专题2.3（2） 有理数的乘除运算（分层专项练习）-2025-2026学年七年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题2.3（2） 有理数的乘除运算（分层专项练习） 本专题分夯实基础和拓展培优两部分，其中夯实基础满分72分，拓展培优满分48分，合计120分；完成时间40——60分钟. 第一卷【夯实基础】 1、 选择题（每小题3分，共24分）本大题中每个小题所给四个答案中有且只有一个正确答案. 1．（2025·四川成都·三模）2025是春意盎然，生机勃勃的双春年，2025的倒数是（   ） A． B．2025 C． D． 2．（2025·四川南充·一模）如图，在所给形状厚纸片上写上数字，围成一个几何体后，相对两个面上的数的商不可能是（   ） A．1.2 B．2 C．3 D．4 3．（24-25七年级上·福建福州·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·全国·假期作业）《九章算术》是中国古代第一部数学专著．它介绍了分数除以分数的另一种方法：先通分，再把分子直接相除．例如：．下面（ ）是采用这种方法计算的． A． B． C． D． 5．（2025·江苏徐州·二模）已知a，b两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）若在正方形的四个顶点处依次标上“我”“爱”“数”“学”四个字，且将正方形放置在数轴上，其中“我”“爱”对应的数分别为和，如图，现将正方形绕着顶点按顺时针方向在数轴上向右无滑动地翻滚．例如，第一次翻滚后“数”所对应的数为0，则连续翻滚后数轴上数2024对应的字是（   ） A．我 B．爱 C．数 D．学 7．（24-25七年级上·湖北荆门·期中）下列说法中：①，则；②若，则．下列判断正确的是（   ） A．①②都对 B．①②都错 C．①错②对 D．①对②错 8．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）分配律用式子可表达为．下列四个计算：①；②；③；④．适合运用分配律来简化计算的算式有（   ）． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 2、 填空题（每小题3分，共18分） 9．（24-25七年级上·四川宜宾·期末）在4，，6，这四个数中，任意取两个数相乘，所得的积最大是 ． 10．（23-24七年级上·吉林四平·阶段练习）计算的结果为 ． 11．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）用定义一种新运算：对于任意有理数和，规定：．例如：．则 12．（24-25七年级上·辽宁大连·期中）如图，是一个简单的数值计算程序，当输入的x的值为5时，输出的数为 ． 13．（24-25七年级上·江苏常州·期中）如图，数轴上A，B两点所表示的数分别为a，b，下列各式：①；②；③．其中正确式子的序号是 ． 14．（24-25七年级上·山东菏泽·期中）一种少年儿童的标准体重（单位：千克）的计算方式为：标准体重（年龄）．下表是六位11岁同学的体重情况，其中超出标准体重的千克数记为正数，少于标准体重的千克数记为负数． 编号 1 2 3 4 5 6 体重情况 则这六位同学的总体重是 千克． 3、 解答题（4题共计30分） 15.（6分）（24-25七年级上·广西柳州·期中）计算： （1） （2） 16.（8分）（24-25七年级上·河南洛阳·期末）计算 （1） （2） 17.（8分）（2025·河北·模拟预测）已知m为有理数，定义运算符号：当时，；当时，；当时，． （1）______，______； （2）计算：． 18.（8分）（24-25七年级上·陕西咸阳·期末）大荔冬枣肉细嫩，果肉乳白色，口感细嫩酥脆，晓芸家新摘了6筐冬枣，以每筐为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的记录（单位：）如下： 第1筐 第2筐 第3筐 第4筐 第5筐 第6筐 （1）第1筐冬枣重_____千克． （2）这6筐冬枣中，最重的一筐比最轻的一筐重多少千克？ （3）如果该冬枣以每千克15元的价格售出，这6筐冬枣一共可以卖多少元？ 第二卷【拓展培优】 4、 选择题（每小题3分，共12分） 19．（23-24六年级下·山东滨州·期末）如果，那么在数轴上对数、、位置的确定，正确的是（    ） A． B． C． D． 20．（2023·河北保定·一模）下列与相乘等于1的是（    ） A． B． C． D． 21．（2021·河北邢台·一模）若，，则下列表述正确的是（ ） A．和，和均互为相反数 B．和，和均互为倒数 C．和互为倒数；和互为相反数 D．和互为相反数；和互为倒数 22．（22-23七年级上·江苏南通·阶段练习）如图所示的数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由正整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如：，，，…，那么第7行第3个数字为（    ） A． B． C． D． 