2.6 有理数的乘方（（小升初同步培优检测卷）-2025-2026学年苏科版数学七年级上学期暑假衔接优选题精练

2.6 有理数的乘方 试题数量：28题 试题满分：100分 难度系数：0.49（难度偏大） 姓名： 学号： 试题说明：同学，你好！该份检测卷与衔接讲义同步配套，题目选自近两年各地名校真题，模拟题等。优选压轴题，常考题，易错题等类型题，试卷百分制，非常适合学生自我检测，教师备课使用。题目难度系数0-1，系数越小，难度越大。解析版思路清晰，解答过程简洁完整，对于学生提升知识应用能力，解题技巧非常有帮助 一、选择题（每题2分，共10小题，共20分） 1．（本题2分）（24-25七年级上·广东湛江·期中）下列各组数中，运算结果相同的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．（本题2分）（24-25七年级上·四川南充·阶段练习）下列说法中正确的有（        ） ①一定是负数；②若，则这个数一定是负数；③一个负数减去一个正数，差一定为负数；④0可以是非负整数，也可以是非正整数；⑤负数的平方为正数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（本题2分）（22-23七年级上·广西河池·期中）目前全球新型冠状病毒肺炎疫情防控形势依旧严峻，我们应该坚持“勤洗手，戴口罩，常通风”．一双没有洗过的手，带有各种细菌约万个，将数据用科学记数法表示是（  ） A． B． C． D． 4．（本题2分）（24-25七年级上·河南许昌·期末）计算与的和的式子为（　　） A． B． C． D． 5．（本题2分）（24-25七年级上·江苏泰州·期中）下列说法：（）最大的负数是；（）数轴原点两旁的两个数互为相反数；（）如果两个数互为相反数，那么它们的商为；（）月球的半径约为米，这个数用科学记数法表示为其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 6．（本题2分）（24-25七年级上·山东临沂·期末）下列各数中是负数的是（   ） A． B． C． D． 7．（本题2分）（24-25七年级上·天津·期末）年月日嫦娥六号顺利返回地球，带回大约的月背样本，实现世界首次月背采样返回，数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 8．（本题2分）（24-25七年级上·河北石家庄·期末）下图为小亮某次测试的答卷，每小题25分，他的得分应是（   ） 填空： （1） 4 （2）的次数是 4 （3）的系数是 （4），，则 A．100分 B．75分 C．50分 D．25分 9．（本题2分）（24-25七年级上·湖北宜昌·期中）在数列a1，a2，a3，…an中，，且任意相邻的三个数的乘积都相等，若前n个数的乘积等于64，则n可能是（    ） A．16 B．17 C．18 D．19 10．（本题2分）（24-25七年级上·天津和平·期中）小天同学在课下研究两个有理数和，他发现若计算，，，的值，有三个结果恰好相同，请你帮小天算一算的值是（   ） A．1 B． C． D．0 二、填空题（每题2分，共10小题，共20分） 11．（本题2分）（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）已知，则 ． 12．（本题2分）（24-25七年级上·全国·期中）已知实数a，b，c满足，，，则的值为 ． 13．（本题2分）（24-25七年级上·湖北武汉·期中）给定一列数，我们把这列数中的第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，依此类推，第个数记为（为正整数），规定运算：．已知一列数，，，，，，，，，，，，．若存在正整数使等式成立，则 ． 14．（本题2分）（24-25七年级上·北京通州·期末）已知有理数与互为相反数，与互为倒数，有理数的平方等于它本身，的绝对值和倒数都等于它本身，则 ． 15．（本题2分）（24-25七年级上·湖北孝感·期中）下列说法： ①若，则； ②若，且a，b均为整数，则的最大值为9； ③如图，图中阴影部分的面积为； ④当式子的值最小时，x是．其中正确的是 （填序号） 16．（本题2分）（2024七年级上·全国·专题练习）如图一只蚂蚁从点A沿数轴向左爬3个单位到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m．