第一章 第2课时 常用逻辑用语-【高考DNA解码】2026年高考数学一轮总复习学生用书word

第2课时　常用逻辑用语 [考试要求]　1．理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系．2．理解全称量词和存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定． 1．充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的____条件，q是p的____条件 p是q的__________条件 p⇒q且qp p是q的必要不充分条件 ________ p是q的充要条件 ____ p是q的________________条件 pq且qp 提醒：p是q的充分不必要条件(p⇒q且qp)，与p的充分不必要条件是q(q⇒p且pq)两者是不同的． 2．全称量词与存在量词 (1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“__”表示． (2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“__”表示． 3．全称量词命题和存在量词命题 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对M中任意一个x，p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立 简记 ______________ ______________ 否定 ________________ ________________ 提醒：含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”． [常用结论] 设p，q成立的对象构成的集合分别为A，B． (1)p是q的充分不必要条件⇔AB； (2)p是q的必要不充分条件⇔AB； (3)p是q的充要条件⇔A＝B； (4)p是q的既不充分也不必要条件⇔A与B没有包含关系． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当p是q的充分条件时，q是p的必要条件． (　　) (2)“x>1”是“x>0”的充分不必要条件． (　　) (3)“三角形的内角和为180°”是存在量词命题． (　　) (4)写全称量词命题的否定时，全称量词变为存在量词． (　　) 二、教材经典衍生 1．(人教A版必修第一册P31练习T1改编)已知命题p：∀n∈N*，n2>n－1，则命题p的否定为(　　) A．∀n∈N*，n2≤n－1　 B．∀n∈N*，n2<n－1 C．∃n∈N*，n2≤n－1 D．∃n∈N*，n2<n－1 2．(人教A版必修第一册P34复习参考题1T5改编)对任意实数a，b，c，在下列命题中，是真命题的为(　　) A．“ac＞bc”是“a＞b”的必要条件 B．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件 C．“ac＞bc”是“a＞b”的充分条件 D．“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件 3．(多选)(人教A版必修第一册P30例4(1)改编)已知命题p：∀x∈R，x＋2≤0，则下列说法正确的是(　　) A．p是真命题 B．¬p：∀x∈R，x＋2>0 C．¬p是真命题 D．¬p：∃x∈R，x＋2>0 4．(人教B版必修第一册P38习题1－2BT5改编)已知A＝(－∞，a]，B＝(－∞，3)，且x∈A是x∈B的必要不充分条件，则实数a的取值范围为________． 考点一　充分、必要条件 　充分、必要条件的判定 [典例1]　(多选)下列命题为真命题的是(　　) A．“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件 B．“a>b”是“<”的充要条件 C．若P，Q为非空集合，“a∈P∩Q”是“a∈P”的充分不必要条件 D．“x或y为有理数”是“xy为有理数”的既不充分也不必要条件 [听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 　充分、必要条件的探求 [典例2]　(1) “ln (x＋1)<0”的一个必要不充分条件是(　　) A．－1<x<－　　　　　 B．x>0 C．－1<x<0 D．x<0 (2)(多选)ab＋b－a－1＝0的一个充分不必要条件可以是(　　) A．a＝－1 B．a＝b C．b＝1 D．ab＝1 [听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 　充分、必要条件的应用 [典例3]　请在“①充分不必要；②必要不充分；③充要”中任选一个，将序号补充在横线处，并解答． 