专题2.2（1） 有理数的加减运算（知识梳理与题型分类讲解）-2025-2026学年七年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题2.2（1） 有理数的加减运算（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识储备梳理归纳与题型目录】 一、【目标要点】 （1）理解有理数加减法法则；（2）熟练运用有理数加法运算律；（3）转化思想的运用；（4）难点与易错点：符号变化问题；不熟悉运用加法运算律简便运算，不能举一反三. 二、【知识储备与题型展示】 【知识储备1】有理数加法 1.定义：把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法． 2.有理数加法法则： （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； （2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0； （3）一个数同0相加，仍得这个数． 【题型一】有理数加法运算 【例题1】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）学科素养·分类讨论  已知，，若，则 ． 【题型二】有理数加法运算中的符号问题 【例题2】（23-24七年级上·全国·课后作业）的符号取 号，的符号取 号，的符号取 号． 【点拨】此题考查了加法法则判断和的符号，熟练掌握加法法则是解题的关键． 【变式1】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）若，，，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】用“”或“”填空： （1）如果，那么 0； （2）如果，那么 0； （4）如果，那么 0． 【知识储备2】有理数加法运算律 1. 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变，即a+b＝b+a 2. 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变，即（a+b）+c＝a+（b+c） 【题型三】有理数加法运算律 【例题3】（24-25六年级下·上海·假期作业）计算： （1）； （2）． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）运用加法交换律和加法结合律填空：（ ）+（ ）． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： （1）； （2）． 【知识储备3】有理数减法 1.定义： 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法，减法是加法的逆运算． 2.法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：． 【题型四】有理数的减法运算 【例题4】（24-25六年级下·上海·假期作业）计算： （1）； （2）； （3）． 【变式1】（24-25六年级下·上海·假期作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式2】（23-24七年级上·甘肃兰州·期中）已知，，且，求的值． 【题型五】有理数加减混合运算 【例题5】（24-25六年级下·上海·假期作业）计算： （1）； （2）； （3）． 【变式1】（24-25七年级上·广东梅州·阶段练习）计算： （1）； （2）； 【变式2】（24-25六年级下·上海·假期作业）计算： （1）； （2）． 【知识储备4】有理数加减运算简便方法 1.解理理论依据：加法交换律和结合律． 2.方法：同号结合法；凑整结合法；同分母结合法；相反数结合法；拆项法等等 【题型六】有理数加减中的简便运算 【例题6】（24-25七年级上·广东深圳·阶段练习）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式1】（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式2】（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）阅读例题的计算方法． 例：计算：． 解：原式 ． 上面这种解题方法叫做拆项法． （1）计算：； （2）计算：． 【题型七】有理数加减运算的实际应用 【例题7】（24-25七年级上·广东广州·期中）有筐白菜，以每筐千克为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的纪录如下： 回答下列问题： （1）这筐白菜中最接近标准重量的这筐白菜重______千克； （2）这筐白菜中，最重的与最轻的相差______千克； （3）这筐白菜一共重多少千克？ 【变式1】（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）小甲虫从某点出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬过的各段路程依次为：（单位：厘米） ，，，，，，． （1）小甲虫最后是否回到出发点呢？计算说明 （2）在爬行过程中，如果每爬行1厘米奖励三粒芝麻，那么小甲虫一共得到多少粒芝麻？ （3）小甲虫离出发点最远多少厘米？ 