专题2.6 有理数的乘方（高效培优讲义）数学苏科版2024七年级上册

专题2.6 有理数的乘方 教学目标 1.理解有理数乘方的意义； 2.掌握有理数乘方的运算. 教学重难点 1.重点 （1）掌握有理数乘方的意义； （2）掌握有理数的乘方运算； （3）掌握科学记数法的相关概念。 2.难点 （1）有理数乘方的应用； （2）有理数乘方有关的规律运算与新定义问题。 知识点01 有理数乘方的意义 求相同因数的积的运算叫做乘方，相同因数叫做底数，相同因数的个数叫做指数，乘方的运算结果叫做幂. 一般地，记作，读作“a的n次方”，其中a叫做底数，n叫做指数，当看作a的n次方的计算结果时，也可以读作“a的n次幂”. 1. 乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果； 2. 一个数可以看作是它本身的一次方，指数1可省略不写； 3. 底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来； 4. 当负数或分数作为底数时，底数必须用括号括起来； 5. 一个数的二次方又称为这个数的平方，一个数的三次方又称为这个数的立方. 【即学即练】 1．（24-25·七年级上·江苏南京·阶段练习）若为整数，则表示的是（   ） A．3个相乘 B．2个相加 C．3个相加 D．5个相乘 【答案】A 【分析】本题考查幂的乘方运算，熟练掌握并理解幂的乘方等于底数不变，指数相乘是解题的关键．根据幂的乘方法则：，即幂的乘方等于底数不变，指数相乘，进行分析即可． 【详解】解：表示3个相乘或者表示6个相乘． 故选：A． 2．（24-25·七年级上·江苏无锡·阶段练习）计算与的和的式子为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了乘方的意义和乘法的意义，解题关键是根据乘方的意义和乘法的意义写出算式． 【详解】解：，， 它们的和为：， 故选：A． 3．（24-25七年级上·江苏常州·期中）计算的结果可用幂的形式表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数乘方，根据有理数乘方的定义解答即可． 【详解】解： 故答案为：． 知识点02 有理数乘方的运算 1. 有理数乘方运算的符号法则 （1） 正数的任何次幂都是正数； （2） 负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数； （3） 0的任何正整数次幂都是0； （4） 任何一个数的偶数次幂都是非负数. 2. 有理数的乘方运算 计算一个有理数的乘方时，应先将乘方运算转化为乘法运算，先确定幂的符号，再计算幂的绝对值. 3. 拓展： （1）1的任何次幂都是1； （2）－1的偶数次幂是1，－1的奇数次幂是－1； （3）平方等于它本身的数有0和1，立方等于它本身的数有0，1，－1. 【即学即练】 4．（2024七年级上·全国·专题练习）计算 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)49 (2)－216 (3) (4)－9 (5) (6) 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的乘方运算法则求解即可； （2）根据有理数的乘方运算法则求解即可； （3）根据有理数的乘方运算法则求解即可； （4）根据有理数的乘方运算法则求解即可； （5）根据有理数的乘方运算法则求解即可； （6）根据有理数的乘方运算法则求解即可． 【详解】（1）解：； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； 5．（24-25·七年级上·江苏南京·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的乘方运算． （1）根据乘方的定义将展开算乘法即可； （2）根据乘方的定义将展开算乘法即可； （3）根据乘方的定义将展开算乘法即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 6．（24-25·七年级上·江苏苏州·阶段练习）观察下列两组算式： ①与； ②与． (1)每组两个算式的结果是否相等？ (2)根据（1）的结果猜想等于什么？ (3)用（2）的结论计算． 【答案】(1)相等； (2)； (3)1 【分析】本题考查有理数的混合运算： （1）根据运算法则进行计算后，判断即可； （2）利用（1）中规律即可得出结论； （3）利用规律得到，计算即可． 【详解】（1）解：相等： ， ∴； ，， ∴； （2）由（1）可得： （3）． 知识点03 科学记数法 1. 科学计数法的定义：一般地，一个大于10的数可以写成的形式，其中，n是正整数，这种记数方法称为科学记数法. 2. 如何确定科学记数法中的a和n （1） a是一个整数数位只有一位的数，即； （2） 确定n的两种方法：①若这个数是大于10的数，则n等于原数的整数位数减1；②按小数点移动的位数来确定n的值，小数点向左移动了几位，n就等于几. a) 用科学记数法表示的数只是改变数的形式，而没有改变数的性质和大小； b) 用科学记数法表示一个带有单位的数时，其表示的结果也应带有单位，并且前后要一致； c) 用科学记数法表示负数的方法和正数一样，就是要在前面多一个“－”号； d) 对用科学记数法表示的数进行还原时，只需将小数点向右移动n位（不足的数位用0补齐），并把乘号和去掉. 【即学即练】 7．（2025·江苏南京·模拟预测）近期，江苏省城市足球联赛（“苏超”）火爆出圈，据统计，首轮比赛现场观众人数达35000人，第二轮现场观众人数增长至42000人，将第二轮现场观众人数用科学记数法表示，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的标准形式为，其中，为整数．需将42000转换为符合该形式的表达式． 【详解】解：确定系数：将42000的小数点左移4位，得到4.2000，即，满足． 确定指数：小数点移动了4位，故． 组合表达式：科学记数法表示为， 故选：B 8．（24-25·七年级上·江苏镇江·阶段练习）2025年4月19日6时51分，我国在太原卫星发射中心使用长征六号改运载火箭，成功将试验二十七号卫星01星~06星发射升空，发射任务获得圆满成功．长征六号改运载火箭重量约为530000千克，将530000用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【详解】解：． 故选：B． 9．（24-25·七年级上·江苏连云港·阶段练习）截至2025年3月14日国产动画电影《哪吒之魔童闹海》票房突破150亿元大关，成为中国首部票房破百亿的电影，这一里程碑式的成绩，不仅让《哪吒之魔童闹海》位列全球动画电影票房榜第一，更成功跻身全球影史票房榜第五位，中国动画电影以傲人姿态震惊全世界．其中数据150亿用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于与小数点移动的位数相同． 【详解】解：亿， 故答案为：． 题型01 有理数幂的概念理解 【典例1】1．可表示（   ） A．五个2相加 B．两个5相加 C．五个2相乘 D．两个5相乘 【答案】C 【分析】本题主要考查有理数的乘方，牢记有理数乘方的定义是解题的关键．根据有理数乘方的定义（个相同的因数相乘，记作），即可求得答案． 【详解】解：表示个2相乘． 故选：C． 【变式1】“”可以写成（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了乘方的定义，利用乘方的定义解答即可． 【详解】解：， 故选：C． 【变式2】的底数是 ，指数是 ． 【答案】 3 【分析】本题考查了乘方的意义，一般地，n个相同的因数a相乘，即计作，这种求几个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂．在中，a叫做底数，n叫做指数．根据乘方的意义解答即可． 【详解】解：的底数是，指数是3． 故答案为：，3． 【变式3】若，，则以x为底数， y为指数的幂为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数乘方的概念，先求出x的值，再把x的值作为底数，y的值作为指数写出对应的式子即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴以x为底数， y为指数的幂为， 故答案为：． 【变式4】（1）中，底数、指数各是什么？ （2）中叫做什么数？8叫做什么数？是正数还是负数？ 【答案】（1）底数是，指数是8；（2）中叫做底数，8叫做指数，是正数． 【分析】（1）根据乘方的定义，a•a•...•a（n个a）=an，a是底数，n是指数，进而解决本题； （2）根据有理数的乘方的概念即可回答． 【详解】解：（1）中，底数是，指数是8； （2）中叫做底数，8叫做指数，是正数． 【点睛】本题考查有理数的乘方，关键是根据有理数的乘方的概念解答．注意：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数． 题型02 有理数的乘方运算 【典例1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据有理数乘方计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 【点睛】本题主要考查有理数乘方运算，掌握有理数乘方运算的意义是解题的关键． 【变式1】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的乘方运算． （1）根据乘方的定义将展开算乘法即可； （2）根据乘方的定义将展开算乘法即可； （3）根据乘方的定义将展开算乘法即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 【变式2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)216 (2) (3) (4) (5)1000 (6)1000000 【分析】本题考查了乘方的运算，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键； （1）根据正数的任何次幂都是正数，计算即可； （2）根据负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，计算即可； （3）根据负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，计算即可； （4）根据负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，计算即可； （5）根据正数的任何次幂都是正数，计算即可； （6）根据负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，计算即可； 【详解】（1）解：； （2）解： （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 【变式3】已知与互为相反数，求的值． 【答案】10 【分析】本题考查了非负数的性质，乘方运算，代数式求值，求出、的值是解题关键．根据相反数的定义列式，再根据平方和绝对值的非负性，求出，，再带入计算求值即可． 【详解】解：与互为相反数， ， ，， ，， ． 【变式4】计算： 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的乘方运算，熟练掌握乘法的运算法则是解题的关键，按有理数的乘方运算法则运算即可． 【详解】原式 ． 题型03 有理数乘方逆运算 【典例1】如果，则是（   ） A．8或 B． C．4 D．4或 【答案】D 【分析】此题考查有理数的乘方．直接利用有理数的乘方运算法则计算得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴a是：4或−4． 故选：D． 【变式1】已知，，且，则的值等于（    ） A．或11 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是绝对值的定义、有理数的加法，根据，得，或，．进行分类讨论是解题的关键．先由绝对值的性质求得、的值，再根据，得，或，．然后分类讨论，计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，． ∵， ∴，或，． 当，时，， 当，时．， 故选． 【变式2】若，则的值可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘方，乘方的逆运算，等式的性质等知识点，根据有理数乘方的运算法则即可得解，熟练掌握有理数的乘方的意义是解题关键． 【详解】∵ ∴ ∴ ∴， 故选：D． 【变式3】中学数学中，我们知道加减运算是互逆运算，乘除运算也是互逆运算；其实乘方运算也有逆运算，如式子可以变形为，也可以变形为，类似的，表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算的含义，乘方的逆运算，理解乘方的逆运算是解题关键．根据题干乘方的逆运算法则列式解即可． 【详解】解：∵式子可以变形为，也可以变形为， ∴表示为， 故答案为：． 【变式4】若，，且，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的乘方的逆运算，求一个数的绝对值，有理数的加法计算，先计算乘方和绝对值得到，，再由得到或，据此代值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴或， ∴或， ∴的值为． 题型04 乘方运算的符号规律 【典例1】若 ，则一定有（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是乘方运算的符号规律，分别根据，，进行探究即可得到答案． 【详解】解：当，则， 当，则， 当，则，则， ∴当，则， 故选：C 【变式1】如果一个有理数的奇次幂是正数，那么这个有理数（　　） A．一定是正数 B．是正数或负数 C．一定是负数 D．可以是任意有理数 【答案】A 【分析】根据有理数的乘方法则进行判断即可．此题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方运算法则是解本题的关键． 【详解】解：∵正数的任何次幂是正数，负数的奇次幂数负数，0正整数次幂是0 ∴一个有理数的奇次幂是正数，这个数一定是正数． 故选：A． 【变式2】当时，下列式子：①；②；③；④中，成立的有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【分析】根据负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数即可解答． 【详解】解：当时， 是负数，故①正确； ，故②正确，④错误； ，故③正确； 综上所述，①②③正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了有理数乘方的符号规律，掌握有理数乘方的符号规律：一个负数的奇次幂是负数，一个负数的偶次幂是正数． 【变式3】在计算时，结果可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据含有乘方的有理数的运算法则即可求解． 【详解】解：， 故选：． 【点睛】本题主要考查乘方的意义，乘方的符号规律，掌握以上知识的是解题的关键． 【变式4】你能迅速的判断下列各幂的正负吗？ (1)； (2)． 