专题1.3 一元二次方程的根与系数间的关系（高效培优讲义）数学苏科版九年级上册

专题1.3 一元二次方程的根与系数间的关系 教学目标 1.灵活运用一元二次方程的根与系数的关系； 2.结合根的判别式进行知识的整合应用； 3.通过综合应用训练拓展学生思维，感受数学的代数美， 教学重难点 1.重点 （1）理解并掌握一元二次方程根与系数的关系，即韦达定理； （2）在实际问题中灵活运用根与系数的关系，解决未知数的求解问题 2.难点 （1）在应用根与系数的关系时，注意判别式的条件，确保方程有实数根，避免忽略隐含条件导致错误； （2）能够将根与系数的关系灵活应用于综合问题中，如确定方程系数、求解代数式的值等，提升数学思维能力和问题解决能力 知识点01 一元二次方程的根与系数 根与系数的关系：即的两根为，则________。 利用韦达定理可以求一些代数式的值（式子变形），如________ 【即学即练】已知是方程的两个实数根，则的值为（   ） A． B．5 C． D．2 知识点02 常用根与系数的关系解决的问题 ①已知方程及方程的一个根，求________及未知数． ②不解方程求关于根的式子的值，如求，等等． ③判断两根的________．④由给出的两根满足的条件，确定字母的取值． 这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑________这两个前提条件． 【即学即练】若是关于的方程： 的两个实数根，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型01 利用根与系数的关系求代数式的值 【典例1】若a，b是一元二次方程的两个根，则的值是 ． 【变式1】一元二次方程两个实数根为，则＝ ． 【变式2】已知a和b是方程的两个解，则的值为（　　） A．2020 B．2024 C．2026 D．2028 【变式3】若一元二次方程的两根为，则的值为 ． 【变式4】若关于x的方程（m为正整数）的两根分别记为，，如：当时，方程的两根记为，，则 ． 题型02 利用根与系数的关系降次求代数式的值 【典例1】已知、是方程的两个实根，则的值是 ． 【变式1】已知a、b是一元二次方程的根，则代数式的值是（　　） A．3 B．1 C． D． 【变式2】若是一元二次方程的两个根，则 ． 【变式3】已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数k的取值范围， (2)当时，设方程的两个实数根分别为，求的值． 题型03 利用根与系数的关系求系数字母 【典例1】关于的一元二次方程的有两个实数根为，． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 【变式1】关于x的一元二次方程的两个非零实数根分别是m和，则 ． 【变式2】若方程的两根分别为，，且，则m的取值范围为（   ） A． B．或 C． D． 【变式3】若，是一元二次方程的两个实数根，，则m的值为（    ） A． B．8 C． D． 【变式4】方程的两根之和与两根之积都等于10，求，的值． 题型04 构造一元二次方程求代数式的值 【典例1】如果实数、（）分别满足，，则的值等于（   ） A． B． C． D．2025 【变式1】设实数，满足，且，则代数式的值是 ． 【变式2】非零实数a，b满足，，则的值是 ． 【变式3】已知实数m，n满足，则 ． 【变式4】（1）已知实数，且满足，求的值． （2）若实数使关于的分式方程有正整数解，且使关于的一元一次不等式组有且只有4个整数解，求符合条件的所有整数的和． 题型05 根与系数的关系与三角形、四边形的综合 【典例1】已知三角形的一边，另两边长恰好是关于的方程的两个根，且．求的周长． 【变式1】如果一个三角形两边的长分别等于一元二次方程的两个实数根，那么这个三角形的第三边长可能是（   ） A．19 B．18 C．17 D．16 【变式2】如图，四边形是边长为的菱形，对角线，的长度分别是一元二次方程的两个实数根，是边上的高，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知平行四边形的两边、的长是关于x的方程的两个实数根，当四边形是菱形时，其周长为 ． 【变式4】关于的方程． (1)求证：无论为任何实数，该方程总有两个不相等的实数根； (2)以该方程的两根为一个直角三角形的两直角边长，已知该三角形斜边上的中线长为，求实数的值． 题型06 根与系数关系中的新定义问题 【典例1】对于任意实数a，b，定义一种新运算“⊙”：，若关于x的方程，已知该方程的两个根为，，则的值为（    ） A．2 B． C．1 D． 【变式1】定义一种运算：，如：．若，则所有满足条件的实数的和为（    ） A． B．2 C． D． 【变式2】对于任意实数a，b，我们定义新运算“*”：，例如．若m，n是方程的两根，则的值为 ． 【变式3】定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． (1)若是“邻根方程”，求的值． (2)若一元二次方程（，均为常数）为“邻根方程”，请写出，满足的数量关系，并说明理由． 【变式4】对于实数，定义新运算“”：，例如：，因为，所以． (1)求和的值； (2)若是一元二次方程的两个根，且，求的值． 题型07 根与系数关系的多结论问题 【典例1】已知一元二次方程的两个实数根为，，下列说法：①若，则方程必有一个根为1；②若，则方程一定有两不相等的实数根；③若方程有两个不相等的实数根，则方程也一定有两个不相等实数根；④若，，，由根与系数的关系可得，，其中结论正确的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．