已知集合A＝，B＝，且x∈A是x∈B的________条件，判断实数m的值是否存在，若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由． [听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 　(1)充分条件、必要条件的判定方法：定义法、集合法． (2)探求充分条件、必要条件要分清题干的条件和结论，如“p的充分条件是q”等价于“q⇒p是真命题”． (3)应用集合之间的关系解答充分条件、必要条件求参数问题时需注意区间端点值的检验． [跟进训练] 1．(1)(2025·山西朔州模拟)设a，b∈R，则“a<1且b<1”是“a＋b<2”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 (2)(多选)(2024·山西太原模拟)已知关于x的方程x2＋ax＋a＋3＝0，则(　　) A．当a＝2时，方程有两个不相等的实数根 B．方程无实数根的一个充分条件是－2<a<4 C．方程有两个不相等的负根的充要条件是a>6 D．方程有一个正根和一个负根的充要条件是a<－4 (3)(2025·浙江台州模拟)若集合A＝{x|x＞2}，B＝{x|bx＞1}，其中b为实数． ①若x∈A是x∈B的充要条件，则b＝________； ②若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则b的取值范围是________． 考点二　全称量词与存在量词 　含量词命题的否定 [典例4]　(1)命题p的否定为“∃x<0，使得x＋2>2x”，则命题p为(　　) A．∀x<0，x＋2>2x B．∃x≥0，使得x＋2>2x C．∀x<0，x＋2≤2x D．∃x≥0，使得x＋2≤2x (2)命题“素数的立方是素数”的否定是________． [听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 　含量词命题的真假判断 [典例5]　(2024·新高考Ⅱ卷)已知命题p：∀x∈R，|x＋1|>1；命题q：∃x>0，x3＝x，则(　　) A．p和q都是真命题 B．¬p和q都是真命题 C．p和¬q都是真命题 D．¬p和¬q都是真命题 [听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 　含量词命题的应用 [典例6]　若命题p：“∃x∈R，x2－mx－m≤0”为假命题，则实数m的取值范围是________． [听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 　含量词命题的解题策略 (1)要判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可．当一个命题的真假不易判断时，可以先判断其否定的真假． (2)由命题真假求参数的取值范围，一是直接由命题的真假求参数的取值范围；二是利用等价转化，根据命题与命题的否定之间的关系求参数的取值范围． (3)全称量词命题对应恒成立，存在量词命题对应能成立． [跟进训练] 2．(1)命题p：∀a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0有实根，则对命题p的真假判断和¬p正确的为(　　) A．真命题，¬p：∃a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0无实根 B．假命题，¬p：∃a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0无实根 C．真命题，¬p：∃a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0有实根 D．假命题，¬p：∃a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0有实根 (2)若命题“∃x∈，使λx2＋x－2>0成立”的否定是真命题，则实数λ的取值范围是________． 6/6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2课时　常用逻辑用语 梳理·必备知识 1．充分　必要　充分不必要　pDq且q⇒p p⇔q　既不充分也不必要 2．(1)∀　(2)∃ 3．∀x∈M，p(x)　∃x∈M，p(x)　∃x∈M，¬p(x)　∀x∈M，¬p(x) 激活·基本技能 一、(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 二、1．