【变式2】（24-25六年级上·山东东营·期末）某市客运管理部门对“十一”国庆假期七天客流变化量进行了不完全统计，数据如下（用正数表示客流量比前一天上升数，用负数表示客流量比前一天下降数）． 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 变化/万人 20 -3 -10 -3 2 9 6 （1）10月3日的客流量比10月1日的客流量少了_____万人； （2）在10月1日至10月7日期间，10月_____日客流量最多，10月_____日客流量最少； （3）与9月30日相比，10月5日的客流量是上升了还是下降了?变化了多少? 【题型八】直通中考 【例题1】（2024·天津·中考真题）计算的结果等于（  ） A． B．0 C．3 D．6 【例题2】（2024·陕西·中考真题）小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，将0，，，1，2这五个数分别填在五个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，则填入中间位置的小正方形内的数可以是 ．（写出一个符合题意的数即可） 【题型九】拓展延伸 【例题1】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）某校七年级班至班计划每班购买数量相同的图书布置班级读书角，但是由于种种原因，实际购书量与计划有出入，实际购书情况如下表： 班级 班 班 班 班 实际购书量（本） 实际购书量与计划购书量的差（本） （1）求每个班计划购书量； （2）直接写出：________，________，________； （3）书店给出一种优惠方案：一次购买达到本，其中本书免费．若每本书售价为元，求这个班团体购书的最低费用． 【例题2】（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）．“洛书”是一种关于天地空间变化脉络图案，它是以黑点与白点为基本要素，以一定方式构成若干不同组合．“洛书”用今天的数学符号翻译出来就是一个三阶幻方（如图2）．三阶幻方又名九宫格，是一种将数字（1至9，数字不重复使用）安排在三行三列正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字和都相等． （1）根据“洛书”中表达的意思，______，______； （2）改变图2幻方中数字的位置，可以得到一个新的三阶幻方（如图3），则______，______，______； （3）如图4，有3个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“〇”．将这12个数填入恰当的位置（数字不重复使用），使每个正方形的4个顶点处“〇”中的数的和都为2．则______，______． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.2（1） 有理数的加减运算（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识储备梳理归纳与题型目录】 一、【目标要点】 （1）理解有理数加减法法则；（2）熟练运用有理数加法运算律；（3）转化思想的运用；（4）难点与易错点：符号变化问题；不熟悉运用加法运算律简便运算，不能举一反三. 二、【知识储备与题型展示】 【知识储备1】有理数加法 1.定义：把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法． 2.有理数加法法则： （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； （2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0； （3）一个数同0相加，仍得这个数． 【题型一】有理数加法运算 【例题1】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5） 【分析】本题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）（2）（3）（4）（5）根据有理数的加法法则计算即可得解； 解：（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）4.6；（4） 【分析】本题考查有理数的加法运算： （1）（2）（3）（4）根据有理数加法法则进行计算即可； 解：（1）解：原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）学科素养·分类讨论  已知，，若，则 ． 【答案】7或1/1或7 【分析】本题考查有理数的加法，熟练掌握绝对值的性质和分类讨论的思想是解题的关键． 根据题意分别得到的值，，再根据，结合分类讨论，代入即可得到答案． 解：∵，， ∴，， 又∵， ∴，， 当，时，； 当，时，； 故答案为：7或1． 【题型二】有理数加法运算中的符号问题 【例题2】（23-24七年级上·全国·课后作业）的符号取 号，的符号取 号，的符号取 号． 【答案】 负/- 正/+ 负/- 【分析】根据加法法则判断和的符号即可． 解：的符号取负号，的符号取正号，的符号取负号， 故答案为：负，正，负 【点拨】此题考查了加法法则判断和的符号，熟练掌握加法法则是解题的关键． 【变式1】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）若，，，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了有理数大小比较的方法，由于，，，则，，进而可得答案． 