专题2.3（1） 有理数的乘除运算（知识梳理与题型分类讲解）-2025-2026学年七年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题2.3（1） 有理数的乘除运算（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点梳理归纳与题型目录】 【核心要点】（1）理解有理数乘除法法则；（2）熟练运用有理数乘法运算律；（3）转化思想的运用；（4）难点与易错点：符号变化问题；不熟悉运用乘法运算律进行简便运算，不能举一反三. 【知识点1】有理数乘法 1.有理数乘法法则： （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（2）任何数同0相乘，都得0． 2.解题步骤： （1）观察：是同号还是异号；特别注意乘法中因数是否有0； （2）定符号：同号取“+”符号；异号取“-”符号； （3）运算：转化为小学乘法运算．特别注意积是负数，不要漏掉“-”符号 简记：一看、二定、三算 【知识点2】有理数除法 1.倒数的意义： 乘积是1的两个数互为倒数． 2. 有理数除法法则： （1）除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即. （2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0. 3.解题步骤： （1）转化：一是“”转化成“”，二是把除数写成其倒数； （2）定符号：依据两数相乘同号得正，异号得负原则定积的符号； （3）运算：运用有理数小学乘法法则得出结果． 简记：一转、二定、三算. 【要点理解】运算法则涵义：（1）利用转化思想把除法运算转化为乘法运算；（2）转化为乘法运算时，注意符号不变. 【知识点3】有理数乘法运算律 1.乘法运算律 （1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即：． （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等． 即：． （3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即： 2.运算运算律解题步骤： （1）观察：观察算式结构，适当用于交换律、结合律还是分配律； （2）结合：如果是交换律就交换因数位置，如果是结合律就添加括号改变运算顺序，如果是分配律拆分合并算式； （3）运算：分别运算得出结果． 简记：一看、二合、三算. 【知识点4】有理数的乘除混合运算 由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果． 简记：转（除法转化为乘法）；定（定积的符号）；（3）算（计算结果） 特别注意：在学习中，易错点往往是符号问题，所以最好选择先定符号，再把除法转化为乘法，最后进行计算结果. 【知识点5】有理数的乘除混合运算 有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，则先算括号里面的． 有理数加减乘除混合运算是本章的重难点，易错点在于符号错误，一般解题步骤是： （1） 分：观察“”，“”，进行“分家”， （2） 算：进行括号里的运算； （3） 算：进行加减运算； （4） 算：得出结果. 易错点：“分家”分得不准确，出现符号错误；括号里运算后去括号里出现符号出错. 【题型目录】 【考点一】有理数的乘法 【题型一】两个有理数乘法运算（解题基本步骤：1.看；2.定；3.算）...........................3 【题型二】多个有理数乘法运算（解题基本步骤：1.看；2.定；3.算）...........................4 【考点二】有理数的除法 【题型三】倒数（带分数的倒数，倒数+相反数+绝对值+立体图形展开图上的数字）................6 【题型四】有理数的除法运算（解题基本步骤：1.转；2.定；3.算）.............................7 【考点三】有理数的乘除混合运算 【题型五】有理数乘除混合运算（解题基本步骤：1.除法转化为乘法;2.定符号；3.算）............9 【题型六】有理数乘除的简便运算（解题基本步骤：1.看（适用的乘法运算律）；2.合；3.算）.....11 【考点四】有理数的加减乘除混合运算 【题型七】有理数加减乘除混合运算（解题基本步骤：1.分家:利用“+”“-”进行分家；2.每家进行运算；3.再对各家之间进行运算；4.