则 ． 17．（本题2分）（24-25七年级上·河南新乡·阶段练习）在0，，，，，中，正整数的个数为 ． 18．（本题2分）（2025七年级下·全国·专题练习）将边长为1的正方形纸片按如图所示方法进行对折，第1次对折后得到的图形面积为，第2次对折后得到的图形面积为，第次对折后得到的图形面积为，则 ． 19．（本题2分）（21-22七年级上·辽宁抚顺·期末）将边长为1的正方形纸片按如图所示方法进行对折，第1次对折后得到的图形面积为S1，第2次对折后得到的图形面积为S2，…，第n次对折后得到的图形面积为Sn，则S1+S2+S3+…+S2022＝ ． 20．（本题2分）（21-22七年级上·北京怀柔·期末）已知，数轴上A，B，C三点对应的有理数分别为a，b，c．其中点A在点B左侧，A，B两点间的距离为2，且a，b，c满足，则a＝ ．对数轴上任意一点P，点P对应数x，若存在x使的值最小，则x的值为 ． 三、解答题（共8小题，共60分） 21．（本题6分）（24-25七年级上·四川眉山·期末）若与互为相反数． (1)求，的值； (2)规定一种新运算：，如 ，求的值． 22．（本题6分）（24-25七年级上·福建漳州·期中）若数轴上两点A、B所表示的数分别为a和b，则A、B两点的中点C表示的数为．若数轴上两点A、B所表示的数a、b满足． (1)求出A，B两点表示的数a、b，并求出中点C表示的数； (2)把点A、B、C在数轴上标出． 23．（本题8分）（24-25七年级上·福建莆田·期中）计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数10000转化为十进制数：；其他进制也有类似的算法． (1)根据以上信息，将二进制数“1011”转化为十进制数． (2)中国古代《易经》一书中记载，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录采集到的野果数量．请计算采集到的野果数量． 24．（本题8分）（24-25七年级上·福建厦门·期末）观察下面有规律排列的三行数： (1)请直接写出每行的第个数分别是________，________，________； (2)用如图所示的“”形框在第一行和第二行数中平移，任意圈住个数，是否存在某个位置，使得个数的和为，若存在，请求圈住的这个数，若不存在，请说明理由； (3)取每行数的第个数，这个数中最大的数记为，最小的数记为，若，直接写出的值 25．（本题8分）（24-25七年级上·辽宁铁岭·期中）一粒米微不足道，有时总会在饭桌上不经意地掉下几粒，甚至有挑食的同学会倒掉整碗米饭．针对这种浪费现象，数学老师领同学们进行了实际测算，已知称得500粒大米重约10克，请你来计算： (1)一粒大米重约多少克？ (2)按我国现有人口14亿，每年365天，每人每天三餐计算，若每人每餐节约一粒大米，一年大约能节约大米多少千克？（用科学记数法表示） (3)假若我们把一年节约的大米卖成钱，按2元千克计算，可卖多少钱？（用科学记数法表示） (4)对于因贫困而失学的儿童，学费按每人每年500元计算，卖得的钱可供多少名失学儿童上一年学？ 26．（本题8分）（2024七年级上·全国·专题练习）你能比较和的大小吗？ 为了解决这个问题，我们先把它抽象成数学问题，写出它的一般形式，即比较和的大小（n为正整数），我们从，2，3…这些简单的情况入手，从中发现规律，经过归纳，猜出结论． (1)通过计算，比较下列各组数字大小： ① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ …（填“”或“”或“”）． (2)将第（1）题的结果进行归纳，你能得出什么结论？ (3)根据上面的归纳猜想得到的结论，试比较两个数的大小： ． 27．（本题8分）（24-25七年级上·广东深圳·期中）在一次综合实践活动课上，张老师给每位同学各发了一张正方形纸片，请同学们思考如何通过折纸的方法求出的值． 【操作探究】“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：如图1，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，第①部分是边长为1的正方形纸片面积的一半，第②部分是第①部分面积的一半，第③部分是第②部分面积的一半，，依次类推，则图1中空白部分的面积为． “破浪”小组是这样思考的：设， 将等式两边同时乘以得：， 将上式减去下式得，即，即． 