专题2.7 有理数的混合运算（高效培优讲义）数学苏科版2024七年级上册

专题2.7 有理数的混合运算 教学目标 1.理解有理数混合运算的顺序； 2.能正确进行有理数的混合运算； 3.能用运算律进行简便计算. 教学重难点 1.重点 （1）掌握有理数混合运算的顺序； （2）掌握有理数混合运算的简便计算； 2.难点 （1）掌握程序流程图的计算和算“24”点； （2）掌握有理数混合运算的规律计算和新定义问题。 知识点01 有理数的混合运算顺序 1. 先算乘方，再算乘除，最后算加减； 2. 同级运算，按照从左到右的顺序进行； 3. 如果有括号，先进行括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次计算；如需去括号，一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号. PS：在有理数混合运算中，通常情况下，带分数要先化成假分数，小数要先化成分数，再进行计算，有些计算是可以同时进行的. 【即学即练】 1．（24-25七年级上·江苏南通·期中）计算． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，掌握运算顺序是解题的关键． （1）根据先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里的，即可解答； （2）根据先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里的，即可解答． 【详解】（1）解： ； （2） ． 2．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据有理数的运算法则计算即可； （）利用乘法分配律的逆运算计算即可； 本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则和运算律是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 3．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2)7 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先算乘方，再算乘除，后算加减； （2）先算乘方，再算乘除，后算加减； 【详解】（1） （2） 知识点02 利用运算律简便计算 1. 有理数运算律包括加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律及乘法分配律等； 2. 一些计算优先结合会简便很多，如下所示： （1） 相反数结合； （2） 凑整结合； （3） 正、负分别结合； （4） 同分母结合； （5） 倒数结合 【即学即练】 4．（24-25·七年级上·江苏泰州·阶段练习）计算下面各题，怎样简便就怎样计算． (1) (2) (3) 【答案】(1)29 (2) (3)24 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算： （1）运用加法运算律计算，即可求解； （2）先计算小括号内的，再计算中括号内的，然后计算除法，即可求解； （3）运用乘法分配律计算，即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 5．（24-25七年级上·江苏·阶段练习）用简便方法计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，利用乘法分配律进行计算即可得；掌握乘法分配律，有理数混合运算的运算法则和运算顺序是解题的关键． 【详解】解： ． 6．（24-25·七年级上·江苏无锡·阶段练习）计算下列各题，能用简便方法的要用简便方法计算． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查有理数的简便运算，涉及有理数加减乘除相关运算，分配律、结合律及其相应逆运算，熟记相关运算法则及运算律是解决问题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． 题型01 有理数四则混合运算（简单） 【典例1】计算． (1) (2) 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，有理数的加减计算，熟知有理数的相关计算法则是解题的关键． （1）根据有理数的加减计算法则求解即可； （2）按照先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】计算∶ (1) ． (2) ． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的运算，解题的关键是： （1）根据有理数加法的交换律和结合律计算即可； （2）先计算乘方，再计算乘法，最后计算加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式2】计算： (1) (2) 【答案】(1)40 (2)0 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟知有理数的加减及含乘方的有理数混合运算法则是正确解答此题的关键． （1）根据减法法则变形，计算即可； （2）先计算乘方，再乘除，后加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)24 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意乘法分配律的应用． （1）先计算乘方和绝对值，再算乘除，最后加减即可； （2）先把除法转化为乘法，再根据乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ． 【变式4】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，有理数乘法分配律，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先利用乘法分配律去括号，再计算乘法，最后计算加减法即可得到答案； （2）先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型02 有理数四则混合运算（复杂） 【典例1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）按照加减法运算法则运算即可； （2）先算乘方，再算乘法，最后算加法即可； （3）逆用乘法分配律进行计算即可； （4）先算乘方，计算括号内的值，再算乘法，最后算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式1】计算： (1) (2) 【答案】(1)14 (2)26 【分析】本题考查有理数混合运算，熟练掌握有理数运算法则是解题的关键． （1）先计算乘方，再计算乘法，最后计算加减即可 （2）先计算乘方与求绝对值，再计算乘法，最后计算加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式2】计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是求一个数的绝对值，加法的运算律，乘法的运算律，含乘方的有理数的混合运算，掌握有理数加减乘除，乘方运算的运算法则与运算顺序是解题的关键. （1）利用加法的运算律，把分母相同的两个数先加，从而可得答案； （2）利用乘法的分配律把原式化为：，再计算乘法，最后计算加减运算即可； （3）先计算括号内的运算，同步计算乘方运算，再计算乘法运算，最后计算加减运算即可； （4）先计算乘方运算，同步计算除法与绝对值，再计算乘法运算，最后计算加减运算即可. 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： . 