5、 填空题（每小题3分，共12分） 23．（23-24七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）计算： ． 24．（21-22七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知，则 ． 25．（2025·山西·模拟预测）在山地，气温随着海拔的升高而降低，规律大致为海拔每升高米，气温下降．某登山队大本营所在地的海拔为米，某日测得大本营所在地气温为．登山队员由大本营向上行进，到达某位置时测得气温为，则此位置的海拔为 米． 26．（24-25七年级上·重庆渝中·期末）王老师将，，，，，，，，，分别写在十张不透明的卡片上，打乱卡片的顺序后，随机发给五位同学各两张卡片．除甲以外，其余每位同学把自己拿到的两张卡片上的数字之和写在黑板上，结果如表所示，则甲拿的两张卡片上的数字之积为 ，乙拿的两张卡片上的数字之积为 ．    6、 解答题（12×2=24分） 27.（12分）（24-25七年级上·重庆忠县·开学考试）简便计算 （1） （2） （3） （4） 28.（12分）（24-25七年级上·广西桂林·阶段练习）数学老师熊老师在课堂上布置了一道思考题“计算”，小雷同学仔细思考了一番，用了一种不同的方法解决了这个问题，小雷同学的解法： 原式的倒数为，所以． （1）根据倒数的定义我们知道，若，则________． （2）请你运用小雷同学的解法解答下面的问题： 计算：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.3（2） 有理数的乘除运算（分层专项练习） 本专题分夯实基础和拓展培优两部分，其中夯实基础满分72分，拓展培优满分48分，合计120分；完成时间40——60分钟. 第一卷【夯实基础】 1、 选择题（每小题3分，共24分）本大题中每个小题所给四个答案中有且只有一个正确答案. 1．（2025·四川成都·三模）2025是春意盎然，生机勃勃的双春年，2025的倒数是（   ） A． B．2025 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了倒数：乘积是1的两数互为倒数．利用倒数的定义求解即可． 解：2025的倒数是 故选：D． 2．（2025·四川南充·一模）如图，在所给形状厚纸片上写上数字，围成一个几何体后，相对两个面上的数的商不可能是（   ） A．1.2 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查长方体的展开图，有理数的除法，掌握正方体展开图是解题的关键．利用长方体的展开图可以得1与3相对，2与4相对，5与6相对，然后求解判断即可． 解：由展开图可得1与3相对，2与4相对，5与6相对， ∴，；，；， ∴相对两个面上的数的商不可能是4． 故选：D． 3．（24-25七年级上·福建福州·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了有理数的运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．根据有理数的加减乘除运算法则计算即可． 解：A、，故本选项计算错误，不符合题意； B、，故本选项计算错误，不符合题意； C、，故本选项计算正确，符合题意； D、，故本选项计算错误，不符合题意； 故选：C． 4．（24-25七年级下·全国·假期作业）《九章算术》是中国古代第一部数学专著．它介绍了分数除以分数的另一种方法：先通分，再把分子直接相除．例如：．下面（ ）是采用这种方法计算的． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分数除法的计算方法，根据《九章算术》的方法，分数除以分数需先通分使分母相同，再将分子直接相除，熟练掌握通分和分子直接相除的方法是解题的关键．通过以上知识点，逐个选项进行分析，判断是否符合此步骤． 解：选项A：将分数转化为小数后计算，未通分，不符合题意； 选项B：通过乘以倒数计算，属于常规分数除法，未通分，不符合题意； 选项C：通过分子分母同乘一个数使除数变为1，属于商不变规律的应用，未通分成同分母，不符合题意； 选项D：将和通分为和，再直接相除分子9和8，完全符合题目所述方法； 故选：D． 5．（2025·江苏徐州·二模）已知a，b两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数在数轴上的表示，有理数的加、减、乘、除等运算法则的理解，深刻理解有理数的运算法则是解题的关键； 根据a，b两数在数轴上对应的点位置可得：，再根据有理数的加、减、乘、除等运算法则逐一判断即可. 解：由a，b两数在数轴上对应的点位置可得：， ∴， ∴， 综上分析可知：选项C正确，符合题意； 故选：C. 6．