专题1.2 一元二次方程的解法（高效培优讲义）数学苏科版九年级上册

专题1.2 一元二次方程的解法 教学目标 1.理解开平方法、配方法、公式法、因式分解法解方程的依据； 2.会用开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程； 3.会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程。 教学重难点 1.重点 （1）配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程的步骤和方法； （2）一元二次方程求根公式的推导过程； （3）能够根据方程的特点选择合适的方法解一元二次方程； （4）运用一元二次方程解决实际问题. 2.难点 （1）配方法中配方的关键步骤理解如何将一元二次方程转化为完全平方式。 （2）一元二次方程求根公式的推导过程，理解公式中各项的意义和使用条件。 （3）如何引导学生根据方程的特点选择最合适的解法，培养学生的解题策略意识。 知识点01 解一元二次方程-直接开方 （1）如或_________的一元二次方程可直接采用直接开平方解一元二次方程。 （2）如果化成的形式，那么可得_________ （3）如果方程能化成的形式，那么_________，进而得出方程的根 注意：（1）等号左边是一个数的_________的形式而等号右边是一个_________ 降次的实质是有一个一元二次方程转化为_________ 方法是根据平方根的意义开平方 【即学即练】一元二次方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 知识点02 解一元二次方程-配方法 用配方法解一元二次方程：的一般步骤是： ①化为一般形式； ②移项，将_________移到方程的右边； ③化二次项系数为1，即方程两边_________； ④配方，即方程两边都加上_________；化原方程为的形式； ⑤如果就可以用两边开平方来求出方程的解；如果，则原方程_________． 【即学即练】用配方法解一元二次方程，变形后的结果正确的是（　　） A． B． C． D． 知识点03 解一元二次方程-公式法 用公式法求一元二次方程的一般步骤： （1）把方程化成一般形式，确定的值_________ （2）求出_________的值，判断根的情况 （3）在_________(注：此处读“德尔塔”)的前提下，把的值代入公式进行计算，求出方程的根。 【即学即练】一元二次方程，用求根公式求解时c的值是 ． 知识点04 解一元二次方程-因式分解 因式分解法解一元二次方程的一般步骤如下： （1）移项，使方程的右边化为零； （2）将方程的左边转化为两个一元一次多项式的_________； （3）令每个因式分别为_________； （4）两个因式分别为零的解就都是原方程的解。 如： 【即学即练】方程的解是 ． 题型01 直接开平方法解一元二次方程 【典例1】用直接开平方法解下列方程： (1)． (2)． 【变式1】方程的根是 ． 【变式2】一元二次方程可转化为两个一元一次方程，其中一个是，则另一个是（  ） A． B． C． D． 【变式3】已知等腰三角形的底边长为4，腰长恰好是关于的一元二次方程的一个根，则的周长为（   ） A．6 B．10 C．14 D．6或14 【变式4】关于的方程，下列说法正确的是（   ） A．当时，有两个解 B．有两个解 C．当时，有两个解 D．当时，方程无实根 题型02 配方法解一元二次方程 【典例2】用配方法解关于x的方程，则变形正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】用配方法解方程，应在方程两边同时加上（    ） A．9 B．6 C．36 D．3 【变式2】关于x的一元二次方程可通过配方法转化为的形式，则m的值为（ 　） A． B．9 C． D．3 【变式3】用配方法解一元二次方程，得到，从而解得方程的一个根为1，则 ． 【变式4】小明在解关于的方程时，只抄对了，，解出其中一个根是．他核对时发现所抄的比原方程的值大．求原方程的根． 题型03 根据判别式判断一元二次方程根的情况 【典例3】关于一元二次方程的根的情况，下列结论正确的是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况 【变式1】一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【变式2】关于的一元二次方程的根的情况是（    ） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 【变式3】已知，，为常数，点在第四象限，则关于的方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【变式4】已知三角形的三边长分别为，则关于x的方程的根的情况是（   ） A．没有实数根 B．有且只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 题型04 根据一元二次方程根的情况求参数 【典例4】若关于的一元二次方程无实数根，则实数的取值范围为（   ） A． B．，且 C． D． 【变式1】若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（   ） A． B．6 C．或 D．或 【变式3】若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 题型05 公式法解一元二次方程 【典例5】用公式法解下列方程： (1)． (2)． 【变式1】解方程最适当的方法是（    ） A．直接开方法 B．配方法 C．求根公式法 D．