有括号先算括号里的运算）..................................13 【题型八】有理数加减乘除混合运算的实际应用..............................................16 【考点五】直通中考与拓展延伸 【题型九】直通中考......................................................................18 【题型十】拓展延伸（点在数轴上判断式子的符号+绝对值与有理数四则运算）...................19 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】有理数的乘法 【题型一】两个有理数乘法运算（解题基本步骤：一看、二定、三算） 【例题1】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】利用有理数的乘法法则，熟练掌握有理数乘法法则是解题的关键； （1）（2）（4）根据有理数的乘法法则，同号相乘得正，异号相乘得负，计算即可求解； （3）根据有理数的乘法法则，任何数与相乘都得，计算即可求解. 解：（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解： 【变式1】（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） 【分析】（）（2）（3）（4）（5）根据有理数的乘法法则计算即可； （）根据绝对值的性质和有理数的乘法法则计算即可； 本题考查了有理数的乘法，掌握有理数的乘法法则是解题的关键． 解：（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ； （6）解：原式 ． 【变式2】（2025·黑龙江哈尔滨·一模）现定义一种新运算：对于任意有理数x、y，都有．例如：，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，涉及有理数的混合运算，理解新定义，掌握运算法则是解题的关键． 由新定义得到，再进行计算即可． 解：由题意得，， 故答案为：． 【题型二】多个有理数乘法运算（解题基本步骤：一看、二定、三算） 【例题2】（2024七年级上·浙江·专题练习）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）0 【分析】本题考查有理数的乘法，熟知有理数乘法运算法则是解答的关键． （1）（2）（3）（4）根据有理数的乘法法则计算即可； 解：（1）解：原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查多个有理数相乘，熟练掌握有理数乘法法则是解题的关键； （1）（2）（3）根据多个有理数乘法法则计算即可求解； 解：（1）解：； （2）解： （3）解： 【变式2】（2024七年级上·浙江·专题练习）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）1.62 【分析】本题考查了有理数的乘法，熟记运算法则是解题的关键，计算时要注意运算符号的处理． （1）（2）根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解； 解：（1）解：原式， ； （2）解：原式 ． 【考点二】有理数的除法 【题型三】倒数（带分数的倒数，倒数+相反数+绝对值+立体图形展开图上的数字） 【例题3】（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）已知有理数a、b互为相反数且，c，d互为倒数，数轴上表示有理数m和的两个点相距3个单位长度，求的值． 【答案】1或5 【分析】本题考查数轴与有理数，有理数的运算：根据相反数得到，倒数得到，两点间的距离得到或，分或，进行计算即可，熟练掌握有理数的运算法则，是解题的关键． 解：由题意，得：，，或， ∴或． 【变式1】（24-25七年级上·山西运城·期末）如图是一个长方体礼品盒的平面展开图，礼品盒中相对两个面上的数互为倒数，则的值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字、倒数等知识点，掌握长方体的表面展开图找相对面的方法成为解题的关键． 根据同层隔一面、“Z”字两端是对面求出m、n、p的值，然后求和即可解答． 解：由题意可得：， ∴． 故选A． 【变式2】（24-25七年级上·山东济宁·期末）若a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为3，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查有理数的运算，根据相反数的定义，倒数的定义，绝对值的意义得到，再进行计算即可． 