【变式3】计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，按照先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可． 【详解】解： ． 【变式4】计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)2 (4)15 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算和含乘方的有理数的混合运算，熟练掌握运算法则和顺序是解题的关键． （1）先计算绝对值和有理数的乘除，再计算有理数的加减，即得答案； （2）先计算有理数的乘方，然后计算两个括号中的加减，再计算有理数的乘法，最后计算有理数的加减，即得答案． （3）先算括号，再算除法即可； （4）先算乘方，再算乘除，最后算加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 题型03 有理数四则混合运算的实际应用 【典例1】如图是2025年1月的日历，方框内涂上的9个数之和是正中心数“14”的（   ） A．3倍 B．6倍 C．9倍 D．11倍 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用，根据题意列出算式计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故方框内涂上的9个数之和是正中心数“14”的9倍， 故选：C． 【变式1】随着出行方式的多样化，某市三类打车方式的收费标准如表： 出租车 A打车软件 B打车软件 3千米以内：10元 路程：1.2元/千米 路程：1.6元/千米 超过3千米的部分：2.4元/千米 时间：0.6元/分钟 时间：0.4元/分钟 已知三种打车的平均车速均为40千米/时，去8千米远的地方，出行方式更省钱的是（   ） A．出租车出行更省钱 B．A打车软件更省钱 C．B打车软件更省钱 D．都一样省钱 【答案】B 【分析】本题考查有理数混合运算的应用，分别求出各种出行方式的费用，出租车的费用为3千米的费用加上超过3千米的部分的费用，A、B打车软件的费用为路程的费用加上时间的费用，计算后进行比较即可解答． 【详解】解：出行的时间为 出租车的费用为（元）； A打车软件的费用为（元）； B打车软件的费用为（元）； ∵， ∴A打车软件更省钱． 故选：B 【变式2】文文的教室地面形状是矩形，他想计算铺教室地面的瓷砖有多少块．他量得教室的长是8米，宽是7米，铺地面的瓷砖是边长为的正方形．请你帮他算一算，铺这间教室大约需要 块瓷砖（不计损耗）． 【答案】224 【分析】本题考查了矩形和正方形面积公式的应用，有理数乘除运算的实际应用，解题的关键是分别算出教室地面面积和瓷砖面积，再用教室地面面积除以瓷砖面积得到瓷砖块数． 先统一单位，再分别计算教室地面面积与瓷砖面积，最后通过除法运算得出瓷砖数量． 【详解】已知瓷砖边长为，因为，所以， 教室地面面积平方米， 瓷砖面积平方米， 所需瓷砖块数为块． 故答案为：224． 【变式3】王老师某天打车上班，已知该地区出租车计费方式如下．已知王老师家距离学校公里，那么打车费需要 元． 公里数/公里 计费 元 超出3公里部分 元/公里 不足1公里部分按照1公里算 【答案】 【分析】本题主要考查有理数混合运算的应用，解题的关键是理解题意，列出算式，并熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则．先根据表格中分段计费方法列出算式，再根据有理数的混合运算顺序和运算法则计算可得． 【详解】解：王老师家距离学校公里，那么打车费需要元 故答案为：． 【变式4】出租车驾驶员李师傅从钟楼出发，在南北走向的街道上连续接送5批乘客，行驶路程记录如下（规定向南为正，向北为负，单位：） 第1批 第2批 第3批 第4批 第5批 7 5 8 (1)接送完第5批乘客后，李师傅在钟楼的什么方向，距离钟楼多少千米？ (2)若该出租车每千米耗油升，那么接送这5批乘客共耗油多少升？ (3)若该出租车的计价标准为：行驶路程不超过收费8元，超过的部分按每千米元收费，李师傅接送完第1批乘客获得的车费是多少元？ 【答案】(1)李师傅在钟楼的南边，距离钟楼9千米 (2)升 (3)14元 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据题意列出算式求出结果即可； （2）根据每千米耗油升，结合表格中数据求出总路程，然后求出耗油量即可； （3）根据行驶路程不超过收费8元，超过的部分按每千米元收费，列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解：， 答：李师傅在钟楼的南边，距离钟楼9千米； （2）解：（升）， 答：那么接送这5批乘客共耗油升； （3）解：（元）， 答：李师傅接送完第1批乘客获得的车费是14元． 题型04 程序流程图与有理数计算 【典例1】一个数值运算程序如图所示，当输入的值为时，输出结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是根据运算程序的要求进行计算，到符合要求时输出结果． 【详解】解：第一次输入，可得：， ， 把输入计算，可得：， ， 把输入计算，可得：， ， 应输出， 输出结果为． 故选：A ． 【变式1】按如图所示的程序流程计算，若开始输入的值为，则最后输出的结果是（   ） A．6 B．42 C．1806 D．无法输出结果 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的混合运算，有理数的大小比较，根据程序流程图计算并比较大小即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵开始输入的值为， ∴， ， ， 故最后输出的结果是， 故选：C． 【变式2】如图所示的程序图，当输入1时，输出的结果是 ． 【答案】15 【分析】本题考查了程序流程图与有理数计算，读懂程序图，列式，得出，再计算，得，即可作答． 【详解】解：依题意，， 则， 故答案为：15 【变式3】如图，若开始输入的x的值为4，按所示的程序运算，最后输出的结果为 ． 【答案】19 【分析】本题考查了有理数的混合运算，有理数的大小比较，根据题意结合有理数的运算法则计算并比较大小即可得解． 【详解】解：若开始输入的x的值为4，则，， 故最后输出的结果为19， 故答案为：19． 【变式4】数学活动小组设计出如下的运算程序：任给一个正整数n，若n是偶数，则将n除以2；若n是奇数，则将n乘以3再加1．重复这样的运算，经过有限次后，得到结果为1并输出． 根据运算程序，解答下列问题： (1)小组同学输入7，求运算一次后的结果； (2)小组同学输入一个数，在没有输出前，每次运算的结果都是偶数，经过4次运算输出1，请直接写出同学们输入的数． 【答案】(1)22 (2)16 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，解题的关键是理解题意，根据题意列出算式． （1）根据题干提供的信息列式计算即可； （2）根据每次运算的结果都是偶数，经过4次运算输出1，列出算式，得出运算结果即可． 【详解】（1）解：根据题意，输入7，运算一次后的结果为： ； （2）解：∵每次运算的结果都是偶数，经过4次运算输出1， ∴这个同学们输入的数为：． 题型05 算“24”点 【典例1】有一种“24点”游戏规则：根据提供的四个数（每个数必须都使用一次且不能使用这四个数之外的其他数）用加、减、乘、除四则运算（可用括号）列出一个结果等于24的算式．现有四个数：，请你列出一个“24点”算式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，根据有理数的四则混合计算法则计算24点即可． 【详解】解：由题意，得． 答案为：． 【变式1】有一种游戏叫24点游戏，规则是：2位小朋友从分得的26张扑克牌（不含大小王，J算11点、Q算12点、K算13点、A算1点）各抽出2张，共4个点数，使用学过的运算符号把它们组成一个算式，使结果为24．如：两人抽出的点数为2、3、4、5，可以由或．