专题1.3 一元二次方程的根与系数的关系（知识梳理+12个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共47题）-2025-2026学年苏科版数学九年级上册同步培优精编讲练

专题1.3 一元二次方程的根与系数的关系 （知识梳理+11个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共47题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：根与系数的关系 1 优选题型 考点讲练 3 考点1：利用根与系数的关系直接求代数式的值 3 考点2：利用根与系数的关系结合方程的解直接求代数式的值 4 考点3：利用根与系数的关系结合方程的解降次求代数式的值 6 考点4：利用根与系数的关系求参数的值 8 考点5：利用根与系数的关系求参数的取值范围 9 考点6：利用根与系数的关系构造一元二次方程求解 12 考点7：不解方程由根与系数的关系判断根的正负 13 考点8：由已知方程根的情况判断另一个方程根的情况 13 考点9：根与系数的关系与几何图形的综合运用 14 考点10：根与系数的关系与新定义运算的综合运用 18 考点11：根与系数的关系和根的判别式的综合应用 20 中考真题 实战演练 23 难度分层 拔尖冲刺 25 基础夯实 25 培优拔高 30 知识点梳理01：根与系数的关系 如果一元二次方程（）的两根为那么，就有 比较等式两边对应项的系数，得 ①式与②式也可以运用求根公式得到．人们把公式①与②称之为韦达定理，即根与系数的关系． 因此，给定一元二次方程就一定有①与②式成立．反过来，如果有两数满足①与②，那么这两数必是一个一元二次方程的根．利用这一基本知识常可以简捷地处理问题． 利用根与系数的关系，我们可以不求方程的根，而知其根的正、负性． 在的条件下，我们有如下结论： 当时，方程的两根必一正一负．若，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若，则此方程的正根小于负根的绝对值． 当时，方程的两根同正或同负．若，则此方程的两根均为正根；若，则此方程的两根均为负根． ⑴ 韦达定理（根与系数的关系）： 如果的两根是，，则，．(隐含的条件：) ⑵ 若，是的两根(其中)，且为实数，当时，一般地： ① ， ② 且， ③ 且， 特殊地：当时，上述就转化为有两异根、两正根、两负根的条件． ⑶ 以两个数为根的一元二次方程(二次项系数为1)是：． ⑷ 其他： 1 若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根(，为有理数)． 2 若，则方程必有实数根． 3 若，方程不一定有实数根． 4 若，则必有一根． 5 若，则必有一根． ⑸ 韦达定理（根与系数的关系）主要应用于以下几个方面： 1 已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； 2 已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； 3 已知方程的两根，求作方程； 4 结合根的判别式，讨论根的符号特征； 5 逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理； ⑤ 利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱． 考点1：利用根与系数的关系直接求代数式的值 【典例精讲】（24-25九年级上·安徽芜湖·阶段练习）若方程的两根为，，则的值为（    ） A． B．1 C．5 D．7 【答案】D 【思路引导】本题考查一元二次方程的根系关系，将所求代数式正确变形是解题关键． 利用二次方程根与系数的关系，将所求代数式转化为根的和与积的形式，代入计算即可． 【规范解答】解：∵方程 的两根为 和 ， ∴， ∴ ． 故选： D． 【变式训练】（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知关于x的一元二次方程的两根分别为a、b，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查一元二次方程根与系数的关系，分式化简求值．掌握一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键．根据一元二次方程根与系数的关系可求出，，再将所求式子变形为，最后整体代入求值即可． 【规范解答】解：方程 的两根为 和 ， 由根与系数的关系，得：， 将 通分并化简：， 则． 故选：D． 考点2：利用根与系数的关系结合方程的解直接求代数式的值 【典例精讲】（24-25九年级下·全国·假期作业）判别下列方程根的情况．若有两个实数根，求出两个根的和与积． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)有两个不相等的实数根，， (2)有两个相等的实数根，， (3)有两个不相等的实数根，， (4)有两个不相等的实数根，， 【思路引导】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系． 各个小题均根据根的判别式判断方程根的情况，再根据根与系数的关系，求出两根和与两根积． 【规范解答】（1）解：， ，，， △ ， 方程有两个不相等的实数根， 设方程的两个根为：，， ； （2）解：， ，，， △ ， 方程有两个相等的实数根， 设方程的两个根为：，， ； （3）解：， ，，， △ ， 方程有两个不相等的实数根， 设方程的两个根为：，， ； （4）解：， ，，， △ ， 方程有两个不相等的实数根， 设方程的两个根为：，， ． 【变式训练】（24-25九年级下·全国·假期作业）不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积． (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【思路引导】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，正确记忆根与系数关系是解题关键． （1）首先去括号，进而整理为一元二次方程的一般形式，再利用根与系数的关系求出即可； （2）首先整理为一元二次方程的一般形式，再利用根与系数的关系求出即可． 【规范解答】（1）解：， 整理得：， 则，； （2）解：， 整理得：， 则，． 考点3：利用根与系数的关系结合方程的解降次求代数式的值 【典例精讲】（24-25九年级上·河南许昌·阶段练习）阅读下列材料，完成相应任务． 十六世纪的法国数学家弗朗索瓦•韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关系，可表述为“当判别式时，关于的一元二次方程的两个根，有如下关系：，”．此关系通常被称为“韦达定理”． (1)若一元二次方程的两个实数根为，，则_____，_____． (2)已知关于的方程有两个实数根． ①求的取值范围． ②若此方程的两根分别为，，且，求的值． 【答案】(1) (2)①；②． 