12．（2025·全国二卷·高考真题）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B．当时， C．当且仅当 D．是的极大值点 三、填空题 13．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知函数是偶函数，则 . 14．（2022·全国乙卷·高考真题）若是奇函数，则 ， ． 15．（2018·全国III卷·高考真题）已知函数，，则 ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.3函数的奇偶性 基础巩固 一、单选题 1．已知函数的定义域为.则“”是“为奇函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【答案】B 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、判断命题的必要不充分条件 【分析】根据函数奇偶性的定义及充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【详解】因函数的定义域是，若为奇函数，则， 令，可得，故“”“为奇函数”， 但，函数不一定是奇函数，比如， 故“”“为奇函数”， 因此“”是“为奇函数”的必要不充分条件， 故选：B. 2．已知函数为定义在R上的奇函数，且当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由奇偶性求函数解析式 【分析】根据奇函数的性质进行求解即可. 【详解】当时，则，因为是奇函数， 所以. 故选：D 3．（2025·四川成都·模拟预测）设是定义在上的奇函数，且当时，，则（   ） A．1 B． C．-1 D． 【答案】C 【知识点】函数奇偶性的应用、指数函数的判定与求值 【分析】由函数的奇偶性知，代入相应解析式计算即可. 【详解】因为 是定义在上的奇函数，且当时，， . 故选：C. 4．已知函数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数奇偶性的应用 【分析】根据求解即可. 【详解】由题意， 故，又，则. 故选：C 5．已知函数是定义在上的奇函数，则实数（    ） A．－1 B．0 C． D．1 【答案】C 【知识点】由奇偶性求参数、由正弦（型）函数的奇偶性求参数 【分析】利用奇函数定义求解. 【详解】为奇函数，， ∴，即 ∴，即，解得， 故选：C． 6．已知函数是定义在上的偶函数，则（    ） A．2 B．0 C． D． 【答案】D 【知识点】由奇偶性求函数解析式 【分析】根据偶函数的定义进行求解即可. 【详解】当时，因为是偶函数， 所以有， 要想上式恒成立，只需， 当时，因为是偶函数， 所以有， 要想上式恒成立，只需， 综上所述：， 故选：D 7．已知函数为上的偶函数，且对任意，且，均有成立，若，，，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】比较对数式的大小、函数奇偶性的应用 【分析】根据题意可得的单调性，再结合对称性判断即可. 【详解】因为对任意，且，均有成立，故在上单调递减. 又为上的偶函数，故，，， 且， 即，故， 故. 故选：A 8．若函数，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由函数奇偶性解不等式、根据函数的单调性解不等式 【分析】判断出函数的奇偶性和单调性，再利用其性质解不等式即可. 【详解】的定义域为， 因为，所以是奇函数， 所以不等式可化为， 因为在上均为增函数，所以在上为增函数， 所以，解得. 故选：A. 9．（24-25高三上�河北秦皇岛�开学考试）已知为上的减函数，设函数，则满足不等式的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】奇偶函数对称性的应用、由函数奇偶性解不等式、根据函数的单调性解不等式 【分析】先判断出的奇偶性，再根据函数的单调性即可求解. 【详解】解：由题意知：的定义域为，关于原点对称， 当时，，， 则， 当，， 当时，，， 则， 故为偶函数， 又 为上的减函数， 在上单调递减，在上单调递增， ， ，即，解得：. 故选：B. 10．若函数（m，n为常数）在上有最大值7，则函数在上（    ） A．有最小值 B．有最大值5 C．有最大值6 D．有最小值 【答案】A 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求对数函数的最值、奇偶函数对称性的应用 【分析】先分析函数的奇偶性，然后结合奇偶性和已知条件判断出在上的最小值，由此可知结果. 【详解】设， 因为，所以恒成立，所以的定义域为且关于原点对称， 又 ， 所以是奇函数， 因为在上有最大值，所以在上有最大值为， 所以在上有最小值，所以在上有最小值． 故选：A． 二、多选题 11．下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性、判断一般幂函数的单调性、用导数判断或证明已知函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断 【分析】A选项，根据函数奇偶性得到为偶函数，且在单调递增，A正确；B不满足奇偶性，C不满足单调性；D选项，满足为偶函数，且求导得到函数在上单调递增，得到答案. 【详解】A选项，定义域为， 且，故为偶函数， 且时，单调递增，故A正确； B选项，的定义域为，故不是偶函数，故B项错误； C选项，时，单调递减，故C项错误； D选项，的定义域为R，且， 故是偶函数， 且时，，函数单调递增，故D项正确. 故选：AD 12．已知为定义在上的偶函数，则函数的解析式可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、对数的运算性质的应用 【分析】利用奇函数和偶函数的定义进行判断. 【详解】因为是偶函数，所以，即，所以是奇函数. 对于A，定义域为，所以不满足题意； 对于B，定义域为，，符合题意； 对于C，定义域为，，不符合题意； 对于D，定义域为，，而，符合题意. 故选：BD. 13．定义在上的函数满足，当时，，则函数满足（    ） A． B．为奇函数 C．在上单调递增 D．