有一次小明在做24点游戏时抽到的四张牌的点数分别是3、4、1、7，他苦思不得其解，相信聪明的你一定能帮他解除困难，请你写出一个成功的算式： ． 【答案】或（答案不唯一） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． 运用有理数的混合运算进行计算使其等于即可． 【详解】解：四张牌的点数分别是3、4、1、7， ∴，， 故答案为：或（答案不唯一） ． 【变式2】红红有5张写着以下数字的卡片，请你按要求抽出卡片，解决下列问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数字相减的差最大，最大值是______． (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数字相除的商最小，最小值是______． (3)从中取出0以外的4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除、乘方混合运算，使结果为24，写出一种符合要求的运算等式．（注：每个数字只能用一次）． 【答案】(1)5 (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算的法则是解题的关键． （1）依据题干要求选取3，，列式运算即可； （2）依据题干要求选取1，，列式运算即可； （3）按要求列式运算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴从中取出2张卡片，数字相减的差最大，最大值是． （2）解：从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数字相除的商最小，最小值是 ． （3）解：由题意得：； ∴取出的4个数进行的运算式为． 【变式3】“24点”游戏是同学们熟知的数学游戏，游戏规则是利用加、减、乘、除（可加括号），将这四个数列式进行运算（四个数都要用到且都只能使用1次），使其结果为24． 例如：①2、3、4、8：；②2、4、、：． (1)请用一个算式完成下列两组数据的“24点”运算． ①1、2、3、6；②、、4、4． (2)若“24点”游戏规则在原有四则运算基础上加入乘方计算，即四个数中的一个数可以用做指数，例如2、3、4、4可以这样计算：也可以这样计算：．请利用上述运算规则列式完成2、、、5的“24点”计算，要求用2种方法． 【答案】(1)①；②； (2)，，，等（答案不唯一，符号条件即可） 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则． （1）根据有理数四则混合运算法则，写出结果即可； （2）根据题干要求，利用有理数四则混合运算法则和含乘方的有理数混合运算法则，进行解答即可． 【详解】（1）解：①；②． （2）解：； ，，． 【变式4】如图所示，有5张写着不同的数的卡片，请你按要求选取卡片，完成下列问题． (1)从中选取2张卡片． ①若这2张卡片上的数相减，所得的运算结果最小，则最小结果为______； ②若这2张卡片上的数相除，所得的运算结果最小，则最小结果为______； ③若这2张卡片上的数相加，所得的运算结果最大，则最大结果为______； ④若这2张卡片上的数相乘，所得的运算结果最大，则最大结果为______； ⑤若这2张卡片上的数经过加、减、乘、除、乘方中的一种运算后（乘方运算的指数只考虑正整数情况），能得到一个最大的数，则最大的数为______； (2)若从中选取4张卡片，对卡片上的数进行加、减、乘、除、乘方运算，使运算结果为24．每张卡片都必须使用一次，但不能重复使用．请写出算式（只需写出1种即可）． 【答案】(1)①；②；③7；④15；⑤625 (2)（答案不唯一） 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）①要使2张卡片上的数相减，所得的运算结果最小，应该用最小的数减去最大的数，据此可求解； ②要使2张卡片的商最小，则取异号的两张卡片，且分子的绝对值最大，分母的绝对值最小，据此可求解； ③要使2张卡片上的数相加，所得的运算结果最大，应该用两个最大的数相加，据此可求解； ④要使2张卡片的乘积最大，则取同号的两张卡片，且其绝对值最大的两张，据此可求解； ⑤利用有理数的相应的运算进行求解，符合题意即可； （2）利用有理数的相应的运算进行求解，符合题意即可． 【详解】（1）解：①若这2张卡片上的数相减，所得的运算结果最小，则最小结果为； ②若这2张卡片上的数相除，所得的运算结果最小，则最小结果为； ③若这2张卡片上的数相加，所得的运算结果最大，则最大结果为； ④若这2张卡片上的数相乘，所得的运算结果最大，则最大结果为； ⑤若这2张卡片上的数经过加、减、乘、除、乘方中的一种运算后能得到一个最大的数，则最大的数为； （2）解：， ， ．（答案不唯一） 题型06 含乘方的有理数混合运算 【典例1】要使算式的计算结果最大，在□里填入的运算符号应是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的混合运算、有理数的大小比较，先分别计算各个选项添加的运算符号的结果，再比较大小即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ∵， ∴要使算式的计算结果最大，在□里填入的运算符号应是， 故选：C． 【变式1】计算下列各题：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6） ． 【答案】 1 8 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的加减乘除和乘方运算的运算法则． （1）根据有理数的减法运算即可得到答案； （2）根据有理数的加法运算即可得到答案； （3）根据有理数的乘法运算即可得到答案； （4）根据有理数的除法运算即可得到答案； （5）先计算乘方，然后计算乘法即可； （6）先计算乘方，然后计算加法即可； 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 故答案为：；1；8；；；． 【变式2】计算：． 【答案】 【分析】本题考查绝对值，以及含乘方的有理数混合运算，解题的关键在于熟练掌握相关运算法则．根据含乘方的有理数混合运算顺序和运算法则求解，即可解题． 【详解】解： ． 【变式3】计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． 先计算乘方，然后计算乘除，最后计算加减． 【详解】解： ． 【变式4】计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据有理数的混合运算法则，正确的进行计算，是解题的关键． 【详解】解： ． 题型07 计算器—有理数 【典例1】若用科学计算器进行计算，按键顺序如下： 则输出的结果应为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了计算器的使用，解题的关键是理解计算器的按键顺序，写出计算的式子．根据计算器的按键顺序，写出计算的式子，然后求值即可． 【详解】解：， 故选：B． 【变式1】关于科学计算器的按键顺序：对应的算式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用科学计算器进行计算，根据计算器的按键顺序和按键功能即可得出答案，熟练计算器各个按键的功能是解题的关键． 【详解】解：对应的算式是， 故选：D． 【变式2】用图1所示的科学计算器按图2的按键顺序进行操作，则计算结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据按键顺序列出式子，计算即可，熟知科学计算器，熟练进行运算是解题的关键． 【详解】解：由题意可列出式子， 故答案为：． 【变式3】若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序如下： 则输出结果为 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了科学计算器的使用和有理数的混合运算，根据按键的顺序得出算式，然后再进行计算即可． 