1个 【变式1】已知实数，，，，其中，满足，．则以下说法：；，是关于的一元二次方程的两个根；；若，，均为奇数，则，可能都为整数．其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】在桥梁结构的力学分析中，工程师们用到一元二次方程来计算结构的受力情况．对于这个方程，有下列说法： ①若，则； ②若方程的两根之积为，则； ③若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ④若是方程的一个根，则一定有成立． 这些说法对于准确评估桥梁结构的稳定性至关重要，其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式3】对于一元二次方程，下列说法： ①若，则；②若方程的两根符号相同，那么方程的两根符号也相同；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若的一个实数根为4，则方程定有一个实数根为．其中正确的是 ．（填序号） 【变式4】如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．以下关于倍根方程的说法，正确的有 (填序号)． ①方程是倍根方程； ②若是倍根方程：则； ③若满足，则关于的方程是倍根方程； ④若关于的一元二次方程是倍根方程，则必有． 一、单选题 1．若是方程 的两个根，则的值为（    ） A． B．1 C．6 D． 2．若，是方程的两个实数根，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若，则m的值为（    ）． A．1 B． C．2 D． 4．已知关于x的一元二次方程，则下列关于该方程根的判断，错误的是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．两根互为相反数 C．两根异号 D．实数根的个数与实数b的取值无关 5．已知，是关于x的方程的两个根，下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 6．若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（    ） A．2028 B．2026 C．2024 D．2022 7．已知实数满足，，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．阅读材料：方程（b，c为常数）的两实根为，，所以方程可表示为．将等号左边展开得，与原方程对比，得到，．根据材料解决问题：一元三次方程（b，c，d为常数）的三个实根分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 9．已知为互不相等的实数，且，，则的值为（    ） A． B．0 C． D．2 二、填空题 10．已知，是关于x的一元二次方程的两个根．若，则a的值为 ． 11．若关于的一元二次方程的两根为，且，则的值是 ． 12．若一元二次方程的两个实数根是某直角三角形两条直角边的长，则这个直角三角形的周长为 ． 13．若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程的两个实数根，且其面积为4，则该菱形的边长为 ． 14．已知是一元二次方程的两个根，且，求整数 ． 15．若关于的一元二次方程． （1）该方程根的情况是 （填“两个相等实根”、“两个不相等实根”或“无实根”）； （2）当时，相应的一元二次方程的两个根分别记为，则的值为 ． 三、解答题 16．设是方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值． (1) (2) 17．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取任何实数时，方程总有两个实数根． (2)若方程的两个实数根满足，请求出m的值． 18．已知实数m、n满足，，且． (1)试说明的值恒为正数； (2)求证： 19．已知关于x的一元二次方程，有两个实数根 (1)求的取值范围； (2)若方程两个实数根的差为且为整数，求的值． 20．已知的两边、的长是关于x的一元二次方程的两个实数根，第三边BC的长为5． (1)k为何值时，是以为斜边的直角三角形？ (2)k为何值时，是等腰三角形？并求的周长． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.3 一元二次方程的根与系数间的关系 教学目标 1.灵活运用一元二次方程的根与系数的关系； 2.结合根的判别式进行知识的整合应用； 3.通过综合应用训练拓展学生思维，感受数学的代数美， 教学重难点 1.重点 （1）理解并掌握一元二次方程根与系数的关系，即韦达定理； （2）在实际问题中灵活运用根与系数的关系，解决未知数的求解问题 2.难点 （1）在应用根与系数的关系时，注意判别式的条件，确保方程有实数根，避免忽略隐含条件导致错误； （2）能够将根与系数的关系灵活应用于综合问题中，如确定方程系数、求解代数式的值等，提升数学思维能力和问题解决能力 知识点01 一元二次方程的根与系数 根与系数的关系：即的两根为，则，。 利用韦达定理可以求一些代数式的值（式子变形），如 【即学即练】已知是方程的两个实数根，则的值为（   ） A． B．5 C． D．2 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：B． 