【答案】(1)正，正，负，正，负，正 (2)正，正，既不为正也不为负，正，正 【分析】（1）根据正数的乘方为正数，负数的偶数次方为正数，奇数次方为负数即可求解． （2）根据正数的乘方为正数，负数的偶数次方为正数，奇数次方为负数即可求解，0既不是正数，也不是负数． 【详解】（1）解：根据正数的乘方为正数，负数的偶数次方为正数，奇数次方为负数，则：16为正，故为正； 25为正，故为正； 为负，且9为奇数，故为负； 为负，6为偶数，故为正； -1为负，101为奇数，故为负； 为负，50为偶数，故为正． （2）根据正数的乘方为正数，负数的偶数次方为正数，奇数次方为负数， 0.01为正，故为正； 为负，2为偶数，故为正； ，0既不是正数也不是负数； 为正，故为正； 为负，2为偶数，故为正． 【点睛】本题考查了乘方运算符号的规律，熟练掌握正数的乘方为正数，负数的偶数次方为正数，奇数次方为负数且0既不是正数也不是负数是解题的关键． 题型05 乘方的应用 【典例1】有一张厚度是的纸，将它对折15次后，其厚度可表示为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了乘方的意义，根据折纸的过程找出规律是解题的关键．根据有理数的乘方的定义，找出规律，即可得出答案． 【详解】解：由题意可知，对折1次后的厚度为， 对折2次后的厚度为， 对折3次后的厚度为， …… 则对折15次后的厚度为， 故选：C． 【变式1】《孙子算经》中载有“今有出门望见九堤，堤有九木，木有九枝……”大意：今天出门看见9座堤坝，每座堤坝上有9棵树，每棵树上有9根树枝……文中的树枝共有（   ）． A．根 B．根 C．根 D．根 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘方．由题意得出算式，再求解即可． 【详解】解：（个）； 答：文中的鸟巢共有个． 故选：A． 【变式2】将一张厚毫米的纸对折，再对折，这样对折2次后，纸的厚度是 毫米． 【答案】 【分析】每对折一次，纸的厚度扩大2倍，则对折2次，纸的厚度扩大倍，据此即可得到答案． 【详解】解：（毫米）， 则这样对折2次后，纸的厚度是毫米， 故答案为：． 【点睛】本题考查了乘方问题，解题关键是掌握长方形的纸对折次，纸张的厚度扩大倍． 【变式3】拉面是很多人都喜欢吃的一种面食．拉面馆的师傅用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉长，再捏合，又拉长，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多根较细的面条．回答下列问题： (1)第6次捏合后，可得多少根面条？ (2)经过多少次捏合后可得到256根面条？ 【答案】(1)64根 (2)8次 【分析】本题主要考查了有理数乘乘方的应用． （1）计算即可得出答案． （2）由即可得出答案． 【详解】（1）解：（根） 则第6次捏合后，可得64根面条． （2）解：因为， 所以经过8次捏合后可得到256根面条． 【变式4】生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例：；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数10000转化为十进制数：； 其他进制也有类似的算法…… (1)根据以上信息，将二进制数“101110”转化为十进制数是________； (2)在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示表示的五进制数为132，求孩子已经出生的天数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，正确理解题中二进制转换十进制的计算方法是解题的关键． （1）根据二进制转换十进制的方法列式计算即可； （2）满五进一，类似于五进制数，仿照二进制转换十进制的计算方法进行计算即可． 【详解】（1）解：101110转化为十进制数是， 故答案为：； （2）解：由于满五进一，类似于五进制数，图示表示的五进制数为132，转化为十进制数为， 孩子已经出生了42天． 题型06 用科学记数法表示绝对值大于1的数 【典例1】根据市场研究机构最新预测，预计到2027年，芯片市场规模将是2023年市场规模的2倍以上，达到1194亿美元．数据1194亿用科学记数法可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了科学记数法“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法”，熟记科学记数法的定义是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法的定义即可得． 【详解】解：亿， 故选：C． 【变式1】在比例尺为的江苏省地图上，某条道路的长为．这条道路的实际长度用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例尺，科学记数法，熟练掌握比例尺，科学记数法是解题的关键 先计算实际长度，然后转换单位，再用科学记数法即可解答． 【详解】∵比例尺为，地图上的对应实际长度为： 用科学记数法表示为： 故选：C． 【变式2】2025年4月24日17时17分，我国神舟二十号载人飞船在酒泉卫星发射中心准时点火升空，并于当日23时49分精准对接空间站天和核心舱，全程历时秒，展现了中国航天技术的卓越实力．数据用科学记数法表示为： ． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式3】经中国旅游研究院综合测算，今年“五一”假日期间全国接待国内游客亿人次，亿用科学记数法表示为 . 【答案】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，绝对值大于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为，为正整数，且比原数的整数位数少1，据此可以解答． 【详解】解：亿用科学记数法表示为． 故答案为： 【变式4】用科学记数法表示下列各数：①2021；②576万；③；④． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键． 将各个数写成其中，n为整数的形式即可． 【详解】解：用科学记数法表示各数分别为： ①；②576万；③；④． 题型07 将用科学记数法表示的数变回原数 【典例1】用科学记数法表示的数还原后0的个数为m，则m的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：由可知：还原后0的个数为6个； 故选C． 【变式1】下列四个数中，值最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了科学记数法和有理数大小比较，首先将用科学记数法表示的四个数还原成原数，再比较大小． 【详解】解：∵，，，，， ∴值最大的是， 故选：A． 【变式2】《康熙字典》是清朝康熙年间出版的图书，字典全书共收录汉字余个，则的原数为 ． 【答案】47000 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．据此解答即可． 【详解】解：． 故答案为：47000． 【变式3】下列是用科学记数法表示的数，原数是什么？ ，． 【答案】38 000，50 070 000 【分析】本题考查了把用科学记数法表示的数写成原数，用科学记数法表示的数还原成原数时，时，n是几，小数点就向右移几位． 【详解】解：， . 【变式4】把下列用科学记数法表示的数写成原来的形式． (1)__________________； (2)__________________； (3)__________________． 