【详解】解：根据按键顺序可知：． 故答案为：10． 【变式4】现有一个病毒，每隔半小时分裂一次，若不考虑其他因素，10小时后，能有多少个病毒？同时有某细菌，专门消灭病毒，现有2万个这样的细菌，若该种群每半小时增加2万个，则10小时后有多少个细菌？若将10小时后的两种微生物立即混合在一起(一个细菌只能吞噬一个病毒)，那么谁会有剩余？ 参考数据 科学计算器按键顺序 计算结果 524288 1048576 2097152 【答案】病毒A会有剩余 【分析】本题考查有理数的乘方、有理数的混合运算、有理数的大小比较、利用计算器求乘方等知识，根据题意分别求出10小时后病毒和细菌的数量，再比较大小即可． 【详解】解：病毒A分裂的次数为(次)． 病毒A分裂20次由1个可分裂繁殖成(个)， 细菌B种群10小时后可有(万个)(个)， 因为， 所以病毒A会有剩余 题型08 有理数混合运算的规律计算 【典例1】干支纪年法是中国自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表××年，60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数以2024年为例： 天干为：；地支为：； 对照天干地支表得出，2024年为农历甲辰年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 成 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 依据上述规律推断，2044年应为（   ） A．癸亥年 B．癸酉年 C．甲辰年 D．甲子年 【答案】D 【分析】本题考查有理数运算的实际应用．根据题意，列出算式进行计算后，判断即可．掌握天干，地支的确定方法，正确的列出算式，是解题的关键． 【详解】解：天干为：；地支为：， 所以2044年应为甲子年． 故选：D． 【变式1】某种金属元素铋会进行衰变，每次在一个周期里，衰变的量是上一次量的一半．铋的周期（半衰期是1小时．设原有1克的未衰变的铋，则1小时后有0.5克发生了衰变，再过1小时又有0.25克发生了衰变，衰变一直按照这种规律发生下去，请问5小时后，共有多少克铋发生了衰变？（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将每个小时的衰变量相加，计算可得结果． 【详解】解：由题意可得： = = = 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算的实际应用，解题的关键是理解题意，列出算式． 【变式2】观察下列各式，解答问题： ； ； ； ． 用你发现的规律计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，数字规律的探究．把原式转化为两个分数的乘积的形式，然后约分即可． 【详解】解：∵； ； ； ， ， ∴， ∴ ． 故答案为：． 【变式3】观察一列数：，，，，，⋯，按此规律，这一列数的第2025个数为 ． 【答案】 【分析】先确定符号：序号为奇数时，数为负，序号为偶数时，数为正；确定分数的分子：等于序号数；确定分母：第1个分数的分母为2，第2个分数的分母为，第3个分数的分母为，第4个分数的分母为，确定规律解答即可． 本题考查了规律的探索，熟练掌握从符号，分子，分母三个方向去探索发现规律是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得序号为奇数时，数为负，序号为偶数时，数为正； 分数的分子：等于序号数； 第1个分数的分母为2，第2个分数的分母为，第3个分数的分母为，第4个分数的分母为， 故第2025个数为． 故答案为：． 【变式4】阅读材料，回答下列问题． 通过计算容易发现：①；②；③． (1)观察上面的三个算式，直接写出算式：_________． (2)运用你观察到的规律，计算的值． (3)探究上述的运算规律，试计算的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了裂项法在有理数的混合运算中的应用，明确裂项法的形式是解题的关键． （1）观察①②③三个算式，可知分母中两个乘数的差为1，分子的差也为1，直接写出一个类似的算式即可； （2）根据上述规律得原式，计算即可得出答案； （3）所给算式分母中两个乘数的差为2，但分子的差为1，故前面乘以，则可以用裂项法进行计算． 【详解】（1）解：； ； ； ； （2）解： ； （3）解： ． 题型09 有理数混合运算的新定义问题 【典例1】我们定义一种新的运算“”，并且规定：，例如：，则的值为（   ）． A．5 B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了新定义运算，含乘方的有理数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．因为定义一种新的运算“”，并且规定：，所以，即可作答． 【详解】解：∵定义一种新的运算“”，并且规定：， ∴ ． 故选：A． 【变式1】中考新趋势·新定义规定：，；，；则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查新定义的问题，涉及有理数的混合运算，根据题目的新定义列出等式是解题关键．根据新定义的计算法则计算即可． 【详解】解：根据新定义可得： 故选：C． 【变式2】定义一种新运算*，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，则 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据新运算，列出算式进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为：． 【变式3】对任意的四个有理数a，b，c，d，定义运算，则的相反数是 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，求一个数的相反数，根据新定义可得，据此计算出的值，再根据只有符号不同的两个数互为相反数即可得到答案． 【详解】解： ， ∴的相反数是3， 故答案为：3． 【变式4】现定义一种新的运算，规定：，其中a，b均为有理数，例如：．求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1)14 (2) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是根据新定义列出算式，并熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则． （1）按定义的新运算：计算即可； （2）先根据定义计算出，，再计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 1．（24-25·七年级上·江苏苏州·阶段练习）请把二进制数转换成十进制数（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的混合运算，二进制数与十进制数的转换，解题的关键是熟练掌握二进制数与十进制数的转换方法．利用二进制数与十进制数的转换方法得，求解即可． 【详解】解：二进制数转换成十进制数为， 故选：D． 2．（24-25·七年级上·江苏扬州·阶段练习）我国古代《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（ ） A．25天 B．49天 C．67天 D．124天 【答案】C 【分析】本题主要考查含乘方的有理数的计算，根据题意列出计算式进行计算即可．熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：孩子自出生后的天数为：， 故选：C． 3．