的解集为 【答案】ABD 【知识点】由函数奇偶性解不等式、根据函数的单调性解不等式、函数奇偶性的定义与判断、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】利用赋值法及奇偶性的定义可判断AB选项；利用函数单调性的定义可判断C选项；结合奇偶性和单调性的性质可判断D选项. 【详解】由题意，定义在上的函数满足， 对于A，令，则，即，故A正确； 对于B，令，则，即， 所以为奇函数，故B正确； 对于C，任取，且， 则， 因为，所以，所以， 即，所以函数在上单调递减，故C错误； 对于D，由，可得， 由C知函数在上单调递减，所以， 解得，所以的解集为，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 14．（2025·甘肃定西·模拟预测）已知幂函数的定义域为，其图象关于原点对称，且在上单调递增，则的值可以是 .（写出一个即可） 【答案】3（答案不唯一） 【知识点】判断五种常见幂函数的奇偶性、由幂函数的单调性求参数、函数奇偶性的定义与判断 【分析】根据幂函数的性质确定出值作答. 【详解】举例，即，其定义域为R， 又，所以为奇函数，其图象关于原点对称， 且在上单调递增，所以满足题意. 故答案为：3.（答案不唯一） 15．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数是奇函数，则 ． 【答案】 【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量、由奇偶性求函数解析式、求指数函数解析式 【分析】根据奇函数的定义结合题意求出当时函数的解析式即可求解. 【详解】当时，，所以，即 则，． 故答案为： 16．已知函数，其中，且，则 ． 【答案】 【知识点】函数奇偶性的应用 【分析】构造偶函数函数，把问题转化为，结合条件即可求解． 【详解】，得 构造函数，定义域为R． 因为． 所以函数是偶函数， 所以，所以，从而， 又，因此. 故答案为：． 四、解答题 17．（2025·上海杨浦·二模）已知函数是定义在上的偶函数. (1)当时，，求时，的表达式； (2)当时，，若实数满足，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】由奇偶性求函数解析式、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式、解不含参数的一元一次不等式 【分析】（1）利用偶函数的性质直接求解即可； （2）先判断函数的单调性，再结合偶函数的性质解一元二次不等式即可. 【详解】（1）因为函数是定义在上的偶函数，即 当时，， 所以， 所以. （2）当时，， 由幂函数和指数函数的单调性可得为递增函数. 又函数为偶函数， 所以， 两边平方后展开可得，即， 解得. 18．已知函数是偶函数．当时，过点． (1)求实数a的值； (2)求函数的解析式； (3)求不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3)或. 【知识点】解分段函数不等式、对数型函数图象过定点问题、由对数函数的单调性解不等式、由奇偶性求函数解析式 【分析】（1）待定系数法求得a的值. （2）由偶函数的性质求得函数在对称区间上的解析式. （3） 方法1：求解分段函数不等式.方法2：依据偶函数的性质和单调性解不等式. 【详解】（1）因为当时，过点，所以，解得. （2）设，则， ∵时， ∴， 又∵为偶函数， ∴. 综上所述，. （3）方法1:∵， ∴或，解得：或. 故不等式解集为：或. 方法2：∵为偶函数，∴， 又∵，， ∴ 又∵当时，， ∴在上单调递减， ∴，解得：或. 故不等式解集为：或. 19．函数和具有如下性质：①定义域均为R；②为奇函数，为偶函数；③（常数是自然对数的底数）. (1)求函数和的解析式； (2)对任意实数，是否为定值，若是请求出该定值，若不是请说明理由； (3)若不等式对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2)为定值1 (3) 【知识点】函数的和与积、函数不等式恒成立问题、由奇偶性求函数解析式 【分析】（1）根据函数的奇偶性列方程组求解即可； （2）根据（1）中解析式代入求解即可； （3）将不等式转化为对恒成立，再令，结合函数的单调性求解的最小值即可. 【详解】（1）由性质③知，则， 由性质②知，，故. 则， 解得，； （2）由（1）可得 ； （3）因为，所以， 而，, 令，易知在上单调递增，所以， 记，则， 因为当时，且， 故由对勾函数性质可得在上单调递减， 所以，因此，故的取值范围是. 能力提升 20．（2025·海南海口·模拟预测）已知函数是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且.若对任意，都有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由奇偶性求函数解析式、根据函数的单调性求参数值 【分析】先根据函数奇偶性求的解析式，再由转化为，设，由在上单调递增求参数的取值范围. 【详解】由题意，， 因为，所以，即有， 两式相加可得，. 因为，，所以， 设，所以在上单调递增， 所以或或，解得或或， 所以， 故选：C. 21．（2024�重庆�模拟预测）已知函数的定义域是，对任意的，，，都有，若函数的图象关于点成中心对称，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数对称性的应用、由函数奇偶性解不等式、根据函数的单调性解不等式 【分析】由题意，构造函数，判断函数的奇偶性和单调性，结合函数的奇偶性和单调性解不等式即可. 【详解】由函数图象关于点中心对称，知函数图象关于点中心对称， 所以为奇函数. 令，则，所以为偶函数， 对于，有，所以在上单调递增， 所以在上单调递减. 由，得，， 当时，变形为，即，解得； 当时，变形为，即，解得， 综上，不等式的解集为. 故选：B 【点睛】关键点点睛：构造函数，利用函数的奇偶性和单调性解不等式是解决本题的关键. 22．(多选)（2024�湖北�二模）已知函数，则下列判断正确的是（   ） A．若，且，则 B．若，且，则 C．是偶函数 D．