知识点02 常用根与系数的关系解决的问题 ①已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数． ②不解方程求关于根的式子的值，如求，等等． ③判断两根的符号．④由给出的两根满足的条件，确定字母的取值． 这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑这两个前提条件． 【即学即练】若是关于的方程： 的两个实数根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：若是关于的方程： 的两个实数根， ∴， ∴，， ∴， 故选：C ． 题型01 利用根与系数的关系求代数式的值 【典例1】若a，b是一元二次方程的两个根，则的值是 ． 【答案】 【详解】解：∵a，b是一元二次方程的两个根， ∴，， ． 故答案为：． 【变式1】一元二次方程两个实数根为，则＝ ． 【答案】6 【详解】解：∵一元二次方程两个实数根为， ∴，， ∴， 故答案为：6． 【变式2】已知a和b是方程的两个解，则的值为（　　） A．2020 B．2024 C．2026 D．2028 【答案】D 【详解】解：∵a和b是方程的两个解， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 【变式3】若一元二次方程的两根为，则的值为 ． 【答案】10 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：10． 【变式4】若关于x的方程（m为正整数）的两根分别记为，，如：当时，方程的两根记为，，则 ． 【答案】 【详解】解：∵关于x的方程（m为正整数）的两根分别记为，， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 题型02 利用根与系数的关系降次求代数式的值 【典例1】已知、是方程的两个实根，则的值是 ． 【答案】 【详解】解：∵、是方程的两个实根， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【变式1】已知a、b是一元二次方程的根，则代数式的值是（　　） A．3 B．1 C． D． 【答案】B 【详解】解：∵a、b是一元二次方程的根， ∴，， ∴ ， 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系、分式的化简求值，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键． 【变式2】若是一元二次方程的两个根，则 ． 【答案】 【详解】解：∵是一元二次方程的两个根， ∴， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 【变式3】已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数k的取值范围， (2)当时，设方程的两个实数根分别为，求的值． 【答案】(1) (2)13 【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根 ∴， ∴； （2）解：当时，原方程化为：， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 题型03 利用根与系数的关系求系数字母 【典例1】关于的一元二次方程的有两个实数根为，． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)8 【详解】（1）解：因为关于的一元二次方程的有两个实数根， 所以，且， 解得， 所以的取值范围是． （2）解：因为关于的一元二次方程的两个实数根为，， 所以． 又因为， 所以， 则， 所以， 解得， 经检验是原方程的解，且符合题意， 所以的值为8． 【变式1】关于x的一元二次方程的两个非零实数根分别是m和，则 ． 【答案】 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个实数根分别为和， ∴，， ∴． ∴， 故答案为：． 【变式2】若方程的两根分别为，，且，则m的取值范围为（   ） A． B．或 C． D． 【答案】D 【详解】解：将方程整理为， ∴， 解得：， 根据根与系数的关系可得：， ∵， ∴， ∴， 综上，m的取值范围为， 故选：D． 【变式3】若，是一元二次方程的两个实数根，，则m的值为（    ） A． B．8 C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， 解得： 故选：A． 【变式4】方程的两根之和与两根之积都等于10，求，的值． 【答案】的值为1，的值为 【详解】解：方程的两根之和与两根之积都等于10， ， 解得， 经检验，是原方程组的解， 的值为1，的值为． 题型04 构造一元二次方程求代数式的值 【典例1】如果实数、（）分别满足，，则的值等于（   ） A． B． C． D．2025 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴，而，， ∴，是方程的两个根， ∴，， ∴； 故选：C． 【变式1】设实数，满足，且，则代数式的值是 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，即， ∴与是方程的两个不相等实数根， ∴， ∴， ∴代数式的值是． 故答案为：． 【变式2】非零实数a，b满足，，则的值是 ． 