专题5.2 平面向量基本定理及坐标表示讲义+巩固训练-2026届高三数学一轮复习（新高考专用）

专题5.2　平面向量基本定理及坐标表示 基础巩固 一、单选题 1．（2025·天津河北·模拟预测）如图，在中，D是边AB上一点，且，点E是CD的中点．设，，则可以表示为（    ） A． B． C． D． 2．（2024高三�北京�专题练习）已知向量 在正方形网格中的位置如图所示，用基底表示，则（   ） A． B． C． D． 3．已知，若，则等于（　　） A． B． C． D． 4．已知，若，则点的坐标为（    ） A．(－2，3) B．(2，－3) C．(－2，1) D．(2，－1) 5．如图，在中，，以为直径的半圆上有一点M，，则（    ） A． B． C． D． 6．如图，正方形中，，分别是，的中点，若，则（    ） A．2 B． C． D． 7．（2025·广东茂名·模拟预测）在平行四边形中，点E、F分别是边的中点，分别与交于R、T两点，，（   ） A． B． C． D． 8．（2025·甘肃白银·模拟预测）在△ABC中，点D在BC上，，，，，且存在实数λ，使得，则的最小值是（    ） A． B． C． D．8 二、多选题 9．如图所示，四边形为等腰梯形，，，，分别为，的中点，若，则（    ）    A． B． C． D． 10．已知中，点满足，点在内（含边界），其中，则（   ） A．若，，则 B．若两点重合，则 C．若存在，使得能成立 D．存在，使得能成立 11．如图所示，点A、B、C是圆O上的三点，线段与线段交于圆内一点P，若，则（    ） A．当P为线段中点时， B．当P为线段中点时， C．无论取何值，恒有 D．存在 三、填空题 12．如图所示，在四边形ABCD中，已知A(2，6)，B(6，4)，C(5，0)，D(1，0)，则直线AC与BD交点P的坐标为 ． 13．已知在平面直角坐标系中，点，当P是线段靠近的一个四等分点时，点P的坐标为 ． 14．已知向量＝(3，－4)，＝(0，－3)，＝(5－m，－3－m)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m满足的条件是 ． 四、解答题 15．设，是两个不共线的向量，已知，，. （1）求证：A，B，D三点共线； （2）若，且B，D，F三点共线，求k的值. 16．平面内给定三个向量，，. (1)若，求实数； (2)若满足，且，求的坐标. 17．如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)求点B，C的坐标； (2)判断四边形的形状，并求出其周长． 18．如图所示，已知矩形ABCD中，，AC与MN相交于点E． (1)若，求和的值； (2)用向量表示． 19．在锐角中，已知内角、、所对的边分别为、、，向量，且向量，共线． （1）求角的大小； （2）如果，求的面积的最大值． 能力提升 一、单选题 1．向量的广义坐标是用于描述向量或系统状态的一组数值，其选择取决于问题的特定背景和需求．在物理学、工程学、计算机图形学等领域，广义坐标被广泛应用．比如，物理学中的振动系统可能采用角度作为广义坐标，而工程学中的结构分析可能使用特定坐标系来简化问题．通过选择适当的广义坐标，可以更自然地描述问题，简化数学表达，提高问题的可解性，并使模型更符合实际场景．已知向量，是平面内的一组基向量，O为内的定点．对于内任意一点P，若，则称有序实数对为点P的广义坐标．若点A，B的广义坐标分别为，，关于下列命题正确的（    ） A．点关于点O的对称点不一定为 B．A，B两点间的距离为 C．若向量平行于向量，则的值不一定为0 D．若线段的中点为C，则点C的广义坐标为 二、多选题 2．如图， 在中，为的中点， ，与交于点，若 ，则下面对于的描述正确的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，是的中点，是上的一点，且，若，其中，，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 4．如图在平面四边形中，，点在线段上满足，若，则 ． 5．在矩形中，，动点在以点为圆心且与相切的圆上．若，则的最大值为 ．      6．已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量．如图所示，顶角的等腰三角形PQR的顶点P、Q的坐标分别为、，则顶点R的坐标为 ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.2　平面向量基本定理及坐标表示 题型1 平面向量基本定理的应用 5 考点1 用基底表示向量 5 考点2 利用平面向量基本定理求相关参数的值 10 题型2 平面向量的坐标运算 14 题型3 向量共线的坐标表示 21 考点1 利用向量共线求参数 21 考点2 利用向量共线求点的坐标 23 高考真题演练 24 知识点一 平面向量基本定理 1．平面向量基本定理 如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，，使 若，不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 2．定理的功能 由平面向量基本定理可知，若不共线，则由的所有线性组合构成的集合就是平面内的全体向量，其中叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.这个定理体现了转化与化归的数学思想方法，在用向量解决几何问题时，我们可以适当地选择基底，将问题涉及的向量向基底转化，使问题得以解决. 3．平面向量基本定理的拓展 由平面向量基本定理，我们得到：个不共线的向量与个实数所组成的向量叫做向量的线性组合，当向量是向量的线性组合，即时，我们称向量可以分解成向量的线性组合，其中是关于向量的一个基底. 知识点二 平面向量的正交分解及坐标表示 1．正交分解 不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形.把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解. 由平面向量基本定理知，对于平面内的任一向量，均可以分解为不共线的两个向量和，使当与垂直时，就分解成为两个互相垂直的向量，叫做把正交分解.