【思路引导】本题主要考查的是一元二次方程根与系数的关系、根的判别式等知识点，熟知、是一元二次方程的两根时，是解题的关键． （1）直接根据一元二次方程根与系数的关系解答即可； （2）①由一元二次方程根的判别式得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可；②根据一元二次方程根与系数的关系用m表示出和，然后得到关于m的方程求解即可． 【规范解答】（1）解：∵一元二次方程的两个实数根为、， ∴． 故答案为：． （2）解：①∵关于x的方程有两个实数根， ∴，解得：； ②∵关于x的方程的两根分别为α，β， ∴， ∵， ∴，即，解得， 由①知， ∴． 【变式训练】（24-25九年级上·广西柳州·阶段练习）（1）解方程： （2）已知一元二次方程的两根分别为，， 求：①的值， ②的值． 【答案】（1），；（2）①1；② 【思路引导】本题考查解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系． （1）运用因式分解法求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【规范解答】解：（1）， 因式分解，得， ∴或， ∴，； （2）∵一元二次方程的两根分别为，， ∴， ． 考点4：利用根与系数的关系求参数的值 【典例精讲】（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，它们分别为． (1)求m的取值范围； (2)若，求m的值． 【答案】(1) (2)1 【思路引导】本题主要考查了一元二次方程的判别式、韦达定理以及方程的求解方法．解题的关键在于利用韦达定理将 转化为关于 m 的方程，并解出 m 的值． （1）利用判别式 确定方程有两个不相等的实数根，从而得到 m 的取值范围； （2）应用韦达定理将根的和与积表示出来，并通过给定条件转化为关于 m 的方程；最后解出 m 的值并验证其合理性，确保满足初始条件，特别是判别式的条件． 【规范解答】（1）解：， ∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ， ， 的取值范围为； （2）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根分别为， ， ， ， ， 解得：（不符合题意，舍去）， 的值为1． 【变式训练】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根分别为、，且，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题主要考查了根与系数的关系、根的判别式等知识点，熟知一元二次方程根与系数的关系及根的判别式是解题的关键． （1）利用一元二次方程根的判别式判断方程根的情况即可解答． （2）利用一元二次方程根与系数的关系可得、，再与结合可得，易得求解即可． 【规范解答】（1）证明：∵关于的一元二次方程为， ∴， ∴此方程总有两个不相等的实数根． （2）解：∵方程的两个实数根分别为、， ∴，， ∴，解得：， ∴，解得：． 考点5：利用根与系数的关系求参数的取值范围 【典例精讲】（24-25九年级上·四川资阳·期中）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，． (1)求m的取值范围； (2)当时，求m的值． 【答案】(1)且； (2) 【思路引导】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意可得，据此求解即可； （2）由根与系数的关系得到，， 再根据已知条件得到，解之即可得到答案． 【规范解答】（1）解：由题意得，，且 ∴且； （2）由题意得，，， ∵， ∴，即， 整理得：， 解得：或（舍）， ∴． 【变式训练】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的倍为正整数），则称这样的方程为“倍根方程”．例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是“二倍根方程”；方程的两个根分别是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”． (1)根据上述定义，是“________倍根方程”； (2)若关于的方程是“三倍根方程”，求的值； (3)直线：与轴交于点，直线过点，且与相交于点．若一个五倍根方程的两个根为和，且点在的内部（不包含边界），求的取值范围． 【答案】(1)四 (2) (3) 【思路引导】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，一次函数与几何综合，正确理解“倍根方程”的定义是解题的关键． （1）利用因式分解法求出方程的两个根，再根据“倍根方程”的定义求解即可； （2）由题意可设这个方程的两个根分别为，则由根与系数的关系可得，据此求解即可； （3）利用待定系数法求出直线解析式为；再根据题意可得，则可得点P在直线上，求出直线与直线的交点坐标，直线与直线的交点坐标，根据点在的内部（不包含边界），结合函数 图象即可得到答案． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得， ∵， ∴是“四倍根方程”； （2）解：∵关于的方程是“三倍根方程”， ∴可设这个方程的两个根分别为， ∴， ∴， ∴； （3）解：设直线解析式为， 把代入到中得， ∴， ∴直线解析式为； ∵一个五倍根方程的两个根为和， ∴， ∴点P的坐标为， ∴点P在直线上， 联立，解得， 联立，解得， ∵点在的内部（不包含边界）， ∴． 考点6：利用根与系数的关系构造一元二次方程求解 【典例精讲】（24-25九年级上·江苏扬州·期中）关于的一元二次方程的一个根为，则它的另一个根为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，设方程的另一个根为m，则，解方程即可得到答案． 【规范解答】解：设方程的另一个根为m， 由根与系数的关系可得， ∴， ∴方程的另一个根为， 故答案为；． 【变式训练】（24-25九年级上·云南红河·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查根的判别式，根与系数之间的关系，熟练掌握根的判别式和根与系数之间的关系，是解题的关键： （1）求出判别式的符号进行判断即可； （2）根据根与系数的关系进行求解即可． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴ ； ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）由题意，得：， ∴． 考点7：不解方程由根与系数的关系判断根的正负 【典例精讲】（2025·湖南长沙·三模）已知，是一元二次方程的两个实数根，则 ． 【答案】3 【思路引导】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握这一关系是解题的基础；由一元二次方程根与系数的关系即可求解． 【规范解答】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴； 故答案为：3． 【变式训练】（2025·天津南开·三模）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则两根之积为（    ） A． B． C．