【答案】(1)3000000 (2) (3)202000 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法中的确定方法，进行还原即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：3000000； （2）； 故答案为：； （3）； 故答案为：． 【点睛】本题考查科学记数法．熟练掌握科学记数法中的确定方法，是解题的关键． 题型08 有理数乘方运算的规律计算 【典例1】观察下列算式： ①； ②； ③； ④； ⑤； … (1)根据以上规律写出第⑧条算式：________________； (2)计算：； (3)计算：． 【答案】(1) (2)55 (3) 【分析】本题主要考查数字规律及有理数的乘方运算，解题的关键是得出数字的一般规律及有理数的乘方运算； （1）根据题干所给算式可进行求解； （2）由（1）及题意可得规律，然后代入进行求解即可； （3）根据规律可进行求解 【详解】（1）解：由题意得：第⑧条算式为； 故答案为； （2）解：根据（1）中规律得： 原式 ； （3）解：由题意得： 【变式1】仔细观察下列三组数： 第一组：1，4，9，16，25，； 第二组：0，，，，，； 第三组：，，，，，． (1)第一组数是按什么规律排列的？ 第二组数与第一组数有什么关系？ (2)按第三组的排列规律，第9，10两个数各是多少？ (3)取每组的第20个数，计算这三个数的和． 【答案】(1)见解析 (2)第9个数为，第10个数为 (3) 【分析】（1）第一组按，，，，排列，第二组按，，，，排列，由此进一步得出答案即可； （2）第三组数的分子是连续自然数，分母是对应分母的平方加1，奇数位置为正，第n个数为，偶数位置为负，第n个数为，由此求得答案即可； （3）根据规律求得每组的第20个数，再相加即可． 此题考查了有理数的乘方，数字的变化规律，找出数字之间的联系，得出运算规律，利用规律解决问题． 【详解】（1）解：第一组数是按正整数1，2，3，4，5，的平方数的顺序排列的， 即，，，，，， 第二组数是由第一组的每一个数减去1，再取差的相反数得到的， 即，，，，，． （2）解：第三组数的规律是，，，，，， 即当n为奇数时，第n个数是； 当n为偶数时，第n个数是， ∴这组数的第9个数为， 则第10个数是． （3）解：第一组的第20个数是， 第二组的第20个数是， 第三组的第20个数是， ∴． 这三个数的和为：． 【变式2】七年级的小红是一个聪明而又富有想象力的孩子．学习了“有理数的乘方”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念，于是规定：若干个相同有理数（均不能为0）的除法运算叫做除方．她规定： ， ． 根据以上规律回答下列问题： (1)直接写出计算结果，_______，__________； (2)关于“有理数的除方”下列说法正确的是_______；（填序号） ①； ②； ③（n为正整数，，）． (3)计算：． 【答案】(1)1， (2)③ (3)0 【详解】（1）解：； ； 故答案为：1；； （2）∵， ∴，故①错误； ，故②错误； ∴（为正整数，，）；故③正确； 故答案为：③ （3） ． 【变式3】探索研究 (1)填空：①已知，则________，________． ②已知，则________，________． (2)观察（1）的计算结果，我们可以得到什么移动规律？ 【答案】(1)①，②1.331，1331000 (2)移动规律：①当底数的小数点每向左(右)移动一位时，它的平方的小数点向左(右)移动两位②当底数的小数点每向左(右)移动一位时，它的立方的小数点向左(右)移动三位 【分析】本题考查了有理数的乘方，熟记有理数的乘方的定义是解题的关键； （1）根据有理数的乘方的定义计算即可； （2）观察（1）的计算结果，即可得出移动规律． 【详解】（1）解：①，， 故答案为：，； ②，， 故答案为：1.331，1331000； （2）解：观察（1）的计算结果，我们可以得到①当底数的小数点每向左(右)移动一位时，它的平方的小数点向左(右)移动两位，②当底数的小数点每向左(右)移动一位时，它的立方的小数点向左(右)移动三位． 【变式4】探索规律： (1)请猜想： ； (2)请猜想： ； (3)请用上述规律计算： 【答案】(1)225 (2) (3)1200 【分析】本题主要考查了整式的加减，有理数的混合运算，数字的变化规律，本题是阅读型题目，理解题干中的方法并熟练应用是解题的关键． （1）利用题干中的计算找出规律，即可得出结论； （2）利用题干中的计算找出规律，即可得出结论； （3）将所求算式加上后利用（2）中的规律运算，再减去， 【详解】（1）解：由规律得，， 故答案为：225； （2）解：由规律得，， 故答案为：； （3）解： ． 题型09 有理数乘方运算的新定义问题 【典例1】定义一种新的运算：如果，则有，那么的值（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算，求一个数的绝对值，有理数的加法运算等知识点，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 先计算乘方和绝对值，然后相加即可． 【详解】解： ， 故选：． 【变式1】用“☆”定义一种新运算：对于任何不为零的整数a和b，规定，如，则的值为（        ） A． B．8 C． D． 【答案】B 【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值． 【详解】根据题中的新定义得：． 故选：B． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． 【变式2】新考法  定义一种新的运算，如果，那么 ． 【答案】1 【分析】本题考查了新定义，有理数的乘方，根据新定义转化为有理数的乘方计算即可． 【详解】解：． 故答案为：1． 【变式3】由乘方的定义可知：（n个a相乘）．观察下列算式回答问题： （1） ；（2） ； 【答案】 / 【分析】本题主要考查了有理数的乘方计算： （1）根据题意即可得到答案； （2）先把原式变形为，进而得到，据此计算求解即可． 【详解】解；（1）由题意得，， 故答案为：； （2） ， 故答案为：． 【变式4】根据乘方的定义，可得，，． (1)试计算的值（写成幂的形式）； (2)请你猜想：当m、n位正整数时， （只表示出结果）； (3)利用（2）中的结论计算（写成幂的形式）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据乘方的定义得到2个3的乘积与5个3的乘积相乘，即为7个3的乘积，即可得到结果； （2）所求式子表示个的乘积与个的乘积相乘，即为个的乘积，即可得到结果； （3）利用（2）中的结论直接计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ． 【点睛】此题考查了有理数的乘方运算，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键． 1、（24-25·七年级上·江苏南京·阶段练习）据有关媒体调查统计，未来五年，徐州需新增小学67所，初中117所，普通高中54所，学校建设需投入约257亿元，数字257亿用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，直接根据科学记数法的表示方法作答即可. 【详解】257亿 故选：D. 2．（24-25·七年级上·江苏镇江·阶段练习）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是有理数的运算，根据有理数加法，乘除法和乘方运算的法则进行计算即可． 【详解】解：A、，原计算正确，符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算错误，不符合题意． 故选：A． 3．