因式分解法 【变式2】若可以表示某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 【变式3】用公式法解关于的方程： (1) (2) 【变式4】关于x的一元二次方程的一个整数解满足． (1)求m的值； (2)求的另一个解． 题型06 因式分解法解一元二次方程 【典例6】下列一元二次方程最适合用因式分解法求解的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】根据因式分解法解一元二次方程的方法，写出一个以x为未知数，和4为根的一元二次方程： （化为一般形式）． 【变式2】已知某三角形的两边长恰是一元二次方程的两根，则该三角形第三边长可能是（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式3】用因式分解法解下列方程： (1)． (2)． 【变式4】小李与小王两位同学解方程的过程如下框：你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“”；若错误请在框内打“”，并写出正确的解答过程． 小李： 解：两边同除以，得 ， 则． 小王： 解：移项，得， 提取公因式，得． 则或， 解得，． 题型07 换元法解一元二次方程 【典例7】已知方程 的解是 ， ， 则方程 的解是（　　） A．， B．， C．， D．， 【变式1】已知是实数，且满足，则的值为（  ） A．3 B．3或 C．或6 D．6 【变式2】若方程的解为，，则方程的解为 ． 【变式3】若关于x的一元二次方程的解是，，则的解是 ． 【变式4】求方程的正整数解． 整体换元法：是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现.把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的. 题型08 一元二次方程的新定义问题 【典例8】对于任意实数a，b，定义新运算“”： ，例如：．若m，n是方程的两个实数根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】对于实数定义新运算：，例如：．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是 ． 【变式2】定义：若、是方程的两个整数根，且满足，则称此类方程为“自然方程”．例如：是“自然方程”． （1）下列方程是“自然方程”的是 （填序号） ①；②；③；④． （2）若方程是“自然方程”，n的值为 【变式3】定义新运算：对于任意实数a，b，c，有．如．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 ． 【变式4】如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是和，则方程是“倍根方程”． (1)根据上述定义，一元二次方程______（填“是”或“不是”）“倍根方程”； (2)若是“倍根方程”，求代数式的值． 一、单选题 1．用配方法解一元二次方程时，下列变形中，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．方程的根是（   ） A． B． C． D． 3．定义运算：．例如：．则方程的根的情况为（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有实数根 D．无实数根 4．k为实数，则关于x的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．不能确定根的情况 5．已知是实数，且满足则的值为（    ） A． B．或 C．或 D． 6．若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 7．若关于x的一元二次方程有一根为2025，则关于x的一元二次方程的其中一个根必为（    ） A．2022 B．2024 C．2025 D．2028 8．若关于的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程：与是“同族二次方程”．那么代数式能取的最小值是（   ） A．2018 B．2020 C．2025 D．2030 二、填空题 9．将方程化成的形式是 ． 10．若关于x的一元二次方程有一个根是1，则 ． 11．已知关于x的一元二次方程恰有一个根小于，则k的取值范围为 ． 12．把方程化成一般形式是 ，其中 13．已知实数满足方程，则的值是 ． 14．定义，若，则的值为 ． 三、解答题 15．用适当的方法解下列一元二次方程： (1)； (2)； (3) 16．已知关于x的一元二次方程. (1)若该方程有一个根是，求k的值. (2)若该方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围. 17．小李与小王两位同学解方程的过程如下框： 小李： 解：两边同除以，得 ， 则． 小王： 解：移项，得， 提取公因式，得． 则或， 解得，． 你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出正确的解答过程． 18．阅读材料：若是的一个因式，我们不难得到，易知．现在我们用另一种方法来求的值：观察上面的等式，可以发现当时，，也就是说是方程的一个根，由此可以得到，解得． 问题：若是的一个因式，请运用上述方法求出的值． 19．已知一元二次方程的两根都是整数，且不相等，若其中一根是另一根的整数倍，则称该方程是整根方程．例如：的两根为，．因为2是的倍，所以是整根方程． (1)求证：方程是整根方程； (2)若存在正整数，使关于的一元二次方程是整根方程，且关于的一元二次方程有实数根，求的值． 