解：由题意，得：， ∴或； 故答案为：或． 【题型四】有理数的除法运算（解题基本步骤：一转、二定、三算） 【例题3】（24-25七年级上·湖南娄底·阶段练习）计算： （1）． （2）． 【答案】（1）﹣；（2） 【分析】本题主要考查了有理数的乘除法运算和有理数的除法运算，解决此题的关键是注意计算的正确性． （1）根据法则可以判断符号为负，再根据除法法则变乘法，即可得到结果； （2）根据有理数的除法法则：除以一个数等于陈乘以这个数的倒数，再根据乘法分配律，即可得到结果． 解：（1）解： （2）解： 【变式1】（2024七年级上·江苏·专题练习）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）3；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了有理数的除法运算．熟练掌握有理数的除法运算是解题的关键． （1）先将带分数化成假分数，然后进行除法运算即可； （2）直接进行除法运算即可； （3）先将带分数化成假分数，然后进行除法运算即可； （4）先将带分数化成假分数，然后进行除法运算即可． 解：（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式2】（24-25七年级上·广西柳州·期中）阅读以下材料，完成相关的填空和计算． 我们知道，显然与的结果互为倒数． （1）若，则____________． （2）小华利用这一思想方法计算的过程如下： 因为， 所以． 请你仿照这种方法计算：． 【答案】（1）；（2） 【分析】考查了有理数的除法． （1）由，和互为倒数关系，可得； （2）先计算的值，再求出它的倒数即可求解． 解：（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：∵ ． ∴． 【考点三】有理数的乘除混合运算 【题型五】有理数乘除混合运算（解题基本步骤：一.除法转化为乘法;二、2定符号、三、3.算） 【例题5】（2025七年级下·全国·专题练习）计算． （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查有理数的乘除混合运算．掌握各运算法则是解题关键． （1）任何数与0相乘都等于0，所以结果为0． （2）利用乘法交换律先算与的积，再乘． （3）将带分数化为假分数后与相乘并约分计算． （4）把带分数化为假分数，将除法变乘法后从左到右依次计算． 解：（1）原式 （2）原式 （3）原式 （4）原式 【变式1】（24-25七年级上·重庆渝北·阶段练习）计算： （1）； （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查有理数的乘除法混合运算，掌握运算顺序和运算法则是解题的关键． （1）先运算乘除，然后运算减法解题即可； （2）先运算括号，然后把除法转化为乘法，约分即可． 解：（1）解： ； （2）解： 【变式2】（24-25七年级上·重庆·开学考试） 计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加、减、乘、除法运算，根据运算顺序及运算法则即可求解，熟练掌握运算法则和运算顺序是解题的关键． 解：原式 ． 【题型六】有理数乘除的简便运算（解题基本步骤：1.看（适用的乘法运算律）、2.合、3.算） 【例题6】（24-25七年级下·全国·假期作业）计算下面各题，能简便的用简便方法计算． （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）9；（2）6；（3）；（4） 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据减法的性质把原式化为进行简算； （2）根据乘法分配律：，把化为，再根据加法结合律化为进行简算； （3）先算小括号里的减法，再算中括号里的除法，最后算中括号外的乘法； （4）根据分数的拆分把原式化为，通过消项简算． 解：（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式1】（24-25七年级上·广东揭阳·阶段练习）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则与运算律是解题的关键． （1）根据有理数的加减混合运算，先去括号，再根据加法结合律和交换律进行计算即可； （2）根据有理数的乘法分配律进行计算即可求解． 