【答案】或 【详解】解：∵非零实数a，b满足，， ∴当时，实数a，b是方程的两个不同的根，由根与系数的关系可得，，此时； 当时，实数a，b是方程的同一个根，此时； 综上所述，的值是或， 故答案为：或． 【变式3】已知实数m，n满足，则 ． 【答案】 【详解】解：， ， 是方程的两个根， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式4】（1）已知实数，且满足，求的值． （2）若实数使关于的分式方程有正整数解，且使关于的一元一次不等式组有且只有4个整数解，求符合条件的所有整数的和． 【答案】（1）；（2）10 【详解】解：（1）， ，， ，一元二次方程的两个根， ，， ，， ，，， ． （2） 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组有4个整数解， ，解得． 解分式方程，得， ∵分式方程有正整数解， 是2的整数倍．且， 符合条件的所有整数的值为3，7， 其和为10． 题型05 根与系数的关系与三角形、四边形的综合 【典例1】已知三角形的一边，另两边长恰好是关于的方程的两个根，且．求的周长． 【答案】7 【详解】解：∵的两边长恰好是关于的方程的两个根， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∵三角形的一边， ∴的周长为． 【变式1】如果一个三角形两边的长分别等于一元二次方程的两个实数根，那么这个三角形的第三边长可能是（   ） A．19 B．18 C．17 D．16 【答案】D 【详解】解：利用根与系数的关系可知方程的两根之和为， 这个三角形的两边之和为， 第三边应小于， 答：这个三角形的第三边的长可能是． 故选：D． 【变式2】如图，四边形是边长为的菱形，对角线，的长度分别是一元二次方程的两个实数根，是边上的高，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵对角线的长度分别是一二次方程的两实数根， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【变式3】已知平行四边形的两边、的长是关于x的方程的两个实数根，当四边形是菱形时，其周长为 ． 【答案】 【详解】解：四边形是菱形， ， ，的长是关于的方程的两个实数根， ，， 解得， ， 即菱形的周长为． 故答案为：． 【变式4】关于的方程． (1)求证：无论为任何实数，该方程总有两个不相等的实数根； (2)以该方程的两根为一个直角三角形的两直角边长，已知该三角形斜边上的中线长为，求实数的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵， ， ， ， ∴无论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根． （2）解：由题意，得，即， ∵， ∴， 解得或， 由于方程的两根是三角形的边长，则需满足且， 则， ∴ 题型06 根与系数关系中的新定义问题 【典例1】对于任意实数a，b，定义一种新运算“⊙”：，若关于x的方程，已知该方程的两个根为，，则的值为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【详解】解：∵，， ∴， 整理得：， ∴． 故选：A． 【变式1】定义一种运算：，如：．若，则所有满足条件的实数的和为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵ ∴原方程有两个不相等的实数根， ∴． 故选：B． 【变式2】对于任意实数a，b，我们定义新运算“*”：，例如．若m，n是方程的两根，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵m，n是方程的两根， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式3】定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． (1)若是“邻根方程”，求的值． (2)若一元二次方程（，均为常数）为“邻根方程”，请写出，满足的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)或 (2)，见解析 【详解】（1）解：解方程可得或， 由题意知，或， 解得或； （2）解：设的两根分别是， 则，，， 因为（，均为常数）为“邻根方程”， 所以， 所以， 所以， 又因为， 所以，满足的数量关系是． 【变式4】对于实数，定义新运算“”：，例如：，因为，所以． (1)求和的值； (2)若是一元二次方程的两个根，且，求的值． 【答案】(1)； (2) 【详解】（1） ； ； （2）是一元二次方程的根， ， 根据根与系数的关系得， ． 题型07 根与系数关系的多结论问题 【典例1】已知一元二次方程的两个实数根为，，下列说法：①若，则方程必有一个根为1；②若，则方程一定有两不相等的实数根；③若方程有两个不相等的实数根，则方程也一定有两个不相等实数根；④若，，，由根与系数的关系可得，，其中结论正确的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．1个 【答案】A 【详解】解：①当时，，所以方程必有一个根为，故①正确． ②当， 若a、c异号时，则，此时方程一定有两个不相等的实数根， 若a、c同号或c为0时，则，此时方程一定有两个不相等的实根，故②正确； ③∵若方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴此时方程若，则一也一定有两个不相等实数根，若，则方程为一元一次方程，只有一个实数解；故③不准确； ④若， ， ∴方程没有的实数根，故④错误． 