20．材料阅读：材料1：符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为，如． 材料2：我们已经学习过求解一元一次方程、二元一次方程组、分式方程等方程的解法，虽然各类方程的解法不尽相同，但是蕴含了相同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，还可以解一些新的方程．例如，求解部分一元二次方程时，我们可以利用因式分解把它转化为一元一次方程来求解．如解方程：．，．故或．因此原方程的解是，． 根据材料回答以下问题． (1)二阶行列式__________； (2)求解中的值； (3)结合材料，若，，且，求的值． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.2 一元二次方程的解法 教学目标 1.理解开平方法、配方法、公式法、因式分解法解方程的依据； 2.会用开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程； 3.会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程。 教学重难点 1.重点 （1）配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程的步骤和方法； （2）一元二次方程求根公式的推导过程； （3）能够根据方程的特点选择合适的方法解一元二次方程； （4）运用一元二次方程解决实际问题. 2.难点 （1）配方法中配方的关键步骤理解如何将一元二次方程转化为完全平方式。 （2）一元二次方程求根公式的推导过程，理解公式中各项的意义和使用条件。 （3）如何引导学生根据方程的特点选择最合适的解法，培养学生的解题策略意识。 知识点01 解一元二次方程-直接开方 （1）如或的一元二次方程可直接采用直接开平方解一元二次方程。 （2）如果化成的形式，那么可得 （3）如果方程能化成的形式，那么，进而得出方程的根 注意：（1）等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数 降次的实质是有一个一元二次方程转化为两个一元一次方程 方法是根据平方根的意义开平方 【即学即练】一元二次方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∴，． 故选：D． 知识点02 解一元二次方程-配方法 用配方法解一元二次方程：的一般步骤是： ①化为一般形式； ②移项，将常数项移到方程的右边； ③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数； ④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为的形式； ⑤如果就可以用两边开平方来求出方程的解；如果，则原方程无解． 【即学即练】用配方法解一元二次方程，变形后的结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， 移项，得， 配方，得， 即， 故选：B． 知识点03 解一元二次方程-公式法 用公式法求一元二次方程的一般步骤： （1）把方程化成一般形式，确定的值（注意符号) （2）求出判别式的值，判断根的情况 （3）在(注：此处读“德尔塔”)的前提下，把的值代入公式进行计算，求出方程的根。 【即学即练】一元二次方程，用求根公式求解时c的值是 ． 【答案】 【详解】解：方程化为一般式为， 所以c的值为， 故答案为：． 知识点04 解一元二次方程-因式分解 因式分解法解一元二次方程的一般步骤如下： （1）移项，使方程的右边化为零； （2）将方程的左边转化为两个一元一次多项式的乘积； （3）令每个因式分别为零； （4）两个因式分别为零的解就都是原方程的解。 如： 【即学即练】方程的解是 ． 【答案】， 【详解】解：， 移项，得：， 分解因式，得：， 或， 解得：，， 故答案为：，． 题型01 直接开平方法解一元二次方程 【典例1】用直接开平方法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 整理，得， ， 解得． （2）解： 整理，得， ， 解得． 【变式1】方程的根是 ． 【答案】， 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 【变式2】一元二次方程可转化为两个一元一次方程，其中一个是，则另一个是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， 或， 故选：D． 【变式3】已知等腰三角形的底边长为4，腰长恰好是关于的一元二次方程的一个根，则的周长为（   ） A．6 B．10 C．14 D．6或14 【答案】C 【详解】解：由一元二次方程，得， 解得，或； ∴等腰三角形的两腰长是5或1； ①当等腰三角形的腰长是1时，，构不成三角形，所以不合题意，舍去； ②当等腰三角形的腰长是5时，，，所以能构成三角形， 所以该等腰三角形的周长； 故选：C． 【变式4】关于的方程，下列说法正确的是（   ） A．当时，有两个解 B．有两个解 C．当时，有两个解 D．当时，方程无实根 【答案】A 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴ ∴当时，有两个解， 当时，无意义，即此时方程无解， 故选：A． 题型02 配方法解一元二次方程 【典例2】用配方法解关于x的方程，则变形正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 将常数项移到方程右侧，得， 取一次项系数4的一半（即2），平方后为， 将其添加到方程两侧，得， 左侧化为完全平方式，右侧计算得， 故选：B 【变式1】用配方法解方程，应在方程两边同时加上（    ） A．