（24-25·七年级上·江苏徐州·阶段练习）根据下列“田”字格中的数字规律：则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数字规律，有理数的运算，观察图中，可得规律，即可求出的值，读懂题意，找出图中规律是解题的关键． 【详解】解：由上图得到规律：“田”字格中左上角第一个数规律为：； “田”字格中左下角第一个数规律为：； “田”字格中右上角第一个数规律为：右下角的数减去； “田”字格中右下角的规律为：左上角的数加上左下角的数， ∴当“田”字格中左上角的数为时，， ∴， ∴，， 故选：． 4．（24-25·七年级上·江苏徐州·阶段练习）如图是某种细胞分裂示意图，这种细胞经过 1 次分裂便由 1 个分裂成 2 个．根据此规律，一个细胞经过 5 次分裂后可分裂成（        ）个细胞 A．10 B．16 C．32 D．64 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘方的应用．熟练掌握这种细胞分裂规律，是解决问题的关键． 根据这种细胞经过 1 次分裂便由 1 个分裂成 2 个，得5次分裂成个，计算即得． 【详解】解：． 故选：C． 5．（24-25·七年级上·江苏南京·阶段练习）如果a是大于1的正整数，那么a的三次方可以改写成若干个连续奇数的和．例如，……已知改写成的若干个连续奇数和的式子中，有一个奇数是，则a的值是（   ）． A．45 B．46 C．52 D．53 【答案】A 【分析】本题主要考查了一个正整数的立方的变换规律，找出这个正整数立方的表达式是解题的关键． 根据题意，可找出一个大于1的正整数的立方，分分裂后的第一个数是，且共有a个连续奇数，据此求解即可． 【详解】解：∵， ， ， ， …， ∴分裂后的第一个数是，且共有a个连续奇数， ∵，， ∴奇数2023是底数为45的数的立方分裂后的一个奇数， ∴． 故选：A． 6．（24-25·七年级上·江苏连云港·阶段练习）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型来表示，即：，，，，，……，请你推算的个位数字是（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】利用已知得出数字个位数的变化规律，并求出每一个循环4个数相加后的个位数字为0，进而得出答案． 【详解】解：∵，，，，，……， ∴尾数每4个一循环， ∵， 又∵， ∴每一组的4个数相加以后个位数字为0， ∴505组相加后个位数字为0， ∵， ∴的个位数字为4，故C正确． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了尾数特征，根据题意得出数字变化规律是解题关键． 7．（24-25·七年级上·江苏宿迁·阶段练习）根据某网站统计数据，截止至2025年3月，的总访问量已突破1060000000次，其中1060000000用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 这里． 【详解】解： 故答案为： 8．（24-25七年级下·江苏宿迁·阶段练习）用“＞”或“＜”号填空： ． 【答案】 【分析】本题主要考查幂的大小比较，将变形为，变形为，根据可得结论． 【详解】解：∵， 又， ∴， ∴， 故答案为： 9．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）若、满足等式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查非负性，有理数的运算，根据非负性求出的值，再根据乘法法则进行计算即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 10．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）当a取任何值时，的值总是非负数，n的值可以是 ．（写出1个符合条件的数值即可） 【答案】2（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了非负数的性质等知识点，解题的关键是掌握非负数的性质，根据非负数的性质进行求解即可． 【详解】解：∵任何数的偶次方总是非负数， ∴当a取任何值时，的值总是非负数，n的值可以是 2（答案不唯一）， 故答案为：2（答案不唯一）． 11．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查非负性，有理数的乘方运算，根据非负性求出的值，再根据乘方法则，进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 12．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）观察下列算式：、、、、、、、…，用你所发现的规律写出的末位数字是 ． 【答案】6 【分析】本题考查数字类规律探究，根据给出的算式，得到的末位数字以2，4，8，6，四个数字一组，进行循环，进行求解即可． 【详解】解：∵：、、、、、、、… ∴的末位数字以2，4，8，6，四个数字一组，进行循环， ∵， ∴的末位数字是6， 故答案为：6． 13．（24-25·七年级上·江苏南京·阶段练习）在日常生活中，我们用十进制来表示数，如．计算机中采用的二进制，即只需要0和1两个数字就可以表示数，如二进制中的，可以表示十进制中的10，那么二进制中的表示十进制中的 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据十进制中的数与二进制中的数的相互转化的方法进行计算，即可解答． 【详解】解： ； 故答案为：． 14．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）《庄子》中记载：“一尺之捶，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．若按此方式截一根长为64米的木棍，第5天截取后木棍剩余的长度是 米． 【答案】2 【分析】本题考查了有理数乘方，掌握有理数乘方的意义及性质，理解题意写出算式是解题关键． 根据题意依次算出每一天剩余木棍的长度，观察规律即可求得第5天截取后木棍剩余的长度． 【详解】解：第一天截取后剩：米 第二天截取后剩：米 …… ∴第五天截取后剩：米． 故答案为：2． 15．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）直接写出得数： (1)______； (2)______； (3)______； (4)______； (5)______； (6)______． 【答案】(1)1 (2) (3) (4) (5)1 (6) 【分析】本题主要考查了有理数的运算，要熟练掌握，注意明确有理数相关运算法则． （1）先去括号，再计算加减即可； （2）先去括号，再计算加减即可； （3）直接利用有理数的乘法法则可以解答本题； （4）直接利用有理数的除法法则可以解答本题； （4）直接利用有理数的乘方法则可以解答本题； （5）直接利用有理数的乘方法则可以解答本题． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 16．（24-25·七年级上·江苏南京·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了有理数的乘除和乘方运算，解题的关键是掌握有理数的乘除和乘方运算法则． （1）首先计算有理数的乘方，然后计算除法； （2）首先计算有理数的乘方，然后计算乘除． 【详解】（1） ； （2） ． 17．（24-25·七年级上·江苏常州·阶段练习）将下列用科学记数法表示的数还原成原数． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查写出用科学记数法表示的原数．