9 D．36 【答案】C 【思路引导】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，掌握这两个知识点是关键；先由根的判别式求出c的值，再由根与系数的关系即可求解． 【规范解答】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴； 即方程为； 由根与系数的关系知，两根之积为为9． 故选：C． 考点8：由已知方程根的情况判断另一个方程根的情况 【典例精讲】（2025·宁夏银川·三模）已知一元二次方程的一个根为2，则它的另一个根是 ． 【答案】3 【思路引导】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此求解即可． 【规范解答】解：设该方程的另一个根为m， 由根与系数的关系可得， ∴，即方程的另一根为3， 故答案为：3． 【变式训练】（2025·内蒙古·模拟预测）已知一元二次方程的一个根为1，则它的另一个根是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【思路引导】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据根与系数的关系，可知两根之和，从而求得另一个根． 【规范解答】解：由题意可知，， 那么有 即方程的另一个根为． 故选：D 考点9：根与系数的关系与几何图形的综合运用 【典例精讲】（21-22九年级上·四川绵阳·阶段练习）（1）在下列网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4． ①试在图中做出△ABC以A为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形△AB1C1； ②若点B的坐标为（﹣3，5），试在图中画出直角坐标系，并标出A、C两点的坐标； （2）关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0有两个不等实根x1、x2． ①求实数k的取值范围； ②是否存在实数k，使方程两根之积等于方程的两根之和的2倍． 【答案】（1）①见解析；②见解析，A（0、1）、C（-3、1）；（2）①k＞；②不存在实数k，使方程两根之积等于方程的两根之和的2倍，理由见解析 【思路引导】（1）①直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案； ②利用B点坐标得出原点位置，进而得出A、C两点的坐标； （2）①由方程的系数结合根的判别式即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出实数k的取值范围； ②由根与系数的关系可得x1+x2=-（2k+1）、x1•x2=k2+1，结合x1•x =2(x1+x2)即可得出关于k的一元二次方程，利用差别式即可求解． 【规范解答】解：（1）如图所示：△AB1C1，即为所求； ②如图所示：A（0、1）、C（-3、1）； （2）①∵方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有两个不等实根， ∴Δ=（2k+1）2-4（k2+1）＞0， 即4k-3＞0， 解得：k＞； ②不存在实数k，使方程两根之积等于方程的两根之和的2倍． 理由如下： ∵x1+x2=-（2k+1）、x1x2=k2+1， ∴由题意得：x1•x =2(x1+x2)，得：k2+1=2， 整理，得：k2+4k+3=0， 解得：k=-1或k=-3， ∵k＞， ∴k=-1或k=-3都不满足题意． ∴不存在实数k，使方程两根之积等于方程的两根之和的2倍． 【考点评析】本题考查了利用旋转变换作图，根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解第（1）题的关键；根据根与系数的关系找出关于k的一元二次方程是解第（2）题的关键． 【变式训练】（24-25九年级上·四川成都·期中）（1）已知k为实数，关于x的方程有两个实数根． ①求实数k的取值范围； ②若，试求k的值． （2）如图，在菱形中，对角线相交于点O，． ①求证：四边形是矩形； ②若，求四边形的面积． 【答案】（1）①；②；（2）①见解析；② 【思路引导】（1）①把方程化为一般式，再根据判别式的意义得到，然后解不等式即可； ②利用根与系数的关系得到，再利用得到．然后解关于k的方程后利用k的范围确定满足条件的k的值； （2）①根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可； ②证明三角形是等边三角形得出的长，再根据勾股定理求出的长即可得出结果． 【规范解答】解：（1）①∵关于x的方程有两个实数根 即关于x的方程有两个实数根， ∴， ∴， ∴实数k的取值范围为； ②∵方程的两根为， ∴， ∵，即， ∴， 解得：， ∵， ∴； （2）①证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形； ②解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 由（1）得：四边形是矩形， 在中，由勾股定理得：， ∴四边形的面积． 【考点评析】本题考查了根的判别式，根与系数关系，矩形的判定与性质，菱形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记各知识点是解题的关键． 考点10：根与系数的关系与新定义运算的综合运用 【典例精讲】（24-25九年级上·贵州遵义·期中）若关于的一元二次方程有两个实数根，，且，那么称这样的方程为“邻近根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，则方程是“邻近根方程”． (1)判断方程是否为“邻近根方程”并说明理由； (2)若关于的方程（是常数）是“邻近根方程”，求的值． 【答案】(1)该方程不是邻近根方程，见解析 (2)2 【思路引导】本题主要考查了解一元二次方程，新定义运算，解二元一次方程组，根与系数的关系，解题的关键是理解题意，熟练掌握“邻近根方程”定义． （1）根据“邻近根方程”的定义进行判断即可； （2）设该方程的两个根分别为，，且，根据根与系数的关系和“邻近根方程”的定义得出，求出，即可得出答案． 【规范解答】（1）解：， 因式分解得：， ∴或， 解得：， ， 该方程不是邻近根方程； （2）解：设该方程的两个根分别为，，且， 该方程是邻近根方程， ， ， ， 解得， ， 的值为2． 【变式训练】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）材料一：定义：若关于x的一元二次方程有两个实数根，且满足，则称此类方程为“和积方程”． 例如：，即，解得 ，是“和积方程”． 材料二：法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，则：，这就是一元二次方程根与系数的关系，也被称作“韦达定理”． (1)方程 （填是或不是）“和积方程”； (2)若关于x的方程是“和积方程”，则_____ (3)若关于x的一元二次方程是“和积方程”，求m的值． 