【过程思考】 (1)图1中阴影部分的面积是 ，= ． (2)请你利用图2，再设计能求的值的几何图形．（只画出图形即可） (3)根据以上规律， ① ．（为正整数） ② ．（为正整数） 28．（本题8分）（24-25七年级上·河南郑州·期中）如图，数轴的单位长度为1，点C，D表示的数互为相反数，结合数轴回答下列问题： (1)请在数轴上标出原点O的位置； (2)直接写出点A，B，C，D所表示的数，并判断哪一点表示的数的平方最大，最大是多少？ (3)设点M，N都从点A出发沿数轴的正方向匀速向终点D运动，点M的速度为每秒2个单位长度，点N的速度为每秒5个单位长度，当点M运动到点B时点N开始运动，设点M运动的时间为t秒，求点M，N之间的距离．（用含t的代数式表示） 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.6 有理数的乘方 试题数量：28题 试题满分：100分 难度系数：0.49（难度偏大） 姓名： 学号： 试题说明：同学，你好！该份检测卷与衔接讲义同步配套，题目选自近两年各地名校真题，模拟题等。优选压轴题，常考题，易错题等类型题，试卷百分制，非常适合学生自我检测，教师备课使用。题目难度系数0-1，系数越小，难度越大。解析版思路清晰，解答过程简洁完整，对于学生提升知识应用能力，解题技巧非常有帮助 一、选择题（每题2分，共10小题，共20分） 1．（本题2分）（24-25七年级上·广东湛江·期中）下列各组数中，运算结果相同的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【思路引导】本题主要考查有理数的乘方，分别计算各选项中两个表达式的值，比较是否相等． 【规范解答】解：A.，，结果不相等，故选项A不符合题意； B.，，结果相等，故选项B符合题意； C.，，结果不相等，故选项C不符合题意； D.，，结果不相等，故选项D不符合题意； 故选：B． 2．（本题2分）（24-25七年级上·四川南充·阶段练习）下列说法中正确的有（        ） ①一定是负数；②若，则这个数一定是负数；③一个负数减去一个正数，差一定为负数；④0可以是非负整数，也可以是非正整数；⑤负数的平方为正数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路引导】本题考查了正负数的定义，绝对值，乘方，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【规范解答】解：当时，则为非负数，故①不符合题意； 当，则这个数一定为非负数，故②不符合题意； 当一个负数减去一个正数，差一定为负数，故③符合题意； 0可以是非负整数，也可以是非正整数，故④符合题意； 负数的平方为正数，故⑤符合题意； 故选：C 3．（本题2分）（22-23七年级上·广西河池·期中）目前全球新型冠状病毒肺炎疫情防控形势依旧严峻，我们应该坚持“勤洗手，戴口罩，常通风”．一双没有洗过的手，带有各种细菌约万个，将数据用科学记数法表示是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了科学记数法，熟记科学记数法的定义（将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法）是解题关键． 确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【规范解答】解：科学记数法：将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法， 则， 故选：B． 4．（本题2分）（24-25七年级上·河南许昌·期末）计算与的和的式子为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了乘方的意义和乘法的意义，解题关键是根据乘方的意义和乘法的意义写出算式． 【规范解答】解：，， 它们的和为：， 故选：A． 5．