专题11 幂与指数（知识梳理+4对点集训+基础过关+拓展提优）-2025年初升高数学无忧衔接（上海专用）

专题11 幂与指数 （知识梳理+4对点集训+基础过关+拓展提优） 1.理解n次方根及根式的概念、分数指数幂的含义，掌握根式的性质、根式与分数指数幂的互化(重点、难点) 2．能利用根式的性质对根式进行运算．(重点、难点、易错点) 3．掌握实数指数幂的运算性质，并能对代数式进行化简或求值．(重点) 知识点1：初中相关知识复习 的次幂 ； 当时，可以定义： 的次方根 一般地，如果为大于1的整数，且，那么叫做的次方根； 叫做的次根式；叫做根指数，叫做被开方数 根式的性质 (1)负数没有偶次方根． (2)0的任何次方根都是0，记作＝0. (3)当n为奇数时，()n＝a(n∈N*，且n>1)． (4)当n为偶数时，＝|a|＝(n∈N*，且n>1)． 注意点： (1)对于()n＝a，若n为奇数，则a∈R；若n为偶数，则a≥0. (2)()n与意义不同，比如＝－3，＝3，而()4没有意义，故()n≠. (3)当a≥0时，()n＝；当a<0且n为奇数时，()n＝；当a<0且n为偶数时，对于要注意运算次序． 知识点2：幂的运算性质 根式与分数指数幂的互化 (1)规定正数的正分数指数幂的意义是：＝ (a>0，m，n∈N*，且n>1)； (2)规定正数的负分数指数幂的意义是：＝ (a>0，m，n∈N*，且n>1)； (3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． （4）对任意给定的正数、及实数、，有，， 知识点3:幂的基本不等式 定理 当，时，； 对点集训一：根式的化简求值 典型例题 例1．（24-25高一上·上海·阶段练习）当时，化简： . 【答案】x 【知识点】根式的化简求值 【分析】利用根式化简计算即可. 【详解】当时，. 故答案为：x 例2． （24-25高一上·上海·课堂例题） （1）求的立方根； （2）求625的4次方根． 【答案】（1）；（2） 【知识点】根式的化简求值 【分析】（1）利用立方根的定义求解即可. （2）利用四次方根的定义求解即可. 【详解】（1）因为，所以． （2）因为，所以． 例3．（23-24高一·上海·课堂例题）当时，求的值． 【答案】0 【知识点】根式的化简求值 【分析】利用根式的运算性质化简即可. 【详解】因为， 所以. 精练 1．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知，化简： ． 【答案】 【知识点】根式的化简求值 【分析】根据根式运算法则计算出结果. 【详解】因为，所以. 故答案为：0 2．（24-25高一上·上海·随堂练习） ． 【答案】 【知识点】根式的化简求值 【分析】由根式的运算求解即可. 【详解】由根式的运算可知，. 故答案为： 3．（24-25高一上·上海·期末）当 时，化简: . 【答案】 【知识点】根式的化简求值 【分析】利用根式化简计算即可； 【详解】因为 所以， 故答案为： 4.若，求的取值范围． 【答案】 【知识点】根式的化简求值 【分析】化简方程左边根式，解绝对值方程，即可求出的取值范围. 【详解】由题意， ∵， 由可知，∴． 故a的取值范围为． 对点集训二：指数幂的运算 典型例题 例1．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知n是大于1的自然数，则等于（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】指数幂的运算 【分析】利用指数的运算求解即可. 【详解】 故选：B. 例2．（24-25高一上·上海·课前预习）如果一个正方形场地的面积为，边长为，那么 ． 【答案】 【知识点】指数幂的运算 【分析】根据正方形面积公式得出解析式即可. 【详解】根据正方形面积公式得, ,即. 故答案为：. 例3．（24-25高一上·上海浦东新·期中）化简：. 【答案】 【知识点】指数幂的运算 【分析】根据幂的运算法则计算． 【详解】. 精练 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）若，则 ． 【答案】 【知识点】指数幂的运算、指数幂的化简、求值 【分析】运用指数幂的运算性质可解． 【详解】（负数舍去） . 故答案为：. 2．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，，则 【答案】/ 【知识点】指数幂的运算 【分析】应用指数幂的运算性质计算即可. 【详解】解：因为，，所以. 