（24-25·七年级上·江苏泰州·阶段练习）计算： 所得结果是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查的是有理数的乘方的法则，即正数的任何次方都是正数；负数的奇次方是负数，负数的偶次方是正数，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据的奇数次方是1，的偶数次方1，先算乘方，再算加法． 【详解】解：， 故选：B． 4．（24-25·七年级上·江苏南京·阶段练习）计算的结果是（    ） A． B．2 C．8 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则和运算顺序是解题关键．先算乘方，再算除法即可． 【详解】解：． 故选：A． 5．（24-25·七年级上·江苏无锡·阶段练习）现定义新运算“※”，对任意有理数、，规定※，则的值（   ） A． B． C．2024 D．2025 【答案】D 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据，可以求得所求式子的值． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：D． 6．（24-25·七年级上·江苏常州·阶段练习）在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁四名同学分别做了一道有理数计算题，你认为做对的同学是（    ） 甲：    乙： 丙：    丁： A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】本题考查有理数含乘方的混合运算，按照有理数的运算顺序与法则依次进行判断即可． 【详解】解：，故甲计算错误； ，故乙计算正确； ，故丙计算错误； ，故丁计算错误； 故选：B． 7．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）某玩具店用600元购进了10套玩具．如果每套玩具的售价以65元为标准，超出的记作正数，不足的记作负数，售价记录如下：，，，，，，0，，，（单位：元），则卖完这10套玩具后（   ） A．亏损了2元 B．亏损了20元 C．盈利了52元 D．盈利了48元 【答案】D 【分析】本题考查正负数的意义及有理数混合运算的实际应用，读懂题意，计算出这10套玩具的销售收入即可得到答案，熟练掌握有理数混合运算是解决问题的关键． 【详解】解：某玩具店用元购进了套玩具， 这套玩具的成本是元， 每套玩具的售价以65元为标准，具体售价为，，，，，，0，，，， 这10套玩具的销售收入是（元）， （元） 卖完这10套玩具后盈利了48元， 故选：D． 8．（24-25七年级上·江苏南京·期末）对于任意非零有理数，定义运算“※”如下：，则… 的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了新定义运算，根据题意得出是解题关键． 【详解】解：∵， ∴ 故选：D 9．（24-25·七年级上·江苏宿迁·阶段练习）计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． 首先计算有理数的乘方，然后计算加法即可． 【详解】 ． 故答案为：． 10．（24-25·七年级上·江苏镇江·阶段练习）根据《易经》中的结绳记数方法，满七进一，将七进制数转换为十进制数来计算孩子自出生后的天数．如图1，孩子出生后的天数（天）．请根据图2，计算孩子自出生后的天数是 天． 【答案】73 【分析】先明确图2中每一位对应的七进制数位，再根据满七进一的规则，用各位数字乘以对应的幂次，最后求和得到十进制表示的天数．本题主要考查了七进制与十进制的转换，熟练掌握满七进一规则及不同数位对应的幂次运算是解题的关键． 【详解】解：由图2可知，七进制数从右到左各位数字对应的的幂次依次为、 、． 各位数字分别为（对应位 ）、（对应位 ）、（对应位 ） ． 则孩子出生后的天数（天） 故答案为：73. 11．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）计算的结果是 ． 【答案】1 【分析】本题考查的是含乘方运算的混合运算，先计算乘方，再计算乘法运算即可． 【详解】解：， 故答案为： 12．（24-25七年级上·江苏南通·期中）根据流程图中的程序，若输入x的值为，则输出y的值为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了有理数的混合运算，代数式求值，掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． 先根据流程图的程序列出算式，再计算出结果，根据输出的条件得出结论即可． 【详解】解：把代入，得， 再把代入，得， ∴输出y的值为7． 故答案为：7． 13．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）小明同学编写了一个加密数据的代码，如图是这个加密代码的运算程序，按照这个运算程序，当原始数据时，加密后的数据是253；当原始数据时，加密后的数据是235．如果输入的原始数据是正整数，加密后的数据是217，那么原始数据的值可以是 ． 【答案】2或7或37 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，代数式求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据题意列式计算求出符合题意的答案即可． 【详解】解：如果输入的原始数据是正整数，加密后的数据是217， 则； ； ； 故答案为：2或7或37． 14．（24-25·七年级上·江苏南京·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，解题关键是注意运算顺序． （1）先计算乘方和绝对值，再计算乘除法，最后计算加减法即可得到答案； （2）按照先计算乘方，再计算乘法，最后计算加法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 15．（24-25·七年级上·江苏苏州·阶段练习）计算： (1)； (2) 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． （1）根据有理数的加减混合运算法则求解即可； （2）先计算乘方，然后计算乘除，最后计算加减． 【详解】（1） ； （2） ． 16．（24-25·七年级上·江苏常州·阶段练习）【概念学习】定义新运算：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方．比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”，一般地，把记作：，读作“a的圈n次方”．特别地，规定：． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：__________，__________． （2）若n为任意正整数，下列关于除方的说法中，正确的有__________；（横线上填写序号） ①任何非零数的圈2次方都等于1； ②任何非零数的圈3次方都等于它的倒数； ③圈n次方等于它本身的数是1或； ④负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 【实践应用】 （3）计算：． 【答案】 （1）， （2）①②④ （3） 【分析】本题主要考查新定义，有理数的乘除法运算，理解新定义的运算，有理数乘除法运算法则是关键． （1）根据材料提示方法计算即可； （2）根据新定义运算的计算法则判定即可； （3）根据新定义运算的计算法则计算即可． 【详解】解：（1）：，， 故答案为：，； （2）若n为任意正整数， ①，故任何非零数的圈2次方都等于1，正确； ②，故任何非零数的圈3次方都等于它的倒数，正确； ③，即的圈2次方不等于它本身，故圈n次方等于它本身的数是1或，错误； ④，，即根据有理数乘除法运算中的“奇负偶正”的都负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数，正确； 综上所述，正确的有①②④； （3） ． 17．