（本题2分）（24-25七年级上·江苏泰州·期中）下列说法：（）最大的负数是；（）数轴原点两旁的两个数互为相反数；（）如果两个数互为相反数，那么它们的商为；（）月球的半径约为米，这个数用科学记数法表示为其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了有理数、相反数、科学记数法，根据有理数、相反数、科学记数法的定义逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【规范解答】解：（）最大的负整数是，该选项说法错误； （）数轴原点两旁且绝对值相等的两个数互为相反数，该选项说法错误； （）如果两个不为的数互为相反数，那么它们的商为，该选项说法错误； （）月球的半径约为米，这个数用科学记数法表示为，该选项说法正确； ∴正确的说法只有个， 故选：． 6．（本题2分）（24-25七年级上·山东临沂·期末）下列各数中是负数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了绝对值的性质和有理数的乘方，熟练掌握有理数乘方的法则是解题的关键． 根据绝对值的性质和有理数乘方的法则进行判断即可． 【规范解答】解：A．，不符合题意； B．，不符合题意； C．，不符合题意； D．，符合题意． 故选：D． 7．（本题2分）（24-25七年级上·天津·期末）年月日嫦娥六号顺利返回地球，带回大约的月背样本，实现世界首次月背采样返回，数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】此题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，解答本题的关键是要正确确定的值以及的值． 根据科学记数法的概念解答即可． 【规范解答】解：， 故选：C． 8．（本题2分）（24-25七年级上·河北石家庄·期末）下图为小亮某次测试的答卷，每小题25分，他的得分应是（   ） 填空： （1） 4 （2）的次数是 4 （3）的系数是 （4），，则 A．100分 B．75分 C．50分 D．25分 【答案】C 【思路引导】本题考查了有理数的乘方、单项式的系数与次数“单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数；一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数”、等角的余角相等，熟练掌握各运算法则和定义是解题关键．根据有理数的乘方法则、单项式的系数与次数的定义、等角的余角相等求解即可得． 【规范解答】解：（1），则此题得分为0分， （2）的次数是，则此题得分为25分， （3）的系数是，则此题得分为0分， （4），，则，则此题得分为25分， 所以他的得分应是（分）， 故选：C． 9．（本题2分）（24-25七年级上·湖北宜昌·期中）在数列a1，a2，a3，…an中，，且任意相邻的三个数的乘积都相等，若前n个数的乘积等于64，则n可能是（    ） A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】C 【思路引导】本题考查了数字的变化类，根据数字的变化每三个为一组，寻找规律式即可求解，解题的关键是寻找规律 【规范解答】解：∵a1，a2，a3，…an中任意相邻的三个数的乘积都相等， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，共6个相乘， ∴ 故选：C 10．（本题2分）（24-25七年级上·天津和平·期中）小天同学在课下研究两个有理数和，他发现若计算，，，的值，有三个结果恰好相同，请你帮小天算一算的值是（   ） A．1 B． C． D．0 【答案】B 【思路引导】本题考查有理数的乘方，熟练掌握有理数的乘方运算法则，能够通过推理求出x、y的值是解题的关键． 由题意可知，则，再根据，，，有三个结果恰好相同，则或，分两种情况：（1）当时，由可得，解得，从而求得，代入计算即可求解；当时，由可得，解得，从而求得当时，则，代入计算即可求解． 【规范解答】解：由题意得：， ， ∵，，，有三个结果恰好相同， 或， 因此，分以下两种情况： （1）当时， 由可得，解得， ①当时，则，无解，即不存在这样的有理数， ②当时，则，解得， 此时； （2）当时， 由可得，解得， ①当时，则，无解，即不存在这样的有理数， ②当时，则，解得， 此时； 综上，的值为， 故选：B． 二、填空题（每题2分，共10小题，共20分） 11．