如图，重力沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解. 2．向量的坐标表示 如图，在平面直角坐标系中，设与轴、轴方向相同的两个单位向量分别为，，取作为基底.对于平面内的任意一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数，，使得.这样，平面内的任一向量都可由，唯一确定，我们把有序数对叫做向量的坐标，记作①.其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，①叫做向量的坐标表示. 显然，，，. 3．点的坐标与向量的坐标的关系 如图，在平面直角坐标系中，由于相等向量的存在，平面内所有与相等的向量，都可以用以原点为起点的向量来表示，其中，，则，因此点的位置被向量唯一确定，此时即点的坐标；反过来，终点的坐标也就是向量的坐标.因此，在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序数对唯一表示. 知识点三 平面向量线性运算的坐标表示 1．两个向量和(差)的坐标表示 由于向量，等价于，， 所以，即 同理可得 2．任一向量的坐标 如图，已知，，坐标原点为，则，，所以 因此，一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. 3．向量数乘的坐标表示 由，可得，则，即. 知识点四 平面向量位置关系的坐标表示 1．共线的坐标表示 (1)两向量共线的坐标表示 设，，其中.我们知道，，共线的充要条件是存在实数，使. 如果用坐标表示，可写为，即，消去，得 这就是说，向量，共线的充要条件是： 还可以写成，即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例. (2)三点共线的坐标表示 若，，三点共线，则有， 从而即 或由得到， 或由得到 由此可知，当这些条件中有一个成立时，A，B，C三点共线. 拓展一 定比分点的坐标表示 1．线段定比分点的定义 如图，设，是直线上两点，点是上不同于，的任意一点，则存在一个实数，使，叫做点分线段所成的比，点叫做线段以定比为的定比分点. 2．定比分点的坐标表示 设为坐标原点，若，， ，，则, ∴故点的坐标为. 注：在具体问题的计算中，往往是自行确定起点、分点、终点，并且这些点必须与定比分点公式中的起点、分点、终点相对应. 3．定比分点的两种特殊情况 利用定比分点坐标公式可以得到线段的中点坐标公式及三角形的重心坐标公式. (1)中点坐标公式：设，的中点为，则， 利用中点坐标公式可解决与两点的中点有关的问题. (2)重心坐标公式:在中，，，，则的重心的坐标为 题型1 平面向量基本定理的应用 考点1 用基底表示向量 1．（2024�上海浦东新�三模）给定平面上的一组向量、，则以下四组向量中不能构成平面向量的基底的是（    ） A．和 B． 和 C． 和 D． 和 【答案】C 【知识点】基底的概念及辨析 【分析】根据平面向量共线定理，结合选项，进行逐一分析即可. 【详解】对A：不存在实数，使得， 故和不共线，可作基底； 对B：不存在实数，使得， 故和不共线，可作基底； 对C：对 和，因为是不共线的两个非零向量， 且存在实数，使得， 故和共线，不可作基底； 对D：不存在实数，使得，故和不共线，可作基底. 故选：C. 2．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E，F分别为CD，AD的中点，若以向量，为基底表示向量，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用基底表示向量 【分析】注意到，后利用表示，即可得答案. 【详解】注意到. 又为DC中点，则； F为AD中点，则. 则； . 则. 故选：D 3．如图，在中，点分别在边上，且，点为中点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】向量的线性运算的几何应用、用基底表示向量 【分析】利用平面向量的线性运算计算可得结果. 【详解】由点为中点得：，因为，所以， 因为， 所以. 故选：C 4．（2025·甘肃甘南·三模）中，若，，，则向量可用，表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】平面向量的混合运算、用基底表示向量 【分析】根据平面向量的线性运算直接求解即可. 【详解】在中，， 则 . 又因为，所以. 故选：A 5．在平行四边形中，，，设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用基底表示向量、向量加法的法则 【分析】结合平行四边形的性质及平面向量的基本定理即可求解. 【详解】因为四边形为平行四边形，所以，，， 因为，， 所以， 所以， , 因为，， 所以，解得 ， 所以， 故选：B. 6．（多选题）等边三角形中，，，与交于F，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【知识点】平面向量共线定理的推论、用基底表示向量 【分析】根据向量线性运算，求得各选项的表达式，由此判断出正确选项. 【详解】如下图所示： 选项A：，为中点，，A正确； 选项B：，B正确； 选项C：,,由于三点共线，，故，设，由此可得， ，C正确； 选项D：，D错误. 故选：ABC. 7．（24-25高三下·重庆·阶段练习）如图：在平行四边形中，已知，直线交于O，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用基底表示向量 【分析】设，用表示出，根据共线定理推论求出，然后可求解. 【详解】设，则， 又，所以， 因为三点共线，所以，解得， 所以. 故选：D 8．如图，△ABO中，已知，，，，则用向量，表示＝ ． 【答案】 【知识点】用基底表示向量 【分析】设，结合已知可得，结合共线可得，求解即可. 【详解】设，因为，，， 所以， 又A，P，N三点共线，B，P，M三点共线，所以， 解得，所以. 故答案为：. 考点2 利用平面向量基本定理求相关参数的值 9．（2025·河南·二模）在中，D是AC边的中点，且点M满足，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用平面向量基本定理求参数 【分析】由平面向量的基本定理结合图形计算即可. 