C　[由全称量词命题的否定为存在量词命题可得命题p：∀n∈N*，n2>n－1的否定¬p为“∃n∈N*，n2≤n－1”．故选C．] 2．B　[因为⇒a＞b，⇒a＜b，所以ac＞bca＞b，而由a＞bac＞bc，所以“ac＞bc”是“a＞b”的既不充分也不必要条件，故A，C错误．又⇒a＝b，a＝b，所以由ac＝bca＝b，由a＝b⇒ac＝bc，所以“ac＝bc”是“a＝b”的必要不充分条件，故B正确，D错误．故选B．] 3．CD　[当x＝0时，x＋2≤0不成立，故p是假命题，故A错误；由含量词命题的否定可知，p：∀x∈R，x＋2≤0的否定为¬p：∃x∈R，x＋2>0，故D正确，B错误；¬p是真命题，故C正确．] 4．[3，＋∞) 考点一 考向1　典例1　 ACD　[对于A，由a>bac2>bc2(c＝0时不成立)，由ac2>bc2⇒a>b，则“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件，A中命题是真命题； 对于B，若a>0，b<0，则由a>b得不到<，B中命题是假命题； 易知C，D中命题是真命题，故选ACD．] 考向2　典例2　(1)D　(2)AC　[(1)ln (x＋1)<0等价于0<x＋1<1，即－1<x<0．因为－1<x<0可以推出x<0，而x<0不能推出－1<x<0，所以“x<0”是“－1<x<0”的必要不充分条件，所以“ln (x＋1)<0”的一个必要不充分条件是“x<0”．故选D． (2)由ab＋b－a－1＝0，可得(a＋1)(b－1)＝0，解得a＝－1或b＝1，故选AC．] 考向3　典例3　解：由不等式x2－x－12＝(x－4)(x＋3)≤0，解得－3≤x≤4，可得A＝， 由不等式x2－2x＋1－m2＝(x－m－1)(x＋m－1)≤0(m>0)，解得1－m≤x≤1＋m， 所以B＝． 若选择条件①，则集合A是B的真子集，得且等号不能同时取得，解得m≥4． 当m＝4时，B＝，AB，符合题意． 若选择条件②，则集合B是A的真子集，得且等号不能同时取得，解得0<m≤3． 当m＝3时，B＝，则BA，符合题意． 若选择条件③，则集合A＝B，得无解，所以不存在满足条件③的实数m． 跟进训练 1．(1)A　(2)BC　(3)①　②　[(1)若a<1且b<1，则a＋b<2，即充分性成立； 若a＋b<2，例如a＝1，b＝0，满足a＋b<2， 但不满足a<1且b<1，即必要性不成立； 综上所述，“a<1且b<1”是“a＋b<2”的充分不必要条件．故选A． (2)对于A，当a＝2时，x2＋2x＋5＝0，此时Δ＝22－4×1×5＝－16<0， 方程没有实数根，故A错误； 对于B，方程无实数根的充要条件是Δ＝a2－4×1×(a＋3)<0，即－2<a<6， 所以方程无实数根的一个充分条件是{a|－2<a<6}的子集，显然－2<a<4符合，故B选项正确； 对于C，方程有两个不相等的负根的充要条件是 解得a>6，故C正确； 对于D，方程有一个正根和一个负根的充要条件是 解得a<－3，故D错误． 故选BC． (3)①由已知可得A＝B， 则x＝2是方程bx＝1的解，解得b＝． ②若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则AB， 所以所以b＞， 则b的取值范围是．] 考点二 考向1　典例4　(1)C　(2)存在一个素数，它的立方不是素数　　[(1)因为命题p的否定为“∃x<0，使得x＋2>2x”，所以命题p为“∀x<0，x＋2≤2x”．故选C． (2)命题的否定为存在一个素数，它的立方不是素数．] 考向2　典例5　 B　[对于p而言，取x＝－1，则有|x＋1|＝0<1，故p是假命题，¬p是真命题，对于q而言，取x＝1，则有x3＝13＝1＝x，故q是真命题，¬q是假命题，综上，¬p和q都是真命题．故选B．] 考向3　典例6　(－4，0)　[法一：若p为真命题，即∃x∈R，x2－mx－m≤0，∴Δ＝m2＋4m≥0，∴m≥0或m≤－4， ∴当p为假命题时，－4<m<0． 法二：∵p为假命题， ∴¬p：∀x∈R，x2－mx－m>0为真命题， 即Δ＝m2＋4m<0，∴－4<m<0．] 跟进训练 2．(1)A　(2)　[(1)在一元二次方程x2－ax－1＝0中，Δ＝a2＋4>0恒成立，故对任意a∈R，方程都有实根，故命题p为真命题．¬p：∃a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0无实根．故选A． (2)若“∃x∈，使λx2＋x－2>0成立”的否定“∀x∈，使λx2＋x－2≤0”为真命题，即λ≤．令f (x)＝＝2－， 由x∈，得∈，所以f (x)min＝f (4)＝－，所以λ≤－．] 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