【答案】(1)不是 (2)或 (3)m的值为或或． 【思路引导】本题考查了新定义运算，解一元二次方程，根的判别式，根与系数的关系，理解新定义是解题的关键． （1）根据“韦达定理”计算即可判断； （2）根据“韦达定理”结合“和积方程”的定义，得到，据此计算即可求解； （3）利用要根的判别式求得，再根据“韦达定理”结合“和积方程”的定义，得到，据此计算即可求解． 【规范解答】（1）解：设方程的两个实数根为，， ∴，， ∵， ∴， ∴方程不是“和积方程”， 故答案为：不是； （2）解：∵关于x的方程是“和积方程”， ，， ∴， 当时，解得； 当时，解得； （3）解：∵方程有两个实数根， ∴， ∴， ∵方程是“和积方程”， ∴， 当时， 整理得， 解得（舍去）或； 当时， 整理得， 解得或； ∴m的值为或或． 考点11：根与系数的关系和根的判别式的综合应用 【典例精讲】（25-26九年级上·全国·课后作业）阅读材料：已知实数满足，且，求的值． 解：由题意知是方程的两个不相等的实数根， 根据上述材料解决以下问题： (1)已知实数满足，，且，求的值． (2)已知实数分别满足，，且．求的值． 【答案】(1) (2)-1 【思路引导】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，解题的关键是掌握根与系数的关系． 由题意得出是方程的两个不相等的实数根，据此知，将其代入计算即可； 把变形为，据此可得实数和可看作方程的两个不相等的实数根，继而知，进一步代入计算可得． 【规范解答】（1）解：由题意知是方程的两个不相等的实数根， 故答案为：． （2）解：把两边同时除以，得 ． 又， 实数和可看作方程的两个不相等的实数根， ． 故答案为：． 【变式训练】（24-25九年级上·四川内江·期中）我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于x的方程的两个根是，，那么由求根公式可推出，，请根据这一结论，解决下列问题： (1)若，是方程的两根，则________，________；若2，3是方程的两根，则________，________； (2)已知两个不相等的实数m，n满足，且，求的值． (3)已知a，b，c，满足，，则正整数c的最小值为________． 【答案】(1)，，，6 (2)； (3)3 【思路引导】本题主要考查了根与系数的关系、根的判别式等知识点：若一元二次方程的两个根是，那么，． （1）直接利用根与系数的关系可得和的值，根据根与系数的关系得到，即可得到p、q的值； （2）等式变形为，m、可看作方程的两根，利用根与系数的关系即可解答； （3）利用已知条件变形得到，，根据根与系数的关系，则a、b为一元二次方程的两根，再根据根的判别式的意义得到，然后确定c的最小整数值． 【规范解答】（1）解：∵，是方程的两根， ∴，； ∵2，3是方程的两根， ∴，解得． 故答案为：，，，6； （2）解：∵， ∴，即， ∵两个不相等的实数m，n满足，， ∴m、可看作方程的两根， ∵， ∴； （3）解：∵，， ∴，， ∴a、b为一元二次方程的两根， ∵，而， ∴，即． ∴c的最小整数为3． 故答案为：3． 1．（2025·江苏苏州·中考真题）已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，其中，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系得到，结合，进行求解即可，熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键． 【规范解答】解：∵是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 2．（2025·四川泸州·中考真题）若一元二次方程的两根为，则的值为 ． 【答案】10 【思路引导】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则． 先根据题意得到，，则将变形为，即可求解． 【规范解答】解：∵一元二次方程的两根为， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：10． 3．（2025·四川南充·中考真题）设，是关于的方程的两根． (1)当时，求及m的值． (2)求证：． 【答案】(1)，； (2)详见解析． 【思路引导】本题主要考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，方程的解，正确理解一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；熟记：一元二次方程的两个根为，，则，是解题的关键． （）把代入方程求出，然后再解一元二次方程即可； （）利用根的判别式，根与系数的关系求解即可． 【规范解答】（1）解：把代入方程得， ∴ ， ∴，即， 解方程得，，， 故，； （2）证明：方程可化为， ∵， ∴原方程有两个不相同实数根， 由根与系数的关系得，， ∵， ∵， ∴． 4．（2025·黑龙江绥化·中考真题）已知，是关于的一元二次方程的两个根，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查一元二次方程根与系数的关系以及代数式求值，先求出根与系数的关系，将代数式变形后代入计算即可． 【规范解答】解：，是关于的一元二次方程的两个根， ， ， 故答案为：． 5．（2025·湖北·中考真题）一元二次方程的两个实数根为，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系，直接计算根的和与积，结合选项判断正确答案. 【规范解答】解：对于方程 ，设其根为和， 根据根与系数的关系： ∴，； 故选：D 基础夯实 1．（2025·天津·模拟预测）方程的两根为、，则的值为（　　） A． B． C． D．3 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了一元二次方程，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，． 根据一元二次方程根与系数的关系进行解答即可． 【规范解答】解：∵、是方程的两根， ． 故选：A． 2．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）若，是一元二次方程的两个根，则的值为（   ） A． B．3 C． D．10 【答案】B 【思路引导】本题考查一元二次方程根与系数的关系．解题的关键是掌握：若，是一元二次方程的两个实数根，则，．据此解答即可． 【规范解答】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴， ∴的值为． 故选：B． 3．（2025·广西南宁·三模）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若，则m的值为（    ）． A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【思路引导】利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），找到两根之积与方程系数的关系，进而求解的值．