9 B．6 C．36 D．3 【答案】A 【详解】解：用配方法解方程， 两边都加上9， 得， 得． 故选：A． 【变式2】关于x的一元二次方程可通过配方法转化为的形式，则m的值为（ 　） A． B．9 C． D．3 【答案】C 【详解】解： ， 方程可通过配方法转化为的形式， ， 解得：． 故选：C． 【变式3】用配方法解一元二次方程，得到，从而解得方程的一个根为1，则 ． 【答案】3 【详解】由，得，即．∵方程的一个根为1，且，，∴原方程为．整理，得 ， ． 【变式4】小明在解关于的方程时，只抄对了，，解出其中一个根是．他核对时发现所抄的比原方程的值大．求原方程的根． 【答案】， 【详解】解：由题意可知，小明解的方程是， 把代入方程， 可得：， 解得：， 原方程为， 方程两边同时加可得：， 把方程左边分解因式可得：， 两边同时开平方可得：， 或， 解得：，． 题型03 根据判别式判断一元二次方程根的情况 【典例3】关于一元二次方程的根的情况，下列结论正确的是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况 【答案】A 【详解】解：， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 【变式1】一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【详解】解：，整理，得：， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根； 故选A． 【变式2】关于的一元二次方程的根的情况是（    ） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 【答案】C 【详解】解：， ， 关于的一元二次方程的根的情况是有两个不相等的实数根， 故选：C． 【变式3】已知，，为常数，点在第四象限，则关于的方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【答案】A 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 【变式4】已知三角形的三边长分别为，则关于x的方程的根的情况是（   ） A．没有实数根 B．有且只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】A 【详解】解：由题意，得， 关于x的方程， 则． ∵三角形的三边长分别为， ∴，， ∴， ∴原方程没有实数根． 故选A． 题型04 根据一元二次方程根的情况求参数 【典例4】若关于的一元二次方程无实数根，则实数的取值范围为（   ） A． B．，且 C． D． 【答案】A 【详解】解：关于的一元二次方程无实数根， ，， 解得， 故选：A． 【变式1】若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：对于一元二次方程，其判别式为： ， 当方程有两个相等的实数根时，，即：， 解得， 实数的值为． 故选：． 【变式2】已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（   ） A． B．6 C．或 D．或 【答案】D 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ， 即， 开方得：或， 解得：或． 故选：D． 【变式3】若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 【答案】且 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴且， 故答案为：且． 题型05 公式法解一元二次方程 【典例5】用公式法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2) 【详解】解：（1），，， ， 方程有两个不等的实数根， ，． （2）原方程可化为． ，，， ， 方程有两个相等的实数根． 【变式1】解方程最适当的方法是（    ） A．直接开方法 B．配方法 C．求根公式法 D．因式分解法 【答案】C 【详解】解：， ， ， 故选：C． 【变式2】若可以表示某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵可以表示某个一元二次方程的根， ∴，，， ∴这个一元二次方程为， 故选：D． 【变式3】用公式法解关于的方程： (1) (2) 【答案】(1)或 (2)或 【详解】（1）解： ， ， ，，， ， ； 或； （2）， ，，， △ ， 或． 【变式4】关于x的一元二次方程的一个整数解满足． (1)求m的值； (2)求的另一个解． 【答案】(1) (2)2 【详解】（1）解：依题意满足的整数是， 将代入方程， 得， ∴ 解得； （2）解：将代入， 得方程为， 则， ∴， 故， ∴； ∴方程的另一个解为2． 题型06 因式分解法解一元二次方程 【典例6】下列一元二次方程最适合用因式分解法求解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A. ，即，适合配方法解一元二次方程，故该选项不符合题意； B. ，即，不适合因式分解法解一元二次方程，故该选项不符合题意； C. ，适合配方法解一元二次方程，故该选项不符合题意；     D. ，整理得，，移项以后可提取公因式，进行因式分解，故该选项符合题意； 故选：D． 【变式1】根据因式分解法解一元二次方程的方法，写出一个以x为未知数，和4为根的一元二次方程： （化为一般形式）． 