精品解析：福建省三明市尤溪县第七中学2024-2025学年高三上学期第一次月考数学试题

尤溪七中2024——2025学年高三第一次质量检测试卷 数学 时间：120分钟 满分：150分 一､选择题 （每小题5分，共8小题40分） 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设是虚数单位，则复数的共轭复数（ ） A. B. C. D. 3. 函数的图象大致是（    ） A. B. C. D. 4. 已知是定义在上的奇函数，，且，则（        ） A. 1 B. 0 C. -2025 D. 5. 已知，则的最小值为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，对任意，有，则“”是“”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分又不必要条件 D. 充要条件 二、多选题（每小题6分，共3小题18分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 函数（且）的图象恒过定点 B. 若命题“”为真命题，则实数的取值范围是 C. 将函数图象向左平移个单位后得到函数的图象 D. 的零点所在的一个区间为 10. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 存在，使得 C. D. 当时，在上的投影向量的坐标为 11 已知函数有两个极值点，，且，则（ ） A. a的范围是 B. C. D. 函数至少有一个零点 三、填空题（每小题5分，共3小题15分） 12. 已知函数有唯一零点，则________ 13. 如图所示，在中，点为边上一点，且，过点的直线与直线相交于点，与直线相交于点（，交两点不重合）.若，则________，若，，则的最小值为________. 14. 已知，若，，则的最大值为______． 四、解答题（第15题13分，第16题15分，第17题15分，第18题17分，第19题17分，共5小题77分） 15. 等边三角形，边长为2，为的中点，动点在边上，关于的对称点为． （1）若为的中点，求． （2）求的取值范围． 16. 的内角所对的边分别为，已知. （1）求； （2）若的角平分线与交于点，求. 17. 已知函数，. （1）若曲线在处的切线与直线相互垂直，求的值； （2）若，求函数的极值. 18 已知函数. （I）求函数的最小正周期； （II）求函数在上的单调递增区间和最小值. 19. 设函数f(x)＝－，g(x)＝a(x2－1)－lnx(a∈R，e为自然对数的底数). （1）证明：当x>1时，f(x)>0； （2）讨论g(x)的单调性； （3）若不等式f(x)<g(x)对x∈(1，＋∞)恒成立，求实数a取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 尤溪七中2024——2025学年高三第一次质量检测试卷 数学 时间：120分钟 满分：150分 一､选择题 （每小题5分，共8小题40分） 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先解分式不等式求出集合，再化简集合，最后根据交集的定义计算可得. 【详解】由，等价于，解得或， 所以或， 又， 所以 故选：C 2. 设是虚数单位，则复数的共轭复数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的乘方运算，结合共轭复数的意义求解即得. 【详解】复数，所以. 故选：A 3. 函数的图象大致是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的零点排除两个选项，再求出函数的极大值，结合图形即可判断得解. 【详解】函数定义域为，由，得或，即函数有两个零点和，BC错误；，当时，，当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，因此函数在处取得极大值，D错误，A符合题意. 故选：A. 4. 已知是定义在上的奇函数，，且，则（        ） A. 1 B. 0 C. -2025 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇函数的概念和性质可得是周期为的函数，将化为即可求解. 【详解】因为为奇函数，所以， 又，所以， 所以，即， 所以是周期为的函数，故. 故选：D 5. 已知，则的最小值为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】 由已知等式得到，利用可配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得最小值. 【详解】由得： （当且仅当，即时取等号） 的最小值为 故选： 【点睛】本题考查利用基本不等式求解和的最小值的问题，关键是能够灵活对等于的式子进行应用，配凑成符合基本不等式的形式. 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式和二倍角余弦公式直接求解即可. 【详解】. 故选：D. 7. 