解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 【变式2】用“”或“”填空： （1）如果，那么 0； （2）如果，那么 0； （4）如果，那么 0． 【答案】 【分析】（1）（2）（3）（4）根据有理数的加法法则即可解答； 解：（1）同号两数相加，取相同的符号，两数都为正数，所以两数的和为正． 故答案为：； （2）同号两数相加，取相同的符号，两数都为负数，所以两数的和为负． 故答案为：； （3）异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，由于，所以两数的和取a的符号，即两数和的符号为正． 故答案为：； （4）异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，由于，所以两数的和取b的符号，即两数和的符号为负． 故答案为：； 【点拨】本题主要考查有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则是解题的关键． 【知识储备2】有理数加法运算律 1. 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变，即a+b＝b+a 2. 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变，即（a+b）+c＝a+（b+c） 【题型三】有理数加法运算律 【例题3】（24-25六年级下·上海·假期作业）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）0；（2） 【分析】本题考查了有理数的加法法则和运算律的运用．正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用加法交换律和结合律进行简便运算，即可作答． （2）运用加法交换律和结合律进行简便运算，即可作答． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）运用加法交换律和加法结合律填空：（ ）+（ ）． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法交换律和结合律，解题的关键是掌握常见简便计算的方法与技巧．根据有理数的加法交换律和结合律求解即可． 解：， 故答案为：，． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查有理数加法运算，涉及加法运算律，熟练掌握有理数加法运算法则是解决问题的关键． （1）先由加法交换律和结合律恒等变形，再由有理数加法运算法则求解即可得到答案； （2）先将小数化为分数，再由加法交换律和结合律恒等变形，最后由有理数加法运算法则求解即可得到答案． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【知识储备3】有理数减法 1.定义： 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法，减法是加法的逆运算． 2.法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：． 【题型四】有理数的减法运算 【例题4】（24-25六年级下·上海·假期作业）计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）8；（2）0；（3）． 【分析】本题考查了有理数的减法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）（2）（3）根据有理数的减法运算法则计算； 解：（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式1】（24-25六年级下·上海·假期作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【分析】本题考查了有理数的减法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）（2）（3）（4）根据有理数的减法运算法则计算即可； 解：（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式2】（23-24七年级上·甘肃兰州·期中）已知，，且，求的值． 【答案】或 【分析】本题主要考查了化简绝对值、代数式求值等知识储备，根据题意求得或、成为解题的关键． 根据绝对值的意义并结合已知条件分别求得a、b的值，然后代入计算即可． 解：∵， ∴或， ∵， ∴或， ∵， ∴或、， ∴或． 答：的值为或． 【题型五】有理数加减混合运算 【例题5】（24-25六年级下·上海·假期作业）计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）8；（2）；（3） 【分析】本题考查有理数的加减法的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键， （1）将分母相同的项利用同分母分数加减法的运算法则进行计算，然后再利用异分母分数的运算法则计算即可得到答案； （2）利用有理数的运算法则，先算括号里面的，再计算即可得到答案； （3）先去括号，再将分母相同的项利用同分母分数加减法的运算法则进行计算，然后再利用异分母分数的运算法则计算即可得到答案． 