故答案为： 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）若，，则 ． 【答案】180 【知识点】指数幂的运算 【分析】由指数的运算求解即可. 【详解】. 故答案为：180 4．（24-25高一上·上海·课前预习）计算下列各式的值： （1） ； （2） ； （3） ． 【答案】 8 4 【知识点】指数幂的运算 【分析】（1）（2）（3）根据分数指数幂的运算性质求解即可 【详解】（1）； （2）； （3）. 故答案为：8，4， 对点集训三： 分数指数幂与根式的互化 典型例题 例1．（24-25高一上·上海宝山·期末）设，用有理数指数幂的形式表示 ． 【答案】 【知识点】分数指数幂与根式的互化 【分析】利用分数指数幂的意义及运算求解即可. 【详解】. 故答案为： 例2．（24-25高一上·上海·期中）代数式化成分数指数幂为 ． 【答案】 【知识点】分数指数幂与根式的互化 【分析】先将根式化为分数指数幂，再化成负分数指数幂即可求解. 【详解】 故答案为：. 例3．（2023高一·上海·专题练习）用有理数指数幂的形式表示下列各式（其中，）： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)1 (2). (3) (4) 【知识点】指数幂的运算、分数指数幂与根式的互化 【分析】根据指数幂公式化简即可. 【详解】（1）. （2）. （3）. （4）. 精练 1．（24-25高一上·上海·期末）将化为有理数指数幂的形式为 . 【答案】 【知识点】分数指数幂与根式的互化 【分析】利用根式与指数幂的互化、指数幂的运算性质化简可得结果. 【详解】. 故答案为：. 2．（24-25高一上·上海松江·期末）经过化简，可得恒等式 （其中 ），则 【答案】 【知识点】分数指数幂与根式的互化 【分析】化根式为分数指数幂即可列式计算得答案. 【详解】依题意，，而， 则，而，解得， 所以. 故答案为：. 3．（23-24高一上·上海·期中）已知，用有理数指数幂的形式表示 . 【答案】 【知识点】指数幂的运算、分数指数幂与根式的互化 【分析】根式形式化为分数指数幂形式再由指数运算化简即可. 【详解】. 故答案为：. 对点集训四：指数幂的化简、求值 典型例题 例1．（24-25高一上·上海长宁·期末）指数幂的值为 ． 【答案】 【知识点】指数幂的化简、求值 【分析】应用有理数指数幂的运算化简求值. 【详解】由. 故答案为：4 例2．（24-25高一上·上海嘉定·期末）已知，化简： . 【答案】 【知识点】指数幂的化简、求值 【分析】由指数幂的运算化简即可； 【详解】原式. 故答案为：. 例3．（24-25高一上·上海·期中）已知，化简 . 【答案】 【知识点】指数幂的化简、求值 【分析】利用分数指数幂的运算法则计算即可. 【详解】. 故答案为：. 例4．（24-25高一上·上海·期中）已知，则 . 【答案】/ 【知识点】指数幂的化简、求值 【分析】条件等式两边平方可求，结合立方和公式求，由此可得结论. 【详解】因为， 所以，故， 故， 又， 所以， 所以. 故答案为：. 例5．（24-25高一上·上海·随堂练习）化简，并求当，时的值． 【答案】 【知识点】指数幂的运算、指数幂的化简、求值 【分析】运用指数幂的拓广，结合性质解题即可. 【详解】原式 精练 1．（24-25高一上·上海·期中）已知，则 . 【答案】 【知识点】指数幂的化简、求值 【分析】根据直接求解即可. 【详解】解：因为， 所以，即 故答案为： 2．（24-25高一上·上海·期中）已知，化简： . 【答案】 【知识点】指数幂的化简、求值 【分析】利用指数的运算法则即可得解. 【详解】. 故答案为： 3．（24-25高一上·上海·期中）若，且，则的值为 ． 【答案】/ 【知识点】指数幂的化简、求值 【分析】利用指数幂的运算求解. 【详解】解：因为，且，所以， 所以， 故答案为： 4．（24-25高一上·上海·课堂例题）化简：． 【答案】 【知识点】指数幂的化简、求值 【分析】利用指数幂的运算性质化简即可. 【详解】原式． 一、单选题 1．（23-24高一上·上海嘉定·期末）已知，则的值(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】指数幂的运算 【分析】根据指数的运算性质即可求得. 【详解】因为，所以. 故选：D. 2．（24-25高一上·上海浦东新·期中）下面四个等式运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分数指数幂与根式的互化、指数幂的化简、求值、指数幂的运算 【分析】根据指数运算法则，对每个选项进行计算并判断其正确性. 