已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，利用导数法求最值得，从而有，再利用函数单调递减得，利用函数单调递增得，即可比较大小. 【详解】对，因为，则，即函数在单调递减， 且时，，则，即，所以， 因为且，所以， 又，所以. 故选：B 8. 已知函数的定义域为，对任意，有，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分又不必要条件 D. 充要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，构造函数，可得函数在上单调递增，再根据函数单调性解得，由充分性必要性的定义，即可得到结果. 【详解】因为，则， 令，则，所以在上单调递增. ， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 二、多选题（每小题6分，共3小题18分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 函数（且）的图象恒过定点 B. 若命题“”为真命题，则实数的取值范围是 C. 将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象 D. 的零点所在的一个区间为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，根据对数函数的定义即可求解；对B，由二次函数的性质可判断；对C，根据三角函数的平移原则即可判断；对D，根据函数单调性结合零点存在性定理即可判断. 【详解】对于A，令，解得，， 所以恒过定点，故选项A正确； 对于B，因为，，为真命题，则，解得，故B错误； 对于C，函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，故C正确； 对于D，因为在上均单调递增， 则在上单调递增， 又，，则根据零点存在性定理知其零点所在的一个区间为，故D正确. 故选：ACD 10. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 存在，使得 C. D. 当时，在上的投影向量的坐标为 【答案】CD 【解析】 【分析】根据平面向量共线的坐标公式即可判断A；根据平面线路垂直的坐标表示即可判断B；根据向量的模的坐标计算即可判断C；根据投影向量的计算公式即可判断D. 【详解】对于A，若，则，解得，故A错误； 对于B，若，则， 即，方程无解， 所以不存在，使得，故B错误； 对于C，，所以，故C正确； 对于D，当时，，， 则在上的投影向量的坐标为，故D正确. 故选：CD. 11. 已知函数有两个极值点，，且，则（ ） A. a的范围是 B. C. D. 函数至少有一个零点 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题可得有两个不相等的实数根，利用可以判断A正确；再利用韦达定理可以判断B正确；利用导数研究的单调性，可以判断C正确；利用零点存在定理可以判断D正确. 【详解】对于A，由题可得有两个不相等的实数根， 所以，所以，A不正确； 对于B，根据题意，为的两个根，所以，B正确； 对于C，因为，且为的两个根， 所以由得或， 由得， 所以函数在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增， 所以成立，C正确； 对于D，由以上分析可知的极大值为， 当趋于负无穷时，也趋于负无穷， 所以存在充分小且，使得， 由零点存在定理可知，存在，使得，所以函数至少有一个零点，正确； 故选：BCD. 三、填空题（每小题5分，共3小题15分） 12. 已知函数有唯一零点，则________ 【答案】 【解析】 【分析】令，得到的解析式，判断出是偶函数，从而得到的图像关于成轴对称，根据函数有唯一零点，得到，从而得到的方程，解出的值. 【详解】 设，则 定义域为， 所以为偶函数， 所以的图像关于成轴对称 要使有唯一零点， 则只能， 即 解得， 故答案为：. 【点睛】本题考查判断函数奇偶性，根据函数的零点求参数的值，属于中档题. 13. 如图所示，在中，点为边上一点，且，过点的直线与直线相交于点，与直线相交于点（，交两点不重合）.若，则________，若，，则的最小值为________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据向量的加减运算，以为基底，表示出，和已知等式比较，即可得的值，求得的值；结合已知用表示，结合三点共线可得，将化为，展开后利用基本不等式，即可求得的最小值. 【详解】在中，，，则， 故 ， 故； 又，而，， 所以，则， 又三点共线，所以，结合已知可知， 故， 当且仅当，结合，即时，取等号； 即的最小值为， 故答案为：； 【点睛】结论点睛：若，则三点共线. 14. 已知，若，，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】设，作出和图象，数形结合得出，由余弦函数图象的对称性得出，结合得出，构造函数，利用导数求出最大值即可求解． 【详解】设，则，的图象如图所示， 即的图象与的图象有3个交点，横坐标依次为，且， 由余弦函数图象的性质可知，， 所以， 又因为，所以， 令， 则，令，解得或， 当时，在单调递增， 当时，在单调递减， 当时，在单调递增， 又因为，， 所以， 所以， 故答案为：． 