第一章 第1课时 集合-【高考DNA解码】2026年高考数学一轮总复习学生用书word

第一章　集合、常用逻辑用语、不等式 第1课时　集合 梳理·必备知识 1．(2)∈　∉　(4)N*(或N＋)　Z　Q　R 2．(1)任意一个元素　(2)存在　x∉A　(3)B⊆A 3．{x|x∈A，或x∈B}　{x|x∈A，且x∈B}　{x|x∈U，且x∉A} 激活·基本技能 一、(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 二、1．B　[由题意得A＝{2，3，4，5}，B＝{2，4，6}，故A∩B＝{2，4}．故选B.] 2．C　[集合A＝{2，3，4}的子集个数为23＝8，故选C.] 3．ABC 4．{x|x≤2或x≥10}　{x|2＜x＜3或9≤x＜10}　[由题意，集合A＝{x|3≤x＜9}，B＝{x|2＜x＜10}，可得A∪B＝{x|2＜x＜10}，所以∁R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}， 又由∁RA＝{x|x＜3或x≥9}，所以(∁RA)∩B＝{x|2＜x＜3或9≤x＜10}．] 考点一 典例1　(1)D　(2)2　[(1)集合A＝{2，a2－a＋2，1－a}，4∈A，∴a2－a＋2＝4或1－a＝4， 当a2－a＋2＝4时，a＝－1或a＝2， 若a＝－1，则1－a＝2，不满足集合中元素的互异性，故a≠－1； 若a＝2，则集合A＝{2，4，－1}，满足题意； 当1－a＝4时，a＝－3，a2－a＋2＝14，集合A＝{2，14，4}，满足题意，综上所述，a＝2或a＝－3.故选D. (2)当x＝1，y＝1，2，4时，x－y分别为0，－1，－3，均不能满足x－y∈A， 当x＝2，y＝1时可满足x－y＝1∈A， 当x＝2，y＝2时，x－y＝0，当x＝2，y＝4时，x－y＝－2均不满足x－y∈A， 当x＝4，y＝2时可满足x－y＝2∈A，当x＝4，y＝1时，x－y＝3，当x＝4，y＝4时，x－y＝0均不满足x－y∈A， 所以B＝{(2，1)，(4，2)}，故集合B的元素有2个．] 跟进训练 1．(1)A　(2)C　[(1)∵P＝{1，2}，Q＝{2，3}，M＝{x|x∈P且x∉Q}，∴M＝{1}．故选A. (2)由元素和集合关系可知：x＝1或x＝2或x＝x2， 解得x＝0或1或2，由集合元素的性质可知，当x＝1时，{1，2，1}不满足互异性，所以x的取值为0或2.故选C.] 考点二 典例2　(1)A　(2)[－1，＋∞)　 [(1)M＝＝，N＝＝， 因为2k＋1，k∈Z表示所有的奇数，而k＋2，k∈Z表示所有的整数，则M⊆N．故选A． (2)∵B⊆A，∴①当B＝∅时，2m－1>m＋1，解得m>2； ②当B≠∅时，解得－1≤m≤2． 综上，实数m的取值范围是[－1，＋∞)．] 拓展变式 [－1，＋∞)　[∵BA，∴①当B＝∅时，2m－1>m＋1，所以m>2； ②当B≠∅时， 或解得－1≤m≤2． 综上，实数m的取值范围是[－1，＋∞)．] 跟进训练 2．(1)B　(2){x|1≤x≤4}(答案不唯一)　[(1)由题意知，b为方程ax2－4x＋1＝0的根． 当a＝0时，b＝； 当a≠0时，二次方程有两个相等的根，则有此时b＝．故选B． (2)A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x≥1}， 若ACB，则可有C＝{x|1≤x≤4}(答案不唯一)．] 考点三 考向1　典例3　(1)C　(2)D　(3){1，2，3，5，8，9}　[(1)由题意知，A∩B＝{0，1}．故选C． (2)因为A＝，B＝{x|∈A}， 所以B＝，则A∩B＝{1，4，9}， ∁A＝．故选D． (3)由已知条件可得U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，画出Venn图如图所示． 由图可得A∪B＝{1，2，3，5，8，9}．] 考向2　典例4　 D　[集合A＝{x|－2≤x≤2}，B＝，由A∪B＝B可得A⊆B，作出数轴如图． 可知－≥2，即a≤－4．故选D．] 跟进训练 3．(1)A　(2)5　[(1)由题意，M∪N＝{x|x<2}，又U＝R，所以∁U(M∪N)＝{x|x≥2}，故选A． (2)由A∩B＝A，则A⊆B， 由≤m，得－m＋3≤x≤m＋3， 故有即即m≥5， 即m的最小值为5．] 考点四 典例5　(1)B　(2)8　[(1)因为A＝{2，3，5}，B＝{3，5，8}，所以A－B＝{2}， 所以A－＝，有2个元素，则A－(A－B)的子集个数是22＝4．故选B． (2)设参加数学、物理、化学小组的人构成的集合分别为A，B，C，同时参加数学和化学小组的有x人，由题意可得如图所示的Venn图． 由全班共36名同学可得(26－6－x)＋6＋(15－4－6)＋4＋(13－4－x)＋x＝36，解得x＝8，即同时参加数学和化学小组的有8人．] 跟进训练 4．(1)D　(2)B　[(1)由A，B是全集U的两个非空真子集，(∁UA)∪B＝B，得∁UA⊆B， 如图，当∁UA≠B时，A∩B≠∅，A错误； 观察图形A∩B≠B，A∪B＝U≠A，BC错误； 由∁UA⊆B，得∁UB⊆A，因此(∁UB)∪A＝A，D正确． 