【答案】（答案不唯一） 【详解】由已知条件可列方程,（答案不唯一） 化为一般形式可得（答案不唯一） 【点睛】此题主要考查根据两根求一元二次方程的一般形式，熟练掌握后，即可解题. 【变式2】已知某三角形的两边长恰是一元二次方程的两根，则该三角形第三边长可能是（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【详解】解： ， 解得：， 则三角形的两边长分别为：2，8， 设第三边为x，则由三角形的三边关系定理得：， 即， 只有8符合题意， 故选：C． 【变式3】用因式分解法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2) 【点拨】（1）先移项，再提取公因式；（2）可以把看作一个整体，再因式分解． 【解】（1）移项，得， 即． 因式分解，得， 或， 解得，． （2）因式分解，得，， 解得． 【变式4】小李与小王两位同学解方程的过程如下框：你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“”；若错误请在框内打“”，并写出正确的解答过程． 小李： 解：两边同除以，得 ， 则． 小王： 解：移项，得， 提取公因式，得． 则或， 解得，． 【答案】见解析 【详解】解：两个都错：； ， ， ， ， ，． 题型07 换元法解一元二次方程 【典例7】已知方程 的解是 ， ， 则方程 的解是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】解：设，则原方程可转化为， ∵方程 的解是 ， ， ∴方程的解为，， 当时，，解得， 当时，，解得， 因此，方程的解为，， 故选：C． 【变式1】已知是实数，且满足，则的值为（  ） A．3 B．3或 C．或6 D．6 【答案】A 【详解】解：设， 原方程变为． ∴． ∴，． 当时，方程的判别式，存在实数解． 当时，方程的判别式，无实数解． ∴满足条件． 故选：A． 【变式2】若方程的解为，，则方程的解为 ． 【答案】， 【详解】解：， ， 关于的方程的解是，， 方程化为或， 解得，． 故答案为：，． 【变式3】若关于x的一元二次方程的解是，，则的解是 ． 【答案】或 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的解是，， ∴关于x的一元二次方程，即的解满足或， ∴或， 故答案为：或． 【变式4】求方程的正整数解． 【答案】原方程的正整数解为，，． 【详解】解：以x为主元，有，方程的正整数解． 则是完全平方数， 所以，1，4，9，16，解得，4． 当时，，，（舍）； 当时，，，． 所以原方程的正整数解为，，． 整体换元法：是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现.把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的. 题型08 一元二次方程的新定义问题 【典例8】对于任意实数a，b，定义新运算“”： ，例如：．若m，n是方程的两个实数根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， 整理得：， ∵m，n是方程的两个实数根， 即m，n是方程的两个实数根， ∴； ∴； 故选：A． 【变式1】对于实数定义新运算：，例如：．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是 ． 【答案】 【详解】解：由题意得，， ∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式2】定义：若、是方程的两个整数根，且满足，则称此类方程为“自然方程”．例如：是“自然方程”． （1）下列方程是“自然方程”的是 （填序号） ①；②；③；④． （2）若方程是“自然方程”，n的值为 【答案】 ②④ 0或2 【详解】解：（1）①， ， ， 解得，， ∵， ∴方程不是“自然方程”； ②， ， 解得，， ∵， ∴方程是“自然方程”； ③ ， 解得，， ∵， ∴方程不是“自然方程”； ④， ， ， 解得，， ∵， ∴方程是“自然方程”； 故答案为：②④； （2）， ， 解得， ∵， ∴， 解得或． 故答案为：0或2． 【变式3】定义新运算：对于任意实数a，b，c，有．如．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴，即， ∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式4】如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是和，则方程是“倍根方程”． (1)根据上述定义，一元二次方程______（填“是”或“不是”）“倍根方程”； (2)若是“倍根方程”，求代数式的值． 【答案】(1)不是 (2)的值为0． 【详解】（1）解：， 解得：， ∵，， ∴该方程不是“倍根方程”， 故答案为：不是； （2）解：方程的两个根为：， ∴或，即或， 当时， ； 当时，； 故：的值为0． 一、单选题 1．用配方法解一元二次方程时，下列变形中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由变形得：， 配方得：，即； 所以选：A． 2．方程的根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：将方程化为一般式， ∴a=2，b=-8，c=-3， ∴Δ==64-4×2×（-3）=88＞0， ∴ 故选： A． 3．定义运算：．例如：．则方程的根的情况为（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有实数根 D．