（24-25·七年级上·江苏南京·阶段练习）计算： 【答案】 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，掌握相关运算法则是解题关键．先将带分数化为假分数，再计算乘方，然后计算乘除法，最后计算加减法，有括号先计算括号内运算． 【详解】解： 18．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）一个三位数，若它是3的倍数，则把它除以3的商作为下一个数：否则，把它各位上的数相加的和再平方后作为下一个数．重复这个过程……直到出现了与之前重复的数，那就输出此数作为最终结果，结束操作． (1)上面的文字语言可以转化为流程图表达．如图是流程图的一部分，请把这个流程图补充完整．① ，② ，③ （在每空中填入题干中的关键词句，把这个运算程序补充完整） (2)现在输入一个三位数，如123作为起始数，操作第3次后得到的数是多少？请你写出过程． (3)继续第（2）问的运算，操作 次能够结束循环？最后输出的结果是 ． (4)若起始数输入的三位数各位上的数字都是相同的数，如输入111，最后输出的结果是 ；输入222，最后输出的结果是 ． 【答案】(1)①是 3 的倍数吗？②把它除以 3 的商作为下一个数？③把它各位上的数相加的和再平方后作为下一个数． (2)49 (3)169 (4)1，169 【分析】本题主要考查了程序流程图、有理数的混合运算等知识点，掌握有理数的混合运算法则成为解题的关键． （1）根据题意直接补全流程图即可； （2）按照流程图进行列式计算即可； （3）根据流程图进行列式计算即可； （4）分别输入111，222并根据流程图进行计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：①是3的倍数吗？②把它除以3的商作为下一个数？③把它各位上的数相加的和再平方后作为下一个数． 故答案为：①是 3 的倍数吗？②把它除以 3 的商作为下一个数？③把它各位上的数相加的和再平方后作为下一个数． （2）解：第1次：123是3的倍数，； 第2次：41不是3的倍数，； 第 3 次：25不是3的倍数，， 所以操作第3次后得到的数是49． （3）解：第4次：49不是3的倍数，； 第5次：169不是3的倍数，； 第6次：256不是3的倍数，， ∴169出现重复，即操作6次结束循环，最后输出结果是169， 故答案为：，． （4）解：当输入111时， 第1次：111是3的倍数，； 第2次：37不是3的倍数，； 第3次：100不是3的倍数，； 第4次：1不是3的倍数，，出现循环；则最后输出的为：1． 当输入222时， 第1次：222是3的倍数，； 第2次：74不是3的倍数，； 第3次：121不是3的倍数，； 第4次：25不是3的倍数，； 第5次：49不是3的倍数，； 第5次：169不是3的倍数，； 第6次：256不是3的倍数，；出现循环，则最后输出的为：169． 故答案为：1，169． 19．（24-25·七年级上·江苏宿迁·阶段练习）数学课上，老师用A，B，C，D四个乒乓球分别代表一种运算，并依据这四个乒乓球设计了一个数学游戏，学生可以将A，B，C，D重新排序，进行一次列式计算．例如：若按的顺序运算，则可列算式为． (1)算式的结果为______； (2)若甲同学选择了的顺序，求他的计算结果； (3)探究：若数a经过的顺序运算后，结果是，求a的值． 【答案】(1)121 (2)9 (3)2 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握混合运算法则是解题的关键． （1）根据含乘方的有理数的混合运算法则进行计算即可； （2）根据的运算顺序，列出算式进行计算即可； （3）根据题意，经过的顺序运算结果为，列式，即可即可； 【详解】（1）解： ； （2）∵甲同学选择了的顺序， ∴可列算式． ∵， ∴他的计算结果为9； （3）根据题意，得 ， 解得， ∴a的值是2． 20．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）如表所示． 活动目标 认识进位制，理解不同进位制的数之间的转换 素材1 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． 十进制数，记作； 八进制数，记作； 五进制数，记作； 二进制数，记作； 十六进制数，记作． 十六进制数使用和来表示，其中，，，，，这五个数分别用字母，，，，，表示． ，且为整数进制数转化成与其相等的十进制数，只需要将进制数的每个数字，依次乘的相应次幂相加，就可得到与它相等的十进制数．如：八进制数转十进制数为：． 素材2 逆序排列余数即可得到二进制数，简称除二取余法．同样的，十进制数转化为八进制数可用除八取余法．例如： 解决问题 任务1 (1)将下列进制数转化为十进制数： ①____；② ____；③____； (2)现有三进制数，二进制数，试比较，的大小． 任务2 (1)十进制数转二进制数得 ____；十进制数转五进制数得 ____． (2)如何将一个二进制数转化为十六进制数呢？小勤提出一种想法： 第一步：先将二进制数转为十进制数得 ____； 第二步：再将所得的十进制数转化为十六进制数得 ____． 【答案】任务1：（1）①，②，③；（2）；任务2：（1），；（2），． 【分析】本题考查了进制的转化问题，有理数的混合运算，有理数的大小比较，掌握以上内容是解题关键． 任务1：（1）参照素材1进行转换即可； （2）因为，，即可得出a、b的大小； 任务2：（1）利用除二取余法列式计算，逆序取余即可得到答案； （2）第一步参照素材1计算即可得到答案，第二步用除二取余法列式计算即可得到答案． 【详解】解：任务1：（1）①， ②， ③， 故答案为：13，260，6974． (2)∵， ， ∴． 任务2： （1）∵ ∴， ∵ ∴， 故答案为：，． (2)第一步：先将二进制数转为十进制数： 则， 第二步： 转换为十六进制：， 十进制的在十六进制中用表示， 故， 故答案为：，． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.7 有理数的混合运算 教学目标 1.理解有理数混合运算的顺序； 2.能正确进行有理数的混合运算； 3.能用运算律进行简便计算. 教学重难点 1.重点 （1）掌握有理数混合运算的顺序； （2）掌握有理数混合运算的简便计算； 2.难点 （1）掌握程序流程图的计算和算“24”点； （2）掌握有理数混合运算的规律计算和新定义问题。 知识点01 有理数的混合运算顺序 1. 先算乘方，再算乘除，最后算加减； 2. 同级运算，按照从左到右的顺序进行； 3. 如果有括号，先进行括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次计算；如需去括号，一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号. PS：在有理数混合运算中，通常情况下，带分数要先化成假分数，小数要先化成分数，再进行计算，有些计算是可以同时进行的. 【即学即练】 1．（24-25七年级上·江苏南通·期中）计算． (1)； (2)． 2．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）计算 (1) (2) 3．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）计算： (1)； (2)； 知识点02 利用运算律简便计算 1. 有理数运算律包括加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律及乘法分配律等； 2. 一些计算优先结合会简便很多，如下所示： （1） 相反数结合； （2） 凑整结合； （3） 正、负分别结合； （4） 同分母结合； （5） 倒数结合 【即学即练】 4．（24-25·七年级上·江苏泰州·阶段练习）计算下面各题，怎样简便就怎样计算． (1) (2) (3) 5．（24-25七年级上·江苏·阶段练习）用简便方法计算：． 6．（24-25·七年级上·江苏无锡·阶段练习）计算下列各题，能用简便方法的要用简便方法计算． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 题型01 有理数四则混合运算（简单） 【典例1】计算． (1) (2) 【变式1】计算∶ (1) ． (2) ． 【变式2】计算： (1) (2) 【变式3】计算： (1)； (2)． 【变式4】计算： (1) (2) 题型02 有理数四则混合运算（复杂） 【典例1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1】计算： (1) (2) 【变式2】计算： (1) (2) (3) (4) 【变式3】计算： 【变式4】计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 题型03 有理数四则混合运算的实际应用 【典例1】如图是2025年1月的日历，方框内涂上的9个数之和是正中心数“14”的（   ） A．3倍 B．6倍 C．9倍 D．11倍 【变式1】随着出行方式的多样化，某市三类打车方式的收费标准如表： 出租车 A打车软件 B打车软件 3千米以内：10元 路程：1.2元/千米 路程：1.6元/千米 超过3千米的部分：2.4元/千米 时间：0.6元/分钟 时间：0.4元/分钟 已知三种打车的平均车速均为40千米/时，去8千米远的地方，出行方式更省钱的是（   ） A．出租车出行更省钱 B．A打车软件更省钱 C．B打车软件更省钱 D．都一样省钱 【变式2】文文的教室地面形状是矩形，他想计算铺教室地面的瓷砖有多少块．他量得教室的长是8米，宽是7米，铺地面的瓷砖是边长为的正方形．请你帮他算一算，铺这间教室大约需要 块瓷砖（不计损耗）． 【变式3】王老师某天打车上班，已知该地区出租车计费方式如下．已知王老师家距离学校公里，那么打车费需要 元． 公里数/公里 计费 元 超出3公里部分 元/公里 不足1公里部分按照1公里算 【变式4】出租车驾驶员李师傅从钟楼出发，在南北走向的街道上连续接送5批乘客，行驶路程记录如下（规定向南为正，向北为负，单位：） 第1批 第2批 第3批 第4批 第5批 7 5 8 (1)接送完第5批乘客后，李师傅在钟楼的什么方向，距离钟楼多少千米？ (2)若该出租车每千米耗油升，那么接送这5批乘客共耗油多少升？ (3)若该出租车的计价标准为：行驶路程不超过收费8元，超过的部分按每千米元收费，李师傅接送完第1批乘客获得的车费是多少元？ 题型04 程序流程图与有理数计算 【典例1】一个数值运算程序如图所示，当输入的值为时，输出结果为（   ） A． B． C． D． 【变式1】按如图所示的程序流程计算，若开始输入的值为，则最后输出的结果是（   ） A．6 B．42 C．1806 D．无法输出结果 【变式2】如图所示的程序图，当输入1时，输出的结果是 ． 【变式3】如图，若开始输入的x的值为4，按所示的程序运算，最后输出的结果为 ． 【变式4】数学活动小组设计出如下的运算程序：任给一个正整数n，若n是偶数，则将n除以2；若n是奇数，则将n乘以3再加1．重复这样的运算，经过有限次后，得到结果为1并输出． 根据运算程序，解答下列问题： (1)小组同学输入7，求运算一次后的结果； (2)小组同学输入一个数，在没有输出前，每次运算的结果都是偶数，经过4次运算输出1，请直接写出同学们输入的数． 题型05 算“24”点 【典例1】有一种“24点”游戏规则：根据提供的四个数（每个数必须都使用一次且不能使用这四个数之外的其他数）用加、减、乘、除四则运算（可用括号）列出一个结果等于24的算式．现有四个数：，请你列出一个“24点”算式： ． 【变式1】有一种游戏叫24点游戏，规则是：2位小朋友从分得的26张扑克牌（不含大小王，J算11点、Q算12点、K算13点、A算1点）各抽出2张，共4个点数，使用学过的运算符号把它们组成一个算式，使结果为24．如：两人抽出的点数为2、3、4、5，可以由或．有一次小明在做24点游戏时抽到的四张牌的点数分别是3、4、1、7，他苦思不得其解，相信聪明的你一定能帮他解除困难，请你写出一个成功的算式： ． 【变式2】红红有5张写着以下数字的卡片，请你按要求抽出卡片，解决下列问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数字相减的差最大，最大值是______． (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数字相除的商最小，最小值是______． (3)从中取出0以外的4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除、乘方混合运算，使结果为24，写出一种符合要求的运算等式．（注：每个数字只能用一次）． 【变式3】“24点”游戏是同学们熟知的数学游戏，游戏规则是利用加、减、乘、除（可加括号），将这四个数列式进行运算（四个数都要用到且都只能使用1次），使其结果为24． 例如：①2、3、4、8：；②2、4、、：． (1)请用一个算式完成下列两组数据的“24点”运算． ①1、2、3、6；②、、4、4． (2)若“24点”游戏规则在原有四则运算基础上加入乘方计算，即四个数中的一个数可以用做指数，例如2、3、4、4可以这样计算：也可以这样计算：．请利用上述运算规则列式完成2、、、5的“24点”计算，要求用2种方法． 【变式4】如图所示，有5张写着不同的数的卡片，请你按要求选取卡片，完成下列问题． (1)从中选取2张卡片． ①若这2张卡片上的数相减，所得的运算结果最小，则最小结果为______； ②若这2张卡片上的数相除，所得的运算结果最小，则最小结果为______； ③若这2张卡片上的数相加，所得的运算结果最大，则最大结果为______； ④若这2张卡片上的数相乘，所得的运算结果最大，则最大结果为______； ⑤若这2张卡片上的数经过加、减、乘、除、乘方中的一种运算后（乘方运算的指数只考虑正整数情况），能得到一个最大的数，则最大的数为______； (2)若从中选取4张卡片，对卡片上的数进行加、减、乘、除、乘方运算，使运算结果为24．每张卡片都必须使用一次，但不能重复使用．请写出算式（只需写出1种即可）． 题型06 含乘方的有理数混合运算 【典例1】要使算式的计算结果最大，在□里填入的运算符号应是（   ） A． B． C． D． 【变式1】计算下列各题：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6） ． 【变式2】计算：． 【变式3】计算：． 【变式4】计算：． 题型07 计算器—有理数 【典例1】若用科学计算器进行计算，按键顺序如下： 则输出的结果应为（    ） A． B． C． D． 【变式1】关于科学计算器的按键顺序：对应的算式是（    ） A． B． C． D． 【变式2】用图1所示的科学计算器按图2的按键顺序进行操作，则计算结果为 ． 【变式3】若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序如下： 则输出结果为 ． 【变式4】现有一个病毒，每隔半小时分裂一次，若不考虑其他因素，10小时后，能有多少个病毒？同时有某细菌，专门消灭病毒，现有2万个这样的细菌，若该种群每半小时增加2万个，则10小时后有多少个细菌？若将10小时后的两种微生物立即混合在一起(一个细菌只能吞噬一个病毒)，那么谁会有剩余？ 参考数据 科学计算器按键顺序 计算结果 524288 1048576 2097152 题型08 有理数混合运算的规律计算 【典例1】干支纪年法是中国自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表××年，60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数以2024年为例： 天干为：；地支为：； 对照天干地支表得出，2024年为农历甲辰年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 成 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 依据上述规律推断，2044年应为（   ） A．癸亥年 B．癸酉年 C．