第一章 第4课时 基本不等式-【高考DNA解码】2026年高考数学一轮总复习学生用书word

第4课时　基本不等式 梳理·必备知识 1．(1)a>0，b>0　(2)a＝b　(3) 2．(1)2　(2) 激活·基本技能 一、(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 二、1.C　[因为x＞0，y＞0，所以xy≤＝81，当且仅当x＝y＝9时，等号成立．故选C.] 2．D　[∵x>2，∴x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝，即x＝3时，等号成立．故选D.] 3．BC　[当<0时，A不成立；当ab<0时，D不成立．由a2＋b2≥2ab，得ab≤，B正确；＝≥0，则，C正确，故选BC.] 4．[9，＋∞)　[6，＋∞)　[由x>0，y>0，则xy＝x＋y＋3可化为 xy－3＝x＋y≥2，即－2－3≥0， 解得≤－1(舍去)或≥3， 当且仅当x＝y＝3时取“＝”，故xy的取值范围是[9，＋∞)． 又x＋y＋3＝xy≤， ∴(x＋y)2－4(x＋y)－12≥0， 解得x＋y≤－2(舍去)或x＋y≥6， 当且仅当x＝y＝3时取“＝”，故x＋y的取值范围是[6，＋∞)．] 考点一 典例1　(1)C　(2)AB　[(1)由题意得，a>0，b>0，则ab>0, a＋2b＝1≥2，即0<ab≤，当且仅当a＝2b，即a＝，b＝时等号成立．故选C. (2)A项，y＝x2＋2x＋3＝＋2≥2，故A正确； B项，在y＝中，|sin x|>0，所以y＝|sin x|＋≥2＝2，当且仅当|sin x|2＝1时，等号成立，故B正确； C项，2x>0，21-x>0，故y＝2x＋21-x＝2x＋≥2＝2，当且仅当＝2，即x＝时等号成立，C错误； D项，x>0，ln x∈R，故D错误． 故选AB.] 跟进训练 1．(1)B　(2)D　(3)2　[(1)由题意得，6＝4a2＋b2＝＋b2≥2·2a·b，即ab≤，当且仅当2a＝b，即a＝，b＝或a＝－，b＝－时等号成立，所以ab的最大值为.故选B. (2)因为0<x<2，所以x2>0，4－x2>0， 故x2＝4，当且仅当x2＝4－x2， 即x＝时，等号成立，故x2的最大值为4.故选D. (3)由于2x>0，4y>0，所以2x＋4y≥2＝2＝2，当且仅当x＝2y＝时等号成立．] 考点二 典例2　(1)C　(2)　[(1)因为x<，故3x－2<0，f＝3x＋1＋＝3x－2＋＋3＝－＋3 ≤－2＋3＝－3， 当且仅当－＝，即x＝－时取等号，即f(x)＝3x＋1＋有最大值－3.故选C. (2)∵0＜x＜，∴1－2x2＞0，x＝＝ ≤＝. 当且仅当2x2＝1－2x2， 即x＝时等号成立．] 跟进训练 2．(1)C　(2)2＋2　2＋　[(1)由已知得x>2， 所以f＝＝＝≥2， 当且仅当＝，即x＝4时等号成立， 则f的最小值为2.故选C. (2)＝＝＋2≥2＋2＝2＋2， 当且仅当＝3y2，即x＝y时，等号成立．此时＝2＋.] 考点三 典例3　C　[因为x＋y＝1，则＝＝＝， 由于＝＝＋3＋2＋＝＋5≥2＋5＝2＋5， 当且仅当即 时，等号成立， 所以的最小值为2＋5.故选C.] 跟进训练 3．(1)72　(2)　[(1)∵8a＋4b＝ab，a>0，b>0，∴＝1， ∴8a＋b＝(8a＋b) ＝＋40≥2＋40＝72， 当且仅当＝，即a＝6，b＝24时取等号． (2)由a＋2b＝3得(a＋1)＋2b＝4， 于是＝ ＝ ≥＝， 当且仅当＝，且a>0，b>0， 即a＝，b＝时，等号成立．所以的最小值为.] 考点四 典例4　(1)A　(2)　[(1)由x2－2xy＋2＝0可得y＝， ∴x＋y＝x＋＝≥2＝， 当且仅当＝，即x＝时，等号成立，此时y＝>0符合题意． 所以x＋y的最小值为.故选A. (2)令＝x，＝y， 则x>0，y>0，a＝，b＝，x＋2y＝1， 所以x＋1＋2y＋2＝4， 所以＝＝＝3－＝3－＝3－ ≤3－＝， 当且仅当x＝，y＝，即a＝4，b＝2时等号成立．] 跟进训练 4．(1)C　(2)　[(1)因为xy＋x－2y＝4，故(y＋1)x＝4＋2y， 即x＝＝2＋， 故2x＋y＝4＋＋y＋1－1≥4＋2－1＝7，当且仅当＝y＋1，即x＝3，y＝1时取等号．故选C. (2)令a＝m＋1，b＝n＋2，则a＋b＝5，且1<a<3，2<b<4， 又＝＋1， 而＝＝＝， 当且仅当a＝b＝时等号成立， 故的最小值为.] 学科网（北京）股份有限公司 $$多学科网书城四 品牌书店·知名教辅，正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 第4课时 基本不等式 [考试要求]1.了解基本不等式的推导过程，2.会用基本不等式解决简单的 最值问题。 [链接教材·夯基固本灯 落实主干·激活技能 。梳理·必备知识 L.基本不等式：ab≤a+也 2 (1)基本不等式成立的条件： (2)等号成立的条件：当且仅当 时取等号 (3)其中，叫做正数a,b的算术平均数，叫做正数a,b的几何平均数. 2.利用基本不等式求最值 己知x>0,>0,则 (I)x十y≥2xy,若y等于定值p,那么当且仅当x=y时，x十y有最小值（简记： 积定和最小). 2≤生，若x+y等于定值g那么当且仅当=y时，可有最大值简记： 和定积最大). 提醒：利用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正、二定、三相等”· [常用结论] 几个重要的不等式 1a2+b≥2aba,b∈R: 22+9≥2a,b同号且均不为零： a b 3jabs a+b2 a,b∈R: 当且仅当a=b时等号成立. 