第一章 第5课时 基本不等式的综合应用-【高考DNA解码】2026年高考数学一轮总复习学生用书word

第5课时　基本不等式的综合应用 [考试要求]　1．会求与基本不等式有关的恒(能)成立问题．2．理解基本不等式在实际问题中的应用．3．掌握基本不等式在其他知识中的应用． 考点一　利用基本不等式求参数的值或范围 [典例1]　(1)(2025·山东滨州模拟)若不等式x2－ax＋4≥0对任意x∈[1，3]恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A． C． (2)若正实数x，y满足x＋y＝1，且不等式<m2＋m有解，则实数m的取值范围是________． [听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 　对于不等式恒(能)成立问题可利用分离参数法，把问题转化为利用基本不等式求最值． (1)∃x∈M，使得f (x)≥a，等价于f (x)max≥a； (2)∃x∈M，使得f (x)≤a，等价于f (x)min≤a； (3)∀x∈M，使得f (x)≥a，等价于f (x)min≥a； (4)∀x∈M，使得f (x)≤a，等价于f (x)max≤a． [跟进训练] 1．(1)若对于任意的x>0，不等式≥a恒成立，则实数a的取值范围为(　　) A．[5，＋∞) B．(5，＋∞) C．(－∞，5] D．(－∞，5) (2)若存在x∈[1，3]，使不等式x2－2ax＋a＋2≤0成立，则a的取值范围为________． 考点二　基本不等式的常见变形应用 [典例2]　(多选)(2025·湖北咸宁模拟)设正实数a，b满足a＋b＝1，则(　　) A．有最大值 B．有最小值3 C．a2＋b2有最小值 D．有最大值 [听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 　基本不等式的常见变形 (1)ab≤(a∈R，b∈R)． (2)(a>0，b>0)． [跟进训练] 2．(1)(多选)(2022·新高考Ⅱ卷)若实数x，y满足x2＋y2－xy＝1，则(　　) A．x＋y≤1 B．x＋y≥－2 C．x2＋y2≤2 D．x2＋y2≥1 (2)当＜x＜时，函数y＝的最大值为________． 考点三　基本不等式的实际应用 [典例3]　某水产公司拟在养殖室修建三个形状、大小完全相同的长方体育苗池，其平面图如图所示．每个育苗池的底面面积为200 m2，深度为2 m，育苗池的四周均设计为2 m宽的甬路．设育苗池底面的一条边长为x m(10≤x≤20)，甬路的面积为S m2． (1)求S与x之间的函数关系式； (2)已知育苗池四壁的造价为200元/m2，池底的造价为600元/m2，甬路的造价为100元/m2，若不考虑其他费用，求x为何值时，总造价最低，并求最低总造价． [听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 　利用基本不等式解决实际问题的注意点 (1)设变量时，一般把求最大值或最小值的变量定义为函数． (2)解题时，一定要注意变量的实际意义对变量取值范围的影响． (3)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解，如利用f (x)＝x＋(a＞0)的单调性． (4)在实际问题中利用基本不等式求最值时，必须指明等号成立的条件． [跟进训练] 3．(1)单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，“道路容量”与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关．假设某条道路1 h通过的车辆数N满足关系N＝，其中d0(单位：m)为安全距离，v(单位：m/s)为车速．当安全距离d0取30 m时，该道路1 h“道路容量”的最大值约为(　　) A．135　　 B．149　　 C．165　　 D．