解：（1）解： ； （2）解： 【变式2】（24-25七年级上·河南洛阳·期中）计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键． （1）先化除为乘，然后根据乘法交换律，进行计算，即可； （2）先根据有理数的乘法运算律进行计算，然后再进行减法运算即可 解：（1）解： ． （2）解： ． 【考点四】有理数的加减乘除混合运算 【题型七】有理数加减乘除混合运算（解题基本步骤：1.分家:利用“+”“-”进行分家；2.每家进行运算；3.再对各家之间进行运算，有括号先算括号里的运算） 【例题7】（24-25七年级上·重庆·阶段练习）计算 （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，按照先计算乘除法，再计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（24-25七年级下·山东青岛·期中）数学符号是数学学科中用来表示数量关系和空间形式的符号系统，它们具有高度的抽象性和简洁性．在数学中，记．，，，…，．则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据新定义，列出算式进行计算即可，熟练掌握新定义，是解题的关键． 解： ； 故选B． 【变式2】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）现有这样一种算法程序，任意输入一个数后会不断地反复进行“先乘以，后加上4”的运算，即若输入2，通过第一次运算输出，随后输入，通过第二次运算输出，随后输入，……，一直这样运算下去，运算结果会越来越接近于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘方、代数式的运算，理解新算法，熟练掌握有理数的混合运算是解题关键． 先计算前几组数据，找到规律，根据规律求解即可； 解：若输入的数为， 则第一次运算结果为：， 第二次运算结果为：， 第三次运算结果为， 第（为奇数时）次运算结果为， 第（为偶数时）次运算结果为 当一直这样运算下去，运算结果会越来越接近于； 故选：B 【题型八】有理数加减乘除混合运算的实际应用 【例题8】（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）家积攒了万元，准备买一套新房，经过全家人的考察，看中了一套平方米的学区房，房价为元/平方米，房子一直在涨价，预计一年后的房价为元/平方米． （1）如果不买房将钱全部存入银行，定期一年，年利率是，一年后可取回多少万元？ （2）现在买房划算还是一年后买房划算？（通过计算说明） 【答案】（1）万元；（2）现在买房划算，理由见分析． 【分析】本题考查了百分数的应用，根据题意列出算式是解题的关键； （1）用本金加上利息，即可求解； （2）根据题意求得1年后房子涨价多少，与利息比较，即可求解． 解：（1）解：（万元） （2）（万元） （万元） 现在买房划算 【变式1】（24-25七年级上·四川南充·期中）南部县是一座历史文化悠久、人口众多的大县，出租车是重要的交通工具，出租车的计价标准为：行程不超过2千米收费5元，超过2千米的部分按每千米1.5元收费（不足1千米的按1千米计算）一出租车公司坐落于南北方向的南铁大道边，驾驶员张师傅从公司出发，在此大道上连续接送5批客人，行驶记录如下：（注；一批次的客人指的是一次可坐1到4位客人，规定向北为正，向南为负，单位：千米） 第一批 第二批 第三批 第四批 第五批 （1）送完第五批客人后，张师傅在公司的 边（填南或北）距离公司 千米的位置． （2）张师傅的车平均每千米消耗压缩天然气0.09升，则送完第五批客人后，张师傅用了多少升压缩天然气？ （3）在整个过程中，张师傅共收到车费多少元？ 【答案】（1）南，0.4；（2）送完第五批客人后，王师傅用了升压缩天然气；（3）在整个过程中，张师傅共收到车费34元 【分析】本题主要考查了正数和负数的应用，有理数的混合运算，熟练掌握正负数的作用，绝对值的意义，分段计费，是解答本题的关键． （1）将表格中的数据相加，再根据正负数的意义即可解答； （2）先计算出在整个过程的总路程，然后乘以每千米消耗压缩天然气0.09升，即可解答； （3）根据表格中的数据是超过2千米的分段计费，取总和，可以计算出送完第五批客人后，张师傅共收到的车费． 解：（1）解：（千米）， 即送完第五批客人后，张师傅在公司的南边，距离公司0.4千米的位置； 故答案为：南，0.4； （2）解：（升， 送完第五批客人后，王师傅用了升压缩天然气； （3）解：由题可知： （元， 在整个过程中，张师傅共收到车费34元． 【变式2】（24-25七年级上·广西河池·期末）为巩固脱贫攻坚成果，助力乡村振兴快速发展．我县所略乡推行“发展茶油产业，加快脱贫的步伐”．