精品解析：云南临沧地区中学2024-2025学年高二下学期6月阶段性教学水平诊断检测数学试题

2026届云南临沧地区中学高二6月阶段性教学水平诊断检测 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 从稻田中随机抽取7株水稻苗，测得苗高（单位：）分别是.则这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 24，25 B. 23，23 C. 23，24 D. 24，24 2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 若集合，则 A. B. C. D. 4. 不等式 的解集是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 5. 在中，内角、、所对的边分别为，若，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，为的重心，且尚，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 已知等差数列的公差为，记数列的前项和为，则（ ） A 12 B. 24 C. 36 D. 48 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 数列的前项和为，若，则有（ ） A. B. 为等比数列 C. D. 为等比数列 10. 已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（ ） A B. 当时， C. 当且仅当 D. 是的极大值点 11. 已知双曲线的一条渐近线过点，为的右焦点，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线的离心率为 B. 曲线的渐近线方程为 C. 若到曲线渐近线的距离为，则曲线的方程为 D. 设为坐标原点，若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 向量，，则________． 13. 已知函数在其定义域内的区间内有极值点，则实数的取值范围是_____. 14. 一个底面半径为，高为的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设函数． （Ⅰ）求函数的最小正周期和单调减区间； （Ⅱ）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，求函数在区间上的最小值． 16. 已知椭圆的离心率为，椭圆的面积为. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知直线与椭圆相交于，两点，且的面积为，求直线的方程. （注：椭圆的面积公式为） 17. 如图，多面体是三棱台和四棱锥的组合体，底面四边形为菱形，，，为的中点，平面平面，． （1）证明：平面 （2）若平面与平面夹角的余弦值为，求三棱台的体积． 18. 已知函数，其中． （1）证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点； （2）设分别为在区间的极值点和零点. （i）设函数.证明：在区间单调递减； （ii）比较与的大小，并证明你的结论． 19. 生命诞生与流逝是一个永恒的话题，就某种细胞而言，由该种细胞的一个个体进行分裂，分裂后成为新细胞而原细胞不复存在，多次分裂后，由该个细胞繁殖而来的全部细胞均死亡，我们称该细胞“灭绝”.现已知某种细胞有的概率分裂为个细胞（即死亡），...，有的概率分裂为个细胞.记事件：细胞最终灭绝，：细胞第一次分裂为个细胞.记该细胞第一次分裂后有个个体（分裂后的细胞互不影响），在概率论中，我们用的数学期望作为衡量生物灭绝可能性的依据，如果，则在理论上细胞就不会灭绝；相反，如果，则理论上我们认为细胞在足够多代的繁殖后会灭绝，而这两种情况在生物界中都是普遍存在的. （1）直接写出的数学期望. （2）用只含和的概率式表示并证明该细胞灭绝的概率为关于方程：的最小正实根. （3）若某种细胞发生基因突变，当时. （ⅰ）若当其分裂为两个细胞后，有一个细胞具有与原细胞相同的活力，而另一细胞则在此后丧失分裂为两个的能力（即只有可能分裂成个或个），求证：该细胞的灭绝是必然事件. （ⅱ）受某种辐射污染，若当其分裂为两个细胞后分裂生成的两个细胞此后均丧失分裂为个的能力，并等可能分裂为个或个细胞.我们称为“泛滥型细胞”，已知：，求出一个该种泛滥型细胞经过次分裂，得到个细胞的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2026届云南临沧地区中学高二6月阶段性教学水平诊断检测 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 从稻田中随机抽取7株水稻苗，测得苗高（单位：）分别是.则这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 24，25 B. 23，23 C. 23，24 D. 24，24 【答案】C 【解析】 【分析】把给定的数据组由小到大排列，再求出众数及中位数. 【详解】原数据组由小到大排列为：， 所以这组数据的众数和中位数分别是23，24. 故选：C 2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数代数形式的乘方、除法运算化简复数，再根据复数的几何意义判断即可. 【详解】因为， 所以，则复数对应的点为，位于第一象限. 故选：A． 3. 若集合，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 求出集合A，B，由此能求出A∩B． 【详解】∵集合A＝{1，3，5，7}， B＝{x|2x＞8}＝{x|x＞3}， ∴A∩B＝{5，7}． 故选：C． 【点睛】本题考查集合的基本运算，考查指数不等式、交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 4. 不等式 的解集是（ ） A B. 