【详解】对于A选项，根据负指数幂的定义，（）. 得到，而不是，所以A选项错误. 对于B选项，根据分数指数幂的定义，， 则，而不是，所以B选项错误. 对于C选项，，所以C选项错误. 对于D选项，对于. 又因为表示的立方根，即，所以D选项正确. 故选：D. 3．（23-24高一上·上海·期中）已知a＞0，将表示成有理指数幂，其结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】指数幂的运算、分数指数幂与根式的互化 【分析】根据根式与分数指数幂的关系结合指数幂运算法则化简即可得答案. 【详解】. 故选：C. 4．（24-25高一上·上海·期中）设，下列计算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】指数幂的运算 【分析】利用指数幂的运算法则，对各个选项逐一计算判断即可得解. 【详解】对于选项A，，故选项A错误， 对于选项B，，故选项B正确， 对于选项C，，故选项C错误， 对于选项D，，故选项D错误， 故选：B. 5．（22-23高一上·上海普陀·阶段练习）已知，则化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】指数幂的化简、求值 【分析】根据指数幂的运算公式化简计算即可. 【详解】因为，所以， 所以， 故选：D. 二、填空题 6．（23-24高一上·上海长宁·期末）根式的指数幂形式为 . 【答案】 【知识点】分数指数幂与根式的互化 【分析】根据有理数指数幂的运算性质求解． 【详解】，． 故答案为：． 7．（24-25高一上·上海金山·期末）将化为有理数指数幂的形式为 . 【答案】 【知识点】指数幂的运算、分数指数幂与根式的互化 【分析】由分数指数幂的运算即可得解. 【详解】由题意. 故答案为：. 8．（24-25高一上·上海嘉定·期中）已知实数，，化简： . 【答案】 【知识点】指数幂的运算、指数幂的化简、求值 【分析】根据指数幂运算即可得到答案. 【详解】. 故答案为：. 9．（24-25高一上·上海·期中）已知，，化简： ． 【答案】 【知识点】分数指数幂与根式的互化、指数幂的化简、求值 【分析】把根式化成分数指数式，再利用指数式的运算法则进行化简. 【详解】因为. 故答案为： 10．（24-25高一上·上海·期中）当时，化简： . 【答案】 【知识点】根式的化简求值、指数幂的化简、求值 【分析】根据将根式化简、去绝对值计算即可得出结果. 【详解】由可得. 故答案为： 11．（24-25高一上·上海奉贤·期中）化简 ． 【答案】 【知识点】分数指数幂与根式的互化、指数幂的化简、求值 【分析】将根式化为分式指数幂的形式，再结合指数幂运算求解. 【详解】由题意可得：. 故答案为：. 12．（22-23高一上·上海徐汇·阶段练习）化简： ． 【答案】 【知识点】指数幂的运算、分数指数幂与根式的互化 【分析】将根式转化为分数指数幂，再利用指数幂的运算法则进行计算. 【详解】. 故答案为：. 13．化简 （其中）． 【答案】 【知识点】指数幂的化简、求值 【分析】应用指数幂的运算性质化简即可. 【详解】原式. 故答案为： 14．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知，则化简的结果是 【答案】 【知识点】指数幂的化简、求值 【分析】根据指数幂的运算法则进行计算即可. 【详解】， 故答案为：. 15．（22-23高一上·上海奉贤·期末）化简 （其中，）． 【答案】 【知识点】指数幂的运算、指数幂的化简、求值 【分析】根据指数幂的运算性质，求解即可得出答案. 【详解】. 故答案为：. 16．（23-24高一上·上海闵行·期末）用有理数指数幂的形式表示 .（其中） 【答案】 【知识点】指数幂的运算、分数指数幂与根式的互化 【分析】先将根式化为分数指数幂，再根据指数幂的运算求解. 【详解】由题意可得：. 故答案为：. 三、解答题 17．（23-24高一上·上海嘉定·期中）（1）已知，求的值； （2）已知，求证：． 【答案】（1）7；（2）证明见解析 【知识点】指数幂的运算、指数幂的化简、求值 【分析】（1）利用指数的运算求解； （2）利用指数幂的运算律求解. 【详解】（1）由，可得， 所以. （2）证明：因为，所以， 所以，即，① 又因为，所以， 所以，即，② 由①②可得，，所以. 一、填空题 1．（22-23高一上·上海浦东新·期中）方程的两根、，满足，则 【答案】 【知识点】指数幂的化简、求值、韦达定理 【分析】由题意，结合韦达定理代入运算即可. 【详解】由题意，， 由韦达定理，， ， 即，即， 故，即. 故答案为：. 2．（25-26高一上·上海·单元测试）若， ，，则 ． 【答案】 【知识点】指数幂的运算 【分析】由指数运算法则可得证. 【详解】， ， ， 所以，原式， 故答案为： 二、解答题 3．求使等式成立的实数a的取值范围. 【答案】[-3，3] 【知识点】根式的化简求值 【分析】由成立，即可得出，解得即可． 【详解】， 要使|成立， 需解得a∈[-3，3]． 【点睛】本题考查了根式的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 4．已知x+x-1=4，其中0<x<1，求的值. 【答案】 【知识点】指数幂的运算、分数指数幂与根式的互化 【分析】由题求出x-x-1=，+=，即得解. 【详解】因为x+x-1=4，所以=x2+x-2+2=16，即x2+x-2=14， 则=x2+x-2-2=12. 因为0<x<1，所以x<x-1，所以x-x-1=， x+x-1+2=6， 故+=， 所以 5．（24-25高一上·上海·期中）（1）已知、为实数，，求的值； （2）已知一元二次方程的两根为与，求的值； （3）设为实数，解关于的不等式：． 【答案】（1）6  （2）（3）见解析 【知识点】指数幂的化简、求值、一元二次方程的解集及其根与系数的关系、解含参数的一元一次不等式 【分析】（1）根据指数幂的运算，平方即可求解， （2）根据韦达定理即可求解， （3）分类讨论，即可根据一元一次不等式的求解得解. 【详解】（1）由可得，故， （2）一元二次方程的两根为与，故， 因此， （3）由可得， 若，则，解得，此时不等式的解为， 若，则，解得，此时不等式的解为， 若，若，此时不等式的解为,若，则不等式的解为. 6．（24-25高一上·上海·期中）已知函数（其中，且）. (1)若，求的值. (2)求关于的方程的解. 【答案】(1) (2) 【知识点】指数幂的运算、指数幂的化简、求值 【分析】（1）将代入函数解析式，结合完全平方公式可求得的值. （2）将代入函数解析式可得具体方程，再结合完全平方公式可解得方程的解. 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 所以. （2）因为， 则， 所以， 又因为，且， 所以. 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 幂与指数 （知识梳理+4对点集训+基础过关+拓展提优） 1.理解n次方根及根式的概念、分数指数幂的含义，掌握根式的性质、根式与分数指数幂的互化(重点、难点) 2．能利用根式的性质对根式进行运算．(重点、难点、易错点) 3．掌握实数指数幂的运算性质，并能对代数式进行化简或求值．(重点) 知识点1：初中相关知识复习 的次幂 ； 当时，可以定义： 的次方根 一般地，如果为大于1的整数，且，那么叫做的次方根； 叫做的次根式；叫做根指数，叫做被开方数 根式的性质 (1)负数没有偶次方根． (2)0的任何次方根都是0，记作＝0. (3)当n为奇数时，()n＝a(n∈N*，且n>1)． (4)当n为偶数时，＝|a|＝(n∈N*，且n>1)． 注意点： (1)对于()n＝a，若n为奇数，则a∈R；若n为偶数，则a≥0. (2)()n与意义不同，比如＝－3，＝3，而()4没有意义，故()n≠. (3)当a≥0时，()n＝；当a<0且n为奇数时，()n＝；当a<0且n为偶数时，对于要注意运算次序． 知识点2：幂的运算性质 根式与分数指数幂的互化 (1)规定正数的正分数指数幂的意义是：＝ (a>0，m，n∈N*，且n>1)； (2)规定正数的负分数指数幂的意义是：＝ (a>0，m，n∈N*，且n>1)； (3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． （4）对任意给定的正数、及实数、，有，， 知识点3:幂的基本不等式 定理 当，时，； 对点集训一：根式的化简求值 典型例题 例1．（24-25高一上·上海·阶段练习）当时，化简： . 例2． （24-25高一上·上海·课堂例题） （1）求的立方根； （2）求625的4次方根． 例3．（23-24高一·上海·课堂例题）当时，求的值． 精练 1．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知，化简： ． 2．（24-25高一上·上海·随堂练习） ． 3．（24-25高一上·上海·期末）当 时，化简: . 4.若，求的取值范围． 对点集训二：指数幂的运算 典型例题 例1．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知n是大于1的自然数，则等于（    ）． A． B． C． D． 例2．（24-25高一上·上海·课前预习）如果一个正方形场地的面积为，边长为，那么 ． 例3．（24-25高一上·上海浦东新·期中）化简：. 精练 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）若，则 ． 2．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，，则 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）若，，则 ． 4．（24-25高一上·上海·课前预习）计算下列各式的值： （1） ； （2） ； （3） ． 对点集训三： 分数指数幂与根式的互化 典型例题 例1．（24-25高一上·上海宝山·期末）设，用有理数指数幂的形式表示 ． 例2．（24-25高一上·上海·期中）代数式化成分数指数幂为 ． 例3．（2023高一·上海·专题练习）用有理数指数幂的形式表示下列各式（其中，）： (1)； (2)； (3) ； (4). 精练 1．（24-25高一上·上海·期末）将化为有理数指数幂的形式为 . 2．（24-25高一上·上海松江·期末）经过化简，可得恒等式 （其中 ），则 3．（23-24高一上·上海·期中）已知，用有理数指数幂的形式表示 . 对点集训四：指数幂的化简、求值 典型例题 例1．（24-25高一上·上海长宁·期末）指数幂的值为 ． 例2．（24-25高一上·上海嘉定·期末）已知，化简： . 例3．（24-25高一上·上海·期中）已知，化简 . 例4．（24-25高一上·上海·期中）已知，则 . 例5．（24-25高一上·上海·随堂练习）化简，并求当，时的值． 精练 1．（24-25高一上·上海·期中）已知，则 . 2．（24-25高一上·上海·期中）已知，化简： . 3．（24-25高一上·上海·期中）若，且，则的值为 ． 4．（24-25高一上·上海·课堂例题）化简：． 一、单选题 1．（23-24高一上·上海嘉定·期末）已知，则的值(    ) A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海浦东新·期中）下面四个等式运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·上海·期中）已知a＞0，将表示成有理指数幂，其结果是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·上海·期中）设，下列计算中正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高一上·上海普陀·阶段练习）已知，则化简的结果是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（23-24高一上·上海长宁·期末）根式的指数幂形式为 . 7．（24-25高一上·上海金山·期末）将化为有理数指数幂的形式为 . 8．（24-25高一上·上海嘉定·期中）已知实数，，化简： . 9．（24-25高一上·上海·期中）已知，，化简： ． 10．（24-25高一上·上海·期中）当时，化简： . 11．（24-25高一上·上海奉贤·期中）化简 ． 12．（22-23高一上·上海徐汇·阶段练习）化简： ． 13．化简 （其中）． 14．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知，则化简的结果是 15．（22-23高一上·上海奉贤·期末）化简 （其中，）． 16．（23-24高一上·上海闵行·期末）用有理数指数幂的形式表示 .（其中） 三、解答题 17．（23-24高一上·上海嘉定·期中）（1）已知，求的值； （2）已知，求证：． 一、填空题 1．（22-23高一上·上海浦东新·期中）方程的两根、，满足，则 2．（25-26高一上·上海·单元测试）若， ，，则 ． 二、解答题 3．求使等式成立的实数a的取值范围. 4．已知x+x-1=4，其中0<x<1，求的值. 5．（24-25高一上·上海·期中）（1）已知、为实数，，求的值； （2）已知一元二次方程的两根为与，求的值； （3）设为实数，解关于的不等式：． 6．（24-25高一上·上海·期中）已知函数（其中，且）. (1)若，求的值. (2)求关于的方程的解. 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$