本题主要考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），熟练掌握韦达定理中两根之积与方程系数的对应关系是解题的关键． 【规范解答】解：一元二次方程，韦达定理指出两根、有． 在方程中，，，， ∴， 解得 ． 故选：B 4．（2025·广西崇左·三模）若是方程 的两个根，则的值为（    ） A． B．1 C．6 D． 【答案】A 【思路引导】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【规范解答】解：∵，是方程的两个实数根， ∴． 故选：A． 5．（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）若是一元二次方程的两个根，则的值为 ． 【答案】 【思路引导】本题可根据一元二次方程根与系数的关系来求解两根之积．本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握对于一元二次方程，两根满足是解题的关键． 【规范解答】解：∵ 方程中，，是一元二次方程的两个根， ∴ 故答案为：． 6．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）已知，是一元二次方程的两个根，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，由根与系数的关系得，即可求解；掌握、是一元二次方程的两个根，则有是解题的关键． 【规范解答】解：由题意得 ， ， 故答案为：． 7．（24-25九年级上·全国·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程总有两个实数根，求m的取值范围； (2)若方程有一个实数根为1，求m的值和另一个实数根． 【答案】(1)； (2)m的值为1， 另一根为3 【思路引导】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及因式分解法解一元二次方程． （1）由方程有两个实数根结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围； （2 ）设为方程的另一个根，根据根与系数的关系可得出，，解方程组即可得出结论． 【规范解答】（1）解：∵关于x的方程总有两个实数根， ∴， 解得：； （2）解：设为方程的另一个根， ∴，． 解得：，， ∴m的值为1，另一个根为3． 8．（24-25八年级下·北京·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数的取值范围； (2)设，是方程的两个根且，求的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】此题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数关系、解一元二次方程、解一元一次不等式等知识，熟练掌握一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数关系是解题的关键． （1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根得到关于m的不等式，即可求出答案； （2）根据根与系数关系得到，代入，解关于m的一元二次方程，并根据（1）确定m的值，求解即可． 【规范解答】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：； （2）解：∵，是方程的两个根， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：， ∵， ∴． 9．（24-25八年级下·安徽六安·期末）已知关于x的方程 (1)说明无论k取何实数值，该方程必有两个实数根； (2)若该方程的两根分别是，且，求k的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查了一元二次方程的根与系数以及根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． （1）先计算判别式得到，根据非负数的性质得，然后根据判别式的意义即可得到方程总有两个实数根； （2）根据，再结合，得出，代入原方程进行计算，即可作答． 【规范解答】（1）解：， ∴此方程总有两个实数根； （2）解：方程的两根分别是， ①． ②， ∴由，得， ． 将代入原方程，得， 解得：． 10．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）已知关于的一元二次方程，其中，，分别为三边的长． (1)若是等边三角形，求方程的根； (2)若是直角三角形，且为斜边长，试判别方程根的情况． 【答案】(1)， (2)有两个相等的实数根 【思路引导】本题主要考查了等边三角形的性质，解一元二次方程，根与系数的关系，勾股定理： （1）根据等边三角形的性质可得，原方程变形为，即可求解； （2）根据勾股定理可得，再利用一元二次方程根与系数的关系解答即可． 【规范解答】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∴方程变为，即：， 解得：，； （2）解：∵是直角三角形，为斜边， ∴， ∴， ∴方程有两个相等的实数根． 培优拔高 11．（24-25九年级上·天津武清·阶段练习）若一元二次方程的两根为，则的值是（   ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】A 【规范解答】此题主要考查根与系数的关系，解题的关键是熟知根与系数的性质，利用一元二次方程根与系数的关系，将所求表达式转化为根的和与积的形式，代入计算即可. 【思路引导】解：方程 的两根为，根据根与系数的关系： 根据题意得，， ∴ ． 故选A． 12．（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）已知，且，则的值为（   ）． A． B． C．5 D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先把整理得，则，再因为，同理得，则和是方程 的两个根，运用根与系数的关系进行列式计算，即可作答． 【规范解答】解：∵， ∴， ， 设，则方程变为， ∵， ∴设，方程同样变为：， 因此，和是方程 的两个根， ∴， 故选：D． 13．（24-25九年级上·湖北恩施·阶段练习）已知，是一元二次方程的两根，且，，则、的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【思路引导】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【规范解答】解：∵，是一元二次方程的两根， ∴ ，， ∴，， 故选：． 14．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知是一元二次方程，则的值为 ． 【答案】7 【思路引导】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，代数式求值，一元二次方程的解．先将代入方程得到，再根据根与系数的关系得到，代入求值即可． 