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）若在正方形的四个顶点处依次标上“我”“爱”“数”“学”四个字，且将正方形放置在数轴上，其中“我”“爱”对应的数分别为和，如图，现将正方形绕着顶点按顺时针方向在数轴上向右无滑动地翻滚．例如，第一次翻滚后“数”所对应的数为0，则连续翻滚后数轴上数2024对应的字是（   ） A．我 B．爱 C．数 D．学 【答案】C 【分析】本题考查了数轴及翻转的性质，有理数的除法运算，根据翻转变化规律确定每4次翻转为一次循环组是解题的关键． 根据规律可知，“我”字是数字除以4余2的，“爱”是除以4余3的，“数”是能被4整除的，“学”是除以4余1的，由此可以推出连续翻滚后数轴上数2024对应的字． 解：由题意得，“我”字是数字除以4余2的，“爱”是除以4余3的，“数”是能被4整除的，“学”是除以4余1的， ， 所以数字对应“数”， 故选：C． 7．（24-25七年级上·湖北荆门·期中）下列说法中：①，则；②若，则．下列判断正确的是（   ） A．①②都对 B．①②都错 C．①错②对 D．①对②错 【答案】C 【分析】本题主要考查有理数的除法运算及加法运算，熟练掌握有理数的除法及加法是解题的关键；因此此题可根据有理数的除法及加法可进行排除选项． 解：①当时，且不为0时，则，故①错误； ②当时，说明互为相反数，则，故②正确； 故选C． 8．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）分配律用式子可表达为．下列四个计算：①；②；③；④．适合运用分配律来简化计算的算式有（   ）． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查乘法分配律，熟练掌握乘法分配律是解题的关键． 根据乘法分配律逐个判定即可 解：①，故①适合运用分配律来简化计算； ②不适合运用分配律来简化计算； ③，故③适合运用分配律来简化计算； ④，故④适合运用分配律来简化计算； 故选：D． 2、 填空题（每小题3分，共18分） 9．（24-25七年级上·四川宜宾·期末）在4，，6，这四个数中，任意取两个数相乘，所得的积最大是 ． 【答案】35 【分析】本题考查有理数的乘法，有理数大小比较．关键要明确不为零的有理数相乘的法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． 两个非0数相乘，同号得正，异号得负，且正数大于一切负数，所以找积最大的应从同号的两个数中寻找即可． 解：要使所得的积最大，两数字必定同号， ， ∵， ∴任意取两个数相乘，所得的积最大是35， 故答案为：35． 10．（23-24七年级上·吉林四平·阶段练习）计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法运算律逆运算，先把减法转化为加法，然后利用乘法运算律逆运算即可求解，熟练掌握运算法则是解题的关键． 解：原式 ， 故答案为：． 11．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）用定义一种新运算：对于任意有理数和，规定：．例如：．则 【答案】 【分析】此题考查有理数的混合运算，要熟练掌握混合运算顺序是解题的关键．根据新定义进行计算即可求解． 解：依题意， 故答案为：． 12．（24-25七年级上·辽宁大连·期中）如图，是一个简单的数值计算程序，当输入的x的值为5时，输出的数为 ． 【答案】2 【分析】此题考查了有理数混合运算与程序图，根据程序图列式计算，若结果小于0，则作为x的值再代入计算，若结果大于0则输出答案． 解：当输入的x的值为5时， ∴将代入得，． 故答案为：2． 13．（24-25七年级上·江苏常州·期中）如图，数轴上A，B两点所表示的数分别为a，b，下列各式：①；②；③．其中正确式子的序号是 ． 【答案】②③/③② 【分析】本题考查了数轴上数的大小比较，有理数加法和乘法．根据数a、b在数轴上的位置可确定数a、b与1及的大小关系，从而可确定、、、及的符号，进而确定式子的符号，逐一作出判断． 解：①，，则，故该项不正确； ②，，则，故该项正确； ③，，则，，即，故该项正确； 则只有②③正确． 故答案为：②③． 14．（24-25七年级上·山东菏泽·期中）一种少年儿童的标准体重（单位：千克）的计算方式为：标准体重（年龄）．下表是六位11岁同学的体重情况，其中超出标准体重的千克数记为正数，少于标准体重的千克数记为负数． 编号 1 2 3 4 5 6 体重情况 则这六位同学的总体重是 千克． 【答案】215 【分析】本题主要考查正负数的应用，有理数的运算的实际应用，首先求出11岁同学的标准体重，然后根据表格中的数据列出算式求解即可． 解：根据题意得，11岁同学的标准体重（千克）， ∴（千克）． ∴这六位同学的总体重是215千克． 故答案为：215． 3、 解答题（4题共计30分） 15.