故选D． (2)根据题意作出Venn图，如图， 所以阅读过《西游记》的学生人数为10＋60＝70．故选B．] 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1课时　集合 [考试要求]　1．了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系．2．理解集合间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．3．理解两个集合的并集、交集与补集的含义，会求两个简单集合的并集、交集与补集．4．能使用Venn图表达集合间的基本关系与基本运算． 1．集合与元素 (1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的两种关系：属于和不属于，分别用符号___和___表示． (3)集合的三种常用表示方法：列举法、描述法和图示法． (4)五个特定的数集的表示 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N _____________________ ___ ___ ___ 2．集合间的基本关系 (1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中__________________都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B或(B⊇A)． (2)真子集：如果集合A⊆B，但______元素x∈B，且________，就称集合A是集合B的真子集，记作AB或(BA)． (3)相等：若A⊆B，且_________，则A＝B． 提醒：(1)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． (2)若集合A有n(n≥1)个元素，则集合A有2n个子集，有(2n－1)个真子集，有(2n－2)个非空真子集． 3．集合的基本运算 并集 交集 补集 图形 表示 集合 表示 A∪B＝ ________________________________ A∩B＝ ________________________________ ∁UA＝ ________________________________ [常用结论] 1．A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A． 2．一般地，对任意两个有限集合A，B，有card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)． 3．(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)；(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)． 一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)集合{x∈N|x3＝x}，用列举法表示为{－1，0，1}． (　　) (2){x|y＝x2}＝{y|y＝x2}＝{(x，y)|y＝x2}． (　　) (3)若1∈{x2，x}，则x＝－1或x＝1． (　　) (4)直线y＝x＋3与y＝－2x＋6的交点组成的集合是{1，4}． (　　) 二、教材经典衍生 1．(人教A版必修第一册P13练习T1改编)已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{x∈Z|1＜x≤5}，∁UB＝{1，3，5，7}，则A∩B＝(　　) A．2 B．{2，4} C．{2} D．{2，4，6} 2．(人教A版必修第一册P8例1改编)集合A＝{2，3，4}的子集有(　　) A．4个 B．6个 C．8个 D．9个 3．(多选)(人教A版必修第一册P5习题1.1T1改编)若集合A＝{x|x2－1＝0}，则下列结论正确的是(　　) A．1∈A B．{－1}⊆A C．∅⊆A D．{－1，1}∉A 4．(人教A版必修第一册P14习题1.3T4改编)设全集为R，集合A＝{x|3≤x＜9}，B＝{x|(x－2)(x－10)＜0}，则∁R(A∪B)＝________，(∁RA)∩B＝________． 考点一　集合的概念 [典例1]　(1)(2025·广东深圳中学模拟)设集合A＝{2，a2－a＋2，1－a}，若4∈A，则a的值为(　　) A．－1，2 B．－3 C．－1，－3，2 D．－3，2 (2)(2024·江苏南京二模)已知集合A＝{1，2，4}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则集合B的元素个数为________． [听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 　解决集合含义问题的注意点 一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条件；三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题． [跟进训练] 1．