【规范解答】解： ，是一元二次方程的两根， ，即，， ， 故答案为：7． 15．（24-25九年级上·山东济宁·阶段练习）已知一元二次方程的两个根为：，则 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，若是一元二次方程的两根时，，．根据根与系数的关系即可得出结果． 【规范解答】解：一元二次方程的两个根是， ， 故答案为：． 16．（24-25九年级上·全国·期中）设，是关于x的方程的两根，且，则m的值是 ． 【答案】8 【思路引导】本题考查一元二次方程的根，一元二次方程根与系数的关系，由根与系数的关系可得，结合，推出，代入得到关于m的方程，解方程即可． 【规范解答】解： ，是关于x的方程的两根， ， ， ， 将代入，得：， 解得， 故答案为：8． 17．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知关于x的方程． (1)求证：无论取何值，这个方程总有实数根； (2)为何值时，方程的两根之积等于． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【思路引导】此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，正确理解并熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． （）计算一元二次方程根的判别式进而即可求解； （）设的两个根为，，利用根与系数的关系，求解即可． 【规范解答】（1）证明： ， ∴无论取何值，这个方程总有实数根； （2）解：设的两个根为，， ∴， ∴． 18．（24-25九年级上·山东潍坊·阶段练习）已知是关于的一元二次方程． (1)求证：该一元二次方程总有两个实数根； (2)方程的两个实数根分别为，，若，判断动点所形成的函数图象是否经过点，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)经过，理由见解析 【思路引导】本题考查了根的判别式、根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键； （1）先求出该一元二次方程的判别式的值，再根据一元二次方程根判别式，即可得证． （2）根据，，得出，将代入，即可求解． 【规范解答】（1）证明：， ∵任何数的平方都大于等于，即， ∴，该一元二次方程总有两个实数根． （2）解：经过，理由如下： 在一元二次方程中， ，． ∵， ∴将，代入可得： 即动点所形成的函数关系式为． 将代入得： 当时，， ∴动点所形成的函数图象经过点． 19．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为， ，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点．已知关于x的一元二次方程为． (1)求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)求衍生点M的轨迹的解析式； (3)直线：与x轴交于点A，直线过点B，且与相交于点C，若衍生点M在的内部，求m的取值范围； (4)若无论为何值，关于x的方程的衍生点M始终在直线的图象上，求b，c满足的关系． 【答案】(1)详见解析 (2) (3) (4) 【思路引导】本题主要考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系的应用，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想及数形结合的思想解决问题． （1）依据题意，关于x的一元二次方程为，计算判别式，进而可以判断得解； （2）依据题意，由可得，故，，则该一元二次方程的衍生点，再令，进而可以得解； （3）依据题意，结合图象，直线与x轴交于点A，可得，又M在直线上，可得在直线上，刚好和的边交于点（，又令，则，从而，结合，进而可以得解； （4）依据题意，由直线，过定点，从而两个根为再由根与系数的关系即可求解． 【规范解答】（1）证明：， ∵， ∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）解：， 解得：，， 方程的衍生点为． 令，， ∴； （3）解：如图，直线与x轴交于点A， 当，则， ∴ ∴， 又M在直线上， ∴在直线上，刚好和的边交于点． 令，则， ∴， ∴． ∴； （4）解：由题意，∵直线， ∴过定点， ∴两个根为， ∴， ∴ ∴，即． 20．（23-24九年级上·福建三明·期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的倍，那么称这样的方程为“倍根方程”． 例如，一元二次方程的两个根是和，则一元二次方程是“倍根方程”． (1)根据上述定义，一元二次方程__________（填“是”或“不是”）“倍根方程”；若一元二次方程是“倍根方程”，则______． (2)如果关于的一元二次方程是“倍根方程”，求的值． (3)若关于的一元二次方程是“倍根方程”，则之间满足什么样的关系？说明理由． 【答案】(1)不是， (2)或 (3) 【思路引导】本题主要考查一元二次方程的求解，根与系数关系，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）解方程后，对比两根与 “倍根方程”的定义即可，再将和分别代入，联立两式可解值． （2）十字相乘法解出方程的两个根，再根据倍根方程的定义可得或，求解即可． （3）由根与系数关系得，，消掉，即可求出答案． 【规范解答】（1）解：解方程， 解得：， ∵和不是二倍关系， ∴不是“倍根方程”， ∵是“倍根方程”， ∴将和分别代入上式可得，，， 解得：， 故答案为：不是，． （2）解：原方程可化为， ∴， ∴或， ∴或． （3）解：之间满足的关系． 理由：设一个根为，则另一个根为，由根与系数关系得，， ∴，， ∴，即． ∴之间满足的关系． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.3 一元二次方程的根与系数的关系 （知识梳理+11个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共47题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：根与系数的关系 1 优选题型 考点讲练 3 考点1：利用根与系数的关系直接求代数式的值 3 考点2：利用根与系数的关系结合方程的解直接求代数式的值 3 考点3：利用根与系数的关系结合方程的解降次求代数式的值 4 考点4：利用根与系数的关系求参数的值 5 考点5：利用根与系数的关系求参数的取值范围 5 考点6：利用根与系数的关系构造一元二次方程求解 6 考点7：不解方程由根与系数的关系判断根的正负 7 考点8：由已知方程根的情况判断另一个方程根的情况 7 考点9：根与系数的关系与几何图形的综合运用 7 考点10：根与系数的关系与新定义运算的综合运用 8 考点11：根与系数的关系和根的判别式的综合应用 9 中考真题 实战演练 10 难度分层 拔尖冲刺 11 基础夯实 11 培优拔高 12 知识点梳理01：根与系数的关系 如果一元二次方程（）的两根为那么，就有 比较等式两边对应项的系数，得 ①式与②式也可以运用求根公式得到．