（6分）（24-25七年级上·广西柳州·期中）计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，乘法分配律，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据有理数的加减计算法则求解即可； （2）先根据乘法分配律去括号，然后计算乘法，再计算加减法即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 16.（8分）（24-25七年级上·河南洛阳·期末）计算 （1） （2） 【答案】（1）17；（2） 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． （1）先计算乘除，然后计算加减； （2）先计算乘法，然后计算加减． 解：（1）解： ； （2）解： ． 17.（8分）（2025·河北·模拟预测）已知m为有理数，定义运算符号：当时，；当时，；当时，． （1）______，______； （2）计算：． 【答案】（1），0；（2） 【分析】此题考查了有理数的混合运算． （1）根据新定义计算即可； （2）根据新定义先计算出，再计算，最后再根据新定义可得答案． 解：（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，0； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 18.（8分）（24-25七年级上·陕西咸阳·期末）大荔冬枣肉细嫩，果肉乳白色，口感细嫩酥脆，晓芸家新摘了6筐冬枣，以每筐为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的记录（单位：）如下： 第1筐 第2筐 第3筐 第4筐 第5筐 第6筐 （1）第1筐冬枣重_____千克． （2）这6筐冬枣中，最重的一筐比最轻的一筐重多少千克？ （3）如果该冬枣以每千克15元的价格售出，这6筐冬枣一共可以卖多少元？ 【答案】（1）；（2）千克；（3）1860元 【分析】（1）根据有理数减法，列式计算即可． （2）根据，得到，解答即可． （3）先计算总质量：，解答即可． 解：（1）解：根据题意，得第1筐冬枣重（千克）， 故答案为：． （2）解：根据， 得到（千克）， 答：最重的一筐比最轻的一筐重千克． （3）解：冬枣的总质量为：． 故卖出的总钱数为（元）． 【点拨】本题考查了正负数的应用，有理数的大小比较，有理数的加、减、乘的混合运算，加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 第二卷【拓展培优】 4、 选择题（每小题3分，共12分） 19．（23-24六年级下·山东滨州·期末）如果，那么在数轴上对数、、位置的确定，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用字母表示数及数轴，找到各数及乘积的范围是关键，根据字母在数轴上的位置判断乘积的大小后逐项判断即可． 解：A．，所以要小于中的任何一个数，则，故选项错误，不符合题意； B．，所以要小于中的任何一个数，则成立，故选项正确，符合题意； C．，所以大于a，且小于b，则不成立，故选项错误，不符合题意； D．，所以大于a，且小于b，则不成立，故选项错误，不符合题意． 故选：B． 20．（2023·河北保定·一模）下列与相乘等于1的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据有理数加减运算，分别算出，由题意，结合有理数乘除运算可知，结合选项逐项计算即可得到答案． 解：， ， 与相乘等于1， ；；；； 故选：D． 【点拨】本题考查有理数混合运算，熟练掌握有理数加减乘除运算法则是解决问题的关键． 21．（2021·河北邢台·一模）若，，则下列表述正确的是（ ） A．和，和均互为相反数 B．和，和均互为倒数 C．和互为倒数；和互为相反数 D．和互为相反数；和互为倒数 【答案】D 【分析】先根据已知得a，b互为相反数，m，n互为倒数，再对各选项进行判断即可． 解：∵，， ∴a，b互为相反数，m，n互为倒数， 所以，A. a，b互为相反数，m，n互为倒数，故选项A错误，不符合题意； B. a，b互为相反数，m，n互为倒数，故选项B错误，不符合题意； C. a，b互为相反数，m，n互为倒数，故选项C错误，不符合题意； D. a，b互为相反数，m，n互为倒数，故选项D正确， 故选：D． 【点拨】此题主要考查了相反数和倒数的判定，熟练掌握相反数和倒数的宝座是解答此题的关键． 22．（22-23七年级上·江苏南通·阶段练习）如图所示的数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由正整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如：，，，…，那么第7行第3个数字为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据每个数是它下一行相邻两个数的和，求出第6、7行的第二个数，即可得出答案． 