【详解】因为①，②， 由，得，所以， 即，，所以. 故选：D. 10．（2025·安徽·模拟预测）已知在中，点D满足，设，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【知识点】用基底表示向量、向量加法的法则、利用平面向量基本定理求参数 【分析】由平面向量基本定理结合，可得，再由，即可求出的值. 【详解】由，可得， 则 则 故， 所以 故选：C. 11．（2025·宁夏银川·三模）在直角梯形中，，，，E是的中点，若，则 . 【答案】 【知识点】用基底表示向量、利用平面向量基本定理求参数 【分析】首先用将向量表述出来，然后化简原等式，从而可求出的值，从而得到答案. 【详解】， 而，所以，解得. 所以. 故答案为：1. 12．如图，在平行四边形中，点在线段上，且（），若（，）且，则（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】B 【知识点】由向量线性运算结果求参数、利用平面向量基本定理求参数 【分析】方法1：由可得，由代入可反解得，最后根据且即可求得的值. 方法2：建立平面直角坐标系，表示出点的坐标转化为坐标运算可求得结果. 【详解】方法1：在平行四边形中，因为，所以， 所以， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，，（平面向量基本定理的应用） 又∵， ∴，解得， 故选：B. 方法2：如图，以A为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 则，设，， ∵ 则 ， 又∵，设，则 即： ∴，，， 又∵， ∴ ∴ ∴ 由②得，将其代入①得， 故选：B. 13．如图，在平行四边形中，点是的中点，且，设，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用基底表示向量、利用平面向量基本定理求参数 【分析】以，表示出，，，设，根据平面向量基本定理得到方程组，解得即可. 【详解】因为，， ， 设，则， 即， 又，不共线，所以，解得，所以. 故选：C 题型2 平面向量的坐标运算 14．（2025·天津红桥·模拟预测）若向量，，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 【分析】利用平面向量的坐标运算求得结果. 【详解】由，， 则. 故选：A. 15．已知，，，若，则（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 【分析】根据，列出方程，可求得x，y，即可得答案. 【详解】因为， 所以，解得， 所以. 故选：C 16．（2025·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 【分析】由题可得，，.设，通过向量的坐标运算解得和的值即可判断选项A，B；同理可判断选项C，D. 【详解】由题可得，，. 设，∴，解得，∴，故选项A正确，选项B错误； 设，∴，解得，∴，故选项C错误，选项D错误. 故选：A. 17．（2025·陕西咸阳·三模）已知向量满足，则＝（   ） A．5 B．－5 C．－11 D．11 【答案】B 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、利用坐标求向量的模 【分析】由题可求，再求值即可. 【详解】， ，， 所以. 故选：B. 18．（2025·湖南娄底·模拟预测）已知向量，，若，则实数（    ） A． B．或 C．或1 D． 【答案】B 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、数量积的运算律、向量模的坐标表示 【分析】应用向量数量积的运算律将条件化为，再由向量模长的坐标运算列方程求参数值. 【详解】由两边平方化简得， 所以，即， 化简得，解得或. 故选：B 19．（2025·甘肃甘南·模拟预测）向量 ，， 在正方形网格中的位置如图所示，若 ，则 的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 【分析】建立坐标系，然后用坐标法计算即可 【详解】 如图，以O为坐标原点建立坐标系， 则 所以 则，则，则. 故选：C. 20．如图，正方形中，，分别是，的中点，若，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用平面向量基本定理求参数 【分析】以，为坐标轴建立平面直角坐标系，由转化为坐标的运算可得答案. 【详解】以，为坐标轴建立平面直角坐标系， 如图：设正方形边长为1，则，，． 因为，所以 解得，所以． 故选：B． 21．古希腊数学家特埃特图斯（Theaetetus）利用如图所示的直角三角形来构造无理数. 已知与交于点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、利用平面向量基本定理求参数 【分析】建立平面直角坐标系，求得相关点坐标，求得相关向量坐标，根据，结合向量坐标运算，即可求得答案. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的坐标系， 由题意得， 则，. 因为，故， 因为，所以（负值舍去）， 所以， 故.又，则， 因为，所以， 解得，所以， 故选：A. 【点睛】方法点睛：注意到题目中的垂直关系，由此可以建立直角坐标系，利用向量的坐标运算来解决平面向量基本定理中的参数求解问题. 22．如图，在中，，以为直径的半圆上有一点M，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 【分析】以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系. ,得出以为直径的圆的方程，根据向量坐标用表示出的坐标，代入圆的方程可得答案. 【详解】以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系. 则， 则以为直径的圆的圆心为的中点. 则以为直径的圆的方程为： 则 ，所以 由点在圆上，可得 即，解得或（舍） 故选：A 23．（2025·广西柳州·三模）在中，，，，为内一点，且.若，则的最大值为 . 