(1)(2023·上海高考)已知集合P＝{1，2}，Q＝{2，3}，若M＝{x|x∈P且x∉Q}，则M＝(　　) A．{1}　　　　　 　 B．{2} C．{1，2} D．{1，2，3} (2)(2025·山东青岛二中模拟)已知x∈{1，2，x2}，则x的取值为(　　) A．1 B．1或2 C．0或2 D．0或1或2 考点二　集合间的基本关系 [典例2]　(1)(2024·江苏南通三模)已知集合M＝，N＝，则(　　) A．M⊆N B．N⊆M C．M＝N D．M∩N＝∅ (2)已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1≤x≤m＋1}，且B⊆A，则实数m的取值范围是________． [拓展变式]　在本例(2)中，若把B⊆A改为BA，则实数m的取值范围是________． 　已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等直观表示解决这类问题的过程，特别注意端点值的取舍，“＝”加不加． 提醒：空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解． [跟进训练] 2．(1)(人教A版必修第一册P9习题1.2T5(1)改编)已知＝{b}，其中a，b∈R，则b＝(　　) A．0 B．或 C． (2)(2025·福建厦门模拟)设集合A＝{x|1≤x≤3}，集合B＝{x|y＝}，若ACB，写出一个符合条件的集合C，则C＝________．(写出一个即可) 考点三　集合的基本运算 　集合的运算 [典例3]　(1)(2025·八省联考)已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{0，1，4}，则A∩B＝(　　) A．{0} B．{1} C．{0，1} D．{－1，0，1，4} (2)(2024·全国甲卷)集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|∈A}，则∁A(A∩B)＝(　　) A． B． C． D． (3)全集U＝{x|x<10，x∈N*}，A⊆U，B⊆U，(∁UB)∩A＝{1，9}，A∩B＝{3}，(∁UA)∩(∁UB)＝{4，6，7}，则A∪B＝________． [听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 　利用集合的运算求参数 [典例4]　已知集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，若A∪B＝B，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，－2) B．(－∞，－2] C．(－4，＋∞) D．(－∞，－4] [听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 　解决集合运算问题的注意点 (1)看元素构成，集合中元素是数还是有序数对，是函数的自变量还是函数值． (2)对集合进行化简，即解不等式，解方程，求定义域、值域等，通过化简可以使问题变得简单明了． (3)注意数形结合思想的应用，集合运算常用的数形结合形式有数轴和Venn图． (4)端点值验证． [跟进训练] 3．(1)(2023·全国乙卷)设集合U＝R，集合M＝{x|x<1}，N＝{x|－1<x<2}，则{x|x≥2}＝(　　) A．∁U(M∪N) B．N∪∁UM C．∁U(M∩N) D．M∪∁UN (2)(2024·九省联考)已知集合A＝{－2，0，2，4}，B＝{x||x－3|≤m}，若A∩B＝A，则m的最小值为________． 考点四　Venn图的应用及创新性问题 [典例5]　(1)定义两集合M，N的差集：M－N＝{x|x∈M且x∉N}，已知集合A＝{2，3，5}，B＝{3，5，8}，则A－的子集个数为(　　) A．2 B．4 C．8 D．16 (2)某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有________人． [听课记录]___________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 　Venn图具有形象直观的特征，应用Venn图可以解决两大类问题：一是处理部分有限集合的元素个数的计数问题；二是解决抽象集合的运算问题或判断集合间的关系问题． [跟进训练] 4．(1)(2025·湖南长沙模拟)已知全集U的两个非空真子集A，B满足(∁UA)∪B＝B，则下列关系一定正确的是(　　) A．A∩B＝∅ B．A∩B＝B C．A∪B＝A D．(∁UB)∪A＝A (2)某中学为了解本校学生阅读《西游记》和《红楼梦》的情况，随机调查了100名学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90名，阅读过《红楼梦》的学生共有80名，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60名，则阅读过《西游记》的学生人数为(　　) A．60 B．70 C．80 D．90 6/6 学科网（北京）股份有限公司 $$