人们把公式①与②称之为韦达定理，即根与系数的关系． 因此，给定一元二次方程就一定有①与②式成立．反过来，如果有两数满足①与②，那么这两数必是一个一元二次方程的根．利用这一基本知识常可以简捷地处理问题． 利用根与系数的关系，我们可以不求方程的根，而知其根的正、负性． 在的条件下，我们有如下结论： 当时，方程的两根必一正一负．若，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若，则此方程的正根小于负根的绝对值． 当时，方程的两根同正或同负．若，则此方程的两根均为正根；若，则此方程的两根均为负根． ⑴ 韦达定理（根与系数的关系）： 如果的两根是，，则，．(隐含的条件：) ⑵ 若，是的两根(其中)，且为实数，当时，一般地： ① ， ② 且， ③ 且， 特殊地：当时，上述就转化为有两异根、两正根、两负根的条件． ⑶ 以两个数为根的一元二次方程(二次项系数为1)是：． ⑷ 其他： 1 若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根(，为有理数)． 2 若，则方程必有实数根． 3 若，方程不一定有实数根． 4 若，则必有一根． 5 若，则必有一根． ⑸ 韦达定理（根与系数的关系）主要应用于以下几个方面： 1 已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； 2 已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； 3 已知方程的两根，求作方程； 4 结合根的判别式，讨论根的符号特征； 5 逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理； ⑤ 利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱． 考点1：利用根与系数的关系直接求代数式的值 【典例精讲】（24-25九年级上·安徽芜湖·阶段练习）若方程的两根为，，则的值为（    ） A． B．1 C．5 D．7 【变式训练】（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知关于x的一元二次方程的两根分别为a、b，则的值为（   ） A． B． C． D． 考点2：利用根与系数的关系结合方程的解直接求代数式的值 【典例精讲】（24-25九年级下·全国·假期作业）判别下列方程根的情况．若有两个实数根，求出两个根的和与积． (1) ； (2)； (2) ； (4)． 【变式训练】（24-25九年级下·全国·假期作业）不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积． (1) ； (2)． 考点3：利用根与系数的关系结合方程的解降次求代数式的值 【典例精讲】（24-25九年级上·河南许昌·阶段练习）阅读下列材料，完成相应任务． 十六世纪的法国数学家弗朗索瓦•韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关系，可表述为“当判别式时，关于的一元二次方程的两个根，有如下关系：，”．此关系通常被称为“韦达定理”． (1)若一元二次方程的两个实数根为，，则_____，_____． (2)已知关于的方程有两个实数根． ①求的取值范围． ②若此方程的两根分别为，，且，求的值． 【变式训练】（24-25九年级上·广西柳州·阶段练习）（1）解方程： （2）已知一元二次方程的两根分别为，， 求：①的值， ②的值． 考点4：利用根与系数的关系求参数的值 【典例精讲】（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，它们分别为． (1)求m的取值范围； (2)若，求m的值． 【变式训练】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根分别为、，且，求的值． 考点5：利用根与系数的关系求参数的取值范围 【典例精讲】（24-25九年级上·四川资阳·期中）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，． (1)求m的取值范围； (2)当时，求m的值． 【变式训练】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的倍为正整数），则称这样的方程为“倍根方程”．例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是“二倍根方程”；方程的两个根分别是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”． (1)根据上述定义，是“________倍根方程”； (2)若关于的方程是“三倍根方程”，求的值； (3)直线：与轴交于点，直线过点，且与相交于点．若一个五倍根方程的两个根为和，且点在的内部（不包含边界），求的取值范围． 考点6：利用根与系数的关系构造一元二次方程求解 【典例精讲】（24-25九年级上·江苏扬州·期中）关于的一元二次方程的一个根为，则它的另一个根为 ． 【变式训练】（24-25九年级上·云南红河·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为，求的值． 考点7：不解方程由根与系数的关系判断根的正负 【典例精讲】（2025·湖南长沙·三模）已知，是一元二次方程的两个实数根，则 ． 【变式训练】（2025·天津南开·三模）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则两根之积为（    ） A． B． C．9 D．36 考点8：由已知方程根的情况判断另一个方程根的情况 【典例精讲】（2025·宁夏银川·三模）已知一元二次方程的一个根为2，则它的另一个根是 ． 【变式训练】（2025·内蒙古·模拟预测）已知一元二次方程的一个根为1，则它的另一个根是（    ） A． B． C．1 D．2 考点9：根与系数的关系与几何图形的综合运用 【典例精讲】（21-22九年级上·四川绵阳·阶段练习）（1）在下列网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4． ①试在图中做出△ABC以A为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形△AB1C1； ②若点B的坐标为（﹣3，5），试在图中画出直角坐标系，并标出A、C两点的坐标； （2）关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0有两个不等实根x1、x2． ①求实数k的取值范围； ②是否存在实数k，使方程两根之积等于方程的两根之和的2倍． 【变式训练】（24-25九年级上·四川成都·期中）（1）已知k为实数，关于x的方程有两个实数根． ①求实数k的取值范围； ②若，试求k的值． （2）如图，在菱形中，对角线相交于点O，． ①求证：四边形是矩形； ②若，求四边形的面积． 