四、解答题（第15题13分，第16题15分，第17题15分，第18题17分，第19题17分，共5小题77分） 15. 等边三角形，边长为2，为的中点，动点在边上，关于的对称点为． （1）若为的中点，求． （2）求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形法则表示向量，然后利用向量数量积计算即可； （2）利用已知条件求出的值，根据关于的对称点为，得， 然后计算，由于动点在上，当时，取最小值，当与重合时，取最大值，即可求得的取值范围. 【小问1详解】 因为为中点， 所以. 因为为中点， 所以， 所以 . 【小问2详解】 因为等边三角形，边长为2，为中点 所以为， 因为关于的对称点为， 所以， 所以 ， 因为动点在上， 所以当时，取最小值，即， 当与重合时，取最大值，即， 所以， 所以的取值范围为. 16. 的内角所对的边分别为，已知. （1）求； （2）若的角平分线与交于点，求. 【答案】（1）. （2） 【解析】 分析】（1）利用正弦定理边化角以及三角恒等变换公式求解； （2）利用等面积法以及余弦定理即可求解. 【小问1详解】 依题意，由正弦定理可得 所以， 又 所以， 因为，所以，所以， 又，所以. 【小问2详解】 解法一：如图，由题意得，， 所以，即， 又，所以， 所以，即， 所以 解法二：如图，中，因为， 由余弦定理得，， 所以，所以， 所以， 所以， 所以. 17. 已知函数，. （1）若曲线在处的切线与直线相互垂直，求的值； （2）若，求函数的极值. 【答案】（1）； （2）极小值，无极大值. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义及给定直线列式计算即得. （2）把代入，利用导数求出函数的极值. 【小问1详解】 函数，求导得，则， 依题意，，所以. 【小问2详解】 当时，函数的定义域为， 求导得， 当时，，当时，， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在处取得极小值，无极大值. 18. 已知函数. （I）求函数的最小正周期； （II）求函数在上的单调递增区间和最小值. 【答案】(I) ；(II) 为，，. 【解析】 【分析】 （I）根据降幂公式以及辅助角公式将化简，然后根据周期计算公式求解出最小正周期； （II）采用整体替换的方法求解出在上的单调递增区间，再结合的单调性求解出. 【详解】（Ⅰ） 的最小正周期 （Ⅱ）令 所以，所以的单调递增区间为 当时，单调递增区间为，当时，单调递增区间为， 所以在上的单调增区间为和， 又在上，，，. 【点睛】思路点睛：本题考查三角恒等变换与三角函数性质的综合应用，属于中档题. 利用三角恒等变换的公式化简的思路：对于二次的正余弦形式，先采用降幂公式变形，再利用辅助角公式进行整合； 已知区间求解三角函数最值的思路：先分析单调性，必要时需要结合端点值进行分析. 19. 设函数f(x)＝－，g(x)＝a(x2－1)－lnx(a∈R，e为自然对数的底数). （1）证明：当x>1时，f(x)>0； （2）讨论g(x)的单调性； （3）若不等式f(x)<g(x)对x∈(1，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）答案不唯一，具体见解析；（3） . 【解析】 【分析】 （1）求出导函数，说明在时，后可证； （2）求出，分类讨论，（还需讨论根的大小），得的正负，从而得的单调性； （3）根据（1）（2）所得单调性知时，不恒成立，在时，设，求出导函数，可证此时，得递增，，从而可得结论． 详解】（1）证明：， 令s(x)＝－x，则s′(x)＝－1， 当x>1时，s′(x)>0，所以s(x)在(1，＋∞)上单调递增，又s（1）＝0，所以s(x)>0， 从而当x>1时，f(x)>0. （2）g′(x)＝2ax－＝ (x>0)， 当a≤0时，g′(x)<0，g(x)在(0，＋∞)上单调递减， 当a>0时，由g′(x)＝0得x＝. 当x∈时，g′(x)<0，g(x)单调递减， 当x∈时，，g(x)单调递增. （3）由（1）知，当x>1时，f(x)>0. 当a≤0，x>1时，g(x)＝a(x2－1)－lnx<0， 故当f(x)<g(x)在区间(1，＋∞)内恒成立时，必有a>0. 当0<a<时， >1， g(x)在上单调递减，<g（1）＝0，而>0，所以此时f(x)<g(x)在区间(1，＋∞)内不恒成立. 当a≥时，令h(x)＝g(x)－f(x)(x≥1)， 当x>1时，h′(x)＝2ax－＋－>x－＋－＝， 因此，h(x)在区间(1，＋∞)上单调递增， 又h（1）＝0，所以当x>1时，h(x)＝g(x)－f(x)>0，即f(x)<g(x)恒成立. 综上，a的取值范围为. 【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性，研究不等式恒成立问题，求出导函数是解题基础，不等式恒成立问题常常转化为求函数的最值．本题考查学生的运算求解能力，转化与化归思想，属于中档题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$