某种植户新鲜采摘了20筐茶果，以每筐25千克为标准重量，超过或不足千克数分别用正，负数来表示，记录如下： 与标准重量的差值（单位：千克） 0 1 筐数 1 4 2 3 2 8 （1）与标准重量比较，20筐茶果总计超过或不足多少千克？ （2）若该种植户采摘生茶果每千克售价元，则出售这20筐茶果可获得多少元？ 【答案】（1）20筐茶果的总质量比标准质量超过8千克；（2）出售这20筐茶果可获得元 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，熟知正负数的实际意义是解题的关键． （1）根据表格中的数据求出这20筐茶果的重量，若结果为正，则超过标准质量，若为负，则不足，若为0，这等于标准质量，据此求解即可； （2）用每千克的售价乘以茶果总质量即可得到答案． 解：（1）解：由题意得：千克， 答：20筐茶果的总质量比标准质量超过8千克； （2）解：由题意得：（元） 答：出售这20筐茶果可获得元． 【考点五】直通中考与拓展延伸 【题型九】直通中考 【例题1】（2025·四川眉山·中考真题）2025的相反数是（   ） A．2025 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相反数的定义，熟知相反数的概念是关键； 根据相反数的定义，数值相同但符号相反的两个数互为相反数即可得到答案. 解：相反数的定义为：一个数的相反数是在其前面添加负号所得的数； 2025是正数，其相反数为；选项中B符合相反数的定义； A是原数，C和D分别为倒数和负倒数，均不符合题意； 故选B. 【例题2】（2024·北京·中考真题）联欢会有A，B，C，D四个节目需要彩排.所有演员到场后节目彩排开始。一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始.每个节目的演员人数和彩排时长（单位：min）如下： 节目 A B C D 演员人数 10 2 10 1 彩排时长 30 10 20 10 已知每位演员只参演一个节目.一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）。 若节目按“”的先后顺序彩排，则节目D的演员的候场时间为 min； 若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按 的先后顺序彩排 【答案】 60 【分析】本题考查了有理数的混合运算，正确理解题意，熟练计算是解题的关键． ①节目D的演员的候场时间为；②先确定C在A的前面，B在D前面，然后分类讨论计算出每一种情况下，所有演员候场时间，比较即可． 解：①节目D的演员的候场时间为， 故答案为：60； ②由题意得节目A和C演员人数一样，彩排时长不一样，那么时长长的节目应该放在后面，那么C在A的前面，B和D彩排时长一样，人数不一样，那么人数少的应该往后排，这样等待时长会短一些，那么B在D前面， ∴①按照顺序，则候场时间为：分钟； ②按照顺序，则候场时间为：分钟； ③按照顺序，则候场时间为：分钟； ④按照顺序，则候场时间为：分钟； ⑤按照顺序，则候场时间为：分钟； ⑥按照顺序，则候场时间为：分钟． ∴按照顺序彩排，候场时间之和最小， 故答案为：． 【题型十】拓展延伸（点在数轴上判断式子的符号+绝对值与有理数四则运算+规律问题） 【例题1】（24-25七年级上·山西晋中·期末）我们知道，所以当时，；当时，．下列结论序号正确的是（   ） ①已知，是有理数，当时，的值为或； ②已知，是不为0的有理数，当时，则的值为； ③已知，，是有理数，，，则或； ④已知，，是非零的有理数，且，则的值为或； ⑤已知，，是非零的有理数，，则的所有可能的值为； A．①③④⑤ B．②③④⑤ C．①②④⑤ D．①②③⑤ 【答案】C 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，有理数的乘除法符号问题，根据，分三种情况分别求得的值，即可判断①；根据，可得，得出，或，，然后根据绝对值的意义化简绝对值进而判断②，根据，得出，，，求出，根据，，得出、、中一负两正，再化简绝对值即可判断③，根据，可得，得出a、b、c中有3个负数或一负两正，分类讨论化简绝对值，根据③的方法即可判断④和⑤． 解：①∵， 当同号时，即或，时， 或， 当异号，即，或，， ∴或 ∴当时，的值为或；故①正确； 当时，即， ∴a、b异号，即，或，， ∴或； ∴当时，的值为；故②正确； ∵， ∴，，， ∴， ∵，， ∴a、b、c中一负两正， 不妨设, ∴． ∴的值为．故③不正确； ∵，则 ∴， ∴a、b、c中有3个负数或一负两正， 当a、b、c都是负数时，； 当a、b、c中有一负两正时，； ∴的值为或；故④正确； ∵， ∴a、b、c中一负两正或一正两负， 当a、b、c中一负两正， 不妨设, ∴ 当a、b、c中一正两负， 不妨设, ∴ ∴的所有可能的值为，故⑤正确， 故正确的有①②④⑤， 故选：C． 