第12讲 对数（讲义）-【教育机构专用】2021年暑期新高一数学辅导讲义（沪教版2020）

第12讲 对数 【知识梳理】 一、对数概念 1.对数的概念 如果，那么数b叫做以a为底N的对数，记作:logaN=b.其中a叫做对数的底数，N叫做真数. 要点诠释： 对数式logaN=b中各字母的取值范围是：a>0 且a1， N>0， bR. 2.对数具有下列性质： (1)0和负数没有对数，即； (2)1的对数为0，即； (3)底的对数等于1，即. 3．两种特殊的对数 通常将以10为底的对数叫做常用对数，.以e（e是一个无理数，）为底的对数叫做自然对数， . 4．对数式与指数式的关系 由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化.它们的关系可由下图表示. 由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化. 二、对数的运算法则 已知 (1) 正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和； 推广： (2) 两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数； (3) 正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数； 要点诠释： （1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立.如：log2(-3)(-5)=log2(-3)+log2(-5)是不成立的，因为虽然log2(-3)(-5)是存在的，但log2(-3)与log2(-5)是不存在的. （2）不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误的： loga(MN)=logaMlogaN， loga(M·N)=logaM·logaN， loga. 三、对数公式 1．对数恒等式： 2．换底公式 同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0， a≠1， M>0的前提下有: (1) 令 logaM=b， 则有ab=M， (ab)n=Mn，即， 即，即:. (2) ，令logaM=b， 则有ab=M， 则有 即， 即，即 当然，细心一些的同学会发现(1)可由(2)推出，但在解决某些问题(1)又有它的灵活性.而且由(2)还可以得到一个重要的结论: . 【考点剖析】 考点一：指数式与对数式互化及其应用 例1．将下列指数式与对数式互化： (1) ； (2)； (3) (4)； (5)； (6). 【解析】运用对数的定义进行互化. (1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6). 【总结升华】对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段. 【变式1】求下列各式中x的值： (1) (2) (3)lg1000=x (4) 【答案】（1）；（2）；（3）3；（4）-4． 【解析】将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x. (1)； (2)； (3)10x=1000=103，于是x=3； (4)由. 【变式2】计算：并比较． 【答案】2 3 5 【解析】 ． 考点二：利用对数恒等式化简求值 例2．求值： 【答案】35 【解析】. 【总结升华】对数恒等式中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数. 【变式1】求的值(a，b，c∈R+，且不等于1，N>0) 【答案】 【解析】将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂，再进行运算. . 考点三：积、商、幂的对数 例3．表示下列各式 【解析】（1）； （2）； （3）； （4）=． 【总结升华】利用对数恒等式、对数性质及其运算性质进行化简是化简对数式的重要途径，因此我们必须准确地把握它们．在运用对数的运算性质时，一要注意真数必须大于零；二要注意积、商、幂的对数运算对应着对数的和、差、积得运算． 【变式1】求值 (1) 　(2)lg2·lg50+(lg5)2 (3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2 【答案】（1）22；（2）1；（3）2． 【解析】(1) (2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1 (3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2 =2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2. 【变式2】（1）已知，则 ． （2）已知，求． 【答案】（1）1；（2） 【解析】（1）∵ ， ∴，， ∴． 故答案为：1． （2），，又，故 故，又，从而， 故． 考点四：换底公式的运用 例4已知，求． 【答案】 【解析】 解法一：，， 于是． 解法二：，， 于是 解法三：，， ． 解法四：， 又． 令，则， 即 ． 【总结升华】