【答案】 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、由向量线性运算解决最值和范围问题、平面向量基本定理的应用 【分析】利用平面向量的坐标运算以及正弦函数的性质求解. 【详解】    如图，因为，所以以为坐标原点， 方向为轴建立平面直角坐标系，则, 设,则， 过点作轴的垂线，垂足为，则， 所以， 所以， 因为，所以， 所以， 则， ，所以， 所以当，即时，有最大值为， 故答案为：. 题型3 向量共线的坐标表示 考点1 利用向量共线求参数 24．已知向量，， (1)分别求，的坐标； (2)若向量，且与向量平行，求实数k的值． 【答案】(1)，； (2). 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由向量共线（平行）求参数 【分析】（1）利用向量线性运算的坐标表示求解即得. （2）求出向量的坐标，再利用向量共线的坐标表示求解即得. 【详解】（1）依题意，， . （2）由（1）知，而， 由与向量平行，得，解得：， 所以实数k的值是. 25．（2025·海南·模拟预测）已知向量，且，则实数（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由向量共线（平行）求参数 【分析】由题意结合向量平行坐标表示可得答案. 【详解】因为，所以，又， 所以，所以． 故选：B． 26．（2025·福建三明·模拟预测）已知，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由向量共线（平行）求参数 【分析】利用向量线性运算的坐标表示求出和，再由向量共线的坐标表示列方程求解. 【详解】由，，得，， 若，则，解得. 故选：B. 27．（2025·辽宁辽阳·一模）已知向量，，.若、、三点共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由坐标解决三点共线问题 【分析】求出向量，由题意可得，利用平面向量共线的坐标表示可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为向量，，， 所以，， 因为、、三点共线，则，所以，，解得. 故选：C. 考点2 利用向量共线求点的坐标 28．已知点,若点在线段上,且,则点的坐标为 . 【答案】 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由向量共线（平行）求参数 【分析】由在线段上知三点共线，可求得，再由可得的坐标表示，由条件即可求出，从而可得出结论. 【详解】依题意,设,而, 所以, 于是. 由得,解得. 又,所以,此时, 故， 故答案为：. 29．已知梯形ABCD中，，三个顶点.则顶点的坐标 . 【答案】 【知识点】由坐标解决线段平行和长度问题 【分析】在梯形中，，．得到，设点D的坐标为，根据向量相等得到方程组，可得答案. 【详解】解：∵在梯形中，，，，，． ∴．设点D的坐标为． 则，． ∴，即， ∴解得故点的坐标为． 故答案为：． 30．已知，，点P是线段MN上的点，且，则P点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用坐标表示平面向量、相等向量 【分析】设出点P的坐标，利用向量的坐标运算结合相等向量，列式计算作答. 【详解】设，则，，因， 从而有，解得， 所以P点的坐标为. 故选：A 一、单选题 1．（2025·全国一卷·高考真题）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长度代表速度大小，单位：m/s），则该时刻的真风为（   ） 级数 名称 风速大小（单位：m/s) 2 轻风 1.6~3.3 3 微风 3.4~5.4 4 和风 5.5~7.9 5 劲风 8.0~10.7 A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风 【答案】A 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、向量坐标的线性运算解决几何问题、坐标计算向量的模 【分析】结合题目条件和图写出视风风速对应的向量和船行风速对应的向量，求出真风风速对应的向量，得出真风风速的大小，即可由图得出结论. 【详解】由题意及图得， 视风风速对应的向量为：， 视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和， 船速方向和船行风速的向量方向相反， 设真风风速对应的向量为，船行风速对应的向量为， ∴，船行风速：， ∴， ， ∴由表得，真风风速为轻风， 故选：A. 2．（2022·全国乙卷·高考真题）已知向量，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、向量模的坐标表示 【分析】先求得，然后求得. 【详解】因为，所以. 故选：D 3．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）在中，点D在边AB上，．记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用基底表示向量 【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出． 【详解】因为点D在边AB上，，所以，即， 所以． 故选：B． 4．（2020·山东·高考真题）已知平行四边形，点，分别是，的中点（如图所示），设，，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量加法法则的几何应用、用基底表示向量 【分析】利用向量的线性运算，即可得到答案； 【详解】连结，则为的中位线， ，    故选：A 5．（2018·全国I卷·高考真题）在△中，为边上的中线，为的中点，则 A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量加法法则的几何应用、用基底表示向量 【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果. 【详解】根据向量的运算法则，可得 ， 所以，故选A. 【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算. 二、填空题 6．