解：（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式1】（24-25七年级上·广东梅州·阶段练习）计算： （1）； （2）； 【答案】（1）16；（2）1 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算． （1）先去括号，然后根据有理数的加减混合运算进行计算即可； （2）运用加法交换律和结合律解题即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】（24-25六年级下·上海·假期作业）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【分析】此题主要考查有理数的运算，解题的关键是熟知其运算法则．有理数的加减法和运算律的应用，注意简便运算． （1）（2）根据有理数的加减混合运算法则，加法的交换律与结合律，即可求解； 解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【题型六】有理数加减中的简便运算 【知识储备4】有理数加减运算简便方法 1.解理理论依据：加法交换律和结合律． 2.方法：同号结合法；凑整结合法；同分母结合法；相反数结合法；拆项法等等 【例题6】（24-25七年级上·广东深圳·阶段练习）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了有理数加减中的简便运算．熟练掌握有理数加减中的简便运算是解题的关键． （1）（2）先交换，然后结合，最后进行加法运算即可； （3）先交换，然后分数、分数结合，整数、整数结合，最后进行加法运算即可； （4）先交换，然后分数、分数结合，小数、小数结合，最后进行加法运算即可． 解：（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式1】（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查有理数的加减混合计算， （1）根据有理数的加法运算法则求解即可； （2）（3）（4）根据有理数的加减混合运算法则求解即可； 熟练掌握运算法则是解题的关键． 解：（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） 【变式2】（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）阅读例题的计算方法． 例：计算：． 解：原式 ． 上面这种解题方法叫做拆项法． （1）计算：； （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据提供的方法，拆项计算即可； （2）根据提供的方法，拆项计算即可． 解：（1）解： ． （2）解： ． 【题型七】有理数加减运算的实际应用 【例题7】（24-25七年级上·广东广州·期中）有筐白菜，以每筐千克为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的纪录如下： 回答下列问题： （1）这筐白菜中最接近标准重量的这筐白菜重______千克； （2）这筐白菜中，最重的与最轻的相差______千克； （3）这筐白菜一共重多少千克？ 【答案】（1）；（2）5；（3）千克 【分析】本题考查了有理数的运算在实际中的应用，体现了正负数的意义，解题的关键是理解“正”和“负”的相对性，确定具有相反意义的量． （1）与标准重量比较，绝对值越小的越接近标准重量； （2）最重的与最轻的相减即可求解； （3）用25乘以8的积，加上图中八个数的和即可求解． 解：（1）解：该组数据中，的绝对值最小，最接近千克的标准， 这筐白菜重千克． 故答案为； （2）（千克） 故答案为； （3） （千克） 答：这筐白菜一共重千克． 【变式1】（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）小甲虫从某点出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬过的各段路程依次为：（单位：厘米） ，，，，，，． （1）小甲虫最后是否回到出发点呢？计算说明 （2）在爬行过程中，如果每爬行1厘米奖励三粒芝麻，那么小甲虫一共得到多少粒芝麻？ （3）小甲虫离出发点最远多少厘米？ 【答案】（1）小甲虫最后回到了出发点O，见分析；（2）162粒芝麻；（3）10厘米 【分析】本题主要考查正数和负数． （1）把爬过的路程记录相加，即可得解； （2）求出爬行过的各段路程的绝对值的和，再求得到的芝麻粒数； （3）分别计算出每次爬行后距离原点的距离． 解：（1）解：根据题意可得：向右爬行的路程记为“”，向左爬行的路程记为“”．则小甲虫最后离开出发点的距离是： ， 答：小甲虫最后在点O的，即小甲虫最后回到了出发点O； （2）解：小甲虫从离开出发点开始走的路程是： （厘米） 在爬行过程中，小甲虫得到的奖励是： （粒）， 答：在爬行过程中，小甲虫得到的奖励是162粒芝麻； （3）解：， ， ， ， ， ， ∴小甲虫在爬行过程中离出发点O最远相距为10厘米． 【变式2】（24-25六年级上·山东东营·期末）某市客运管理部门对“十一”国庆假期七天客流变化量进行了不完全统计，数据如下（用正数表示客流量比前一天上升数，用负数表示客流量比前一天下降数）． 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 变化/万人 20 -3 -10 -3 2 9 6 （1）10月3日的客流量比10月1日的客流量少了_____万人； （2）在10月1日至10月7日期间，10月_____日客流量最多，10月_____日客流量最少； （3）与9月30日相比，10月5日的客流量是上升了还是下降了?