195 _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ (2)(2025·湖南长沙模拟)快递公司计划在某货运枢纽附近投资配建货物分拣中心．假定每月的土地租金成本与分拣中心到货运枢纽的距离成反比，每月的货物运输成本与分拣中心到货运枢纽的距离成正比．经测算，如果在距离货运枢纽10 km处配建分拣中心，则每月的土地租金成本和货物运输成本分别为2万元和8万元．要使得两项成本之和最小，分拣中心和货运枢纽的距离应设置为(　　) A．5 km B．6 km C．7 km D．8 km _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 4/4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第5课时　基本不等式的综合应用 考点一 典例1　(1)B　(2)m<－3或m>　[(1)不等式x2－ax＋4≥0对任意x∈恒成立，则∀x∈，a≤x＋成立， 而x＋≥2＝4，当且仅当x＝，即x＝2时取等号，因此a≤4， 所以实数a的取值范围是.故选B. (2)因为x＋y＝1，所以＝1，所以＝2＋≥＋2，当且仅当时，等号成立，因为x＋y＝1，所以此时x＝，y＝，所以，由题可得m2＋m>，解得m<－3或m>.] 跟进训练 1.(1)C　(2)[2，＋∞)　[(1)令f(x)＝， 由题意可得a≤f(x)min， f(x)＝x＋＋3≥2＋3＝5， 当且仅当x＝，即x＝1时等号成立， a≤f(x)min＝5， 所以实数a的取值范围为(－∞，5]. (2)由x2－2ax＋a＋2≤0⇒x2＋2≤a(2x－1)， 因为x∈，所以2x－1∈， 令t＝2x－1∈，x＝， 由x2＋2≤a(2x－1)⇒a≥， 则有g(t)＝≥＝2，当且仅当t＝，即t＝3时，等号成立，所以a≥g(t)min＝2.] 考点二 典例2　ACD　[对于A，由基本不等式可得，当且仅当a＝b＝时，等号成立，A正确; 对于B，∵a＋b＝1，∴3a＋3b＝3，即(a＋2b)＋(2a＋b)＝3，∴[(a＋2b)＋(2a＋b)]＝≥，当且仅当，即a＝b＝时等号成立，B错误; 对于C，由≥，得a2＋b2≥，当且仅当a＝b＝时等号成立，C正确; 对于D，由，得，当且仅当a＝b＝时等号成立，D正确.故选ACD.] 跟进训练 2．(1)BC　(2)2　[(1)由x2＋y2－xy＝1，可得(x＋y)2－3xy＝1，而xy≤， 即1＝(x＋y)2－3xy≥(x＋y)2－， ∴(x＋y)2≤4，∴－2≤x＋y≤2，故A错误，B正确; 由x2＋y2－xy＝1，得x2＋y2－1＝xy≤， ∴x2＋y2≤2，故C正确，对于D选项，当x＝，y＝－时，满足题设条件，但x2＋y2＝，D错误.故选BC. (2)法一：由，得a＋b≤2，则y＝ ≤2＝2， 当且仅当，即x＝时等号成立. 法二：∵y＝>0，∴y2＝2x－1＋5－2x＋2＝4＋2≤4＋4＝8.当且仅当2x－1＝5－2x，即x＝时等号成立，∴y≤2.即函数y＝的最大值为2.] 考点三 典例3　解：(1)由题意可得每个育苗池底面的另一边长为 m， 则S＝(x＋4)－600＝8x＋＋32，10≤x≤20. (2)设总造价为w元，则w＝200×2＋600×3×200＋100S ＝2 400x＋＋360 000＋800x＋＋3 200 ＝3 200x＋＋363 200，10≤x≤20， 其中3 200x＋≥2＝96 000， 当且仅当3 200x＝，即x＝15∈时，等号成立，故w＝3 200x＋＋363 200≥459 200， 所以当x＝15 m时，总造价最低，最低总造价为459 200元. 跟进训练 3．(1)B　(2)A　[(1)由题意得， N＝≤≈149，当且仅当0.3v＝，即v＝10时取“＝”，所以该道路1 h“道路容量”的最大值约为149.故选B. (2)设土地租金成本和货物运输成本分别为W1万元和W2万元，分拣中心和货运枢纽相距s km， 则W1＝，W2＝k2s，将s＝10，W1＝2，W2＝8代入可得k1＝20，k2＝， 所以W1＝，W2＝s， 故W1＋W2＝s≥2＝8，当且仅当s＝5时取等号.故选A.] 学科网（北京）股份有限公司 $$