或 C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】将分式不等式化为整式不等式结合一元二次不等式计算即可. 【详解】由不等式得：且， 即且，解得或，故B正确. 故选：B 5. 在中，内角、、所对的边分别为，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理化简可得，计算可得，由正弦定理可得，代入可得答案. 【详解】由余弦定理得， 所以，所以，故． 由正弦定理，得， 故． 故选：B． 6. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，为的重心，且尚，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】利用抛物线定义将转化为横坐标与的方程，再由重心的坐标关系列出横坐标与的方程，解方程组即可求得的值. 【详解】由题：，设， 由抛物线定义知：， 又为的重心，所以，所以， 故选：B. 7. 已知等差数列的公差为，记数列的前项和为，则（ ） A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列的基本量的计算求得首项，由数列单调递增，可得前3项为负，计算可求得前8项和. 【详解】因为等差数列的公差为，所以，解得， 所以， 因，数列单调递增，所以数列前3项为负， 所以 . 故选：D. 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将切化弦，后用二倍角公式代入展开，解得，再根据平方关系结合的范围解得，最后将所求式子用和角公式展开并代值计算即可. 【详解】 从而 故选：D 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 数列的前项和为，若，则有（ ） A. B. 为等比数列 C. D. 为等比数列 【答案】AD 【解析】 【分析】BC选项，根据得到，从而得到BC错误；A选项，结合等比数列求和公式得到A正确；D选项，计算出，得到D正确. 【详解】BC选项，①，当时，， 当时，②，①-②得 ，故， 故从第二项开始，为公比为3的等比数列，B错误； 故，C错误； A选项，，A正确； D选项，，故为等比数列，D正确. 故选：AD 10. 已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（ ） A. B. 当时， C. 当且仅当 D. 是的极大值点 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，根据奇函数特点即可判断；对B，利用代入求解即可；对C，举反例即可；对D，直接求导，根据极大值点判定方法即可判断. 【详解】对A，因为定义在上奇函数，则，故A正确； 对B，当时，，则，故B正确； 对C，， 故C错误； 对D，当时，，则， 令，解得或（舍去）， 当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 则是极大值点，故D正确； 故选：ABD. 11. 已知双曲线的一条渐近线过点，为的右焦点，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线的离心率为 B. 曲线的渐近线方程为 C. 若到曲线的渐近线的距离为，则曲线的方程为 D. 设为坐标原点，若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据待定系数法，求出双曲线参数之间的关系，求出离心率和渐近线方程，判断A，B的正误，根据焦点到渐近线的距离为短轴长，求出双曲线的方程，再根据两点间的距离公式和双曲线的性质求出三角形的面积，判断C，D的正误. 【详解】由题意设双曲线的渐近线方程为，代入点， 解得，则双曲线的离心率，故A正确； 由得双曲线的渐近线方程为，即，故B错误； 若到渐近线的距离为，则，，则双曲线的方程为，故C正确； 设，则由，可得， 解得，三角形的面积，故D错误． 故选：AC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 向量，，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据向量数量积的坐标运算即可得到答案. 【详解】，则. 故答案为：1. 13. 已知函数在其定义域内的区间内有极值点，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】求导确定单调区间，求得极值点，结合区间构造不等式求解即可. 【详解】由，可知， ， 当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增， 存在唯一极值点2， 所以，解得：， 又，所以， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 14. 一个底面半径为，高为的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆柱与球的性质以及球的体积公式可求出球的半径； 【详解】 圆柱底面半径为，设铁球的半径为r，且， 由圆柱与球的性质知， 即，， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设函数． （Ⅰ）求函数的最小正周期和单调减区间； （Ⅱ）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，求函数在区间上的最小值． 【答案】（Ⅰ）函数的最小正周期为.函数的单调减区间为.（Ⅱ） ． 【解析】 【分析】（I）化简函数得到函数的最小正周期为. 由得，得到函数的单调减区间. （Ⅱ）由（Ⅰ）得．确定得到， 即得的取值范围． 【详解】（Ⅰ） ，所以函数的最小正周期为. 由得，所以函数的单调减区间为. （Ⅱ）由（Ⅰ）得 因为， 所以， 所以， 因此，即的取值范围为 16. 已知椭圆的离心率为，椭圆的面积为. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知直线与椭圆相交于，两点，且的面积为，求直线的方程. （注：椭圆的面积公式为） 【答案】（1） （2）和和和 【解析】 【分析】（1）根据椭圆面积及离心率列方程，解方程即可； （2）联立直线与椭圆，结合弦长公式与点到直线距离可得面积，即可得解. 