无实数根 【答案】A 【详解】由题意得方程，即 ． 整理得： 计算判别式： 由于，方程有两个不相等的实数根． 故选A． 4．k为实数，则关于x的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．不能确定根的情况 【答案】A 【详解】解：对于一元二次方程，其中，， ． ∴判别式 ． ∴方程有两个实数根． 故选A ． 5．已知是实数，且满足则的值为（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】A 【详解】解：设，则有 ， ， 解得：，（舍去）， ， 故选：A． 6．若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴二次项系数，即． 令，即， 解得． ∴且 故选：C． 7．若关于x的一元二次方程有一根为2025，则关于x的一元二次方程的其中一个根必为（    ） A．2022 B．2024 C．2025 D．2028 【答案】A 【详解】解：由题意得，， 代入到方程，得， 整理得：， ， ， ， ， 解得：，， 关于x的一元二次方程的其中一个根必为2022． 故选：A． 8．若关于的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程：与是“同族二次方程”．那么代数式能取的最小值是（   ） A．2018 B．2020 C．2025 D．2030 【答案】B 【详解】解：由题意，得：第二个方程可以写成的形式，展开得： ∴，，， 解得：， ∴， ∴能取的最小值是2020； 故选B． 二、填空题 9．将方程化成的形式是 ． 【答案】 【详解】解：， 等式变形得，， 等式两边同时加上得，， ∴配方得，， 故答案为： ． 10．若关于x的一元二次方程有一个根是1，则 ． 【答案】 【详解】解：一元二次方程有一个根是1， ， 解得：， 故答案为：． 11．已知关于x的一元二次方程恰有一个根小于，则k的取值范围为 ． 【答案】 【详解】解：由题意可得：， ∴此方程总有两个实数根， ∴， ∴，， ∵关于x的一元二次方程恰有一个根小于， ∴， ∴， 故答案为：． 12．把方程化成一般形式是 ，其中 【答案】 65 【详解】解： 去括号得：， 移项、合并同类项得： ∴ ∴把方程化成一般形式是，其中． 故答案为：，65． 13．已知实数满足方程，则的值是 ． 【答案】3 【详解】解：令， 则原式为， 解得， 当时，，方程有实数根， 当时，，方程没有实数根， ， 故答案为：3． 14．定义，若，则的值为 ． 【答案】0或4/4或0 【详解】解：当时，， 经检验，符合题意； 当时，， 解得：或（舍）， 综上，的值为0或4， 故答案为：0或4． 三、解答题 15．用适当的方法解下列一元二次方程： (1)； (2)； (3) 【答案】(1)， (2)， (3)， 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得，； （2）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， 解得，； （3）解： 解得，． 16．已知关于x的一元二次方程. (1)若该方程有一个根是，求k的值. (2)若该方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：把代入，得， 解得； （2）解：由题意，得， 解得. 17．小李与小王两位同学解方程的过程如下框： 小李： 解：两边同除以，得 ， 则． 小王： 解：移项，得， 提取公因式，得． 则或， 解得，． 你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出正确的解答过程． 【答案】×；×；，．正确的解答过程见解析 【详解】×；× 解： ，． 18．阅读材料：若是的一个因式，我们不难得到，易知．现在我们用另一种方法来求的值：观察上面的等式，可以发现当时，，也就是说是方程的一个根，由此可以得到，解得． 问题：若是的一个因式，请运用上述方法求出的值． 【答案】 【详解】解：是的一个因式， ∴是 的一个根， 把代入方程得： ， ． 19．已知一元二次方程的两根都是整数，且不相等，若其中一根是另一根的整数倍，则称该方程是整根方程．例如：的两根为，．因为2是的倍，所以是整根方程． (1)求证：方程是整根方程； (2)若存在正整数，使关于的一元二次方程是整根方程，且关于的一元二次方程有实数根，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)1 【详解】（1）证明：， ，， 是3的倍， 是整根方程； （2）解： ，， 总有实数根， ， 解得：， 正整数，使得关于的一元二次方程是整根方程， 时，的根为，，不是整根方程， 时，的根为，，是整根方程， ． 20．材料阅读：材料1：符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为，如． 材料2：我们已经学习过求解一元一次方程、二元一次方程组、分式方程等方程的解法，虽然各类方程的解法不尽相同，但是蕴含了相同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，还可以解一些新的方程．例如，求解部分一元二次方程时，我们可以利用因式分解把它转化为一元一次方程来求解．如解方程：．，．故或．因此原方程的解是，． 根据材料回答以下问题． (1)二阶行列式__________； (2)求解中的值； (3)结合材料，若，，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得； （3）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$