（本题2分）（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）已知，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查完全平方的非负性及绝对值的非负性，根据非负式子和为0，它们分别等于0求出字母的值代入求解即可得到答案． 【规范解答】解：∵，，， ∴，， 解得：，， ∴， 故答案为：． 12．（本题2分）（24-25七年级上·全国·期中）已知实数a，b，c满足，，，则的值为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了绝对值化简求值，有理数乘方运算，由，可判断a，b，c，必有两正一负，据此化简绝对值，求出，代入计算，即可求解；能化简绝对值求出是解题的关键． 【规范解答】解：，， a，b，c，必有两正一负， ， ， ， ， ， 故答案为：． 13．（本题2分）（24-25七年级上·湖北武汉·期中）给定一列数，我们把这列数中的第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，依此类推，第个数记为（为正整数），规定运算：．已知一列数，，，，，，，，，，，，．若存在正整数使等式成立，则 ． 【答案】或 【思路引导】本题考查新定义，找规律，绝对值方程，有理数的乘方运算，解题的关键在于表示出．根据数据表示出，进而得到，再分情况①当为奇数时（为正整数），②当为偶数时（为正整数），结合建立等式求解，即可解题． 【规范解答】解：因为一列数为，，，，，，，，，，，，． 所以，，，，， 所以除外，满足， 所以 ， ①当为奇数时（为正整数）， 有， ， 或（为正整数，不合题意，舍去）， 解得， ②当为偶数时（为正整数）， 有， ， 或（为正整数，不合题意，舍去）， 解得， 综上所述，等式成立，则或， 故答案为：或． 14．（本题2分）（24-25七年级上·北京通州·期末）已知有理数与互为相反数，与互为倒数，有理数的平方等于它本身，的绝对值和倒数都等于它本身，则 ． 【答案】或 【思路引导】根据相反数的应用、倒数、有理数的乘方运算、绝对值的意义可得，，或，，然后代入代数式求值即可． 【规范解答】解：∵有理数与互为相反数，与互为倒数，有理数的平方等于它本身，的绝对值和倒数都等于它本身， ∴，，或，， ∴或， 故答案为：或． 【考点评析】本题主要考查了代数式求值，相反数的应用，倒数，有理数的乘方运算，绝对值的意义等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 15．（本题2分）（24-25七年级上·湖北孝感·期中）下列说法： ①若，则； ②若，且a，b均为整数，则的最大值为9； ③如图，图中阴影部分的面积为； ④当式子的值最小时，x是．其中正确的是 （填序号） 【答案】②③④ 【思路引导】本题考查了绝对值、有理数的加法与乘法、列代数式、偶次方的非负性，熟练掌握各运算法则和性质是解题关键．根据绝对值的性质可得，从而可得均为正数，或一个正数和两个负数，再化简绝对值即可判断说法①错误；先判断出当均为负整数时，的值最大，再分别列出的值计算即可判断说法②正确；根据图中阴影部分的面积等于大长方形的面积减去右边小长方形的面积列出代数式即可判断说法③正确；根据偶次方的非负性即可判断说法④正确． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴均为正数，或一个正数和两个负数， 当均为正数时，则； 当中一个正数和两个负数时，不妨设， 则， 综上，的值为3或，则说法①错误； ∵，且均为整数， ∴要使最大，则均为负整数， 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，此时， 综上，若，且均为整数，则的最大值为9，说法②正确； 图中阴影部分的面积等于大长方形的面积减去右边小长方形的面积， 所以图中阴影部分的面积为，说法③正确； ∵， ∴， 则当式子的值最小时，，即，说法④正确； 综上，正确的是②③④， 故答案为：②③④． 16．（本题2分）（2024七年级上·全国·专题练习）如图一只蚂蚁从点A沿数轴向左爬3个单位到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m．则 ． 【答案】6 【思路引导】本题主要考查了数轴的特点、绝对值的性质及有理数的乘方等知识点，根据题意得到点表示的数，然后代入求解即可，解答此题的关键是利用数轴的特点，数形结合判断出的取值范围. 