甲辰年 D．甲子年 【变式1】某种金属元素铋会进行衰变，每次在一个周期里，衰变的量是上一次量的一半．铋的周期（半衰期是1小时．设原有1克的未衰变的铋，则1小时后有0.5克发生了衰变，再过1小时又有0.25克发生了衰变，衰变一直按照这种规律发生下去，请问5小时后，共有多少克铋发生了衰变？（    ） A． B． C． D． 【变式2】观察下列各式，解答问题： ； ； ； ． 用你发现的规律计算： ． 【变式3】观察一列数：，，，，，⋯，按此规律，这一列数的第2025个数为 ． 【变式4】阅读材料，回答下列问题． 通过计算容易发现：①；②；③． (1)观察上面的三个算式，直接写出算式：_________． (2)运用你观察到的规律，计算的值． (3)探究上述的运算规律，试计算的值． 题型09 有理数混合运算的新定义问题 【典例1】我们定义一种新的运算“”，并且规定：，例如：，则的值为（   ）． A．5 B． C．3 D．4 【变式1】中考新趋势·新定义规定：，；，；则的值是（　　） A． B． C． D． 【变式2】定义一种新运算*，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，则 ． 【变式3】对任意的四个有理数a，b，c，d，定义运算，则的相反数是 ． 【变式4】现定义一种新的运算，规定：，其中a，b均为有理数，例如：．求： (1)的值； (2)的值． 1．（24-25·七年级上·江苏苏州·阶段练习）请把二进制数转换成十进制数（  ） A． B． C． D． 2．（24-25·七年级上·江苏扬州·阶段练习）我国古代《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（ ） A．25天 B．49天 C．67天 D．124天 3．（24-25·七年级上·江苏泰州·阶段练习）计算： 所得结果是（    ） A． B．0 C．1 D．2 4．（24-25·七年级上·江苏南京·阶段练习）计算的结果是（    ） A． B．2 C．8 D．8 5．（24-25·七年级上·江苏无锡·阶段练习）现定义新运算“※”，对任意有理数、，规定※，则的值（   ） A． B． C．2024 D．2025 6．（24-25·七年级上·江苏常州·阶段练习）在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁四名同学分别做了一道有理数计算题，你认为做对的同学是（    ） 甲：    乙： 丙：    丁： A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 7．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）某玩具店用600元购进了10套玩具．如果每套玩具的售价以65元为标准，超出的记作正数，不足的记作负数，售价记录如下：，，，，，，0，，，（单位：元），则卖完这10套玩具后（   ） A．亏损了2元 B．亏损了20元 C．盈利了52元 D．盈利了48元 8．（24-25七年级上·江苏南京·期末）对于任意非零有理数，定义运算“※”如下：，则… 的值为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25·七年级上·江苏宿迁·阶段练习）计算： 10．（24-25·七年级上·江苏镇江·阶段练习）根据《易经》中的结绳记数方法，满七进一，将七进制数转换为十进制数来计算孩子自出生后的天数．如图1，孩子出生后的天数（天）．请根据图2，计算孩子自出生后的天数是 天． 11．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）计算的结果是 ． 12．（24-25七年级上·江苏南通·期中）根据流程图中的程序，若输入x的值为，则输出y的值为 ． 13．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）小明同学编写了一个加密数据的代码，如图是这个加密代码的运算程序，按照这个运算程序，当原始数据时，加密后的数据是253；当原始数据时，加密后的数据是235．如果输入的原始数据是正整数，加密后的数据是217，那么原始数据的值可以是 ． 14．（24-25·七年级上·江苏南京·阶段练习）计算： (1) (2) 15．（24-25·七年级上·江苏苏州·阶段练习）计算： (1)； (2) 16．（24-25·七年级上·江苏常州·阶段练习）【概念学习】定义新运算：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方．比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”，一般地，把记作：，读作“a的圈n次方”．特别地，规定：． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：__________，__________． （2）若n为任意正整数，下列关于除方的说法中，正确的有__________；（横线上填写序号） ①任何非零数的圈2次方都等于1； ②任何非零数的圈3次方都等于它的倒数； ③圈n次方等于它本身的数是1或； ④负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 【实践应用】 （3）计算：． 17．（24-25·七年级上·江苏南京·阶段练习）计算： 18．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）一个三位数，若它是3的倍数，则把它除以3的商作为下一个数：否则，把它各位上的数相加的和再平方后作为下一个数．重复这个过程……直到出现了与之前重复的数，那就输出此数作为最终结果，结束操作． (1)上面的文字语言可以转化为流程图表达．如图是流程图的一部分，请把这个流程图补充完整．① ，② ，③ （在每空中填入题干中的关键词句，把这个运算程序补充完整） (2)现在输入一个三位数，如123作为起始数，操作第3次后得到的数是多少？请你写出过程． (3)继续第（2）问的运算，操作 次能够结束循环？最后输出的结果是 ． (4)若起始数输入的三位数各位上的数字都是相同的数，如输入111，最后输出的结果是 ；输入222，最后输出的结果是 ． 19．（24-25·七年级上·江苏宿迁·阶段练习）数学课上，老师用A，B，C，D四个乒乓球分别代表一种运算，并依据这四个乒乓球设计了一个数学游戏，学生可以将A，B，C，D重新排序，进行一次列式计算．例如：若按的顺序运算，则可列算式为． (1)算式的结果为______； (2)若甲同学选择了的顺序，求他的计算结果； (3)探究：若数a经过的顺序运算后，结果是，求a的值． 20．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）如表所示． 活动目标 认识进位制，理解不同进位制的数之间的转换 素材1 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． 十进制数，记作； 八进制数，记作； 五进制数，记作； 二进制数，记作； 十六进制数，记作． 十六进制数使用和来表示，其中，，，，，这五个数分别用字母，，，，，表示． ，且为整数进制数转化成与其相等的十进制数，只需要将进制数的每个数字，依次乘的相应次幂相加，就可得到与它相等的十进制数．如：八进制数转十进制数为：． 素材2 逆序排列余数即可得到二进制数，简称除二取余法．同样的，十进制数转化为八进制数可用除八取余法．例如： 解决问题 任务1 (1)将下列进制数转化为十进制数： ①____；② ____；③____； (2)现有三进制数，二进制数，试比较，的大小． 任务2 (1)十进制数转二进制数得 ____；十进制数转五进制数得 ____． (2)如何将一个二进制数转化为十六进制数呢？小勤提出一种想法： 第一步：先将二进制数转为十进制数得 ____； 第二步：再将所得的十进制数转化为十六进制数得 ____． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$