第一章 第6课时 一元二次方程、不等式-【高考DNA解码】2026年高考数学一轮总复习学生用书word

多学科网书城四 品牌书店·知名教辅，正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 第6课时一元二次方程、不等式 [考试要求]1.能从实际情境中抽象出一元二次不等式.2.结合二次函数图 象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式.3.了解简单的 分式、绝对值不等式的解法， [链接教材·夯基固本] 落实主干·激活技能 。梳理·必备知识 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 项目 >0 4=0 <0 二次函数y=ar +bx+c(a>O)的图 象 0名主 有两个相等的实 有两个不相等的 方程ar2+br+c 数根x1=x2=一 实 数 根 没有实数根 =0(a>0)的根 x1,x2(x<) 20 ax2+bx+ b 2a R c>0(a>0)的解集 ax2+bx+ c<0(a>0)的解集 提醒：解集的端点是二次函数的零点，也是对应一元二次方程的根】 [常用结论] 1.分式不等式的解法 0) 9x >0(<0)台f(x)·gx)P0(<0): 2+ ≥0（≤0） fxgx≥0s0, gx gx≠0. 2.绝对值不等式 xpa(a>0)的解集为(-∞，一aU(a,+∞)： x水a(a>0)的解集为(-a,a). 记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间. 3.不等式ax2+br十c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数确定. 1/5 独家授权侵权必究 多学科网书城四 品牌书店·知名教辅，正版资源 b.ZxxK.C0m● 您身边的互联网+教辅专家 (I)不等式ar2十bx十c>0对任意实数x恒成立e a=b=0, a>0, c>0 20: (2)不等式ar2+bx+c<0对任意实数x恒成立一 a=b=0, c<0 20. a<0, >激活·基本技能 一、易错易混辨析（正确的打“√”，错误的打“×”） (1)若不等式a2+br十c<0的解集为(1，x2),则必有a>0. () (2)若不等式ar2+br十c>0的解集是（一∞，x)U(r2,十∞），则方程ax2+br十c =0的两个根是：和2. () (8)-80等价于-0e一b≥0. () (4)若ax2+bxr+c>0恒成立，则a>0且4<0. () 二、教材经典衍生 1.(人教A版必修第一册P:练习T)改编)不等式(x一1)(3一x)>0的解集为( ) A.{xx<1 B.{xr>3} C.{x1<x<3} D.{x<1或>3} 2.(人教A版必修第一册Ps5习题2.3T3改编)已知集合A={xr≤25}，B= 则A∩B=() A.(-∞，-5] B.[-5,-1) C.[-5,-1]U[5,7) D.[-5,-1] 3.(人教A版必修第一册Psx复习参考题2T6改编)若不等式ax2+ar十a十3≥0在 R上恒成立，则实数a的取值范围是 4.(人教A版必修第一册P55练习T2改编)如图，在长为12m,宽为10m的矩 形地面的四周种植花卉，中间种植草坪.如果要求花卉带的宽度相同，且草坪 2 面积不超过总面积的；，那么花卉带的宽度的取值范围是 (单位：m). 花卉带 花 花 草坪 带 带 花卉带 2/5 独家授权侵权必究 多学科网书城四 品牌书店，知名教辅·正版资源 b.ZxxK.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 [典例精研·核心考点] 重难解卷·直击高考 口考点一一元二次不等式的解法及“三个二次”之间的关系 [典例1](1)若关于x的不等式a2+bx十c>0的解集为（一2,4），则不等式 ax+C≤0的解集为 bx-c (2)不等式0<x2-x-2≤4的解集为 [听课记录1 名师点评解一元二次不等式的一般方法和步骤 (1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式 (2)判：计算对应方程的判别式，根据判别式判断方程有没有实根.