在区间上单调递增 【答案】AD 【知识点】已知函数值求自变量或参数、函数奇偶性的定义与判断、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】分别将和代入计算可得A正确，B错误；显然当时，不是偶函数，即C错误；求导利用导函数可得在上恒成立，即D正确. 【详解】对于A，时，， 所以，所以，A正确； 对于B，时，， 可得，解得且，即B错误； 对于C，当，，故C错误； 对于D，易知， 当时，， 所以在区间上单调递增，即D正确； 故选：AD 23．（2025·江苏盐城·三模）已知函数（，且）． (1)讨论的奇偶性； (2)若，不等式恒成立，求t的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、由对数函数的单调性解不等式、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】（1）利用函数奇偶性定义，分类讨论即可； （2）确定函数的单调性，结合奇函数的性质求解不等式即可. 【详解】（1）函数（，且）的定义域为R，且 当时，，即恒成立， 所以，即，此时，定义域为R，， 所以是R上的奇函数； 当时，，即恒成立，所以，即，此时，定义域为R，， 所以是R上的偶函数； 当且时，，此时既不是奇函数也不是偶函数； 综上，当时，是R上的偶函数；当时，是R上的奇函数； 当且时，既不是奇函数也不是偶函数； （2）函数中，由，得，而， 所以，则，由（1）知是R上的奇函数； 因为函数都是R上的增函数，则是R上的增函数， 不等式， 因此，即，则， 解，得或； 解，即，得.于是， 所以t的取值范围是. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.3函数的奇偶性 基础巩固 一、单选题 1．已知函数的定义域为.则“”是“为奇函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 2．已知函数为定义在R上的奇函数，且当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 3．（2025·四川成都·模拟预测）设是定义在上的奇函数，且当时，，则（   ） A．1 B． C．-1 D． 4．已知函数，且，则（    ） A． B． C． D． 5．已知函数是定义在上的奇函数，则实数（    ） A．－1 B．0 C． D．1 6．已知函数是定义在上的偶函数，则（    ） A．2 B．0 C． D． 7．已知函数为上的偶函数，且对任意，且，均有成立，若，，，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 8．若函数，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 9．已知为上的减函数，设函数，则满足不等式的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．若函数（m，n为常数）在上有最大值7，则函数在上（    ） A．有最小值 B．有最大值5 C．有最大值6 D．有最小值 二、多选题 11．下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 12．已知为定义在上的偶函数，则函数的解析式可以为（    ） A． B． C． D． 13．定义在上的函数满足，当时，，则函数满足（    ） A． B．为奇函数 C．在上单调递增 D．的解集为 三、填空题 14．（2025·甘肃定西·模拟预测）已知幂函数的定义域为，其图象关于原点对称，且在上单调递增，则的值可以是 .（写出一个即可） 15．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数是奇函数，则 ． 16．已知函数，其中，且，则 ． 四、解答题 17．（2025·上海杨浦·二模）已知函数是定义在上的偶函数. (1)当时，，求时，的表达式； (2)当时，，若实数满足，求的取值范围. 18．已知函数是偶函数．当时，过点． (1)求实数a的值； (2)求函数的解析式； (3)求不等式的解集． 19．函数和具有如下性质：①定义域均为R；②为奇函数，为偶函数；③（常数是自然对数的底数）. (1)求函数和的解析式； (2)对任意实数，是否为定值，若是请求出该定值，若不是请说明理由； (3)若不等式对恒成立，求实数的取值范围. 五、能力提升 20．（2025·海南海口·模拟预测）已知函数是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且.若对任意，都有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 21．（2024�重庆�模拟预测）已知函数的定义域是，对任意的，，，都有，若函数的图象关于点成中心对称，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 22．(多选)（2024�湖北�二模）已知函数，则下列判断正确的是（   ） A．若，且，则 B．若，且，则 C．是偶函数 D．在区间上单调递增 23．（2025·江苏盐城·三模）已知函数（，且）． (1)讨论的奇偶性； (2)若，不等式恒成立，求t的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.3函数的奇偶性 题型1 函数奇偶性的判断 4 考点1 常见函数奇偶性的判断 4 考点2 抽象函数奇偶性的判断 8 题型2 由函数的奇偶性求值 11 题型3 由函数的奇偶性求函数解析式 15 题型4 奇函数+常数模型 18 题型5 由函数的奇偶性与单调性解不等式 20 高考真题演练 25 知识点一 函数的奇偶性定义 奇偶性 偶函数 奇函数 定义 一般地，设函数的定义域为，如果,都有, 若,那么函数就叫作偶函数. 一般地，设函数的定义域为，如果,都有, 若,那么函数就叫作奇函数. 图像特征 函数图象关于轴对称 函数图象关于原点对称 注：(1)函数是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件：定义域关于原点对称. (2)若奇函数在原点处有定义，则必有. (3)若,且,则既是奇函数又是偶函数，既奇又偶的函数有一类，即，，是关于原点对称的实数集. 