（2024·上海·高考真题）已知向量，，若，则 ． 【答案】15 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】由向量共线的坐标表示列方程求参数值即可. 【详解】因为，所以，所以. 故答案为：15 7．（2017·全国·高考真题）已知平面向量，则 ． 【答案】 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 【分析】根据向量加法的坐标运算计算即可得解. 【详解】. 故答案为： 8．（2018·全国III卷·高考真题）已知向量，，．若，则 ． 【答案】 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】由两向量共线的坐标关系计算即可． 【详解】由题可得 ,即 故答案为 【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.2　平面向量基本定理及坐标表示 基础巩固 一、单选题 1．（2025·天津河北·模拟预测）如图，在中，D是边AB上一点，且，点E是CD的中点．设，，则可以表示为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用基底表示向量 【分析】应用向量加减、数乘的几何意义用，表示出即可. 【详解】由题设，， 所以. 故选：B 2．（2024高三�北京�专题练习）已知向量 在正方形网格中的位置如图所示，用基底表示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，结合平面向量的坐标运算代入计算，即可得到结果. 【详解】 如图，建立平面直角坐标系，设正方形网格的边长为1， 则，，， 则， 所以 设向量， 则, 所以，解得， 所以. 故选：D 3．已知，若，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 【分析】根据向量线性运算的坐标表示求解即可. 【详解】由题意得， 因为， 所以⇒ 故. 故选：A. 4．已知，若，则点的坐标为（    ） A．(－2，3) B．(2，－3) C．(－2，1) D．(2，－1) 【答案】D 【知识点】用坐标表示平面向量、平面向量有关概念的坐标表示 【分析】设，根据平面向量的坐标运算得出，再根据，列出方程组可求出，从而得出点的坐标. 【详解】解：设，则，， 根据，得， 即，解得：， 所以点的坐标为. 故选：D. 5．如图，在中，，以为直径的半圆上有一点M，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 【分析】以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系. ,得出以为直径的圆的方程，根据向量坐标用表示出的坐标，代入圆的方程可得答案. 【详解】以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系. 则， 则以为直径的圆的圆心为的中点. 则以为直径的圆的方程为： 则 ，所以 由点在圆上，可得 即，解得或（舍） 故选：A 6．如图，正方形中，，分别是，的中点，若，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用平面向量基本定理求参数 【分析】以，为坐标轴建立平面直角坐标系，由转化为坐标的运算可得答案. 【详解】以，为坐标轴建立平面直角坐标系， 如图：设正方形边长为1，则，，． 因为，所以 解得，所以． 故选：B． 7．（2025·广东茂名·模拟预测）在平行四边形中，点E、F分别是边的中点，分别与交于R、T两点，，（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用基底表示向量、平面向量共线定理的推论、利用平面向量基本定理求参数 【分析】方法一：设，得到，根据B，T，F三点共线，得到方程，可得答案； 方法二：根据，可得. 【详解】方法一：设， 且B，T，F三点共线， ，解得； 方法二：， 所以， 同理，， 故， 所以. 故选：B. 8．（2025·甘肃白银·模拟预测）在△ABC中，点D在BC上，，，，，且存在实数λ，使得，则的最小值是（    ） A． B． C． D．8 【答案】B 【知识点】用基底表示向量 【分析】用表示，由向量共线定理得出的关系式，然后由基本不等式得结论． 【详解】如图． 由题得D为BC的中点，，．又，． 则． ∵E，G，F三点共线．．即， ．当且仅当时取等号，则的最小值为． 故选：B． 二、多选题 9．如图所示，四边形为等腰梯形，，，，分别为，的中点，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】BC 【知识点】向量的线性运算的几何应用、利用平面向量基本定理求参数 【分析】根据平行向量的线性运算结合平面向量基本定理运算求解. 【详解】因为，，所以， 因为为的中点，所以， 所以，所以，. 可知：AD错误，BC正确. 故选：BC. 【点睛】本题考查平面向量的基本定理，要求考生了解平面向量基本定理及其意义. 10．已知中，点满足，点在内（含边界），其中，则（   ） A．若，，则 B．若两点重合，则 C．若存在，使得能成立 D．存在，使得能成立 【答案】BCD 【知识点】向量的线性运算的几何应用、三角形的心的向量表示、平面向量基本定理的应用、平面向量共线定理的推论 【分析】由平面向量的线性运算即可判断A；由重心的性质即可判断B；由平面向量基本定理即可判断CD． 【详解】对A，，即，故，则，故，故A错误； 对B，由得，，故为的重心，则为的重心，故，故正确； 对C，D，取的中点，则， 由点在内（含边界）， 过点作，与线段交于点M，与射线交于点如图所示， 设，则， 设，则， 因为，所以，则， 故C和D正确， 故选：BCD． 11．如图所示，点A、B、C是圆O上的三点，线段与线段交于圆内一点P，若，则（    ） A．当P为线段中点时， B．当P为线段中点时， C．无论取何值，恒有 D．存在 【答案】AC 【知识点】向量减法的法则、利用平面向量基本定理求参数 【分析】运用向量的加法表示向量，在用用平面向量的基本定理求得和的值，得到答案. 【详解】由题意，可得， 因为与共线，所以，解得，所以C正确，D错误； 当为线段中点时，则，即， 则且，解得，所以A正确，B错误. 故选：AC. 