变化了多少? 【答案】（1）13；（2）7；4；（3）上升了6万人 【分析】本题考查正数和负数，解答本题的关键是明确正数和负数在题目中的实际意义． （1）分别计算出游客相对于10月3日的人数即可求解； （2）根据10月1日至10月7日游客人数即可得到结论； （3）分别计算出游客相对于9月30日的人数即可求解． 解：（1）解：1日：； 2日：； 3日：； 4日：； 5日：； 6日：； 7日：， 10月3日的客流量比10月1日的客流量少13万人， 故答案为：13； （2）解：在10月1日至10月7日期间，10月7日客流量最多，10月4日客流量最少， 故答案为：7；4； （3）解：与9月30日相比，10月5日的客流量是上升了，变化了6（万人）． 【题型八】直通中考 【例题1】（2024·天津·中考真题）计算的结果等于（  ） A． B．0 C．3 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的减法运算，熟练掌握有理数减法运算法则是解题的关键； 根据有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数解答即可； 解：原式 ， 故答案为：D． 【例题2】（2024·陕西·中考真题）小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，将0，，，1，2这五个数分别填在五个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，则填入中间位置的小正方形内的数可以是 ．（写出一个符合题意的数即可） 【答案】0 【分析】本题考查有理数的运算，根据横向三个数之和与纵向三个数之和相等，进行填写即可得出结果． 解：由题意，填写如下： ，满足题意； 故答案为：0． 【题型九】拓展延伸 【例题1】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）某校七年级班至班计划每班购买数量相同的图书布置班级读书角，但是由于种种原因，实际购书量与计划有出入，实际购书情况如下表： 班级 班 班 班 班 实际购书量（本） 实际购书量与计划购书量的差（本） （1）求每个班计划购书量； （2）直接写出：________，________，________； （3）书店给出一种优惠方案：一次购买达到本，其中本书免费．若每本书售价为元，求这个班团体购书的最低费用． 【答案】（1）每个班计划购书量为本；（2），，；（3） 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数混合运算，正确理解正负数的意义是解题的关键． （1）由于班实际购入本，且实际购买数量与计划购买数量的差值为，即可得计划购书量为本． （2）由一班实际购书量与计划购书量的差本，二班实际购书量为本，三班实际购书量为本，与每个班计划购书量为本相加减即可求． （3）把每班实际数量相加，可得个班团体购书总数量，用总数除以，求出每次购买本的次数，以及需要单独购买的数量，根据每本书售价为元，列式计算可得答案． 解：（1）解：∵由于班实际购入本，且实际购买数量与计划购买数量的差值为， ∴每个班计划购书量为本， （2）解：由题意可得：∵一班实际购书量与计划购书量的差本， ∴一班实际购入本， ∵二班实际购书量为本， ∴二班实际购入数量与计划购入数量的差值本， ∵三班实际购书量为本， ∴三班实际购书量与计划购书量的差为本， 故答案为：，，． （3）解：由上可得个班团体购书总数量为：本， ∵， ∴如果每次购买本，则可以购买次，且最后还剩本书需单独购买， 又∵一次购买达到本，其中本书免费， ∴一次购买达到本，只需要花本书的钱， ∴最低总花费为：元， ∴这个班团体购书的最低费用为． 【例题2】（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）．“洛书”是一种关于天地空间变化脉络图案，它是以黑点与白点为基本要素，以一定方式构成若干不同组合．“洛书”用今天的数学符号翻译出来就是一个三阶幻方（如图2）．三阶幻方又名九宫格，是一种将数字（1至9，数字不重复使用）安排在三行三列正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字和都相等． （1）根据“洛书”中表达的意思，______，______； （2）改变图2幻方中数字的位置，可以得到一个新的三阶幻方（如图3），则______，______，______； （3）如图4，有3个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“〇”．将这12个数填入恰当的位置（数字不重复使用），使每个正方形的4个顶点处“〇”中的数的和都为2．则______，______． 【答案】（1）9，3；（2）6，5，4；（3）；或 【分析】本题考查的是有理数的加减法，注重考查学生的思维能力和运算能力． （1）第3行上的数字和等于，因此，； （2）根据第（1）问，每行、列和对角线上的数字和都等于15，、、即可求得； （3）因为每个正方形的4个顶点处“〇”中的数的和都为2，易得；将中间的正方形的未知顶点设为，则；从而得到或． 解：（1）解：（1）第3行上的数字和等于， 因此，, 故答案为：9，3； （2）解：根据题意，每行、列和对角线上的数字和都等于15， 因此，，， 故答案为：6，5，4； （3）解：根据题意，，解得； 将中间的正方形的未知顶点设为，则，解得； 因此或， 故答案为：；或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$