知识点二 奇函数和偶函数的性质 性质1：奇函数在关于原点对称的区间上的单调性一致，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反. 性质2：如果一个奇函数在处有意义，那么 性质3：如果一个奇函数有最值，那么 性质4：偶函数满足 性质5：定义域关于原点对称的函数可拆分为一个奇函数与一个偶函数之和. 简析：任意一个定义域关于原点对称的函数，都可以表示为,其中为偶函数，为奇函数，即任意一个定义域关于原点对称的函数，总可以表示为一个奇函数与一个偶函数之和. 特别地，任意一个多项式函数总可以表示为，显然中所有偶次项合在一起构成偶函数，所有奇次项合在一起构成奇函数. 性质6：已知函数与定义域的交集不为 ①若函数是奇函数，是奇函数，则是奇函数，是偶函数. ②若函数是偶函数，是偶函数，则是偶函数，是偶函数. ③若函数是奇函数但不是偶函数，是偶函数但不是奇函数，则既不是奇函数也不是偶函数，是奇函数. 知识点三 用定义法判断函数奇偶性的步骤 (1)求函数的定义域. (2)若函数的定义域不关于原点对称，则可判定该函数不具有奇偶性，即该函数既不是奇函数，也不是偶函数；若函数的定义域关于原点对称，则进行下面的步骤. (3)求. (4)根据与之间的关系,判断函数的奇偶性: ①若,则是奇函数; ②若,则是偶函数; ③若,且,则既不是奇函数,也不是偶函数； ④若,且,则既是奇函数,又是偶函数. 实际上，由知,所以,即定义域关于原点对称的常函数既是奇函数，又是偶函数.而定义域关于原点对称的非零常函数是偶函数. 拓展1 抽象函数 抽象函数主要研究赋值求值、证明函数的性质、解不等式等，一般通过代入特殊值求值、通过的变换判定单调性、出现及判定抽象函数的奇偶性、换为确定周期性． (1)判断抽象函数单调性的方法 ①若给出的是“和型”抽象函数，判断符号时要变形为 或； ②若给出的是“积型”抽象函数，判断符号时要变形为或 (2)常见的抽象函数模型 ①正比例函数，对应； ②幂函数，对应或； ③指数函数，对应或； ④对数函数，对应或或； ⑤正弦函数，对应， 来源于； ⑥余弦函数，对应， 来源于 ⑦正切函数，对应， 来源于. 拓展2 常见奇偶的七大模型 奇函数：“两指两对”；偶函数：“一指一对一绝” （1）奇函数： ①函数或函数． ②函数． ③函数或函数． ④函数． 注意：关于①式，可以写成函数或函数． （2）偶函数： ① 函数． ② 函数． ③ 函数类型的一切函数． 题型1 函数奇偶性的判断 考点1 常见函数奇偶性的判断 1．判断下列函数的奇偶性： （1）； （2）； （3）； （4）（且）. 【答案】（1）非奇非偶函数；（2）奇函数；（3）偶函数；（4）奇函数 【知识点】函数奇偶性的定义与判断 【分析】（1）求出函数的定义域，根据定义域不关于原点对称，可得出函数的奇偶性； （2）解法一：分和两种情况验证与之间的关系，得出函数 的奇偶性； 解法二：作出函数的图象，根据图象得出函数的奇偶性； （3）求出函数的定义域，再验证与之间的关系，可得出函数的奇偶性； （4）求出函数的定义域，利用对数的运算性质得出，从而得出函数的奇偶性. 【详解】（1）有意义，则，即，解得， 所以，函数的定义域为，不关于原点对称， 因此，函数是非奇非偶函数； （2）解法一：定义法 当时，， ，； 当时，， ，. 所以，函数为奇函数； 解法二：图象法 作出函数的图象，由奇函数的图象关于原点对称的特征知函数为奇函数； （3）由题意可得，所以且， 所以，函数的定义域为，关于原点对称， 又，所以，函数为偶函数； （4）函数的定义域为， 且                                  ， ，因此，函数为奇函数. 【点睛】本题考查函数奇偶性的判断，一般而言，函数奇偶性的判断方法有如下几种： （1）定义法； （2）图象法：作出函数的图象，利用图象的对称性得出函数的奇偶性； （3）性质法：利用奇函数与偶函数的基本性质来判断：奇函数奇函数奇函数；偶函数偶函数偶函数；奇函数奇函数偶函数；奇函数偶函数奇函数；偶函数偶函数偶函数. 2．下列函数，在定义域内是偶函数的为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求含sinx的函数的奇偶性 【分析】根据函数奇偶性的定义逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于A：由，即，则的定义域为，定义域不关于原点对称， 故为非奇非偶函数，A不符合题意； 对于B：的定义域为，由， 可知为偶函数，B符合题意； 对于C：的定义域为， 由，可知为奇函数， C不符合题意； 对于D：的定义域为，由， 可知为奇函数，D不符合题意. 故选：B. 3．（2025·上海·三模）下列函数中是奇函数的为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、对数的运算、求正弦（型）函数的奇偶性、求余弦（型）函数的奇偶性 【分析】利用奇函数的定义，逐项判断即可. 【详解】对于A，，即取时的函数值不互为相反数，A不是； 对于B，，即取时的函数值不互为相反数，B不是； 对于C，是偶函数，且，即不恒为0，C不是； 对于D，函数的定义域为，而， 函数是奇函数，D是. 故选：D 4．(多选)下列函数是偶函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、对数的运算 【详解】在A中，的定义域关于原点对称，且，则是偶函数；在B中，的定义域关于原点对称，且，则是偶函数；在C中，的定义域关于原点对称，且，则是奇函数；在D中，的定义域关于原点对称，，则，则是奇函数． 考点2 抽象函数奇偶性的判断 5．(多选)设函数，的定义域都为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（    ） A．是偶函数 B．是偶函数 C．是奇函数 D．是奇函数 【答案】BC 【知识点】函数奇偶性的定义与判断 【分析】根据奇偶性定义判断． 【详解】由题意，为奇函数，A错； ，B正确； ，C正确； ，D错误． 故选：BC． 6．(多选)已知函数的定义域为，则下列说法正确的是（    ） A．可以表示为一个偶函数与一个奇函数之和 B．若是奇函数，则是偶函数 C．若是偶函数，则是偶函数 D．