将科学记数法表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把的小数点向右移动位所得到的数． （1）根据将科学记数法还原成原数的方法即可得出答案； （2）根据将科学记数法还原成原数的方法即可得出答案； （3）根据将科学记数法还原成原数的方法即可得出答案； （4）根据将科学记数法还原成原数的方法即可得出答案． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 18．（24-25·七年级上·江苏南京·阶段练习）已知、互为倒数，、互为相反数，，是最大的负整数．求代数式的值． 【答案】11 【分析】根据倒数、相反数、绝对值的意义，有理数的分类，求得，代入代数式，即可求解． 【详解】解：由题意得：， 则 【点睛】本题考查了倒数、相反数、绝对值的意义，有理数的分类，代数式求值，熟练掌握以上知识是解题的关键． 19．（24-25·七年级上·江苏南京·阶段练习）【概念学习】 规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方． 例如，记作，读作“2的圈3次方”； 再例如，记作，读作“的圈4次方”；一般地，把为大于等于2的整数）记作，读作“的圈次方”． 【初步探究】 (1)直接写出计算结果：______；______； (2)关于除方，下列说法错误的是______． A．任何非零数的圈2次方都等于1             B．对于任何大于等于2的整数， C．         D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方乘方幂的形式． (3)仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式：______，______； (4)将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式为______． 【灵活应用】 (5)计算： 【答案】(1)， (2)C (3)， (4) (5) 【分析】本题主要考查了数字的变化规律，有理数的混合运算，本题是阅读型题目，理解并熟练应用新定义是解题的关键． （1）利用除方的定义解答即可； （2）利用除方的定义对每个选项进行逐一判断即可； （3）利用除方的意义将除方的式子写成除法的形式，利用除以一个数等于乘以这个数的倒数变成乘法，再利用乘方的意义写成乘方的形式即可； （4）根据（3）中的计算方法求解即可； （5）利用除方的定义解答即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）解：A，，即任何非零数的圈2次方都等于1，故该选项说法正确； B，，故该选项说法正确； C，，， 可得，故该选项说法错误； D，负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数，故该选项说法正确， 故选C． （3）解：， ， 故答案为：，； （4）解：将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式为： ， 故答案为：； （5）解： ． 20．（24-25·七年级上·江苏连云港·阶段练习）生活在数字时代的我们，很多场合使用二维码来表示不同的信息，类似的，可通过正方形网格中，对每个小正方格涂黑色或不涂色所得的图形来表示不同的信息．在代码编制上巧妙利用构成计算机内部逻辑基础的“0”，“1”，使用若干个与二进制相对应的几何图形来表示数值（黑色代表1，白色代表0）．如图1是某校一次考试中三位同学的准考证号对应的二维码的简易编码．如图2是王芳同学准考证号的二维码简易编码，其中第一行代表二进制的数字11000，转化成10进制为：．同理，第二行至第五行代表二进制的数字分别为1100，111，11100，1101，转化成10进制为：12，07，28，13，将五行编码有序组合在一起就是王芳的准考证号2412072813，其中第一行编码“24”表示区县，第二行编码“12”表示学校，第三行编码“07”表示班级，第四行编码“28”表示考场号，第五行编码“13”表示座位号． （1）如图3是本次考试张亮同学准考证号的二维码简易编码，其中第四行代表二进制的数字是10101，转化成10进制后可得他的考场号是______． （2）本次考试中，赵军的准考证号是2917021311，如图4是赵军为自己绘制的二维码简易编码，但少涂黑了3个小正方形，请你在图4中帮他补充完整，在补充的方格中画． 【答案】（1）  （2）见解析 【分析】本题主要考查了二进制与十进制数字转化、有理数运算等知识，熟练掌握二进制与十进制转化规则是解题关键. （1）根据二维码编码规则即可确定第四行代表二进制的数字，再将其转化为进制数字即可； （2）根据题意可知赵军的准考证号是，由二进制和十进制数字转化规则确定各行编码二进制数字，即可获得答案． 【详解】解：（1）根据题意得，第四行代表二进制的数字是， 二进制的数字，转化成进制为： ， ∴转化成进制后可得他的考场号是， 故答案为：； （2）准考证号， 分别将， ， ， ， 转化为二进制， ， 转化为二进制为： ， ， 转化为二进制为： ， ， 转化为二进制为：， ， 转化为二进制为： ， ， 转化为二进制为： ， 如图所示： 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.6 有理数的乘方 教学目标 1.理解有理数乘方的意义； 2.掌握有理数乘方的运算. 教学重难点 1.重点 （1）掌握有理数乘方的意义； （2）掌握有理数的乘方运算； （3）掌握科学记数法的相关概念。 2.难点 （1）有理数乘方的应用； （2）有理数乘方有关的规律运算与新定义问题。 知识点01 有理数乘方的意义 求相同因数的积的运算叫做乘方，相同因数叫做底数，相同因数的个数叫做指数，乘方的运算结果叫做幂. 一般地，记作，读作“a的n次方”，其中a叫做底数，n叫做指数，当看作a的n次方的计算结果时，也可以读作“a的n次幂”. 1. 乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果； 2. 一个数可以看作是它本身的一次方，指数1可省略不写； 3. 底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来； 4. 当负数或分数作为底数时，底数必须用括号括起来； 5. 一个数的二次方又称为这个数的平方，一个数的三次方又称为这个数的立方. 【即学即练】 1．（24-25·七年级上·江苏南京·阶段练习）若为整数，则表示的是（   ） A．3个相乘 B．2个相加 C．3个相加 D．5个相乘 2．（24-25·七年级上·江苏无锡·阶段练习）计算与的和的式子为（　　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·江苏常州·期中）计算的结果可用幂的形式表示为 ． 知识点02 有理数乘方的运算 1. 有理数乘方运算的符号法则 （1） 正数的任何次幂都是正数； （2） 负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数； （3） 0的任何正整数次幂都是0； （4） 任何一个数的偶数次幂都是非负数. 2. 有理数的乘方运算 计算一个有理数的乘方时，应先将乘方运算转化为乘法运算，先确定幂的符号，再计算幂的绝对值. 3. 拓展： （1）1的任何次幂都是1； （2）－1的偶数次幂是1，－1的奇数次幂是－1； （3）平方等于它本身的数有0和1，立方等于它本身的数有0，1，－1. 【即学即练】 4．（2024七年级上·全国·专题练习）计算 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 5．（24-25·七年级上·江苏南京·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)． 