【规范解答】点表示，一只蚂蚁从点沿数轴向左直爬3个单位到达点， ∴点B所表示的数， ， 故答案为：6． 17．（本题2分）（24-25七年级上·河南新乡·阶段练习）在0，，，，，中，正整数的个数为 ． 【答案】2 【思路引导】此题主要考查了正数，以及绝对值，乘方，首先把式子化简，然后再根据正数的定义：比0大的数是正数，可以选出答案． 【规范解答】解：， ， ， ， ， ∴正数有，，共2个． 故答案为：2． 18．（本题2分）（2025七年级下·全国·专题练习）将边长为1的正方形纸片按如图所示方法进行对折，第1次对折后得到的图形面积为，第2次对折后得到的图形面积为，第次对折后得到的图形面积为，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查图形中的规律问题．掌握“错位相减法”是解题关键．由题意可得，据此即可求解． 【规范解答】解：由题意，可得， 所以． 令， 则， 所以，即， 所以． 故答案为：． 19．（本题2分）（21-22七年级上·辽宁抚顺·期末）将边长为1的正方形纸片按如图所示方法进行对折，第1次对折后得到的图形面积为S1，第2次对折后得到的图形面积为S2，…，第n次对折后得到的图形面积为Sn，则S1+S2+S3+…+S2022＝ ． 【答案】 【思路引导】根据翻折变换表示出所得图形的面积，再根据各部分图形的面积之和等于正方形的面积减去剩下部分的面积进行计算即可得解. 【规范解答】解：由题意可知，S1=，S2=，S3=，…，S2022=， 剩下部分的面积= S2022=， ∴S1+S2+S3+…+S2022=1－， 故答案为：1－. 【考点评析】本题考查图形的变化规律，发现各部分图形的面积之和等于正方形的面积减去剩下部分的面积是解题关键． 20．（本题2分）（21-22七年级上·北京怀柔·期末）已知，数轴上A，B，C三点对应的有理数分别为a，b，c．其中点A在点B左侧，A，B两点间的距离为2，且a，b，c满足，则a＝ ．对数轴上任意一点P，点P对应数x，若存在x使的值最小，则x的值为 ． 【答案】 －1 1 【思路引导】根据绝对值和平方的非负性即可求第一空；根据绝对值与数轴的关系可以解出第2问． 【规范解答】∵， ∴ 即 ∵点A在点B左侧，A，B两点间的距离为2， ∴ ∵表示x与-1，1和2022三个数的距离之和， ∴当x取中间值1时，和为最小值为2023； 故答案为：-1,1 【考点评析】本题考查了数轴上的点之间的距离与绝对值的关系、绝对值和平方的非负性，根据绝对值的定义得出表示x与-1，1和2022三个数的距离之和是解题的关键． 三、解答题（共8小题，共60分） 21．（本题6分）（24-25七年级上·四川眉山·期末）若与互为相反数． (1)求，的值； (2)规定一种新运算：，如 ，求的值． 【答案】(1)，； (2)． 【思路引导】本题主要考查了相反数的概念，绝对值和偶次幂的非负性，有理数的运算，掌握运算法则是解题的关键． （）根据相反数的概念和平方，绝对值的非负性即可得出，的值； （）根据新定义运算列式即可求解； 【规范解答】（1）解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， ∴，； （2）解：由（）得：，， ∴ ． 22．（本题6分）（24-25七年级上·福建漳州·期中）若数轴上两点A、B所表示的数分别为a和b，则A、B两点的中点C表示的数为．若数轴上两点A、B所表示的数a、b满足． (1)求出A，B两点表示的数a、b，并求出中点C表示的数； (2)把点A、B、C在数轴上标出． 【答案】(1)点C表示的数是3 (2)见解析 【思路引导】本题考查了非负数的性质，用数轴上的点表示有理数． （1）利用非负数的性质可得，再解简单方程可得a、b；利用数轴上中点对应的数的表示方法直接计算即可； （2）根据有理数与数轴上点的关系解答即可． 【规范解答】（1）解： 解得： 对应的数为 （2）解：如图， 23．（本题8分）（24-25七年级上·福建莆田·期中）计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数10000转化为十进制数：；其他进制也有类似的算法． (1)根据以上信息，将二进制数“1011”转化为十进制数． (2)中国古代《易经》一书中记载，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录采集到的野果数量．请计算采集到的野果数量． 