若是奇函数，则是奇函数 【答案】ABD 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、抽象函数的奇偶性 【分析】根据给定条件，利用函数奇偶性定义逐项分析判断. 【详解】对于A，，令， 则，即是偶函数，是奇函数， 而，因此可以表示为一个偶函数与一个奇函数之和，A正确； 对于B，是奇函数，则，，是偶函数，B正确； 对于C，是偶函数，则，，是奇函数，C错误； 对于D，是奇函数，则，，是奇函数，D正确. 故选：ABD 7．(多选)已知函数的定义域为，，则（   ）. A． B． C．是偶函数 D．是奇函数 【答案】ABC 【知识点】求函数值、函数奇偶性的定义与判断 【分析】应用赋值法判断A,B,应用赋值法结合奇偶性定义判断C,D. 【详解】令，可得，A选项正确； 令，可得,所以，B选项正确； 令，可得,，所以, 函数的定义域为，令，可得，所以是偶函数，C选项正确； 不一定恒为0，所以不是奇函数，D选项错误. 故选：ABC. 8．设函数的定义域为R，对任意，有且，则函数是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 【答案】B 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、抽象函数的奇偶性 【分析】根据抽象函数的关系，利用赋值法结合函数奇偶性的定义进行判断即可. 【详解】对任意，有 令，得 ， 令，得，即 令，得，即函数为偶函数. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题考查抽象函数的应用，根据函数奇偶性的定义集合抽象函数的关系，利用赋值法是解题的关键，属于一般题. 9．已知函数的定义域为，且满足：，，，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．为奇函数 【答案】C 【知识点】求函数值、抽象函数的奇偶性 【分析】利用赋值法令，求得，判断A; 令，可求得，继而求出，判断B; 令,可推得，判断C；举特例说明，可判断D. 【详解】令，则，即有， 则，A错误； 令，则， 令，则，即， 则，B错误； 令，则，即， 故，为偶函数,C正确； 令，则，即， 由于，故不是奇函数，D错误， 故选：C. 题型2 由函数的奇偶性求值 10．若函数是上的偶函数，则实数 ． 【答案】 【知识点】求指数函数解析式、由奇偶性求参数 【分析】利用函数奇偶性的定义可得出关于实数的等式，解之即可. 【详解】设，则该函数为上的偶函数， 则对任意的，，即， 整理可得， 所以，，解得. 故答案为：. 11．（2025·吉林·模拟预测）若函数是定义域为的偶函数，则 . 【答案】 【知识点】由奇偶性求参数 【分析】整理可得，根据偶函数性质列式求解即可得结果. 【详解】因为， 可知均为偶函数，为奇函数， 若函数是定义域为的偶函数， 则，可得，所以. 故答案为：. 12．（24-25高三上�陕西榆林�阶段练习）已知为奇函数，则（    ） A．1 B．2 C．0 D． 【答案】A 【知识点】由奇偶性求参数 【分析】利用奇函数的性质建立方程，求解参数，再求值即可. 【详解】∵为奇函数， ∴， ∴，即，解得， 经检验符合题意，所以. 故选：A. 13．（2024·广东佛山·一模）已知是奇函数，则（    ） A． B．0 C． D．4 【答案】A 【知识点】由奇偶性求函数解析式、对数的运算性质的应用、由奇偶性求参数 【分析】利用奇函数的定义计算出函数在时的解析式，可得出、的值，由此可计算出的值. 【详解】因为是奇函数， 设，则，所以， 即， 所以，即，则. 故选：A. 14．（2025·湖北·模拟预测）已知函数是奇函数，则实数a的值为（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【知识点】由奇偶性求参数 【分析】根据奇函数的定义及对数运算即可求解． 【详解】函数的定义域为， 因为是奇函数， 所以恒成立， 所以， 故选：A． 15．（2025·全国·模拟预测）若函数（）为奇函数，则（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【知识点】求对数型复合函数的定义域、由奇偶性求参数 【分析】根据奇函数的定义域关于原点对称可得，然后由可得即可， 【详解】由奇函数性质可得，（）的定义域关于原点对称，由，即且， 故，解得. 又，故， 此时，满足，函数为奇函数， 故， 故选：A. 16．（2025·辽宁·一模）若，若为偶函数，则（   ） A． B． C．0 D．2 【答案】A 【知识点】指数幂的化简、求值、由奇偶性求参数 【分析】先令解得的值，再利用定义检验为偶函数. 【详解】， ， 若为偶函数，则， 左右两边同时乘以得，，即， 得，解得； 检验：当时，， ，则，故为偶函数. 故选：A 17．（2025·四川泸州·模拟预测）已知函数，对满足恒成立，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【知识点】对数的运算、对数的运算性质的应用、诱导公式二、三、四、由奇偶性求参数 【分析】根据，列式化简求出的值. 【详解】因为，， 所以， 即， 即， 即， 即， 即， 即， 即， 所以， 故选：A. 题型3 由函数的奇偶性求函数解析式 18．已知函数满足，当时，，当时， （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由奇偶性求函数解析式 【分析】先设时，代入再结合函数是奇函数得出函数的解析式即可. 【详解】当时，， 又． 故选:C． 19．已知是定义在上的偶函数，且当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由奇偶性求函数解析式 【分析】因为时，，所以利用即可求解. 【详解】设，则，则. 故选:C. 20．已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断两个函数是否相等、由奇偶性求函数解析式、函数奇偶性的应用 【分析】利用函数奇偶性求对称区域解析式，再利用绝对值的意义，把分段函数又写成含绝对值的函数即可. 【详解】当时，，即有， 再由是定义在上的奇函数，所以， 即有， 所以当时，， 当时，， 综上可得：， 故选：C. 21．已知函数和分别是定义在上的奇函数和偶函数，且. (1)求的值； (2)求和的解析式； 【答案】(1) (2) 【知识点】求函数值、根据函数的最值求参数、由奇偶性求函数解析式 【分析】（1）根据题意结合奇函数定义分析求解即可； （2）根据（1）可得，，列方程求解即可； 【详解】（1）因为函数和分别是定义在上的奇函数和偶函数， 则. 又因为，则，即. （2）因为， 可得，即， 联立方程，解得. 22．（2025·广东广州·三模）已知奇函数和偶函数的定义域均为，且满足，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【知识点】由奇偶性求函数解析式、函数奇偶性的应用、指数幂的化简、求值 【分析】由题可得，根据函数和的奇偶性，可求得，，代入化简即可求解. 【详解】∵，∴. ∵是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数， ∴，，∴， ∴，. ∴. 故选：D. 23．（2025·云南曲靖·模拟预测）函数可以表示成一个奇函数和一个偶函数之和，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】由奇偶性求函数解析式、基本不等式求和的最小值、复合函数的最值 【分析】首先根据已知条件列出相关等式求出的表达式，然后根据基本不等式的性质和对数运算即可求得最小值. 【详解】由题意，① 则，② 所以两式相加得：， 则， 又，当且仅当时取等号， 所以． 故答案为：. 题型4 奇函数+常数模型 24．已知函数，且，那么等于（    ） A． B． C．6 D．10 【答案】C 【知识点】求函数值、函数奇偶性的应用 【分析】令，由可得答案. 【详解】， 令， 则， 即，可得， 即. 故选：C． 25．已知函数的最大值为M，最小值为m，则 ． 【答案】 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、对数的运算、奇偶函数对称性的应用 【分析】首先构造函数，并证明是奇函数，并根据奇函数的性质，即可求解. 【详解】设，则的定义域为， 则， ∴，是奇函数，因此. 又，， ∴，． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造函数，并判断函数的奇偶性的性质，从而可以求解. 26．若函数在区间上的最大值为M，最小值为m，则 . 【答案】4 【知识点】函数奇偶性的应用 【分析】将函数解析式化为，构造奇函数，由函数的性质可得，进而得函数的最值. 【详解】因为，令，，则， 又因为，所以函数为奇函数， 因为奇函数的图象关于原点对称，所以函数区间上的最大值和最小值之和为0， 即，所以. 故答案为：4. 27．（24-25高三上�陕西咸阳�开学考试）已知函数在区间的最大值是M，最小值是m，则的值等于 ． 【答案】 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数奇偶性的应用、求含cosx的函数的奇偶性 【分析】可设，判断出是奇函数，从而得出的最大值和最小值的和为0，即可求出的值，然后求解． 【详解】函数， 设，，，则是奇函数， 的最大值和最小值互为相反数，且的最大值为，最小值为， ． ． 故答案为： 题型5 由函数的奇偶性与单调性解不等式 28．（2025·广西河池·二模）设函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】根据偶函数可将不等式转化为，再结合函数在上单调递增的性质得到关于的绝对值不等式，最后求解绝对值不等式得出的取值范围. 【详解】由于是偶函数，根据偶函数的定义，. 因此，不等式可以转化为. 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，解得或. 故选：C. 29．已知函数，则关于的不等式的解集为 . 【答案】,或 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】判断出函数的奇偶性，利用导数判断出单调性，利用奇偶性、单调性可得答案. 【详解】，， 所以为奇函数， ， 当且仅当等号成立， 所以在上单调递减， 由得， 可得，解得，或， 所以不等式的解集为,或. 故答案为：,或. 30．已知函数为上的奇函数，当时，，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由奇偶性求函数解析式、根据函数的单调性解不等式、由指数函数的单调性解不等式 【分析】先由奇偶性求出的解析式，再由指数函数单调性求解不等式得解. 【详解】函数为上的奇函数，当时，， 则当时，，有，显然， 不等式转化或，解得或， 所以不等式的解集为. 故选：C 31．(多选)若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的值可以是（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】ACD 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式、奇偶函数对称性的应用 【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果． 【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且， 所以在上也是单调递减，且，， 所以当时，，当时，， 所以由可得： 或或 解得或， 所以满足的的取值范围是， 故选：ACD 32．定义在上的偶函数满足：对任意的，，，有，且，则不等式的解集为　　 A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据函数的单调性求参数值、函数奇偶性的应用 【分析】根据对任意的，，，有，判断函数的单调性，结合函数的奇偶性和单调性之间的性质，将不等式转化为不等式组，数形结合求解即可． 【详解】 因为对任意的，，当， 有 ,所以, 当函数为减函数， 又因为是偶函数，所以当时，为增函数， ，， 作出函数的图象如图： 等价为或， 由图可知，或， 即不等式的解集为，故选A． 【点睛】本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用，属于难题.将奇偶性与单调性综合考查一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解. 33．（2025·甘肃张掖·模拟预测）已知函数是上的奇函数，且，对于任意的，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】根据给定条件，构造函数，探讨的奇偶性及单调性，再求解不等式. 【详解】设，由函数是上的奇函数，得的定义域为， 且，函数也是上的奇函数， 对于任意的，都有， 得，即， 函数在上单调递增，又为奇函数，因此在上单调递增， 由，得， 由不等式，则，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A 34．（2025·湖北·模拟预测）已知函数，若对，，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究不等式恒成立问题、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】利用定义法证明为奇函数，根据导数和基本不等式的应用证明在上单调递增，由函数的奇偶性和单调性解不等式并分离参数可得，结合导数求出即可. 【详解】因为，，所以为奇函数. 又， 当且仅当即时等号成立，所以在上单调递增. 由，所以，所以. 对任意，由，得，所以只需即可. 令，则， 令， 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以，所以. 故选：D. 一、单选题 1．（2020·全国II卷·高考真题）设函数,则（    ） A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减 C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减 【答案】A 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】根据函数的解析式可知函数的定义域为，利用定义可得出函数为奇函数， 再根据函数的单调性法则，即可解出． 【详解】因为函数定义域为，其关于原点对称，而， 所以函数为奇函数． 又因为函数在上单调递增，在上单调递增， 而在上单调递减，在上单调递减， 所以函数在上单调递增，在上单调递增． 故选：A． 【点睛】本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题． 2．（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求含cosx的函数的奇偶性 【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可. 【详解】对A，设，函数定义域为，但，，则，故A错误； 对B，设，函数定义域为， 且，则为偶函数，故B正确； 对C，设，， ，则不是偶函数，故C错误； 对D，设，函数定义域为， 因为，且不恒为0， 则不是偶函数，故D错误. 故选：B. 3．（2023·全国乙卷·高考真题）已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【知识点】指数幂的化简、求值、由奇偶性求参数 【分析】根据偶函数的定义运算求解. 【详解】因为为偶函数，则， 又因为不恒为0，可得，即， 则，即，解得. 故选：D. 4．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）若为偶函数，则（    ）． A． B．0 C． D．1 【答案】B 【知识点】由奇偶性求参数、函数奇偶性的应用 【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出值，再检验即可. 【详解】因为 为偶函数，则 ，解得， 当时，，，解得或， 则其定义域为或，关于原点对称. ， 故此时为偶函数. 故选：B. 5．（2021·全国乙卷·高考真题）设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数奇偶性的定义与判断 【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可. 【详解】由题意可得， 对于A，不是奇函数； 对于B，是奇函数； 对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数； 对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数. 故选：B 【点睛】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题. 6．（2025·天津·高考真题）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据函数图象选择解析式、奇偶函数对称性的应用、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】先由函数奇偶性排除AB，再由时函数值正负情况可得解. 【详解】由图可知函数为偶函数，而函数和函数为奇函数，故排除选项AB； 又当时，此时， 由图可知当时，，故C不符合，D符合. 故选：D 7．（2023·天津·高考真题）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据函数图象选择解析式、函数奇偶性的定义与判断、判断指数型函数的图象形状、识别三角函数的图象（含正、余弦，正切） 【分析】由图知函数为偶函数，应用排除，先判断B中函数的奇偶性，再判断A、C中函数在上的函数符号排除选项，即得答案. 【详解】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且， 由且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除； 当时、，即A、C中上函数值为正，排除； 故选：D 8．（2025·全国一卷·高考真题）设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由函数的周期性求函数值、函数奇偶性的应用 【分析】根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为的范围中求解. 【详解】由题知对一切成立， 于是. 故选：A 9．（2020·全国II卷·高考真题）设函数，则f(x)（    ） A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减 C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减 【答案】D 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、对数型复合函数的单调性 【分析】根据奇偶性的定义可判断出为奇函数，排除AC；当时，利用函数单调性的性质可判断出单调递增，排除B；当时，利用复合函数单调性可判断出单调递减，从而得到结果. 【详解】由得定义域为，关于坐标原点对称， 又， 为定义域上的奇函数，可排除AC； 当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，排除B； 当时，， 在上单调递减，在定义域内单调递增， 根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确. 故选：D. 【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据与的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论. 10．（2020·山东·高考真题）若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数奇偶性的应用、根据函数的单调性解不等式 【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果. 【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且， 所以在上也是单调递减，且，， 所以当时，，当时，， 所以由可得： 或或 解得或， 所以满足的的取值范围是， 故选：D. 【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题. 二、多选题 11．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数的定义域为，，则（    ）． A． B． C．是偶函数 D．为的极小值点 【答案】ABC 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数极值点的辨析 【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇偶性的判断方法可判断选项ABC，举反例即可排除选项D. 方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D，可构造特殊函数进行判断即可. 【详解】方法一： 因为， 对于A，令，，故正确. 对于B，令，，则，故B正确. 对于C，令，，则， 令， 又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确， 对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误. 方法二： 因为， 对于A，令，，故正确. 对于B，令，，则，故B正确. 对于C，令，，则， 令， 又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确， 对于D，当时，对两边同时除以，得到， 故可以设，则， 当肘，，则， 令，得；令，得； 故在上单调递减，在上单调递增， 因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，    显然，此时是的极大值点，故D错误. 故选：. 12．（2025·全国二卷·高考真题）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B．当时， C．当且仅当 D．是的极大值点 【答案】ABD 【知识点】由奇偶性求函数解析式、求已知函数的极值点、函数奇偶性的应用 【分析】对A，根据奇函数特点即可判断；对B，利用代入求解即可；对C，举反例即可；对D，直接求导，根据极大值点判定方法即可判断. 【详解】对A，因为定义在上奇函数，则，故A正确； 对B，当时，，则，故B正确； 对C，， 故C错误； 对D，当时，，则， 令，解得或（舍去）， 当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 则是极大值点，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题 13．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知函数是偶函数，则 . 【答案】1 【知识点】由奇偶性求参数 【分析】利用偶函数的定义可求参数的值. 【详解】因为，故， 因为为偶函数，故， 时，整理得到， 故， 故答案为：1 14．（2022·全国乙卷·高考真题）若是奇函数，则 ， ． 【答案】 ； ． 【知识点】对数的运算性质的应用、由奇偶性求参数 【分析】根据奇函数的定义即可求出． 【详解】[方法一]：奇函数定义域的对称性 若，则的定义域为，不关于原点对称 若奇函数的有意义，则且 且， 函数为奇函数，定义域关于原点对称， ，解得， 由得，， ， 故答案为：；． [方法二]：函数的奇偶性求参 函数为奇函数 [方法三]： 因为函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称． 由可得，，所以，解得：，即函数的定义域为，再由可得，．即，在定义域内满足，符合题意． 故答案为：；． 15．（2018·全国III卷·高考真题）已知函数，，则 ． 【答案】 【知识点】函数奇偶性的应用 【分析】发现，计算可得结果. 【详解】因为， ，且，则. 故答案为-2 【点睛】本题主要考查函数的性质，由函数解析式，计算发现是关键，属于中档题. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$