【小问1详解】 因为椭圆面积，即， 离心率， 可解得，，， 所以椭圆的方程为：； 【小问2详解】 因为直线与椭圆相交于，两点， 所以可以联立方程，得 可得：，即 则 所以， 又因为原点到直线的距离， 所以， 计算可得或， 所以直线方程为和和和. 17. 如图，多面体是三棱台和四棱锥的组合体，底面四边形为菱形，，，为的中点，平面平面，． （1）证明：平面 （2）若平面与平面夹角的余弦值为，求三棱台的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定定理即可证明. （2）利用两个平面夹角的向量求法求出，再利用棱台的体积公式即可求得结果. 【小问1详解】 证明：连接，因为，平面，平面， 所以平面， 因为，，，， 所以，， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 因为，，平面， 所以平面平面，又平面， 所以平面； 【小问2详解】 因为平面平面， 平面平面，，平面， 所以平面， 取的中点，连接，，因为四边形为菱形，， 所以为等边三角形，所以， 又，所以， 所以，，两两垂直， 则以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，， 则，，，，， 所以，，，， 设平面的法向量为， 则即， 取，得， 故平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则即， 取，得， 故平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则 ，解得或舍，即， 因为的面积为， 的面积为， 所以三棱台的体积 ． 18. 已知函数，其中． （1）证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点； （2）设分别为在区间的极值点和零点. （i）设函数.证明：在区间单调递减； （ii）比较与的大小，并证明你的结论． 【答案】（1）证明见解析； （2）（i）证明见解析；（ii），证明见解析. 【解析】 【分析】（1）先由题意求得，接着构造函数，利用导数工具研究函数的单调性和函数值情况，从而得到函数的单调性，进而得证函数在区间上存在唯一极值点；再结合和时的正负情况即可得证在区间上存在唯一零点； （2）（i）由（1）和结合（1）中所得导函数计算得到，再结合得即可得证； （ii）由函数在区间上单调递减得到，再结合， 和函数的单调性以以及函数值的情况即可得证. 【小问1详解】 由题得， 因为，所以，设， 则在上恒成立，所以在上单调递减， ，令， 所以当时，，则；当时，，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在上存在唯一极值点， 对函数有在上恒成立， 所以在上单调递减， 所以在上恒成立， 又因为，时， 所以时， 所以存在唯一使得，即在上存在唯一零点. 【小问2详解】 （i）由（1）知，则，， ， 则 ， ， ， 即在上单调递减. （ii），证明如下： 由（i）知：函数在区间上单调递减， 所以即，又， 由（1）可知在上单调递减，，且对任意， 所以. 19. 生命的诞生与流逝是一个永恒的话题，就某种细胞而言，由该种细胞的一个个体进行分裂，分裂后成为新细胞而原细胞不复存在，多次分裂后，由该个细胞繁殖而来的全部细胞均死亡，我们称该细胞“灭绝”.现已知某种细胞有的概率分裂为个细胞（即死亡），...，有的概率分裂为个细胞.记事件：细胞最终灭绝，：细胞第一次分裂为个细胞.记该细胞第一次分裂后有个个体（分裂后的细胞互不影响），在概率论中，我们用的数学期望作为衡量生物灭绝可能性的依据，如果，则在理论上细胞就不会灭绝；相反，如果，则理论上我们认为细胞在足够多代的繁殖后会灭绝，而这两种情况在生物界中都是普遍存在的. （1）直接写出的数学期望. （2）用只含和的概率式表示并证明该细胞灭绝的概率为关于方程：的最小正实根. （3）若某种细胞发生基因突变，当时 （ⅰ）若当其分裂为两个细胞后，有一个细胞具有与原细胞相同活力，而另一细胞则在此后丧失分裂为两个的能力（即只有可能分裂成个或个），求证：该细胞的灭绝是必然事件. （ⅱ）受某种辐射污染，若当其分裂为两个细胞后分裂生成的两个细胞此后均丧失分裂为个的能力，并等可能分裂为个或个细胞.我们称为“泛滥型细胞”，已知：，求出一个该种泛滥型细胞经过次分裂，得到个细胞的概率. 【答案】（1） （2），，证明见解析 （3）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）对于求随机变量数学期望，根据数学期望的定义，是各个取值与其对应概率乘积的和. （2）在求事件A的概率表示时，需要用到全概率公式.对于证明灭绝概率是方程的根，要根据条件逐步推导. （3）对于证明细胞灭绝是必然事件，要根据新的分裂规则求出新的数学期望并判断.求经过n次分裂得到3个细胞的概率，需要根据分裂规则建立递推关系求解. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 ， 则：， ，由于分裂后细胞相互独立， . ， 所以：. 若能取到中的所有数，则令：，有：， 为该方程的一个实根，.， 由于的每一项在上均单调递增，故单调递增，. 由于，则：①当时，单调递减，，，故在，只有唯一零点， 这是原方程的最小正实根，符合的实际意义； ②当时，，故唯一使， 此时在单调递减，在单调递增且. 所以在有两个零点与，其中：.由于， 故，故，此时也取到原方程的最小正实根，符合的实际意义. 综上：该细胞灭绝的概率为关于方程：的最小正实根. 【小问3详解】 （ⅰ）由（2）可知：若一个细胞失去分裂为两个的能力，则灭绝概率， 故对该细胞母体：， ，解得：，该细胞的灭绝是必然事件. （ⅱ）由条件：， ， . 【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有两个，一是求解时，读懂题目，利用全概率的知识求解；二是求解的最值时，根据解析式的特点，利用导数和数列知识来求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$