6．（24-25·七年级上·江苏苏州·阶段练习）观察下列两组算式： ①与； ②与． (1)每组两个算式的结果是否相等？ (2)根据（1）的结果猜想等于什么？ (3)用（2）的结论计算． 知识点03 科学记数法 1. 科学计数法的定义：一般地，一个大于10的数可以写成的形式，其中，n是正整数，这种记数方法称为科学记数法. 2. 如何确定科学记数法中的a和n （1） a是一个整数数位只有一位的数，即； （2） 确定n的两种方法：①若这个数是大于10的数，则n等于原数的整数位数减1；②按小数点移动的位数来确定n的值，小数点向左移动了几位，n就等于几. a) 用科学记数法表示的数只是改变数的形式，而没有改变数的性质和大小； b) 用科学记数法表示一个带有单位的数时，其表示的结果也应带有单位，并且前后要一致； c) 用科学记数法表示负数的方法和正数一样，就是要在前面多一个“－”号； d) 对用科学记数法表示的数进行还原时，只需将小数点向右移动n位（不足的数位用0补齐），并把乘号和去掉. 【即学即练】 7．（2025·江苏南京·模拟预测）近期，江苏省城市足球联赛（“苏超”）火爆出圈，据统计，首轮比赛现场观众人数达35000人，第二轮现场观众人数增长至42000人，将第二轮现场观众人数用科学记数法表示，正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25·七年级上·江苏镇江·阶段练习）2025年4月19日6时51分，我国在太原卫星发射中心使用长征六号改运载火箭，成功将试验二十七号卫星01星~06星发射升空，发射任务获得圆满成功．长征六号改运载火箭重量约为530000千克，将530000用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25·七年级上·江苏连云港·阶段练习）截至2025年3月14日国产动画电影《哪吒之魔童闹海》票房突破150亿元大关，成为中国首部票房破百亿的电影，这一里程碑式的成绩，不仅让《哪吒之魔童闹海》位列全球动画电影票房榜第一，更成功跻身全球影史票房榜第五位，中国动画电影以傲人姿态震惊全世界．其中数据150亿用科学记数法表示为 ． 题型01 有理数幂的概念理解 【典例1】1．可表示（   ） A．五个2相加 B．两个5相加 C．五个2相乘 D．两个5相乘 【变式1】“”可以写成（    ） A． B． C． D． 【变式2】的底数是 ，指数是 ． 【变式3】若，，则以x为底数， y为指数的幂为 ． 【变式4】（1）中，底数、指数各是什么？ （2）中叫做什么数？8叫做什么数？是正数还是负数？ 题型02 有理数的乘方运算 【典例1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1】计算： (1)； (2)； (3)． 【变式2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【变式3】已知与互为相反数，求的值． 【变式4】计算： 题型03 有理数乘方逆运算 【典例1】如果，则是（   ） A．8或 B． C．4 D．4或 【变式1】已知，，且，则的值等于（    ） A．或11 B．或 C． D． 【变式2】若，则的值可以表示为（    ） A． B． C． D． 【变式3】中学数学中，我们知道加减运算是互逆运算，乘除运算也是互逆运算；其实乘方运算也有逆运算，如式子可以变形为，也可以变形为，类似的，表示为 ． 【变式4】若，，且，求的值． 题型04 乘方运算的符号规律 【典例1】若 ，则一定有（   ） A． B． C． D． 【变式1】如果一个有理数的奇次幂是正数，那么这个有理数（　　） A．一定是正数 B．是正数或负数 C．一定是负数 D．可以是任意有理数 【变式2】当时，下列式子：①；②；③；④中，成立的有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【变式3】在计算时，结果可表示为（   ） A． B． C． D． 【变式4】你能迅速的判断下列各幂的正负吗？ (1)； (2)． 题型05 乘方的应用 【典例1】有一张厚度是的纸，将它对折15次后，其厚度可表示为(    ) A． B． C． D． 【变式1】《孙子算经》中载有“今有出门望见九堤，堤有九木，木有九枝……”大意：今天出门看见9座堤坝，每座堤坝上有9棵树，每棵树上有9根树枝……文中的树枝共有（   ）． A．根 B．根 C．根 D．根 【变式2】将一张厚毫米的纸对折，再对折，这样对折2次后，纸的厚度是 毫米． 【变式3】拉面是很多人都喜欢吃的一种面食．拉面馆的师傅用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉长，再捏合，又拉长，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多根较细的面条．回答下列问题： (1)第6次捏合后，可得多少根面条？ (2)经过多少次捏合后可得到256根面条？ 【变式4】生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例：；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数10000转化为十进制数：； 其他进制也有类似的算法…… (1)根据以上信息，将二进制数“101110”转化为十进制数是________； (2)在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示表示的五进制数为132，求孩子已经出生的天数． 题型06 用科学记数法表示绝对值大于1的数 【典例1】根据市场研究机构最新预测，预计到2027年，芯片市场规模将是2023年市场规模的2倍以上，达到1194亿美元．数据1194亿用科学记数法可以表示为（   ） A． B． C． D． 【变式1】在比例尺为的江苏省地图上，某条道路的长为．这条道路的实际长度用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【变式2】2025年4月24日17时17分，我国神舟二十号载人飞船在酒泉卫星发射中心准时点火升空，并于当日23时49分精准对接空间站天和核心舱，全程历时秒，展现了中国航天技术的卓越实力．数据用科学记数法表示为： ． 【变式3】经中国旅游研究院综合测算，今年“五一”假日期间全国接待国内游客亿人次，亿用科学记数法表示为 . 【变式4】用科学记数法表示下列各数：①2021；②576万；③；④． 题型07 将用科学记数法表示的数变回原数 【典例1】用科学记数法表示的数还原后0的个数为m，则m的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式1】下列四个数中，值最大的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】《康熙字典》是清朝康熙年间出版的图书，字典全书共收录汉字余个，则的原数为 ． 【变式3】下列是用科学记数法表示的数，原数是什么？ ，． 【变式4】把下列用科学记数法表示的数写成原来的形式． (1)__________________； (2)__________________； (3)__________________． 题型08 有理数乘方运算的规律计算 【典例1】观察下列算式： ①； ②； ③； ④； ⑤； … (1)根据以上规律写出第⑧条算式：________________； (2)计算：； (3)计算：． 【变式1】仔细观察下列三组数： 第一组：1，4，9，16，25，； 第二组：0，，，，，； 第三组：，，，，，． (1)第一组数是按什么规律排列的？ 第二组数与第一组数有什么关系？ (2)按第三组的排列规律，第9，10两个数各是多少？ (3)取每组的第20个数，计算这三个数的和． 【变式2】七年级的小红是一个聪明而又富有想象力的孩子．