第1章 集合与逻辑（高效培优单元测试·提升卷）数学沪教版2020高一必修第一册

第1章 集合与逻辑（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知集合，集合，若，那么a的取值是 ． 2．设集合，，，则的元素个数为 . 3．已知集合，若，则实数的取值范围是 . 4．已知非空集合，，，则实数a的取值范围为 . 5．已知集合，集合，若，则实数 . 6．对于集合M，N，定义差集且，设集合，则 ． 7．若，则 ． 8．已知集合，则的真子集个数为 ． 9．已知或，或，若是的必要条件，则实数的取值范围是 ． 10．已知或，，若，则m的取值范围是 . 11．已知A，B是非空集合，若，且满足，则称a，b是集合A，B的一对“基因元”．若集合，则A，B的“基因元”的对数是 ． 12．一元二次方程有两个异号实根的充要条件是 . 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 14．设，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 15．设集合为非空集合，且，若，则，满足上述条件的集合的个数为（    ） A．12 B．15 C．31 D．32 16．中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？”现有如下表示：已知，，，若，则下列选项中不符合题意的整数x为（    ） A．23 B．38 C．128 D．233 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．已知，． (1)求、、． (2)设且，求集合. 18．设，集合,． (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 19．设集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 20．已知集合 (1)分别判断、、是否属于集合； (2)写出所有满足集合的不超过的正偶数； (3)已知集合，证明：“”是“”的充分不必要条件. 21．已知是全体复数集的一个非空子集，如果，总有，，，则称S是数环.设是数环，如果①内含有一个非零复数；②且，有，则称是数域.由定义知有理数集Q是数域. (1)求元素个数最小的数环； (2)记，证明：是数域； (3)若，是数域，判断是否是数域，请说明理由. 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 集合与逻辑（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知集合，集合，若，那么a的取值是 ． 【答案】0或 【分析】由，，，三种情况分别讨论即可. 【详解】， 因为， 所以的所有可能为， 当，可得， 当，可得， 当，可得， 故答案为：0或 2．设集合，，，则的元素个数为 . 【答案】 【分析】根据集合的交集定义计算求解即可. 【详解】由题意，，， 故，的元素个数为. 故答案为：. 3．已知集合，若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】把转化为，借助数轴即可求出实数的取值范围. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 4．已知非空集合，，，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】由可得到，运用集合间的关系可得到关于的不等式，解不等式即可得到答案. 【详解】因为A为非空集合，则， 解得；， 若，则， 则或， 解得或，又， 综上所述，实数a的取值范围为. 故答案为：. 5．已知集合，集合，若，则实数 . 【答案】-3 【分析】根据得，再讨论元素间的关系可解. 【详解】，即，若，则，不符合； 若，则，经检验符合题意. 故答案为：-3. 6．对于集合M，N，定义差集且，设集合，则 ． 【答案】 【详解】因为，所以．又当时，，所以．故． 7．若，则 ． 【答案】 【分析】由为分母可得，再利用集合相等的性质计算即可得解． 【详解】由题意可得，则，即， 则，解得或， 若，则违背集合元素的互异性，舍去； 若，则有，符合要求； 综上所述，，则． 故答案为：． 8．已知集合，则的真子集个数为 ． 【答案】7 【分析】由交集的运算可得，即可得到结果. 【详解】对于集合，当是，，当时，， 当时，，所以， 则其真子集的个数为. 故答案为： 9．已知或，或，若是的必要条件，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设集合或，或，由题意可得，分、两种情况讨论，在第一种情况下，直接验证即可；在第二种情况下，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【详解】设集合或，或， 若是的必要条件，则， 当时，即时，此时，成立； 当时，即时，若，此时，该不等式组无解. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 10．已知或，，若，则m的取值范围是 . 【答案】 【分析】求出，由建立不等式即可得解. 【详解】由或，可得， 因为，， 所以且， 解得， 故答案为： 11．已知A，B是非空集合，若，且满足，则称a，b是集合A，B的一对“基因元”．若集合，则A，B的“基因元”的对数是 ． 【答案】13 【详解】，当a取2时，分别为1，1，4，6，共3对；当a取3时，分别为2，0，3，5，共3对；当a取5时，分别为4，2，1，3，共3对；当a取9时，分别为8，6，3，1，共4对．． 12．一元二次方程有两个异号实根的充要条件是 . 【答案】 【分析】首先写成充要条件，再证明即可. 