三、填空题 12．如图所示，在四边形ABCD中，已知A(2，6)，B(6，4)，C(5，0)，D(1，0)，则直线AC与BD交点P的坐标为 ． 【答案】 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】设出点坐标，求得，由此求得点坐标. 【详解】设P(x，y)，则(x－1，y)，(5，4)，(－3，6)，(4，0)． 由B，P，D三点共线可得． 又因为，由与共线得，(5λ－4)×6＋12λ＝0. 解得， 所以，即， 故. 所以P的坐标为. 故答案为： 13．已知在平面直角坐标系中，点，当P是线段靠近的一个四等分点时，点P的坐标为 ． 【答案】/ 【知识点】线段的定比分点 【分析】根据平面向量共线的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】因为P是线段靠近的一个四等分点， 所以，设， 则有， 故答案为： 14．已知向量＝(3，－4)，＝(0，－3)，＝(5－m，－3－m)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m满足的条件是 ． 【答案】 【知识点】已知向量共线（平行）求参数 【分析】若点A、B、C能构成三角形，只需三点A、B、C不共线．利用向量共线定理求出三点A、B、C共线时m值，加以否定即可． 【详解】由题意得＝(－3,1)，＝(2－m,1－m)，若A，B，C能构成三角形，则，不共线，则－3×(1－m)≠1×(2－m)，解得. 故答案为 【点睛】本题考查向量共线定理的应用：确定点是否共线问题． 四、解答题 15．设，是两个不共线的向量，已知，，. （1）求证：A，B，D三点共线； （2）若，且B，D，F三点共线，求k的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）12. 【知识点】平面向量共线定理证明点共线问题、已知向量共线（平行）求参数 【分析】（1）通过证明可得结果； （2）由共线定理得，列出关于的方程解出即可. 【详解】（1）证明：由已知得， ∵，∴. 又与有公共点B， ∴A，B，D三点共线． （2）由（1）可知， ∵，且B，D，F三点共线， ∴， 即，∴， 解得. 16．平面内给定三个向量，，. (1)若，求实数； (2)若满足，且，求的坐标. 【答案】(1) (2)或 【知识点】由向量共线（平行）求参数、向量模的坐标表示 【分析】（1）根据题意得，，由平行向量的坐标表示即可解决； （2）设，得，，根据题意列方程组即可解决. 【详解】（1）因为，，， 所以，， 因为， 所以， 解得； （2）设，则，， 因为，， 所以， 解得或， 所以或. 17．如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)求点B，C的坐标； (2)判断四边形的形状，并求出其周长． 【答案】(1)， (2)四边形为等腰梯形，周长为8 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、解析法在向量中的应用、利用坐标求向量的模 【分析】（1）根据点的坐标及可求的坐标，根据可求的坐标； （2）根据向量坐标关系及长度关系，得出四边形为等腰梯形，根据各边长可求周长. 【详解】（1）在平面直角坐标系中，由，知， 又，， 设，则，， 点． 又， ， 点． （2）由（1）可得，，，． ，． 又，， 四边形为等腰梯形． ，，，， 四边形的周长为8． 18．如图所示，已知矩形ABCD中，，AC与MN相交于点E． (1)若，求和的值； (2)用向量表示． 【答案】(1)， (2) 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由坐标解决三点共线问题、利用平面向量基本定理求参数 【分析】（1）建立平面直角坐标系，将已知坐标化可解； （2）先用表示出，然后可表示出，再由M，E，N三点共线可解. 【详解】（1）以A点为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则， 所以 所以， 所以 解得 （2）设， 因为， 所以．解得， 即，所以， 又因为M，E，N三点共线，所以， 所以﹒ 19．在锐角中，已知内角、、所对的边分别为、、，向量，且向量，共线． （1）求角的大小； （2）如果，求的面积的最大值． 【答案】（1）30° （2） 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、由向量共线（平行）求参数、基本不等式求积的最大值 【详解】试题分析：（1）由向量共线的充要条件得，再由倍角公式求得，然后结合角的范围求出角B．（2）求最值往往列出函数式，然后求最值．本题先由余弦定理得到然后用均值不等得出，最后由三角形的面积公式求解即可． 试题解析：（1）由向量共线有： 即，又，∴， 则=，即 （2）由余弦定理得 则， ∴当且仅当时等号成立 ∴． 考点：向量共线的充要条件、倍角公式、余弦定理、均值不等． 能力提升 一、单选题 1．向量的广义坐标是用于描述向量或系统状态的一组数值，其选择取决于问题的特定背景和需求．在物理学、工程学、计算机图形学等领域，广义坐标被广泛应用．比如，物理学中的振动系统可能采用角度作为广义坐标，而工程学中的结构分析可能使用特定坐标系来简化问题．通过选择适当的广义坐标，可以更自然地描述问题，简化数学表达，提高问题的可解性，并使模型更符合实际场景．已知向量，是平面内的一组基向量，O为内的定点．对于内任意一点P，若，则称有序实数对为点P的广义坐标．若点A，B的广义坐标分别为，，关于下列命题正确的（    ） A．点关于点O的对称点不一定为 B．A，B两点间的距离为 C．若向量平行于向量，则的值不一定为0 D．若线段的中点为C，则点C的广义坐标为 【答案】D 【知识点】已知向量共线（平行）求参数、数量积的运算律、向量新定义 【分析】根据广义坐标的定义，结合平面向量数量积的运算性质、平面向量共线性质逐一判断即可. 【详解】对于A，，设关于点的对称点为，则， 因为，不共线，所以，A错误； 对于B，因为， 所以， 当向量，是相互垂直的单位向量时，，两点间的距离为，否则距离不为，B错误； 对于C，当与中至少一个是时，结论成立； 当与都不为时，设（），有，即，所以，C错误； 对于D，， 所以线段中点的广义坐标为，D正确 故选：D 二、多选题 2．