（无实根时， 不等式的解集为R或☑) (3)求：求出对应的一元二次方程的根，（解集的端点对应方程的根） (④)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集 「跟进训练] 1.(1)2024·浙江绍兴三模)若关于x的不等式x2+mx+>0的解集为{xr≠1且 x≠2}，则() A.m=3,n=2 B.m=-3,n=2 C.m=3,n=-2 D.m=-3,n=-2 (2)(多选)(2025·江苏常州模拟)已知关于x的不等式ax2+bx+c≤0的解集为{x x≤一2或x≥3}，则下列说法正确的是() A.a<0 B.ar十c>0的解集为xx<6 C.8a+4b+3c<0 D.cx2+br+a<0的解集为 考点二含参数的一元二次不等式的解法 3/5 独家授权侵权必究 多学科网书城四 品牌书店，知名教辅·正版资源 b.ZxxK.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 [典例2]解关于x的不等式a2-(a+1)x+1<0(a>0). [听课记录1 [拓展变式]在本例中，把“a>0”改成“a∈R”,解不等式. [听课记录] 名师点评 解含参数的一元二次不等式的步骤 若二次项系数含有参数，应讨论 讨论二次 是等于0，小于0，还是大于0，然 项系数 后将不等式转化为二次项系数为 正的形式 判断方程 判断方程的根的个数，讨论判别式 根的个数 4与0的关系 确定无根时可直接写出解集，确定 写出解集 方程有两个极时，要讨论两根的大 小关系，从而确定解集 [跟进训练] 2.解关于x的不等式x2+ax+1<0(a∈R). 口考点三一元二次不等式恒成立问题 [典例3】()若关于x的不等式(a-2)r2+2(a-2)x-4<0对一切实数x恒成立， 则实数a的取值范围是( ) 4/5 独家授权侵权必究 多学科网书城四 品牌书店·知名教辅，正版资源 b.zxxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 A.(-∞，2] B.(-∞，-2) C.(-2,2) D.(-2,2] (2)若不等式a2-x十a>0对任意的x∈(1，+∞)恒成立，则实数a的取值范围为 一避多解 (3)若va∈[-1,3]，a2-(2a-1)x十3一a≥0恒成立，则实数x的取值范围为 [听课记录] [拓展变式]本例(2)变为：若x∈[m,m+1]时，满足x2+mx一1<0，求实数m 的取值范围。 名师点评 恒成立问题求参数的取值范围的解题策略 (1)弄清楚自变量、参数.一般情况下，求谁的取值范围，谁就是参数. (2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式4；一元二次不等式在给定区间 上恒成立，不能用判别式4，一般分离参数求最值或分类讨论， (3)特别注意对二次项系数为0的讨论，因为不等式不一定为一元二次不等式. [跟进训练] 3.若不等式sin2x-a sinx+2≥0对任意的x∈0， 2 恒成立，则实数a的取值 范围是 提示请完成《课后作业（六）》 见第297页 55 独家授权侵权必究 第6课时　一元二次方程、不等式 梳理·必备知识 {x|x<x1或x>x2}　{x|x1<x<x2}　⌀　⌀ 激活·基本技能 一、(1)√　(2)√　(3)×　(4)× 二、1．C　[不等式(x－1)(3－x)>0可化为(x－1)(x－3)<0，由方程(x－1)(x－3)＝0，可得方程的两根为x1＝1，x2＝3，结合一元二次不等式的解法，可得不等式(x－1)(x－3)<0的解集为{x|1<x<3}，故选C.] 2.D　[因为x2≤25，所以集合A＝{x|－5≤x≤5}. 因为≥0，则解得x>7或x≤－1，所以集合B＝{x|x>7或x≤－1}.所以A∩B＝[－5，－1].故选D.] 3.