【详解】是该方程有两个异号实根的充要条件， 证明必要性：由于方程（，，是常数且）有一正实根和一负实根， 设两根为，所以，且，所以. 充分性：由可推出， 从而元二次方程有两个不相等的实数根，设为、， 则，由知：，即两根异号， 所以方程（，，是常数且）有一正一负两实根. 因此是方程有两个异号实根的充要条件. 故答案为： 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求集合，根据交集运算即可求解. 【详解】由题意有， 所以，所以， 故选：A. 14．设，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】化简和，根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】化简可得或， 化简可得， 因为是或的子集， 所以是的必要不充分条件. 故选：B 15．设集合为非空集合，且，若，则，满足上述条件的集合的个数为（    ） A．12 B．15 C．31 D．32 【答案】B 【分析】写出72在大于3时的全部因数，为了满足题意集合中的元素需要成对出现，所以看作只有4个元素的集合，求非空子集的个数即可得到结果. 【详解】∵， ∴满足“，则”的的集合是的子集， 但3和24，4和18，6和12，8和9需同时出现， ∴将集合看作有4个元素，求其非空子集个数为：. 故选：B. 16．中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？”现有如下表示：已知，，，若，则下列选项中不符合题意的整数x为（    ） A．23 B．38 C．128 D．233 【答案】B 【详解】解法1  因为，所以，故A符合；因为，所以，故B不符合；因为，所以，故C符合；，所以，故D符合. 解法2  因为，所以且，则且（k，），所以，即，所以.又，所以（c，），即，即，所以.当时，；当时，；当时，. 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．已知，． (1)求、、． (2)设且，求集合. 【答案】(1)，，． (2)或 【分析】（1）根据交、并、补集的运算计算即可； （2）结合（1），根据题意计算即可. 【详解】（1）因为，， 所以，，； （2）因为，， 所以或. 18．设，集合,． (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）转化成求与的交点问题，联立求解. （2）转化为与没有交点，联立，判别式，即可得到答案. 【详解】（1）由，得，解得， 所以. （2）由,得， 由已知方程的判别式， 从所以． 故实数的取值范围为． 19．设集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，从而可求出实数的取值范围； （2）可知集合B是集合A的真子集，然后根据两集合的包含关系列不等式组可求得答案. 【详解】（1）因为， 则，解得， 即实数的取值范围为. （2）若“”是“”的充分不必要条件，则集合B是集合A的真子集， 因为，， 若，由（1）可知：； 若，则且（等号不同时成立），无解； 综上所述：实数的取值范围为. 20．已知集合 (1)分别判断、、是否属于集合； (2)写出所有满足集合的不超过的正偶数； (3)已知集合，证明：“”是“”的充分不必要条件. 【答案】(1)、、都属于集合，理由见解析 (2)、、 (3)证明见解析 【分析】（1）根据集合中元素的特征判断即可； （2）由集合的描述：，讨论、同奇或同偶、一奇一偶，即可确定的奇偶性，进而写出所有满足集合的不超过的正偶数； （3）由，即可得到充分性成立，再利用特殊值判断必要性不成立. 【详解】（1）解：因为，，，所以，、、都属于集合. （2）解：集合，， ①若、同奇或同偶时，、均为偶数，为的倍数； ②当、一奇一偶时，、均为奇数，为奇数， 综上，所有满足集合的偶数为． 因此，满足集合的不超过的正偶数有、、. （3）证明：集合，则恒有， 所以，，即一切奇数都属于， 又，而， 所以，“”是“”的充分不必要条件. 【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于根据集合的性质，应用因式分解、恒等转化、代数式的奇偶性讨论，判断元素与集合的关系，证明条件间的充分、必要关系，确定满足条件的数集. 21．已知是全体复数集的一个非空子集，如果，总有，，，则称S是数环.设是数环，如果①内含有一个非零复数；②且，有，则称是数域.由定义知有理数集Q是数域. (1)求元素个数最小的数环； (2)记，证明：是数域； (3)若，是数域，判断是否是数域，请说明理由. 【答案】(1)； (2)证明见解析 (3)不一定是数域，理由见解析 【分析】（1）先证为数环，再证其为元素最少的数环； （2）设，，，再利用数环、数域的定义证明即可； （3）先取，说明是数域；再证为数域，接着取，即可得出是不是数域. 【详解】（1）因为为数环，可知不是空集，即中至少有一个元素， 若，则，可知为数环； 若，则，可知中不止一个元素，不是元素个数最少的数环； 综上所述：元素个数最少的数环为. （2）设，，，可知， 则有：， ， ， 因为，则，，，，，， 可知，，，所以是数环； 因，则必存在使，此时，满足①； 若，则， 因为，则，， 可知，满足②；综上所述：是数域. （3）不一定是数域，理由如下： ①若，，显然，均为数域，且是数域； ②设，， 设，，，可知，则有： ， ， ， 因为，则，，，，，， 可知，，，所以是数环； 因，则必存在使，此时，满足①； 若，则， 因为，则，， 可知，满足②； 综上所述：是数域. 因，，但， 所以不是数域； 综上所述：不一定是数域. 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$