考点10：根与系数的关系与新定义运算的综合运用 【典例精讲】（24-25九年级上·贵州遵义·期中）若关于的一元二次方程有两个实数根，，且，那么称这样的方程为“邻近根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，则方程是“邻近根方程”． (1)判断方程是否为“邻近根方程”并说明理由； (2)若关于的方程（是常数）是“邻近根方程”，求的值． 【变式训练】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）材料一：定义：若关于x的一元二次方程有两个实数根，且满足，则称此类方程为“和积方程”． 例如：，即，解得 ，是“和积方程”． 材料二：法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，则：，这就是一元二次方程根与系数的关系，也被称作“韦达定理”． (1)方程 （填是或不是）“和积方程”； (2)若关于x的方程是“和积方程”，则_____ (3)若关于x的一元二次方程是“和积方程”，求m的值． 考点11：根与系数的关系和根的判别式的综合应用 【典例精讲】（25-26九年级上·全国·课后作业）阅读材料：已知实数满足，且，求的值． 解：由题意知是方程的两个不相等的实数根， 根据上述材料解决以下问题： (1)已知实数满足，，且，求的值． (2)已知实数分别满足，，且．求的值． 【变式训练】（24-25九年级上·四川内江·期中）我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于x的方程的两个根是，，那么由求根公式可推出，，请根据这一结论，解决下列问题： (1)若，是方程的两根，则________，________；若2，3是方程的两根，则________，________； (2)已知两个不相等的实数m，n满足，且，求的值． (3)已知a，b，c，满足，，则正整数c的最小值为________． 1．（2025·江苏苏州·中考真题）已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，其中，则 ． 2．（2025·四川泸州·中考真题）若一元二次方程的两根为，则的值为 ． 3．（2025·四川南充·中考真题）设，是关于的方程的两根． (1)当时，求及m的值． (2)求证：． 4．（2025·黑龙江绥化·中考真题）已知，是关于的一元二次方程的两个根，则 ． 5．（2025·湖北·中考真题）一元二次方程的两个实数根为，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 基础夯实 1．（2025·天津·模拟预测）方程的两根为、，则的值为（　　） A． B． C． D．3 2．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）若，是一元二次方程的两个根，则的值为（   ） A． B．3 C． D．10 3．（2025·广西南宁·三模）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若，则m的值为（    ）． A．1 B． C．2 D． 4．（2025·广西崇左·三模）若是方程 的两个根，则的值为（    ） A． B．1 C．6 D． 5．（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）若是一元二次方程的两个根，则的值为 ． 6．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）已知，是一元二次方程的两个根，则 ． 7．（24-25九年级上·全国·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程总有两个实数根，求m的取值范围； (2)若方程有一个实数根为1，求m的值和另一个实数根． 8．（24-25八年级下·北京·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数的取值范围； (2)设，是方程的两个根且，求的值． 9．（24-25八年级下·安徽六安·期末）已知关于x的方程 (1)说明无论k取何实数值，该方程必有两个实数根； (2)若该方程的两根分别是，且，求k的值． 10．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）已知关于的一元二次方程，其中，，分别为三边的长． (1)若是等边三角形，求方程的根； (2)若是直角三角形，且为斜边长，试判别方程根的情况． 培优拔高 11．（24-25九年级上·天津武清·阶段练习）若一元二次方程的两根为，则的值是（   ） A．4 B．2 C．1 D． 12．（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）已知，且，则的值为（   ）． A． B． C．5 D． 13．（24-25九年级上·湖北恩施·阶段练习）已知，是一元二次方程的两根，且，，则、的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 14．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知是一元二次方程，则的值为 ． 15．（24-25九年级上·山东济宁·阶段练习）已知一元二次方程的两个根为：，则 ． 16．（24-25九年级上·全国·期中）设，是关于x的方程的两根，且，则m的值是 ． 17．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知关于x的方程． (1)求证：无论取何值，这个方程总有实数根； (2)为何值时，方程的两根之积等于． 18．（24-25九年级上·山东潍坊·阶段练习）已知是关于的一元二次方程． (1)求证：该一元二次方程总有两个实数根； (2)方程的两个实数根分别为，，若，判断动点所形成的函数图象是否经过点，并说明理由． 19．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为， ，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点．已知关于x的一元二次方程为． (1)求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)求衍生点M的轨迹的解析式； (3)直线：与x轴交于点A，直线过点B，且与相交于点C，若衍生点M在的内部，求m的取值范围； (4)若无论为何值，关于x的方程的衍生点M始终在直线的图象上，求b，c满足的关系． 20．（23-24九年级上·福建三明·期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的倍，那么称这样的方程为“倍根方程”． 例如，一元二次方程的两个根是和，则一元二次方程是“倍根方程”． (1)根据上述定义，一元二次方程__________（填“是”或“不是”）“倍根方程”；若一元二次方程是“倍根方程”，则______． (2)如果关于的一元二次方程是“倍根方程”，求的值． (3)若关于的一元二次方程是“倍根方程”，则之间满足什么样的关系？说明理由． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$