【例题2】（24-25七年级上·重庆渝中·阶段练习）在学习完有理数的混合运算后，小明和同学一起编制了如下一个运算程序：一开始输入一个非零自然数n，当n为偶数时，就用n除以2，得到一个新的自然数；当n为奇数时，我们先把n乘以3后，其结果再加上1，这样也能得到一个新的自然数．把第一次运算后得到的新的自然数再次代入程序中，按上述法则继续运算，并不断重复这个运算程序m次，直到运算的结果第一次为1时，终止此程序，我们就称m是自然数n的熵．例如自然数时，则第一次运算，第二次运算，第三次运算，这样经过3次运算后结果第一次为1，则称8的熵．若输入自然数，则自然数3的熵 ；若一个自然数n的熵，则满足条件的所有可能的自然数n的取值之和为 ； 【答案】 7 786 【分析】本题考查程序流程图与有理数的计算，根据程序流程图代值计算，求出时的熵，根据n为自然数，得到最后结果为1时，一定是，进而推出熵时，输入的所有可能的自然数，再求和即可． 解：当时， 第一次运算：， 第二次运算：， 第三次运算：， 第四次运算：， 第五次运算， 第六次运算， 第七次运算， 故自然数3的熵； 当时： 第十次运算为：， 第九次运算为：， 第八次运算为：， 第七次运算为：， 第六次运算为：， 第五次运算为：，或 第四次运算为：或， 第三次运算为：或或或， 第二次运算为：或或或， 第一次运算为：或或或或或， ∴当时，满足题意， ∴； 故答案为：7，786． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$专题2.3(1) 有理数的乘除运算(知识梳理与题型分类讲解) 第一部分【知识点梳理归纳与题型目录】 【核心要点】(1)理解有理数乘除法法则;(2)熟练运用有理数乘法运算律;(3)转化思想的运用;(4)难点与易错点:符号变化问题;不熟悉运用乘法运算律进行简便运算,不能举一反三. 【知识点1】有理数乘法 1.有理数乘法法则: (1)两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘;(2)任何数同0相乘,都得0. 2.解题步骤: (1)观察:是同号还是异号;特别注意乘法中因数是否有0; (2)定符号:同号取“+”符号;异号取“-”符号; (3)运算:转化为小学乘法运算.特别注意积是负数,不要漏掉“-”符号 简记:一看、二定、三算 【知识点2】有理数除法 1.倒数的意义: 乘积是1的两个数互为倒数. 2. 有理数除法法则: (1)除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数,即. (2)两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数,都得0. 3.解题步骤: (1)转化:一是“”转化成“”,二是把除数写成其倒数; (2)定符号:依据两数相乘同号得正,异号得负原则定积的符号; (3)运算:运用有理数小学乘法法则得出结果. 简记:一转、二定、三算. 【要点理解】运算法则涵义:(1)利用转化思想把除法运算转化为乘法运算;(2)转化为乘法运算时,注意符号不变. 【知识点3】有理数乘法运算律 1.乘法运算律 (1)乘法交换律:两个数相乘,交换因数的位置,积相等,即:. (2)乘法结合律:三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积相等. 即:. (3)乘法分配律:一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘,再把积相加.即: 2.运算运算律解题步骤: (1)观察:观察算式结构,适当用于交换律、结合律还是分配律; (2)结合:如果是交换律就交换因数位置,如果是结合律就添加括号改变运算顺序,如果是分配律拆分合并算式; (3)运算:分别运算得出结果. 简记:一看、二合、三算. 【知识点4】有理数的乘除混合运算 由于乘除是同一级运算,应按从左往右的顺序计算,一般先将除法化成乘法,然后确定积的符号,最后算出结果. 简记:转(除法转化为乘法);定(定积的符号);(3)算(计算结果) 特别注意:在学习中,易错点往往是符号问题,所以最好选择先定符号,再把除法转化为乘法,最后进行计算结果. 【知识点5】有理数的乘除混合运算 有理数的加减乘除混合运算,如无括号,则按照“先乘除,后加减”的顺序进行,如有括号,则先算括号里面的. 有理数加减乘除混合运算是本章的重难点,易错点在于符号错误,一般解题步骤是: (1) 分:观察“”,“”,进行“分家”, (2) 算:进行括号里的运算; (3) 算:进行加减运算; (4) 算:得出结果. 