【答案】(1)11 (2)采集到的野果数量为个 【思路引导】本题考查了有理数的乘方的应用，解的关键是： （1）根据题意写成，进而进行计算即可求解； （2）由于满五进一，类似于五进制数，转化为十进制数为：，进而计算即可求解． 【规范解答】（1）解：1011转化为十进制数是： ； （2）解∶ 由于满五进一，类似于五进制数，转化为十进制数为： ． 答：采集到的野果数量为个． 24．（本题8分）（24-25七年级上·福建厦门·期末）观察下面有规律排列的三行数： (1)请直接写出每行的第个数分别是________，________，________； (2)用如图所示的“”形框在第一行和第二行数中平移，任意圈住个数，是否存在某个位置，使得个数的和为，若存在，请求圈住的这个数，若不存在，请说明理由； (3)取每行数的第个数，这个数中最大的数记为，最小的数记为，若，直接写出的值 【答案】(1)，，； (2)不存在，理由见解析； (3)的值为． 【思路引导】（）观察所给三行数，发现它们的变化规律，表示出第个数即可解决问题； （）设“”形框框住的下一行的中间数为，再结合（）中发现的规律分别表示出其他数，最后建立方程即可解决问题； （）对为奇数和偶数时进行分类讨论，再结合（）中发现的规律分别表示出和，最后建立方程即可解决问题； 本题考查了数字变化的规律及有理数乘方，掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】（1）解：观察第一行数可知，后一个数是前一个数的倍，且第一个数是，所以第一行的第个数可表示为； 观察第二行数可知，第二行的每一个数比第一行相应位置的数小，所以第二行的第个数可表示为； 观察第三行数可知，第三行的每一个数是第二行相应位置数的倍，所以第三行的第个数可表示为， 当时，，，， 即每行的第8个数分别是：，，， 故答案为：，，； （2）解：不存在，理由， 设“”形框框住的下一行的中间数为， 则这五个数为：，，，，， ∴， 整理得：， ∴， ∴无正整数解， ∴不存在； （3）解：由（）知，每行数的第个数分别为，，， 当为奇数时，， ∴最大的数，最小的数， 由可得， ∴， ∴， 解得； 当为偶数时，， ∴最大的数，最小的数， 由可得， ∴， ∴， ∴， 此方程无正整数解， 综上所述，的值为． 25．（本题8分）（24-25七年级上·辽宁铁岭·期中）一粒米微不足道，有时总会在饭桌上不经意地掉下几粒，甚至有挑食的同学会倒掉整碗米饭．针对这种浪费现象，数学老师领同学们进行了实际测算，已知称得500粒大米重约10克，请你来计算： (1)一粒大米重约多少克？ (2)按我国现有人口14亿，每年365天，每人每天三餐计算，若每人每餐节约一粒大米，一年大约能节约大米多少千克？（用科学记数法表示） (3)假若我们把一年节约的大米卖成钱，按2元千克计算，可卖多少钱？（用科学记数法表示） (4)对于因贫困而失学的儿童，学费按每人每年500元计算，卖得的钱可供多少名失学儿童上一年学？ 【答案】(1) (2) (3)元 (4) 【思路引导】本题主要考查了有理数乘法的实际应用，有理数除法的应用，有理数乘除混合运算，科学记数法—表示较大的数，熟练掌握科学记数法是解题的关键． （1）根据500粒大米重约10克，直接列式计算即可； （2）14亿，每年365天，每人每天三餐计算，若每人每餐节约一粒大米，那么一年大约能节约的千克数可列式为，然后计算出答案即可； （3）直接用单价乘以重量即可得到答案； （4）直接用钱数除以每人每年的学费即可． 【规范解答】（1）解：500粒大米重约10克，那么一粒大米重约：（克）， 答：一粒大米重约克； （2）解：按我国现有人口14亿，每年365天，每人每天三餐计算，若每人每餐节约一粒大米， 那么一年大约能节约大米：（千克）， 答：一年大约能节约大米千克； （3）解：（元）， 答：可卖元； （4）解：（名）， 答：卖得的钱可供122640名失学儿童上一年学． 26．（本题8分）（2024七年级上·全国·专题练习）你能比较和的大小吗？ 为了解决这个问题，我们先把它抽象成数学问题，写出它的一般形式，即比较和的大小（n为正整数），我们从，2，3…这些简单的情况入手，从中发现规律，经过归纳，猜出结论． (1)通过计算，比较下列各组数字大小： ① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ …（填“”或“”或“”）． (2)将第（1）题的结果进行归纳，你能得出什么结论？ (3)根据上面的归纳猜想得到的结论，试比较两个数的大小： ． 【答案】(1)①    ②    ③    ④    ⑤    ⑥ (2)当时，，当时， (3) 【思路引导】本题主要考查了规律型的知识．归纳所给式子的特点，得出其规律是解题的关键． （1）计算出各个数的乘方，再比较大小即可； （2）根据（1）中的运算总结，并用含n的式子表示两数的乘方，以及大小关系，并分析的取值情况； （3）根据（2）中得出的规律直接得出结论即可． 【规范解答】（1）①∵，， ∴； ②∵，， ∴； ③∵，， ∴； ④∵，， ∴； ⑤∵，， ∴； ⑥∵，， ∴； … 故答案为：；；；；； （2）由（1）知，对于正整数n，当时，，当时，； （3）由（2）知，． 故答案为：． 27．（本题8分）（24-25七年级上·广东深圳·期中）在一次综合实践活动课上，张老师给每位同学各发了一张正方形纸片，请同学们思考如何通过折纸的方法求出的值． 【操作探究】“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：如图1，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，第①部分是边长为1的正方形纸片面积的一半，第②部分是第①部分面积的一半，第③部分是第②部分面积的一半，，依次类推，则图1中空白部分的面积为． “破浪”小组是这样思考的：设， 将等式两边同时乘以得：， 将上式减去下式得，即，即． 【过程思考】 (1)图1中阴影部分的面积是 ，= ． (2)请你利用图2，再设计能求的值的几何图形．（只画出图形即可） (3)根据以上规律， ① ．（为正整数） ② ．（为正整数） 【答案】(1)， (2)如图所示（标序号部分）即为所求： (3)①；② 【思路引导】（1）阴影部分的面积等于部分⑥的面积； （2）依照题目的示范作图即可； （3）①利用数形结合的思想，用整个正方形的面积减去阴影部分的面积即可确定答案；②利用整体思想，令将等式两边同时乘以得：，两式子相减，即可得出答案． 【规范解答】（1）由题知， 正方形每次被分割的部分是前一部分面积的一半， 所以图中阴影部分的面积与部分⑥的面积相等． 又因为部分①的面积为：， 部分②的面积为：， 部分③的面积为：， …， 依次类图，部分n的面积为． 当时， ． 所以阴影部分的面积为． ∵， ∴． 故答案为：；． （2）如图所示（标序号部分）即为：求的值的几何图形 （3）①根据（2）中的发现可知， ． 故答案为：． ②令 将等式两边同时乘以得：， 将②式减去①式得，即． 故答案为：． 【考点评析】本题考查图形变化的规律，数形结合思想以及整体思想的巧妙运用是解题的关键． 28．（本题8分）（24-25七年级上·河南郑州·期中）如图，数轴的单位长度为1，点C，D表示的数互为相反数，结合数轴回答下列问题： (1)请在数轴上标出原点O的位置； (2)直接写出点A，B，C，D所表示的数，并判断哪一点表示的数的平方最大，最大是多少？ (3)设点M，N都从点A出发沿数轴的正方向匀速向终点D运动，点M的速度为每秒2个单位长度，点N的速度为每秒5个单位长度，当点M运动到点B时点N开始运动，设点M运动的时间为t秒，求点M，N之间的距离．（用含t的代数式表示） 【答案】(1)见解析 (2)A点表示的数为，B点表示的数为，C点表示的数为，D点表示的数为，而的平方最大，最大为49； 所以A点表示的数的平方最大； (3)当时，；当时，；当时， 【思路引导】（1）根据点C，D表示的数互为相反数，则原点位于线段的中点处，即可确定； （2）根据数轴即可确定四点表示的数；计算出四点表示的数的平方即可； （3）表示出M、N两点表示的数，分三种情况考虑，当时；当时；当时，即可求得． 【规范解答】（1）解：原点位置如图所示； （2）解：由数轴知，A点表示的数为，B点表示的数为，C点表示的数为，D点表示的数为，而， 所以A点表示的数的平方最大；最大为49； （3）解：运动t秒后，点M表示的数为， 当时，点M在上运动，点N静止， 则； 当时，点N表示的数为， 则； 当时，此时点N到达终点D，点M继续运动； 则； 综上，当时，；当时，；当时， ． 【考点评析】本题考查了数轴上的点表示有理数，两点间的距离，相反数，列代数式，乘方运算，动点问题等知识，理解题意，掌握相关知识与运算是关键． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$