如图， 在中，为的中点， ，与交于点，若 ，则下面对于的描述正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】由向量线性运算结果求参数 【分析】利用平面向量基本定理及平面向量的线性运算，结合三点共线的向量性质，即可得出. 【详解】， 因为，所以，即， 由三点共线，所以，即，故A正确； 又为的中点，所以，即， 由三点共线，所以，即，故C正确； 则由，可解得， ，故B错误； ，故D错误. 故选：AC 3．如图，在中，是的中点，是上的一点，且，若，其中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【知识点】向量加法法则的几何应用、用基底表示向量 【分析】根据向量的线性运算法则及平面向量的基本定理，可得，，又，根据题意，化简计算，可得m，n的值，逐一分析选项，即可得答案. 【详解】在平行四边形中，，， 因为是中点，所以， 所以， 因为，所以， 所以， 因为， 所以， 所以，解得， 所以，，， 故选：ABC． 三、填空题 4．如图在平面四边形中，，点在线段上满足，若，则 ． 【答案】/ 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、利用平面向量基本定理求参数、解析法在向量中的应用 【分析】以A为原点，建立平面直角坐标系，设后，写出各点坐标，用向量的坐标运算可得． 【详解】以A为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设， 则有， ，过D作轴于F，， ，所以， ，，， 因为， 所以， 所以，，解得：， 则的值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：建系用坐标表示是解题的关键. 5．在矩形中，，动点在以点为圆心且与相切的圆上．若，则的最大值为 ． 【答案】3 【知识点】平面向量共线定理的推论、利用平面向量基本定理求参数 【分析】过点作，交的延长线于点，结合已知得，问题化为求最大值，作，利用相似得，进而得最大，即可得. 【详解】如图1，过点作，交的延长线于点， 由，则， 由共线得，可得． 当最大时，取到最大值，此时， 如图2．作，又，则，即， 由，即，则四边形为平行四边形，故， 易知，可得，， 而，，得， 所以， 因此的最大值为3． 故答案为：3      6．已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量．如图所示，顶角的等腰三角形PQR的顶点P、Q的坐标分别为、，则顶点R的坐标为 ． 【答案】 【知识点】向量新定义 【分析】设，表示出，根据已知列出式子即可求出. 【详解】设，则， 因为，所以， 解得，即顶点R的坐标为. 故答案为：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.2　平面向量基本定理及坐标表示 题型1 平面向量基本定理的应用 5 考点1 用基底表示向量 5 考点2 利用平面向量基本定理求相关参数的值 6 题型2 平面向量的坐标运算 7 题型3 向量共线的坐标表示 9 考点1 利用向量共线求参数 9 考点2 利用向量共线求点的坐标 10 高考真题演练 10 知识点一 平面向量基本定理 1．平面向量基本定理 如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，，使 若，不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 2．定理的功能 由平面向量基本定理可知，若不共线，则由的所有线性组合构成的集合就是平面内的全体向量，其中叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.这个定理体现了转化与化归的数学思想方法，在用向量解决几何问题时，我们可以适当地选择基底，将问题涉及的向量向基底转化，使问题得以解决. 3．平面向量基本定理的拓展 由平面向量基本定理，我们得到：个不共线的向量与个实数所组成的向量叫做向量的线性组合，当向量是向量的线性组合，即时，我们称向量可以分解成向量的线性组合，其中是关于向量的一个基底. 知识点二 平面向量的正交分解及坐标表示 1．正交分解 不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形.把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解. 由平面向量基本定理知，对于平面内的任一向量，均可以分解为不共线的两个向量和，使当与垂直时，就分解成为两个互相垂直的向量，叫做把正交分解.如图，重力沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解. 2．向量的坐标表示 如图，在平面直角坐标系中，设与轴、轴方向相同的两个单位向量分别为，，取作为基底.对于平面内的任意一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数，，使得.这样，平面内的任一向量都可由，唯一确定，我们把有序数对叫做向量的坐标，记作①.其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，①叫做向量的坐标表示. 显然，，，. 3．点的坐标与向量的坐标的关系 如图，在平面直角坐标系中，由于相等向量的存在，平面内所有与相等的向量，都可以用以原点为起点的向量来表示，其中，，则，因此点的位置被向量唯一确定，此时即点的坐标；反过来，终点的坐标也就是向量的坐标.因此，在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序数对唯一表示. 知识点三 平面向量线性运算的坐标表示 1．两个向量和(差)的坐标表示 由于向量，等价于，， 所以，即 同理可得 2．任一向量的坐标 如图，已知，，坐标原点为，则，，所以 因此，一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. 3．向量数乘的坐标表示 由，可得，则，即. 知识点四 平面向量位置关系的坐标表示 1．共线的坐标表示 (1)两向量共线的坐标表示 设，，其中.我们知道，，共线的充要条件是存在实数，使. 