2 4a+bsatb a,b∈R·/ 2 >激活·基本技能 一、易错易混辨析（正确的打“√”，错误的打“×”） （0两个不等式a+≥2ab与生≥0西成立的条件是相同的。 1/6 独家授权侵权必究 学科网书城四 品牌书店·知名教辅，正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 (2)若a>0,则d+2的最小值为2a. () 4 (3)函数f(x)=sinx sinx'x∈(0，)的最小值为4. ④“x>0且>0”是“+出≥2”的充要条件. () y X 二、教材经典衍生 1.(人教A版必修第一册P4s例2改编)设x>0,y>0,且x十y=18,则y的最 大值为() A.80 B.77 C.81 D.82 2.(人教A版必修第一册P习题22Tm威编)已知o2,则+2的最小值是( ) A.1 B.2 C.22 D.4 3.(多选)（人教A版必修第一册P6练习T2改编）若a,b∈R,则下列不等式成立 的是( B.abs+b2 2 C.a'tb/atbp D. 2 2 2absRab a+b 4.(人教A版必修第一册Psg复习参考题2T5改编)若x>0,y>0,且y=x十y十 3,则y的取值范围是 ,x十y的取值范围是 [典例精研·核心考点] 重难解惑·直击高考 D考点一直接用基本不等式求和或积的最值 26 独家授权侵权必究 多学科网书城四 品牌书店·知名教辅，正版资源 52 xxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 [典例1](1)(2025·湖北武汉模拟)已知正数a,b满足a十2b=1,则() Ab≥活 B.br月 c.0cab≤日 D.0cabc日 (2)(多选)下列函数中最小值为2的是( A.y=x2+2x+3 B.y=sinx+1 sinx C.y=2+2w D.y=Inx+Inx [听课记录] 名师点评 利用基本不等式求最值的原则及注意点 (1)原则：积定和最小，和定积最大： (2)注意点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值， 求积式最大值时应使和为定值：三是考虑等号成立的条件是否具备· [跟进训练] 1.(1)已知4a2+b2=6,则ab的最大值为() A B. 3 C.2 D.3 (2)(人教A版必修第一册P6练习T4改编)己知0<<2，则x4-x的最大值为( ) A.8 B.16 C.2 D.4 (3)已知x>0,y>0,且x+2y=1,则2+4的最小值是 D考点二配凑法求最值 3/6 独家授权侵权必究 多学科网书城四 品牌书店·知名教辅，正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [典例2] 9 (喏子则函数f)=3x+1+3X-2有( ) A.最大值0 B.最小值9 C.最大值一3 D.最小值-3 2 2)已知0<x<2, 则x1-2x的最大值为 [听课记录] 名师点评 常见的配凑法求最值模型 （0)模型一：mx+”≥2mm0,mP0,x>0,当且仅当x=时等号成立： X (2)模型二：mr十 x-0 =m(x-a)+n x-0 +ma22mn+ma(m>0,n>0,x>a), 当且仅当x一a=”时等号成立， m 提醒：常用配凑手段有添加项、拆项、调整参数、分离参数等. [跟进训练] X 2.(12024·河北唐山一模)已知函数fx=x一2则fx的最小值为 ) A.0 B.2 C.22 D.3 22025·湖南长沙模拟诺实数20，则，3)+的最小值为 x-2y y ，此 时X= D考点三常数代换法 [典例3](2025·江西重点高中联考)己知x,y为正实数，且x+y=1,则 x+2y+1的最小值为( y 4/6 独家授权侵权必究· 多学科网书城四 品牌书店·知名教辅，正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 A.22+1 B.22-1 C.26+5 D.2V6-5 [听课记录] 名师点评 “1”的妙用 ()乘“1”法是指凑出1，利用乘“1”后值不变这个性质，使不等式通过变形 后达到运用基本不等式的条件，即积为定值.主要解决形如“已知x十y=(t为 单零有数。术号号的最雀”的问题，先格号我化为侵引兴，秀用卷本 不等式求最值， (2)常数“1”的代换，即把求解目标中的常数代数化，化为形如求“Y+的 x y 最值”问题，进而可以使用基本不等式达到解题的目的， [跟进训练] 3.(1)已知正数a,b满足8a十4b=ab,则8a+b的最小值为 ②已知正数a,b满足a+2b=,则g+号的最小值为 考点四换元、消元法求最值 [典例4(1)(2024·浙江嘉兴二模)若正数x,y满足x2-2y+2=0,则x+y的 最小值是( A.6 B. 6 2 C.22 D.2 [听课记录] 5/6 独家授权侵权必究 多学科网书城四 品牌书店，知名教辅·正版资源 5 ZXXK.C0m● 您身边的互联网+教辅专家 名师点评 当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去 部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式 求最值. [跟进训练] 4.(1)已知x>0,>0,且y十x一2y=4,则2x+y的最小值是() A.4 B.5 C.7 D.9 (22025·山东省实验中学模拟)设m,n为正数，且m十n=2,则1+n+3 m+7tn+2的 最小值为 提示〉请完成《课后作业（四）》 见第294页 5/6 ·独家授权侵权必究·