{a|a≥0}　[当a＝0时，不等式为3>0，满足题意; 当a≠0时，需满足解得a>0，综上可得，a的取值范围为{a|a≥0}.] 4．　[设花卉带的宽度为x m， 则所以0<x<5，因为草坪面积不超过总面积的，所以(12－2x)(10－2x)≤×12×10，解得1≤x<5，所以花卉带的宽度的取值范围是[1，5).] 考点一 典例1　(1)(－∞，4)∪[8，＋∞)　(2){x|－2≤x<－1或2<x≤3}　[(1)因为ax2＋bx＋c>0的解集为(－2，4)，则a<0，且对应方程的根为－2和4， 所以－＝－2＋4＝2，＝－2×4＝－8，且a<0， 不等式≤0可化为≤0，则≤0，即≤0， 解得x<4或x≥8. (2)原不等式等价于 即 故原不等式的解集为{x|－2≤x<－1或2<x≤3}.] 跟进训练 1.(1)B　(2)ABD　[(1)由已知可得1，2为方程x2＋mx＋n＝0的根， 由根与系数的关系可得故选B. (2)关于x的不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为， 故a<0，且 整理得到b＝－a，c＝－6a. 对于A， a<0，正确; 对于B，ax＋c>0，即a(x－6)>0，解得x<6，正确; 对于C，8a＋4b＋3c＝8a－4a－18a＝－14a>0，错误; 对于D，cx2＋bx＋a<0，即－6ax2－ax＋a<0，即6x2＋x－1<0，解得－<x<，正确. 故选ABD.] 考点二 典例2　解：原不等式变为(ax－1)(x－1)<0， 因为a>0，所以(x－1)<0． 所以当a>1时，解得<x<1； 当a＝1时，解集为∅； 当0<a<1时，解得1<x<． 综上，当0<a<1时，不等式的解集为x； 当a＝1时，不等式的解集为∅； 当a>1时，不等式的解集为． 拓展变式 解：当a>0时，同典例2解析； 当a＝0时，原不等式等价于－x＋1<0，即x>1； 当a<0时，<1，原不等式可化为(x－1)>0， 解得x>1或x<． 综上，当0<a<1时，不等式的解集为， 当a＝1时，不等式的解集为∅， 当a>1时，不等式的解集为， 当a＝0时，不等式的解集为{x|x>1}， 当a<0时，不等式的解集为． 跟进训练 2. 解：Δ＝a2－4. ①当Δ＝a2－4≤0，即－2≤a≤2时，原不等式的解集为⌀. ②当Δ＝a2－4>0，即a>2或a<－2时，方程x2＋ax＋1＝0的两根为x1＝，x2＝， 则原不等式的解集为 . 综上所述，当－2≤a≤2时，原不等式的解集为⌀; 当a>2或a<－2时，原不等式的解集为 . 考点三 典例3　(1)D　(2)　(3)[－1，0]∪　[(1)当a＝2时，不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0可化为－4<0，恒成立;当a≠2时，要使关于x的不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切实数x恒成立，只需 解得－2<a<2.故－2<a≤2.故选D. (2)法一(函数法)：当a＝0时，原不等式可化为x<0，易知不合题意;当a≠0时，令f(x)＝ax2－x＋a，要满足题意， 需 解得a≥， 所以实数a的取值范围是. 法二(分离变量法)：ax2－x＋a>0⇔ax2＋a>x⇔a>.因为x∈(1，＋∞)，<，所以a≥. (3)(变更主元法)把不等式的左端看成关于a的函数，令g(a)＝ax2－2ax＋x＋3－a＝(x2－2x－1)a＋x＋3≥0，则由g(a)≥0对于任意的a∈[－1，3]恒成立，得 解得所以实数x的取值范围为[－1，0]∪.] 拓展变式 解：设f(x)＝x2＋mx－1，则 即 化简得 解得所以－<m<0. 则实数m的取值范围为. 跟进训练 3．(－∞，3]　[设t＝sin x，∵x∈，∴t∈(0，1]，则不等式sin2x－asin x＋2≥0对任意的x∈恒成立，即不等式t2－at＋2≥0对任意的t∈(0，1]恒成立，即a≤＝t＋对任意的t∈(0，1]恒成立.由对勾函数知y＝t＋在t∈(0，1]上单调递减，则ymin＝1＋＝3，∴a≤3.] 学科网（北京）股份有限公司 $$