学习了“有理数的乘方”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念，于是规定：若干个相同有理数（均不能为0）的除法运算叫做除方．她规定： ， ． 根据以上规律回答下列问题： (1)直接写出计算结果，_______，__________； (2)关于“有理数的除方”下列说法正确的是_______；（填序号） ①； ②； ③（n为正整数，，）． (3)计算：． 【变式3】探索研究 (1)填空：①已知，则________，________． ②已知，则________，________． (2)观察（1）的计算结果，我们可以得到什么移动规律？ 【变式4】探索规律： (1)请猜想： ； (2)请猜想： ； (3)请用上述规律计算： 题型09 有理数乘方运算的新定义问题 【典例1】定义一种新的运算：如果，则有，那么的值（   ） A． B． C． D． 【变式1】用“☆”定义一种新运算：对于任何不为零的整数a和b，规定，如，则的值为（        ） A． B．8 C． D． 【变式2】新考法  定义一种新的运算，如果，那么 ． 【变式3】由乘方的定义可知：（n个a相乘）．观察下列算式回答问题： （1） ；（2） ； 【变式4】根据乘方的定义，可得，，． (1)试计算的值（写成幂的形式）； (2)请你猜想：当m、n位正整数时， （只表示出结果）； (3)利用（2）中的结论计算（写成幂的形式）． 1、（24-25·七年级上·江苏南京·阶段练习）据有关媒体调查统计，未来五年，徐州需新增小学67所，初中117所，普通高中54所，学校建设需投入约257亿元，数字257亿用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25·七年级上·江苏镇江·阶段练习）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25·七年级上·江苏徐州·阶段练习）根据下列“田”字格中的数字规律：则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25·七年级上·江苏徐州·阶段练习）如图是某种细胞分裂示意图，这种细胞经过 1 次分裂便由 1 个分裂成 2 个．根据此规律，一个细胞经过 5 次分裂后可分裂成（        ）个细胞 A．10 B．16 C．32 D．64 5．（24-25·七年级上·江苏南京·阶段练习）如果a是大于1的正整数，那么a的三次方可以改写成若干个连续奇数的和．例如，……已知改写成的若干个连续奇数和的式子中，有一个奇数是，则a的值是（   ）． A．45 B．46 C．52 D．53 6．（24-25·七年级上·江苏连云港·阶段练习）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型来表示，即：，，，，，……，请你推算的个位数字是（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 7．（24-25·七年级上·江苏宿迁·阶段练习）根据某网站统计数据，截止至2025年3月，的总访问量已突破1060000000次，其中1060000000用科学记数法表示为 ． 8．（24-25七年级下·江苏宿迁·阶段练习）用“＞”或“＜”号填空： ． 9．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）若、满足等式，则 ． 10．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）当a取任何值时，的值总是非负数，n的值可以是 ．（写出1个符合条件的数值即可） 11．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）若，则 ． 12．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）观察下列算式：、、、、、、、…，用你所发现的规律写出的末位数字是 ． 13．（24-25·七年级上·江苏南京·阶段练习）在日常生活中，我们用十进制来表示数，如．计算机中采用的二进制，即只需要0和1两个数字就可以表示数，如二进制中的，可以表示十进制中的10，那么二进制中的表示十进制中的 ． 14．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）《庄子》中记载：“一尺之捶，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．若按此方式截一根长为64米的木棍，第5天截取后木棍剩余的长度是 米． 15．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）直接写出得数： (1)______； (2)______； (3)______； (4)______； (5)______； (6)______． 16．（24-25·七年级上·江苏南京·阶段练习）计算： (1)； (2)． 17．（24-25·七年级上·江苏常州·阶段练习）将下列用科学记数法表示的数还原成原数． (1)； (2)； (3)； (4)． 18．（24-25·七年级上·江苏南京·阶段练习）已知、互为倒数，、互为相反数，，是最大的负整数．求代数式的值． 19．（24-25·七年级上·江苏南京·阶段练习）【概念学习】 规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方． 例如，记作，读作“2的圈3次方”； 再例如，记作，读作“的圈4次方”；一般地，把为大于等于2的整数）记作，读作“的圈次方”． 【初步探究】 (1)直接写出计算结果：______；______； (2)关于除方，下列说法错误的是______． A．任何非零数的圈2次方都等于1             B．对于任何大于等于2的整数， C．         D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方乘方幂的形式． (3)仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式：______，______； (4)将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式为______． 【灵活应用】 (5)计算： 20．（24-25·七年级上·江苏连云港·阶段练习）生活在数字时代的我们，很多场合使用二维码来表示不同的信息，类似的，可通过正方形网格中，对每个小正方格涂黑色或不涂色所得的图形来表示不同的信息．在代码编制上巧妙利用构成计算机内部逻辑基础的“0”，“1”，使用若干个与二进制相对应的几何图形来表示数值（黑色代表1，白色代表0）．如图1是某校一次考试中三位同学的准考证号对应的二维码的简易编码．如图2是王芳同学准考证号的二维码简易编码，其中第一行代表二进制的数字11000，转化成10进制为：．同理，第二行至第五行代表二进制的数字分别为1100，111，11100，1101，转化成10进制为：12，07，28，13，将五行编码有序组合在一起就是王芳的准考证号2412072813，其中第一行编码“24”表示区县，第二行编码“12”表示学校，第三行编码“07”表示班级，第四行编码“28”表示考场号，第五行编码“13”表示座位号． （1）如图3是本次考试张亮同学准考证号的二维码简易编码，其中第四行代表二进制的数字是10101，转化成10进制后可得他的考场号是______． （2）本次考试中，赵军的准考证号是2917021311，如图4是赵军为自己绘制的二维码简易编码，但少涂黑了3个小正方形，请你在图4中帮他补充完整，在补充的方格中画． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$