易错点:“分家”分得不准确,出现符号错误;括号里运算后去括号里出现符号出错. 【题型目录】 【考点一】有理数的乘法 【题型一】两个有理数乘法运算(解题基本步骤:1.看;2.定;3.算)...........................3 【题型二】多个有理数乘法运算(解题基本步骤:1.看;2.定;3.算)...........................3 【考点二】有理数的除法 【题型三】倒数(带分数的倒数,倒数+相反数+绝对值+立体图形展开图上的数字)................3 【题型四】有理数的除法运算(解题基本步骤:1.转;2.定;3.算).............................4 【考点三】有理数的乘除混合运算 【题型五】有理数乘除混合运算(解题基本步骤:1.除法转化为乘法;2.定符号;3.算)............4 【题型六】有理数乘除的简便运算(解题基本步骤:1.看(适用的乘法运算律);2.合;3.算).....5 【考点四】有理数的加减乘除混合运算 【题型七】有理数加减乘除混合运算(解题基本步骤:1.分家:利用“+”“-”进行分家;2.每家进行运算;3.再对各家之间进行运算;4.有括号先算括号里的运算)..................................5 【题型八】有理数加减乘除混合运算的实际应用..............................................6 【考点五】直通中考与拓展延伸 【题型九】直通中考......................................................................6 【题型十】拓展延伸(点在数轴上判断式子的符号+绝对值与有理数四则运算)...................7 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】有理数的乘法 【题型一】两个有理数乘法运算(解题基本步骤:1.看; 2.定; 3.算) 【例题1】(2024七年级上 全国 专题练习)计算: (1); (2); (3); (4). 【变式1】(24-25七年级上 全国 课后作业)计算: (1); (2); (3); (4); (5); (6). 【变式2】(2025 黑龙江哈尔滨 一模)现定义一种新运算:对于任意有理数x、y,都有.例如:,则 . 【题型二】多个有理数乘法运算(解题基本步骤:1.看; 二.定; 3.算) 【例题2】(2024七年级上 浙江 专题练习)计算: (1); (2); (3); (4). 【变式1】(2024七年级上 全国 专题练习)计算: (1); (2); (3). 【变式2】(2024七年级上 浙江 专题练习)计算: (1); (2). 【考点二】有理数的除法 【题型三】倒数(带分数的倒数,倒数+相反数+绝对值+立体图形展开图上的数字) 【例题3】(24-25七年级上 江苏泰州 阶段练习)已知有理数a、b互为相反数且,c,d互为倒数,数轴上表示有理数m和的两个点相距3个单位长度,求的值. 【变式1】(24-25七年级上 山西运城 期末)如图是一个长方体礼品盒的平面展开图,礼品盒中相对两个面上的数互为倒数,则的值为( ) A. B. C. D.0 【变式2】(24-25七年级上 山东济宁 期末)若a,b互为相反数,c,d互为倒数,m的绝对值为3,则的值为 . 【题型四】有理数的除法运算(解题基本步骤:1.转; 2.定、3.算) 【例题3】(24-25七年级上 湖南娄底 阶段练习)计算: (1). (2). 【变式1】(2024七年级上 江苏 专题练习)计算: (1); (2); (3); (4). 【变式2】(24-25七年级上 广西柳州 期中)阅读以下材料,完成相关的填空和计算. 我们知道,显然与的结果互为倒数. (1)若,则_. (2)小华利用这一思想方法计算的过程如下: 因为, 所以. 请你仿照这种方法计算:. 【考点三】有理数的乘除混合运算 【题型五】有理数乘除混合运算(解题基本步骤:1.除法转化为乘法; 2.定符号; 3.算) 【例题5】(2025七年级下 全国 专题练习)计算. (1); (2); (3); (4). 【变式1】(24-25七年级上 重庆渝北 阶段练习)计算: (1); (2) 【变式2】(24-25七年级上 重庆 开学考试) 计算:. 【题型六】有理数乘除的简便运算(解题基本步骤:1.看(适用的乘法运算律); 2.合; 3.算) 【例题6】(24-25七年级下 全国 假期作业)计算下面各题,能简便的用简便方法计算. (1); (2); (3); (4). 【变式1】(24-25七年级上 广东揭阳 阶段练习)计算: (1); (2). 