解：设第n行第m个数为a（n，m）， 由题意可知，， ， ∴，， ∴． 故选：D． 【点拨】本题主要考查的找规律的知识，主要考查的是学生的归纳推理能力，正确理解题意是解题的关键． 5、 填空题（每小题3分，共12分） 23．（23-24七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的四则混合运算，化简绝对值，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算乘除和化简绝对值，然后计算加法． 解： ． 故答案为：． 24．（21-22七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了绝对值化简求值，有理数的乘法运算，由得到异号，进而分两种情况进行求解即可得到结果，掌握去绝对值符号运算是解题的关键． 解：∵， ∴异号， 当，时， 原式， ， ； 当，时， 原式， ， ； ∴或， 故答案为：或． 25．（2025·山西·模拟预测）在山地，气温随着海拔的升高而降低，规律大致为海拔每升高米，气温下降．某登山队大本营所在地的海拔为米，某日测得大本营所在地气温为．登山队员由大本营向上行进，到达某位置时测得气温为，则此位置的海拔为 米． 【答案】 【分析】本题考查了有理数运算的应用，根据题意列出算式，然后通过运算法则即可求解，掌握运算法则是解题的关键． 解：由题意得， （米）， 故答案为：． 26．（24-25七年级上·重庆渝中·期末）王老师将，，，，，，，，，分别写在十张不透明的卡片上，打乱卡片的顺序后，随机发给五位同学各两张卡片．除甲以外，其余每位同学把自己拿到的两张卡片上的数字之和写在黑板上，结果如表所示，则甲拿的两张卡片上的数字之积为 ，乙拿的两张卡片上的数字之积为 ．    【答案】 20 【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算的应用，有理数乘法运算，解题的关键是熟练掌握运算法则．先根据10个数字的和为，除甲之外的8张卡片数字之和为，求出甲抽到的两张卡片数字之和为，根据丙抽到的两张卡片上数字之和为，推理得出甲拿到的两张卡片分别为，，丙抽到的两张卡片分别为，0，根据戊抽到的两张卡片数字和为4，而剩余6张卡片中，只有，得出戊抽到的两张卡片分别为1，3，然后推理得出乙、丁抽到的两张卡片上的数字，最后求出结果即可． 解：∵， 又∵除甲以外，其余每位同学拿到的卡片数字之和为： ， ∴甲拿到的两张卡片的数字之和为：， 观察10个数字可知：，， 如果甲拿到的两张卡片为，，那么剩余的8张卡片上不可能存在两张卡片上的数字和为，而丙抽到的两张卡片上的数字的和为， ∴甲拿到的两张卡片分别为，，丙抽到的两张卡片分别为，0， ∴甲拿的两张卡片上的数字之积为； ∵戊抽到的两张卡片数字和为4，而剩余6张卡片中，只有， ∴戊抽到的两张卡片分别为1，3， ∵，， ∴丁抽到的两张卡片为4，，乙抽到的两张卡片为2，， ∴乙抽到的两张卡片上的数字之积为． 故答案为：20；． 6、 解答题（12×2=24分） 27.（12分）（24-25七年级上·重庆忠县·开学考试）简便计算 （1）1 （2） （3） （4） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了有理数乘法运算律（乘法分配律），善于运用有理数乘法运算律（乘法分配律）进行简便计算是解题的关键． （1）运用有理数乘法运算律（乘法分配律）进行简便计算即可； （2）将拆分成，然后运用有理数乘法运算律（乘法分配律）进行简便计算即可； （3）先计算，运用有理数乘法运算律（乘法分配律）进行简便计算，然后即可得出的计算结果； （4）先后两次运用有理数乘法运算律（乘法分配律）进行简便计算即可． 解：（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ， ； （4）解： ． 28.（12分）（24-25七年级上·广西桂林·阶段练习）数学老师熊老师在课堂上布置了一道思考题“计算”，小雷同学仔细思考了一番，用了一种不同的方法解决了这个问题，小雷同学的解法： 原式的倒数为，所以． （1）根据倒数的定义我们知道，若，则________． （2）请你运用小雷同学的解法解答下面的问题： 计算：． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查了倒数，有理数加减运算，有理数乘法运算律，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据题意即可求解； （）根据题意利用小雷解法先取原式的倒数，再转化为乘法，计算后再取倒数即可． 解：（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：原式的倒数为 ， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$