如果用坐标表示，可写为，即，消去，得 这就是说，向量，共线的充要条件是： 还可以写成，即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例. (2)三点共线的坐标表示 若，，三点共线，则有， 从而即 或由得到， 或由得到 由此可知，当这些条件中有一个成立时，A，B，C三点共线. 拓展一 定比分点的坐标表示 1．线段定比分点的定义 如图，设，是直线上两点，点是上不同于，的任意一点，则存在一个实数，使，叫做点分线段所成的比，点叫做线段以定比为的定比分点. 2．定比分点的坐标表示 设为坐标原点，若，， ，，则, ∴故点的坐标为. 注：在具体问题的计算中，往往是自行确定起点、分点、终点，并且这些点必须与定比分点公式中的起点、分点、终点相对应. 3．定比分点的两种特殊情况 利用定比分点坐标公式可以得到线段的中点坐标公式及三角形的重心坐标公式. (1)中点坐标公式：设，的中点为，则， 利用中点坐标公式可解决与两点的中点有关的问题. (2)重心坐标公式:在中，，，，则的重心的坐标为 题型1 平面向量基本定理的应用 考点1 用基底表示向量 1．（2024�上海浦东新�三模）给定平面上的一组向量、，则以下四组向量中不能构成平面向量的基底的是（    ） A．和 B． 和 C． 和 D． 和 2．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E，F分别为CD，AD的中点，若以向量，为基底表示向量，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，点分别在边上，且，点为中点，则（    ）    A． B． C． D． 4．（2025·甘肃甘南·三模）中，若，，，则向量可用，表示为（   ） A． B． C． D． 5．在平行四边形中，，，设，，则（    ） A． B． C． D． 6．（多选题）等边三角形中，，，与交于F，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高三下·重庆·阶段练习）如图：在平行四边形中，已知，直线交于O，若，则（    ） A． B． C． D． 8．如图，△ABO中，已知，，，，则用向量，表示＝ ． 考点2 利用平面向量基本定理求相关参数的值 9．（2025·河南·二模）在中，D是AC边的中点，且点M满足，若，则（    ） A． B． C． D． 10．（2025·安徽·模拟预测）已知在中，点D满足，设，则（   ） A．1 B． C． D．2 11．（2025·宁夏银川·三模）在直角梯形中，，，，E是的中点，若，则 . 12．如图，在平行四边形中，点在线段上，且（），若（，）且，则（    ） A． B．3 C． D．4 13．如图，在平行四边形中，点是的中点，且，设，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 题型2 平面向量的坐标运算 14．（2025·天津红桥·模拟预测）若向量，，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 15．已知，，，若，则（      ） A． B． C． D． 16．（2025·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 17．（2025·陕西咸阳·三模）已知向量满足，则＝（   ） A．5 B．－5 C．－11 D．11 18．（2025·湖南娄底·模拟预测）已知向量，，若，则实数（    ） A． B．或 C．或1 D． 19．（2025·甘肃甘南·模拟预测）向量 ，， 在正方形网格中的位置如图所示，若 ，则 的值为（   ） A． B． C． D． 20．如图，正方形中，，分别是，的中点，若，则（    ） A．2 B． C． D． 21．古希腊数学家特埃特图斯（Theaetetus）利用如图所示的直角三角形来构造无理数. 已知与交于点，若，则（    ） A． B． C． D． 22．如图，在中，，以为直径的半圆上有一点M，，则（    ） A． B． C． D． 23．（2025·广西柳州·三模）在中，，，，为内一点，且.若，则的最大值为 . 题型3 向量共线的坐标表示 考点1 利用向量共线求参数 24．已知向量，， (1)分别求，的坐标； (2)若向量，且与向量平行，求实数k的值． 25．（2025·海南·模拟预测）已知向量，且，则实数（   ） A． B． C．2 D．4 26．（2025·福建三明·模拟预测）已知，，若，则（    ） A． B． C． D． 27．（2025·辽宁辽阳·一模）已知向量，，.若、、三点共线，则（    ） A． B． C． D． 考点2 利用向量共线求点的坐标 28．已知点,若点在线段上,且,则点的坐标为 . 29．已知梯形ABCD中，，三个顶点.则顶点的坐标 . 30．已知，，点P是线段MN上的点，且，则P点的坐标为（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（2025·全国一卷·高考真题）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长度代表速度大小，单位：m/s），则该时刻的真风为（   ） 级数 名称 风速大小（单位：m/s) 2 轻风 1.6~3.3 3 微风 3.4~5.4 4 和风 5.5~7.9 5 劲风 8.0~10.7 A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风 2．（2022·全国乙卷·高考真题）已知向量，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）在中，点D在边AB上，．记，则（    ） A． B． C． D． 4．（2020·山东·高考真题）已知平行四边形，点，分别是，的中点（如图所示），设，，则等于（    ）    A． B． C． D． 5．（2018·全国I卷·高考真题）在△中，为边上的中线，为的中点，则 A． B． C． D． 二、填空题 6．（2024·上海·高考真题）已知向量，，若，则 ． 7．（2017·全国·高考真题）已知平面向量，则 ． 8．（2018·全国III卷·高考真题）已知向量，，．若，则 ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $