专题10 基本不等式及其应用（知识梳理+7对点集训+基础过关+拓展提优）-2025年初升高数学无忧衔接（上海专用）

专题10 基本不等式及其应用 （知识梳理+7对点集训+基础过关+拓展提优） 1. 理解两个正数的算数平均值、几何平均值的概念及其意义。 2．理解平均值不等式及其取等号的条件，会运用平均值不等式求解较简单最大值和最小值问题，能运用平均值不等式比较大小及证明一些简单的不等式。(重点) 3．理解三角不等式及其取等号的条件，会运用三角不等式证明一些不等式，并求解一些简单的最大值或最小值问题。(难点) 知识点01：算术平均值与几何平均值 给定两个正数a、b，数称为a、b，的算术平均值；数称为a、b的几何平均值； 知识点02：平均值不等式 定理（平均值不等式）：两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，即对于任意的正数a、b，有，且等号当且仅当a＝b时成立； 定理：对于任意的实数a、b，有，且等号当且仅当a＝b时成立； 【注意】 （1）两个不等式与成立的条件是不同的；前者要求a、b，是实数即可，而后者要求a，b都是正实数（实际上后者只要a≥0，b≥0即可）； （2）两个不等式和都是带有等号的不等式，都是“当且仅当a＝b时，等号成立”； 知识点03：平均值不等式与最值 已知x＞0，y＞0，则 （1）若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值； （2）若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2； 知识点04：三角不等式 定理（三角不等式）：如果、是实数，那么；当且仅当时，等号成立。 证明：定理 对任意的实数、；有，且等号当且仅当时成立； （方法1：分析法）为证明，只需证明， 即，也就是，所以，等号当且仅当时成立； （方法2）由①与②两式相加就有③， 将（）看作一个整体时，上面的③式逆用，即可证明； 证明：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件； 方法1：分|或或三种可能。 当 时，显然成立； 当 时，，即，等号成立的条件； 方法2：将取成代入定理。 证明：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件； 方法1：分|或或三种可能。 当 时，显然成立； 当 时，，即； 方法2：将取成代入定理。 对点集训一：由基本不等式证明不等关系 典型例题 例1．（23-24高一上·上海金山·期中）已知a为正数，比较大小： 4. 例2．命题“已知，若且，则”，判断命题的真假，并证明. 精练 1．（23-24高一上·上海·期中）若实数、满足，下列不等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 2.已知，求证：. 3.已知a，b，c均为正数，a，b，c不全相等.求证： 对点集训二：基本不等式求积的最大值 典型例题 例1．（24-25高一上·上海·期中）已知实数a，b满足，则的最大值为 . 例2.已知正实数x，y满足：，则的最大值为 . 精练 1．已知实数满足，则的最大值为 . 2.已知，则的最大值为 ． 3.设实数x、y满足，则的最大值是 ． 对点集训三： 基本不等式求和的最小值 典型例题 例1．（24-25高一上·上海闵行·期中）已知正实数满足，则的最小值是 . 例2．（24-25高一上·上海宝山·期中）已知，则代数式的最小值是 . 例3．（24-25高一上·上海闵行·期中）函数的最小值是 . 精练 1．（23-24高一上·上海·期末）函数（）的最小值是 . 2．（23-24高一上·上海·期中）已知正实数a、b满足，则的最小值为 . 对点集训四：基本不等式“1”的妙用求最值 典型例题 例1．（24-25高一上·上海·阶段练习）设且，则的最小值为 . 例2．（22-23高一上·上海杨浦·期中）已知且，则的最小值为 . 例3.已知都是正实数且，则的最小值为 ； 例4．（24-25高一上·上海·期中）问题：正实数a、b满足，求的最小值．其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号，故而的最小值是．学习上述解法并解决下列问题： (1)已知a、b是正实数，且，求的最小值． (2)①已知实数a、b、x、y，满足，求证． ②求代数式的最小值，并求出使得M最小的m的值． 精练 1.已知，且，则的最小值为 . 2.已知，，且，则的最小值为 . 3．（24-25高一上·上海嘉定·期末）若，则的最小值是 . 4．（2024高一上·上海·专题练习）（1）求的最小值； （2）已知，，，求的最小值． 对点集训五：条件等式求最值 典型例题 例1．（22-23高一上·上海徐汇·期末）若实数x、y满足，则的最小值为 . 例2.设都是正数，且使，求实数的最大值. 精练 1.已知，则的最小值为 2．设x、y为实数，若，则的最大值是 ． 3．已知. (1)若a与b均为正数，求的最大值，并指出取最大值时a与b的值； (2)若a与b均为负数，求的最小值. 对点集训六：基本（均值）不等式的应用 典型例题 例1．（24-25高一上·上海·随堂练习）某小学开展劳动教育，欲在围墙边用栅栏围城一个18平方米的矩形植物种植园，矩形的一条边为围墙，如图．则至少需要 米栅栏．    例2．（24-25高一上·上海·期中）某学生社团设计一张招新海报，要求纸张为长、宽的矩形，面积为．版面设计如图所示：海报上下左右边距均为，文字宣传区域分大小相等的三个矩形栏目，栏目间中缝空白的宽度为．三个栏目的文字宣传区域面积和为， (1)用、表示文字宣传区域面积和； (2)如何设计纸张的长和宽，使得文字宣传区域面积和最大？最大面积是多少？ 例3．（24-25高一上·上海普陀·期中）某地方政府准备建造一个面积为平方米的矩形运动场地（如图所示，包括阴影部分和中间三个矩形区域），其中阴影部分为走道，走道宽度均为米，中间的三个矩形区域设计铺设塑胶地面（其中两个小场地形状大小相同），塑胶地面总面积为平方米． (1)设矩形相邻的两边分别米和米（如图），试写出关于的关系式，并给出的取值范围； (2)怎样设计能使取得最大值，并求出最大值． 精练 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为xm，宽为ym．若菜园面积为，则 时，可使所用篱笆总长最小，最小值为 ．    2．（24-25高一上·上海·期中）某村计划建造一个室内面积为的矩形蔬菜温室，在室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留2m宽的通道，沿前侧内墙保留4m宽的空地，    (1)写出蔬菜的种植面积关于矩形温室的长之间的关系式． (2)当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？ 3．（24-25高一上·上海·期中）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一；规定：两个全等的矩形中心重合，且对应边互相垂直，所形成的图形称为“正十字形”；如图所示，窗花是由一张圆形纸片剪去一个“正十字形”剩下的部分，其中“正十字形”的顶点都在圆周上；已知两个矩形的宽和长都分别为（单位：分米）且宽小于长，若剪去的“正十字形”部分面积为4平方米；    (1)请用表示，并写出的取值范围； (2)现为了节约纸张，需要所用圆形纸片面积最小；当取何值时，所用到的圆形纸片面积最小，并求出其最小值；（结果精确到0.01）； 对点集训七：绝对值三角不等式 典型例题 例1．（24-25高一上·上海·期末）代数式的最小值是 ． 例2．（23-24高一上·上海静安·期中）对所有实数恒成立，则的取值范围是 . 例3．（24-25高一上·上海·期中）设，方程的解集是 ． 例4．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知，，求证：． 例5．（24-25高一上·上海·单元测试）若对恒成立，求实数的取值范围． 精练 1．（24-25高一上·上海金山·期末）已知，若不等式恒成立，则m的取值范围为 . 2．（24-25高一上·上海·期中）对任意给定的实数，有，且等号当且仅当实数的取值范围为 时成立. 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）设，求方程的解集． 4．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知，，求证：． 5．（24-25高一上·上海·期中）已知函数． (1)当时，求不等式的解集； (2)若的解集为R，求a的取值范围． 一、单选题 1．（22-23高一上·上海静安·期中）若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是 （   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·上海闵行·期中）已知，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·上海浦东新·期中）下列不等式①；②；③；④，其中恒成立的是（    ） A．①④ B．③④ C．②③ D．①② 4．（23-24高一上·上海普陀·期中）设，对于使恒成立的所有常数中，我们把的最小值1叫做的上确界．若，且，则的上确界为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（23-24高一上·上海闵行·期末）已知关于的不等式有解，则实数的取值范围为 . 6．（24-25高一上·上海·期中）已知关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 ． 7．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知对于实数，满足且，则的最大值为 ． 8．（24-25高一上·上海杨浦·阶段练习）当且仅当实数x的范围是 时，不等式等号成立. 9．（23-24高一上·上海·期末）设、为正数，且，则 （填“，，，”） 10．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知实数满足，则的最小值为 . 11．（23-24高一上·上海虹口·期末）若存在实数使得不等式成立，则实数的取值范围是 ． 12．（23-24高一上·上海·期末）已知实数满足且，则的最小值是 13．（23-24高一上·上海奉贤·期末）设、为正数，且与的算术平均值为1，则与的几何平均值最大值为 . 14．（22-23高一上·上海松江·期末）设，，且，若的最小值为4，则实数a的值为 15．（21-22高一上·上海杨浦·期中）若已知a，b，c均为正数，则的最小值为 ． 16．（23-24高一上·上海青浦·期末）设实数，当代数式取最小值时，的值为 . 三、解答题 17．（22-23高一上·上海奉贤·期末）（1）已知、，求证：，并写出等号成立的条件. （2）若正数、的算术平均值是2，求、的几何平均值的最大值. 18．（24-25高一上·上海·期中）设、是正实数． (1)求证：，并指出等号成立的条件； (2)若，求的最小值，并指出等号成立的条件． 19．（23-24高一上·上海宝山·阶段练习）如图，窗框由矩形和以为直径的半圆周构成，现在要制造采光面积为1平方米的窗框.已知制造矩形的直线型钢材价格为每米10元，制造半圆周的弧形钢材价格为每米20元.（假设钢材厚度忽略不计）    (1)若矩形的一边长度y不能大于1.5米，则半圆周的半径长度x不小于多少米？（结果保留） (2)问当半圆周的半径长度x为多少米时，制造窗框的材料价格最低？并求出这个最低价.（结果保留） 20．（24-25高一上·上海杨浦·阶段练习）某新建居民小区欲建一面积为的矩形绿地，并在绿地四周铺设人行道，设计要求绿地外南北两侧人行道宽3m，东西两侧人行道宽4m，如图所示（图中单位：m）.设矩形绿地的南北侧边长为x米. (1)当人行道的占地面积不大于时，求x的取值范围； (2)问x取多少时，才能使人行道的占地面积最小. 一、单选题 1．（24-25高一上·上海·期中）已知， ①若，则的最小值为 ②若，则的最小值为 ③若，则的最小值为 ④的最大值为 上述列命题中，正确的命题是（    ） A．①②④ B．②④ C．③④ D．②③ 2．（24-25高一上·上海·期中）设非负实数，满足，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值是 B．的最小值是 C．的最小值是 D．的最小值是 3．（23-24高一上·上海长宁·期中）已知，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 4．（23-24高一上·上海嘉定·期中）对任意给定的实数a，b，有，且等号当且仅当（    ）成立． A． B． C． D． 二、填空题 5．（23-24高一上·上海·期末）已知，，且，若的最小值为4，则实数a的值为 . 6．（22-23高一上·上海·期末）已知，记的最大值为，最小值为，则 ． 7．（24-25高一上·上海·期中）已知，则的最大值为 ． 8．（24-25高一上·上海金山·期中）已知正实数，满足，则的最小值为 . 9．（24-25高一上·上海·期中）已知，，，，则的最大值为 ． 10．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知是正实数，若关于的方程无解，则实数的取值范围为 11．（24-25高一上·上海·阶段练习）存在使不等式成立，则实数的取值范围是 . 12．（23-24高一上·上海虹口·阶段练习）《九章算术》中“勾股容方”问题“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法.如图1，用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青），将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为，宽为内接正方形的边长d，由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3，设D为斜边BC的中点，作直角三角形ABC的内接正方形对角线AE，过点A作于点F，则下列四个推理中正确的序号是 .    ①由图1和图2面积相等得；    ②由可得； ③由可得；    ④由可得. 三、解答题 13．（24-25高一上·上海松江·期中）汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并集合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车．若将报警时间划分为4段，分别为准备时间、人的反应时间、系统反应时间、制动时间，相应的距离分别为，，，，如图所示．当车速为v（米/秒），且时，通过大数据统计分析得到下表给出的数据（其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化，）． 阶段 0．准备 1．人的反应 2．系统反应 3．制动 时间 秒 秒 距离 米 米 (1)请写出报警距离d（米）与车速v（米/秒）之间的函数关系式；并求当，在汽车达到报警距离时，若人和系统均未采取任何制动措施，仍以此速度行驶的情况下，汽车撞上固定障碍物的最短时间； (2)若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均不超过85米，则汽车的行驶速度应限制在多少千米/小时？ 14．（24-25高一上·上海奉贤·期中）设，定义． (1)若，求x的取值范围； (2)若，求x的取值范围； (3)若，记，分别比较M与a，以及M与的大小，并求M的最大值． 15．（24-25高一上·上海奉贤·阶段练习）问题：正实数满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号，故而的最小值是.学习上述解法并解决下列问题： (1)已知是正实数，且，求的最小值； (2)①已知实数，满足，求证：； ②求代数式的最小值，并求出使得最小的的值. 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 基本不等式及其应用 （知识梳理+7对点集训+基础过关+拓展提优） 1. 理解两个正数的算数平均值、几何平均值的概念及其意义。 2．理解平均值不等式及其取等号的条件，会运用平均值不等式求解较简单最大值和最小值问题，能运用平均值不等式比较大小及证明一些简单的不等式。(重点) 3．理解三角不等式及其取等号的条件，会运用三角不等式证明一些不等式，并求解一些简单的最大值或最小值问题。(难点) 知识点01：算术平均值与几何平均值 给定两个正数a、b，数称为a、b，的算术平均值；数称为a、b的几何平均值； 知识点02：平均值不等式 定理（平均值不等式）：两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，即对于任意的正数a、b，有，且等号当且仅当a＝b时成立； 定理：对于任意的实数a、b，有，且等号当且仅当a＝b时成立； 【注意】 （1）两个不等式与成立的条件是不同的；前者要求a、b，是实数即可，而后者要求a，b都是正实数（实际上后者只要a≥0，b≥0即可）； （2）两个不等式和都是带有等号的不等式，都是“当且仅当a＝b时，等号成立”； 知识点03：平均值不等式与最值 已知x＞0，y＞0，则 （1）若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值； （2）若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2； 知识点04：三角不等式 定理（三角不等式）：如果、是实数，那么；当且仅当时，等号成立。 证明：定理 对任意的实数、；有，且等号当且仅当时成立； （方法1：分析法）为证明，只需证明， 即，也就是，所以，等号当且仅当时成立； （方法2）由①与②两式相加就有③， 将（）看作一个整体时，上面的③式逆用，即可证明； 证明：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件； 方法1：分|或或三种可能。 当 时，显然成立； 当 时，，即，等号成立的条件； 方法2：将取成代入定理。 证明：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件； 方法1：分|或或三种可能。 当 时，显然成立； 当 时，，即； 方法2：将取成代入定理。 对点集训一：由基本不等式证明不等关系 典型例题 例1．（23-24高一上·上海金山·期中）已知a为正数，比较大小： 4. 【答案】 【知识点】由基本不等式证明不等关系 【分析】利用基本不等式，可得答案. 【详解】由，则，当且仅当时，等号成立. 故答案为：. 例2．命题“已知，若且，则”，判断命题的真假，并证明. 【答案】真，证明见解析 【知识点】由基本不等式证明不等关系 【分析】利用基本不等式判断与证明命题的真假. 【详解】因为且，所以， 当且仅当时取等号， 所以正确， 所以该命题为真命题. 精练 1．（23-24高一上·上海·期中）若实数、满足，下列不等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由基本不等式证明不等关系 【分析】直接由基本不等式验证即可，注意取等条件. 【详解】由题意，所以直接由基本不等式可得， 等号成立当且仅当，即，此时满足题意. 故选：A. 2.已知，求证：. 【知识点】由基本不等式证明不等关系 【分析】由题知，进而根据基本不等式求解即可. 【详解】解：因为，所以， 所以， 当且仅当即，等号成立， 所以，证毕. 3.已知a，b，c均为正数，a，b，c不全相等.求证： 【知识点】由基本不等式证明不等关系 【分析】根据式子结构，轮换对称形式，构造基本不等式即可证明. 【详解】证明　∵a>0，b>0，c>0， ∴， ， . 当且仅当a=b=c时上式等号均成立， 又a，b，c不全相等， 故上述等号至少有一个不成立. 故三个式子相加，得 ∴ 对点集训二：基本不等式求积的最大值 典型例题 例1．（24-25高一上·上海·期中）已知实数a，b满足，则的最大值为 . 【答案】 【知识点】基本不等式求积的最大值 【分析】根据基本不等式可求的最大值. 【详解】因为，故， 当且仅当时等号成立，故的最大值为， 故答案为：. 例2.已知正实数x，y满足：，则的最大值为 . 【答案】 【知识点】基本不等式求积的最大值 【分析】利用不等式，直接计算即可. 【详解】， 当且仅当，即时取得等号； 故的最大值为； 故答案为：. 精练 1．已知实数满足，则的最大值为 . 【答案】1 【知识点】基本不等式求积的最大值 【分析】根据给定条件利用均值不等式直接计算作答. 【详解】因实数满足，则，当且仅当时取“=”， 由且解得或， 所以当或时，取最大值1. 故答案为：1 2.已知，则的最大值为 ． 【答案】4 【知识点】基本不等式求积的最大值 【分析】根据给定条件结合均值不等式即可计算作答. 【详解】因，则，于是得，当且仅当，即时取“=”， 所以的最大值为4. 故答案为：4 3.设实数x、y满足，则的最大值是 ． 【答案】 【知识点】基本不等式求积的最大值 【分析】对的符号进行分类讨论，结合基本不等式求得的最大值. 【详解】若异号，则， 若，则， 若，则， 若同为正数，则，当且仅当时等号成立. 若同为负数，则， ，当且仅当时等号成立. 综上所述，的最大值为. 故答案为： 对点集训三： 基本不等式求和的最小值 典型例题 例1．（24-25高一上·上海闵行·期中）已知正实数满足，则的最小值是 . 【答案】 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】根据基本不等式直接求解即可. 【详解】解：因为正实数满足， 所以，由基本不等式可知，，当且仅当时等号成立， 所以，的最小值是. 故答案为： 例2．（24-25高一上·上海宝山·期中）已知，则代数式的最小值是 . 【答案】4 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】利用基本不等式，可得答案. 【详解】由，则，当且仅当时，等号成立， 所以代数式的最小值为. 故答案为： 例3．（24-25高一上·上海闵行·期中）函数的最小值是 . 【答案】 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】利用基本不等式可求最小值. 【详解】, 当且仅当时等号成立，故所求最小值为， 故答案为：. 精练 1．（23-24高一上·上海·期末）函数（）的最小值是 . 【答案】 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】借助基本不等式即可得. 【详解】由，故， 当且仅当时，等号成立. 故答案为：. 2．（23-24高一上·上海·期中）已知正实数a、b满足，则的最小值为 . 【答案】2 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】利用基本不等式求最小值． 【详解】由已知，当且仅当，即时等号成立， 故答案为：2. 对点集训四：基本不等式“1”的妙用求最值 典型例题 例1．（24-25高一上·上海·阶段练习）设且，则的最小值为 . 【答案】/ 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】变形得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】， 又， 由基本不等式得 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为： 例2．（22-23高一上·上海杨浦·期中）已知且，则的最小值为 . 【答案】 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】先由已知得到，变形展开计算，利用基本不等式求最值即可. 【详解】， ， 当且仅当，即时等号成立. 的最小值为 故答案为： 例3.已知都是正实数且，则的最小值为 ； 【答案】4； 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式求和的最小值 【分析】根据条件以及的最小值，联系所学过的基本不等式的特点，进行求解，注意题中“1”的灵活应用. 【详解】， 当且仅当 ，即 时等号成立， 所以最小值为4， 故答案为：4. 例4．（24-25高一上·上海·期中）问题：正实数a、b满足，求的最小值．其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号，故而的最小值是．学习上述解法并解决下列问题： (1)已知a、b是正实数，且，求的最小值． (2)①已知实数a、b、x、y，满足，求证． ②求代数式的最小值，并求出使得M最小的m的值． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②时，取最小值. 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】（1）化为，根据题中示例，利用乘法结合基本不等式求解即可； （2）①化，结合基本不等式求解；②利用换元法，令，，则，再利用①结论求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以， 所以， ， 因为、都是正实数，所以， 所以 当且仅当，解得或， 因为、都是正实数，所以， 所以当时，取得最小值. （2）①因为，所以 因为，，则有： ， 当且仅当且、同号时取等号，此时，、满足， 所以. ②令，，所以，， 由，解得， 构造，由，则， 所以，利用①中结论，有： ， 当且仅当且，时，即取等号， 解得时，取最小值. 精练 1.已知，且，则的最小值为 . 【答案】 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用“”的代换的方法，结合基本不等式，化简求得的最小值. 【详解】 所以 ， 当且仅当且时等号成立，此时. 故答案为： 2.已知，，且，则的最小值为 . 【答案】9 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【解析】由条件可得，展开后利用基本不等式可得最小值. 【详解】由 可得， 当且仅当，即时，取得最小值9. 故答案为：9. 【点睛】本题主要考查了巧用“1”求最值，涉及基本不等式的应用，属于基础题. 3．（24-25高一上·上海嘉定·期末）若，则的最小值是 . 【答案】2 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】由基本不等式的乘“1”法求解即可； 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值是2. 故答案为：2. 4．（2024高一上·上海·专题练习）（1）求的最小值； （2）已知，，，求的最小值． 【答案】（1）3；（2） 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）由题意得，，然后结合基本不等式即可求解； （2）由已知得，然后利用乘1法，结合基本不等式即可求解． 【详解】（1）， 当且仅当，即时取等号， 故的最小值为3； （2）因为，，， 所以， ， 当且仅当且，即，时取等号， 故的最小值为． 对点集训五：条件等式求最值 典型例题 例1．（22-23高一上·上海徐汇·期末）若实数x、y满足，则的最小值为 . 【答案】 【知识点】条件等式求最值 【分析】运用基本不等式进行求解即可. 【详解】因为， 所以由，当且仅当时取等号， 即当或时取等号， 故答案为： 例2.设都是正数，且使，求实数的最大值. 【答案】. 【知识点】条件等式求最值 【分析】参变分离可得，再将等式两边平方利用基本不等式可得，即可求出的最值； 【详解】由题意得． ，． ，， ．．∴． 当且仅当时，k的最大值为. 精练 1.已知，则的最小值为 【答案】 【知识点】条件等式求最值 【解析】由，且，可得，代入并利用基本不等式即可得出． 【详解】解：，且， ，当且仅当时取等号． 的最小值是8． 故答案为：8． 【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方 2．设x、y为实数，若，则的最大值是 ． 【答案】/ 【分析】方法一：消元法.令，则，代入，整理得，转化为关于的一元二次方程有解即可求解. 方法二：基本不等式法.关键是将式子变形为，再利用基本不等式求解即可. 【详解】方法一：令，则，代入，整理得，其， 解得，当时，. 故的最大值是． 方法二：由 ，即， 当时，. 故的最大值是． 故答案为： 3．已知. (1)若a与b均为正数，求的最大值，并指出取最大值时a与b的值； (2)若a与b均为负数，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等式直接利用基本不等式即可得出所求的答案； （2）灵活运用1的代换，并结合基本不等式即可得出所求的答案． 【详解】（1）因为与均为正数， 所以由基本不等式可得：， 当且仅当，即 时，等号成立， 所以， 所以的最大值为． （2）因为与均为负数， 所以，， 所以， 当且仅当，即 时，等号成立， 所以 的最小值为． 对点集训六：基本（均值）不等式的应用 典型例题 例1．（24-25高一上·上海·随堂练习）某小学开展劳动教育，欲在围墙边用栅栏围城一个18平方米的矩形植物种植园，矩形的一条边为围墙，如图．则至少需要 米栅栏．    【答案】 【知识点】基本（均值）不等式的应用 【分析】根据均值不等式求最值及取得的条件，代入运算即可. 【详解】设矩形植物种植园的长、宽分别为a，b，所以其面积， 则周长，当且仅当“”时等号成立． 故至少需要米栅栏． 故答案为：． 例2．（24-25高一上·上海·期中）某学生社团设计一张招新海报，要求纸张为长、宽的矩形，面积为．版面设计如图所示：海报上下左右边距均为，文字宣传区域分大小相等的三个矩形栏目，栏目间中缝空白的宽度为．三个栏目的文字宣传区域面积和为， (1)用、表示文字宣传区域面积和； (2)如何设计纸张的长和宽，使得文字宣传区域面积和最大？最大面积是多少？ 【答案】(1) (2)长和宽分别为时，面积取得最大值. 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本（均值）不等式的应用 【分析】（1）利用矩形的面积公式列式即得. （2）由（1）的结论，利用基本不等式求出最大值. 【详解】（1）依题意，三个栏目的文字宣传区域拼在一起，相当于长宽分别为的矩形， 所以. （2）依题意，，由（1）知， 当且仅当时取等号，由，解得， 所以纸张的长和宽分别为时，面积取得最大值. 例3．（24-25高一上·上海普陀·期中）某地方政府准备建造一个面积为平方米的矩形运动场地（如图所示，包括阴影部分和中间三个矩形区域），其中阴影部分为走道，走道宽度均为米，中间的三个矩形区域设计铺设塑胶地面（其中两个小场地形状大小相同），塑胶地面总面积为平方米． (1)设矩形相邻的两边分别米和米（如图），试写出关于的关系式，并给出的取值范围； (2)怎样设计能使取得最大值，并求出最大值． 【答案】(1) (2)当时，取得最大值为 【知识点】基本（均值）不等式的应用、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】（1）根据已知条件求得关于的关系式，并给出的取值范围. （2）利用基本不等式求得的最大值. 【详解】（1）依题意，，，得， ，而，所以. ，， （2）由（1）得， 所以 ， 当且仅当，时等号成立. 所以当时，取得最大值为. 精练 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为xm，宽为ym．若菜园面积为，则 时，可使所用篱笆总长最小，最小值为 ．    【答案】 【知识点】基本（均值）不等式的应用 【分析】根据均值不等式求最值及最值取得的条件即可. 【详解】由题得，周长，当且仅当，即，时，等号成立，所以． 故答案为：；. 2．（24-25高一上·上海·期中）某村计划建造一个室内面积为的矩形蔬菜温室，在室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留2m宽的通道，沿前侧内墙保留4m宽的空地，    (1)写出蔬菜的种植面积关于矩形温室的长之间的关系式． (2)当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？ 【答案】(1)； (2)矩形温室的一边长为，另一边长为时，蔬菜的种植面积最大，最大为. 【知识点】基本（均值）不等式的应用、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）设蔬菜的种植面积为，矩形温室的长为，可得种植蔬菜矩形的宽为，再根据矩形的面积公式即可得答案； （2）利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）解：设蔬菜的种植面积为，矩形温室的长为， 则矩形温室的宽为,种植蔬菜矩形的长为，宽为， 所以； （2）解：因为， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以. 即当矩形温室的一边长为，另一边长为时，蔬菜的种植面积最大，最大为 3．（24-25高一上·上海·期中）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一；规定：两个全等的矩形中心重合，且对应边互相垂直，所形成的图形称为“正十字形”；如图所示，窗花是由一张圆形纸片剪去一个“正十字形”剩下的部分，其中“正十字形”的顶点都在圆周上；已知两个矩形的宽和长都分别为（单位：分米）且宽小于长，若剪去的“正十字形”部分面积为4平方米；    (1)请用表示，并写出的取值范围； (2)现为了节约纸张，需要所用圆形纸片面积最小；当取何值时，所用到的圆形纸片面积最小，并求出其最小值；（结果精确到0.01）； 【答案】(1) (2)分米；平方分米 【知识点】基本（均值）不等式的应用、利用不等式求值或取值范围、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）根据“正十字形”部分面积表达式可得，再由宽小于长限定出的取值范围即可； （2）求出圆形面积关于的表达式，利用基本不等式计算可得结果. 【详解】（1）根据题意可知，剪去的“正十字形”部分面积可表示为， 可得， 由宽小于长可得，解得； 因此 （2）若所用圆形纸片面积最小，可知圆的半径最小即可； 设圆的半径为，则圆的面积为 ； 当且仅当，即时，等号成立； 此时圆形纸片面积的最小值为（平方分米）. 对点集训七：绝对值三角不等式 典型例题 例1．（24-25高一上·上海·期末）代数式的最小值是 ． 【答案】60 【知识点】绝对值三角不等式 【分析】利用绝对值三角不等式求出最小值. 【详解】. 故答案为：60 例2．（23-24高一上·上海静安·期中）对所有实数恒成立，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】绝对值的三角不等式应用、绝对值三角不等式 【分析】利用三角不等式求得的最小值，根据不等式恒成立的意义即可求得答案. 【详解】因为， 当且仅当时等号成立，即， 故不等式对所有实数恒成，则， 故答案为： 例3．（24-25高一上·上海·期中）设，方程的解集是 ． 【答案】 【知识点】绝对值三角不等式 【分析】利用绝对值三角不等式等号的成立条件可求解. 【详解】因为， 又， 当且仅当时，等号成立， 解得， 所以方程的解集是， 故答案为：. 例4．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知，，求证：． 【知识点】绝对值三角不等式、由不等式的性质证明不等式 【分析】利用绝对值不等式证明； 【详解】证明： ， 又因为， 所以，，所以 所以成立． 例5．（24-25高一上·上海·单元测试）若对恒成立，求实数的取值范围． 【答案】． 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、求绝对值不等式中参数值或范围、绝对值三角不等式 【分析】若对恒成立，分离参数，利用绝对值不等式的性质可得，当且仅当取等号，继而可求得的取值范围． 【详解】解：∵对恒成立， ∴对恒成立． ∵，当且仅当取等号， ∴当时，．又， ∴，即的取值范围为． 精练 1．（24-25高一上·上海金山·期末）已知，若不等式恒成立，则m的取值范围为 . 【答案】 【知识点】绝对值三角不等式 【分析】根据绝对值不等式求解最值即可求解. 【详解】恒成立，等价于， 又，. 故答案为： 2．（24-25高一上·上海·期中）对任意给定的实数，有，且等号当且仅当实数的取值范围为 时成立. 【答案】 【知识点】绝对值三角不等式 【分析】根据绝对值三角不等式的取等条件即可求解. 【详解】，即， 所以当，即或时等号成立. 故答案为：. 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）设，求方程的解集． 【答案】 【知识点】绝对值三角不等式 【分析】根据绝对值的性质求解即可. 【详解】因为，当且仅当时，等号成立， 即当或时，等号成立，所以原方程的解集为． 4．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知，，求证：． 【知识点】绝对值三角不等式 【分析】根据绝对值三角不等式进行证明． 【详解】证明：∵， 又且， ∴， ∴该不等式得证． 5．（24-25高一上·上海·期中）已知函数． (1)当时，求不等式的解集； (2)若的解集为R，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】绝对值三角不等式、函数不等式恒成立问题、分类讨论解绝对值不等式 【分析】（1）分类讨论去绝对值，列式求解即可； （2）分析可知，由绝对值不等式可得，进而可得结果. 【详解】（1）原不等式可化为或或，解得， 所以不等式的解集为． （2）由已知可得， 因为，当且仅当时，等号成立， 则，即，即或，解得或 所以a的取值范围. 一、单选题 1．（22-23高一上·上海静安·期中）若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求绝对值不等式中参数值或范围、绝对值三角不等式 【分析】根据绝对值不等式求出的最小值即可求解. 【详解】因为， 当且仅当即时取等号， 所以， 又因为关于的不等式恒成立，所以， 故选:A. 2．（23-24高一上·上海闵行·期中）已知，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】对于ACD，取特殊值可判断；对于B，利用基本不等式可判断. 【详解】对于A，令，则，A错； 对于B，， 当且仅当时，等号成立，但无实数解，等号不成立， 所以，B对； 对于C，令，则，C错； 对于D，令，则，D错. 故选：B. 3．（23-24高一上·上海浦东新·期中）下列不等式①；②；③；④，其中恒成立的是（    ） A．①④ B．③④ C．②③ D．①② 【答案】C 【知识点】作差法比较代数式的大小、基本不等式求和的最小值 【分析】利用特殊值判断①④，根据完全平方数的非负性判断②，利用基本不等式判断③. 【详解】①当时，①显然错误； ②因为，所以成立，②正确； ③显然，，所以，当且仅当时取等号，③正确； ④当时，④不成立． 故选：C． 4．（23-24高一上·上海普陀·期中）设，对于使恒成立的所有常数中，我们把的最小值1叫做的上确界．若，且，则的上确界为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值、条件等式求最值 【分析】通过基本不等式可得，进而可得结论． 【详解】 ，且， ， 当且仅当即时等号成立， 则有，即的上确界. 故选：B． 二、填空题 5．（23-24高一上·上海闵行·期末）已知关于的不等式有解，则实数的取值范围为 . 【答案】 【知识点】绝对值三角不等式 【分析】利用绝对值不等式求得的最小值，从而利用能成立问题得到，解之即可得解. 【详解】因为， 当且仅当时，等号成立， 因为有解，所以，解得， 即实数的取值范围为. 故答案为：. 6．（24-25高一上·上海·期中）已知关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求绝对值不等式中参数值或范围 【分析】表示数轴上的对应点到和对应点的距离之和，其最小值为，再结合条件，即可解得的取值范围. 【详解】表示数轴上的对应点到和对应点的距离之和，其最小值为， 由题意的解集为， 可得恒成立，所以， 所以的范围是， 故答案为：. 7．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知对于实数，满足且，则的最大值为 ． 【答案】8 【知识点】绝对值三角不等式 【分析】根据绝对值不等式可轻松求解. 【详解】 故答案为：8 8．（24-25高一上·上海杨浦·阶段练习）当且仅当实数x的范围是 时，不等式等号成立. 【答案】 【知识点】绝对值三角不等式 【分析】利用绝对值的三角不等式计算可得恒成立，可得. 【详解】由题意可知，即可知最小值为1； 所以不等式恒成立，此时. 故答案为：. 9．（23-24高一上·上海·期末）设、为正数，且，则 （填“，，，”） 【答案】 【知识点】基本不等式求积的最大值、条件等式求最值 【分析】由已知结合基本不等式即可比较大小． 【详解】因为、为正数，且， 所以， 所以，当且仅当，即，时等号成立． 故答案为： 10．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知实数满足，则的最小值为 . 【答案】 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为，则， 所以， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故答案为：. 11．（23-24高一上·上海虹口·期末）若存在实数使得不等式成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】绝对值三角不等式 【分析】根据绝对值的三角不等式结合存在性问题分析求解. 【详解】因为，当且仅当时，等号成立， 由题意可得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 12．（23-24高一上·上海·期末）已知实数满足且，则的最小值是 【答案】 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、绝对值三角不等式 【分析】根据绝对值的性质分析可知，解不等式即可得结果. 【详解】因为， 则， 且，则，可得，解得， 所以的最小值是. 故答案为：. 13．（23-24高一上·上海奉贤·期末）设、为正数，且与的算术平均值为1，则与的几何平均值最大值为 . 【答案】1 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】根据题意结合基本不等式运算求解. 【详解】由题意可得：，， 可知与的几何平均值为，当且仅当时等号成立， 所以与的几何平均值最大值为1. 故答案为：1. 14．（22-23高一上·上海松江·期末）设，，且，若的最小值为4，则实数a的值为 【答案】 【知识点】条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】变形得，展开利用基本不等式求最小值，然后根据题中最小值列方程求解. 【详解】， 当且仅当，即时等号成立， 又的最小值为4， ，得 故答案为：. 15．（21-22高一上·上海杨浦·期中）若已知a，b，c均为正数，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】依题意再利用基本不等式计算可得； 【详解】解：因为、、，所以，当且仅当时取等号；故的最小值为； 故答案为： 16．（23-24高一上·上海青浦·期末）设实数，当代数式取最小值时，的值为 . 【答案】/ 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】根据题意，由基本不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，则， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立. 故答案为： 三、解答题 17．（22-23高一上·上海奉贤·期末）（1）已知、，求证：，并写出等号成立的条件. （2）若正数、的算术平均值是2，求、的几何平均值的最大值. 【答案】（1）见解析（2） 【知识点】作差法比较代数式的大小、基本不等式求积的最大值 【分析】（1）利用作差法，结合完全平方公式，可得答案； （2）由题意，整理等式可得和的定值，利用基本不等式，可得答案. 【详解】（1）因为， 当且仅当时，等号成立，所以. （2）由题意可得：，即， ，当且仅当，等号成立， 所以、的几何平均值的最大值为. 18．（24-25高一上·上海·期中）设、是正实数． (1)求证：，并指出等号成立的条件； (2)若，求的最小值，并指出等号成立的条件． 【答案】(1)证明见解析， (2)， 【知识点】由基本不等式证明不等关系、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】（1）根据基本不等式可得证； （2）根据基本不等式“1”的妙用可得最值及取等条件. 【详解】（1）由， 所以，当且仅当时等号成立； （2）由， 则， 当且仅当，即时等号成立． 19．（23-24高一上·上海宝山·阶段练习）如图，窗框由矩形和以为直径的半圆周构成，现在要制造采光面积为1平方米的窗框.已知制造矩形的直线型钢材价格为每米10元，制造半圆周的弧形钢材价格为每米20元.（假设钢材厚度忽略不计）    (1)若矩形的一边长度y不能大于1.5米，则半圆周的半径长度x不小于多少米？（结果保留） (2)问当半圆周的半径长度x为多少米时，制造窗框的材料价格最低？并求出这个最低价.（结果保留） 【答案】(1) (2)，元 【知识点】基本（均值）不等式的应用、一元二次不等式的实际应用 【分析】（1）由题意得与关系式后解不等式求解， （2）由基本不等式求解． 【详解】（1）由题意，， 可得，由题意，， 则， 解得，（舍）或， 答：半圆周的半径长度x不小于米； （2）设材料价格为S元， ，， ， 当且仅当即时等号成立， 答：当半圆周的半径米时制造窗框的材料价格最低，最低价为 20．（24-25高一上·上海杨浦·阶段练习）某新建居民小区欲建一面积为的矩形绿地，并在绿地四周铺设人行道，设计要求绿地外南北两侧人行道宽3m，东西两侧人行道宽4m，如图所示（图中单位：m）.设矩形绿地的南北侧边长为x米. (1)当人行道的占地面积不大于时，求x的取值范围； (2)问x取多少时，才能使人行道的占地面积最小. 【答案】(1) (2) 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、基本（均值）不等式的应用、建立拟合函数模型解决实际问题 【分析】（1）表达出人行道占地面积，得到不等式，求出； （2）在（1）的基础上，利用基本不等式求出面积最小值. 【详解】（1）矩形绿地东西侧边长为m， 则人行道占地面积为， 故，解得， 故x的取值范围为； （2） ， 当且仅当，即m时，等号成立， 故x为m时，才能使人行道的占地面积最小. 一、单选题 1．（24-25高一上·上海·期中）已知， ①若，则的最小值为 ②若，则的最小值为 ③若，则的最小值为 ④的最大值为 上述列命题中，正确的命题是（    ） A．①②④ B．②④ C．③④ D．②③ 【答案】D 【知识点】基本（均值）不等式的应用、基本不等式“1”的妙用求最值、条件等式求最值 【分析】利用条件等式、“1”的代换及基本不等式求各项的最值，即可判断. 【详解】①由题设，当且仅当时取等号，错； ②由题意，则， 当且仅当时等号成立，对； ③由题意，故， 则（舍）或，当且仅当时取等号，对； ④由 ，当且仅当时等号成立，错. 综上，正确的有②③ 故选：D 2．（24-25高一上·上海·期中）设非负实数，满足，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值是 B．的最小值是 C．的最小值是 D．的最小值是 【答案】C 【知识点】条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】对于ABC：利用基本不等式以及乘“1”法逐项分析判断；对于D：根据题设条件反推即可. 【详解】因为非负实数x，y满足， 对于选项A：因为， 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值是，故A错误； 对于选项B：因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是，故B错误； 对于选项C：因为， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值是，故C正确； 对于选项D：因为，为非负实数， 若的最小值是，当且仅当时成立， 但此时不满足，所以不是的最小值，故D错误； 故选：C. 3．（23-24高一上·上海长宁·期中）已知，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、基本（均值）不等式的应用 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合基本不等式分析判断即可. 【详解】因为，当且仅当时取等号， ，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当，时取等号， 即时，必有，， 所以成立， 所以由，可推出， 因为 ， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，必有成立， 此时，不一定成立， 所以由推不出， 所以“”是“”的充分非必要条件， 故选：A 4．（23-24高一上·上海嘉定·期中）对任意给定的实数a，b，有，且等号当且仅当（    ）成立． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】绝对值三角不等式 【分析】先根据取等号时的等式分析出之间的关系，然后再逐项分析选项是否与所得到的之间的关系等价即可. 【详解】当不等式取等号时有， 所以，所以， 所以，所以， 所以或， 对于A：等价于或，不满足； 对于B：等价于或，不满足； 对于C：等价于或，不满足； 对于D：等价于或，即为或，满足； 故选：D. 二、填空题 5．（23-24高一上·上海·期末）已知，，且，若的最小值为4，则实数a的值为 . 【答案】2 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用配凑法，结合基本不等式“1”的妙用求解即可. 【详解】由，且，知， 因此 ，当且仅当，即时取等号， 依题意，，解得，由，解得， 所以当时，有最小值为4，实数a的值为2. 故答案为：2 6．（22-23高一上·上海·期末）已知，记的最大值为，最小值为，则 ． 【答案】 【知识点】利用不等式求值或取值范围、基本（均值）不等式的应用 【分析】借助基本不等式可得其最小值，借助不等式的性质可得其最大值，即可得解. 【详解】由，故， 当且仅当时，等号成立，即， 由，故，则， 故. 故答案为：. 7．（24-25高一上·上海·期中）已知，则的最大值为 ． 【答案】 【知识点】基本不等式求积的最大值 【分析】利用基本不等式求解即可. 【详解】由基本不等式知，， 故， 当且仅当时，等号成立. 故答案为： 8．（24-25高一上·上海金山·期中）已知正实数，满足，则的最小值为 . 【答案】 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】化简可得，结合基本不等式求其最小值. 【详解】因为正实数，满足， 当且仅当且时，即时取等号. 故答案为：. 9．（24-25高一上·上海·期中）已知，，，，则的最大值为 ． 【答案】4 【知识点】绝对值三角不等式 【分析】利用绝对值三角不等式求解. 【详解】解：因为，，，， 所以， ， 故答案为： 10．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知是正实数，若关于的方程无解，则实数的取值范围为 【答案】 【知识点】均值不等式 【分析】先求方程有解时实数的取值范围，进而可求得无解时实数的取值范围. 【详解】由方程有解，可得， 因为是正实数，所以，两边平方得，所以， 又因为是正实数，所以，所以， 当且仅当时取等号，所以，所以， 故，解得， 所以方程有解时实数的取值范围为， 所以关于的方程无解，实数的取值范围为. 故答案为：. 11．（24-25高一上·上海·阶段练习）存在使不等式成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】绝对值三角不等式、绝对值的三角不等式应用、求绝对值不等式中参数值或范围 【分析】根据绝对值的三角不等式和一元二次不等式计算即可. 【详解】存在,不等式成立，变形即成立， 由于，当且仅当时取等号， 因此有， 两边平方，解得或， 即实数的取值范围是. 故答案为：. 12．（23-24高一上·上海虹口·阶段练习）《九章算术》中“勾股容方”问题“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法.如图1，用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青），将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为，宽为内接正方形的边长d，由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3，设D为斜边BC的中点，作直角三角形ABC的内接正方形对角线AE，过点A作于点F，则下列四个推理中正确的序号是 .    ①由图1和图2面积相等得；    ②由可得； ③由可得；    ④由可得. 【答案】①②③④ 【知识点】不等式综合 【分析】利用图1和图2面积相等直接列式可判断①；根据三角形相似比求3中正方形边长，然后可得，利用等面积可得，由直角三角形斜边上的中线性质可得，然后根据题意推导可判断②③④. 【详解】①：由图1和图2面积相等可得，所以，①正确； ②：因为，所以，得， 设图3中正方形边长为t，因为小三角形（青）与相识， 所以，解得，所以， 因为，所以，整理得，②正确； ③：因为D为斜边BC的中点，所以， 因为，所以，整理得，③正确； ④：因为，所以，整理得，④正确. 故答案为：①②③④ 三、解答题 13．（24-25高一上·上海松江·期中）汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并集合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车．若将报警时间划分为4段，分别为准备时间、人的反应时间、系统反应时间、制动时间，相应的距离分别为，，，，如图所示．当车速为v（米/秒），且时，通过大数据统计分析得到下表给出的数据（其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化，）． 阶段 0．准备 1．人的反应 2．系统反应 3．制动 时间 秒 秒 距离 米 米 (1)请写出报警距离d（米）与车速v（米/秒）之间的函数关系式；并求当，在汽车达到报警距离时，若人和系统均未采取任何制动措施，仍以此速度行驶的情况下，汽车撞上固定障碍物的最短时间； (2)若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均不超过85米，则汽车的行驶速度应限制在多少千米/小时？ 【答案】(1)，2； (2)30 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）利用求得函数关系式，并利用基本不等式求得最短时间. （2）化简不等式，利用分离常数法，结合一元二次不等式的解法求得的取值范围. 【详解】（1）由题意得， 所以， 当时，， （秒， 即此种情况下汽车撞上固定障碍物的最短时间约为2秒． （2）根据题意要求对于任意，恒成立， 即对于任意，，即恒成立， 由，得，所以即，解得 ，所以， 故要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均不超过85米，则汽车的行驶速度应限制在30千米小时． 14．（24-25高一上·上海奉贤·期中）设，定义． (1)若，求x的取值范围； (2)若，求x的取值范围； (3)若，记，分别比较M与a，以及M与的大小，并求M的最大值． 【答案】(1) (2)或 (3)，，M的最大值为 【知识点】利用不等式求值或取值范围、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）根据新定义求解即可； （2）分，，三种情况，结合新定义讨论求解即可； （3）结合题意易判断M与a，以及M与的大小，结合基本不等式易得，进而分和两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）由题意，由，得或， 解得，即x的取值范围为. （2）①当时，， 当，即时， 此时，解得； 当，即时， 此时，恒成立，则. ②当时，， 此时，不符合题意. ③当时，， 当，即时， 此时，解得； 当，即时， 此时，恒成立，则. 综上所述，x的取值范围为或. （3）由题意，， 则，. 因为，所以，当且仅当时等号成立， 当，即时，， 则，时，M取得最大值； 当时，，此时. 综上所述，M的最大值为. 15．（24-25高一上·上海奉贤·阶段练习）问题：正实数满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号，故而的最小值是.学习上述解法并解决下列问题： (1)已知是正实数，且，求的最小值； (2)①已知实数，满足，求证：； ②求代数式的最小值，并求出使得最小的的值. 【答案】(1)； (2)①证明见解析；②，最小值. 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】（1）化为，根据题中示例，利用乘法结合基本不等式求解即可； （2）①化，结合基本不等式求解；②利用换元法，令，则，再利用①求解即可. 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 所以， ， 当且仅当，即时等号成立， 故取得最小值. （2）①因为，所以， 因为 ， 当且仅当且同号时取等号，此时满足， 所以. ②令，所以， 由，解得， 构造，由，则， 所以，利用①中结论，有： 当且仅当且时，即取等号， 解得时，取最小值. 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$