【变式2】(24-25七年级上 河南洛阳 期中)计算: (1) (2) 【考点四】有理数的加减乘除混合运算 【题型七】有理数加减乘除混合运算(解题基本步骤:1.分家:利用“+”“-”进行分家;2.每家进行运算;3.再对各家之间进行运算,有括号先算括号里的运算) 【例题7】(24-25七年级上 重庆 阶段练习)计算 (1) (2) 【变式1】(24-25七年级下 山东青岛 期中)数学符号是数学学科中用来表示数量关系和空间形式的符号系统,它们具有高度的抽象性和简洁性.在数学中,记.,,,…,.则的值为( ) A. B.0 C.1 D.2 【变式2】(24-25七年级上 浙江杭州 期中)现有这样一种算法程序,任意输入一个数后会不断地反复进行“先乘以,后加上4”的运算,即若输入2,通过第一次运算输出,随后输入,通过第二次运算输出,随后输入,……,一直这样运算下去,运算结果会越来越接近于( ) A. B. C. D. 【题型八】有理数加减乘除混合运算的实际应用 【例题8】(24-25六年级下 黑龙江哈尔滨 期中)家积攒了万元,准备买一套新房,经过全家人的考察,看中了一套平方米的学区房,房价为元/平方米,房子一直在涨价,预计一年后的房价为元/平方米. (1)如果不买房将钱全部存入银行,定期一年,年利率是,一年后可取回多少万元? (2)现在买房划算还是一年后买房划算?(通过计算说明) 【变式1】(24-25七年级上 四川南充 期中)南部县是一座历史文化悠久、人口众多的大县,出租车是重要的交通工具,出租车的计价标准为:行程不超过2千米收费5元,超过2千米的部分按每千米1.5元收费(不足1千米的按1千米计算)一出租车公司坐落于南北方向的南铁大道边,驾驶员张师傅从公司出发,在此大道上连续接送5批客人,行驶记录如下:(注;一批次的客人指的是一次可坐1到4位客人,规定向北为正,向南为负,单位:千米) 第一批 第二批 第三批 第四批 第五批 (1)送完第五批客人后,张师傅在公司的 边(填南或北)距离公司 千米的位置. (2)张师傅的车平均每千米消耗压缩天然气0.09升,则送完第五批客人后,张师傅用了多少升压缩天然气? (3)在整个过程中,张师傅共收到车费多少元? 【变式2】(24-25七年级上 广西河池 期末)为巩固脱贫攻坚成果,助力乡村振兴快速发展.我县所略乡推行“发展茶油产业,加快脱贫的步伐”.某种植户新鲜采摘了20筐茶果,以每筐25千克为标准重量,超过或不足千克数分别用正,负数来表示,记录如下: 与标准重量的差值(单位:千克) 0 1 筐数 1 4 2 3 2 8 (1)与标准重量比较,20筐茶果总计超过或不足多少千克? (2)若该种植户采摘生茶果每千克售价元,则出售这20筐茶果可获得多少元? 【考点五】直通中考与拓展延伸 【题型九】直通中考 【例题1】(2025 四川眉山 中考真题)2025的相反数是( ) A.2025 B. C. D. 【例题2】(2024 北京 中考真题)联欢会有A,B,C,D四个节目需要彩排.所有演员到场后节目彩排开始。一个节目彩排完毕,下一个节目彩排立即开始.每个节目的演员人数和彩排时长(单位:min)如下: 节目 A B C D 演员人数 10 2 10 1 彩排时长 30 10 20 10 已知每位演员只参演一个节目.一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔(不考虑换场时间等其他因素)。 若节目按“”的先后顺序彩排,则节目D的演员的候场时间为 min; 若使这23位演员的候场时间之和最小,则节目应按 的先后顺序彩排 【题型十】拓展延伸(点在数轴上判断式子的符号+绝对值与有理数四则运算+规律问题) 【例题1】(24-25七年级上 山西晋中 期末)我们知道,所以当时,;当时,.下列结论序号正确的是( ) ①已知,是有理数,当时,的值为或; ②已知,是不为0的有理数,当时,则的值为; ③已知,,是有理数,,,则或; ④已知,,是非零的有理数,且,则的值为或; ⑤已知,,是非零的有理数,,则的所有可能的值为; A.①③④⑤ B.②③④⑤ C.①②④⑤ D.①②③⑤ 【例题2】(24-25七年级上 重庆渝中 阶段练习)在学习完有理数的混合运算后,小明和同学一起编制了如下一个运算程序:一开始输入一个非零自然数n,当n为偶数时,就用n除以2,得到一个新的自然数;当n为奇数时,我们先把n乘以3后,其结果再加上1,这样也能得到一个新的自然数.把第一次运算后得到的新的自然数再次代入程序中,按上述法则继续运算,并不断重复这个运算程序m次,直到运算的结果第一次为1时,终止此程序,我们就称m是自然数n的熵.例如自然数时,则第一次运算,第二次运算,第三次运算,这样经过3次运算后结果第一次为1,则称8的熵.若输入自然数,则自然数3的熵 ;若一个自然数n的熵,则满足条件的所有可能的自然数n的取值之和为 ; 1 学科网(北京)股份有限公司 $$