综上分析可知：正确的有①②．共2个。 故选：A． 【变式1】已知实数，，，，其中，满足，．则以下说法：；，是关于的一元二次方程的两个根；；若，，均为奇数，则，可能都为整数．其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ，故正确； 若，是关于的一元二次方程的两个根， 则，， ∴与题中不符，故错误； ∵，， ∴ ， ∴，故正确； 设，为整数， 当，，均为奇数时， ∴为奇数，即中一奇一偶；为奇数，即中全为奇数， ∴，相矛盾，故错误； 综上可知：正确，共个， 故选：． 【变式2】在桥梁结构的力学分析中，工程师们用到一元二次方程来计算结构的受力情况．对于这个方程，有下列说法： ①若，则； ②若方程的两根之积为，则； ③若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ④若是方程的一个根，则一定有成立． 这些说法对于准确评估桥梁结构的稳定性至关重要，其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【详解】解：①当时，， 一元二次方程有两个相等的实数根或两个不相等的实数根， ，故①错误； ②若方程的两根之积为，则，得到，故②正确； ③方程有两个不相等的实根，则，那么，故方程必有两个不相等的实根，故③正确； ④由是方程的一个根，得，即． 当，则；当，则不一定等于，故④不一定正确． 综上所述：正确的有个； 故选：B． 【变式3】对于一元二次方程，下列说法： ①若，则；②若方程的两根符号相同，那么方程的两根符号也相同；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若的一个实数根为4，则方程定有一个实数根为．其中正确的是 ．（填序号） 【答案】①②④ 【详解】解：若，则是方程的解，即方程有实数根， ，故①正确； 若方程的两根符号相同，设两根为、， ，， 符号相同， 对于方程，则， 方程有实数根，设两根为、， ， 、符号相同，故②正确； 若是方程的一个根，则有， ， 或， 当时，不一定有成立，故③错误； 若的一个实数根为4，则有， 对于方程，则， ， ， ，， 方程定有一个实数根为，故④正确； 综上所述，其中正确的是①②④． 故答案为：①②④． 【变式4】如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．以下关于倍根方程的说法，正确的有 (填序号)． ①方程是倍根方程； ②若是倍根方程：则； ③若满足，则关于的方程是倍根方程； ④若关于的一元二次方程是倍根方程，则必有． 【答案】①③④ 【详解】解：①， ， 解得：， 方程是倍根方程； 故①正确； ②解方程， 解得： 是倍根方程， 或即或 ， 故②不正确； ③， 解方程得： ， 故③正确； ④设方程的根为， 关于的方程是倍根方程， 令， ；故④正确． 故答案为：①③④． 一、单选题 1．若是方程 的两个根，则的值为（    ） A． B．1 C．6 D． 【答案】A 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴． 故选：A． 2．若，是方程的两个实数根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴， ， ， 故选：． 3．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若，则m的值为（    ）． A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】解：一元二次方程，韦达定理指出两根、有． 在方程中，，，， ∴， 解得 ． 故选：B 4．已知关于x的一元二次方程，则下列关于该方程根的判断，错误的是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．两根互为相反数 C．两根异号 D．实数根的个数与实数b的取值无关 【答案】B 【详解】解：， 该方程有两个不相等的实数根，实数根的个数与实数b的取值无关，故A,D正确不符合题意； ， 两根异号，两根不一定互为相反数，故B错误，符合题意，C正确不符合题意， 故选：B． 5．已知，是关于x的方程的两个根，下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， ∵，是关于x的方程的两个根， ∴；故A正确，B错误； ∴， ∴异号或其中一个的值为0，的值不一定大于0；故C，D错误； 故选A． 6．若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（    ） A．2028 B．2026 C．2024 D．2022 【答案】A 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， 即， ∴ ． 故选：A． 7．已知实数满足，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵实数满足，， ∴是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， 故选：． 8．阅读材料：方程（b，c为常数）的两实根为，，所以方程可表示为．将等号左边展开得，与原方程对比，得到，．根据材料解决问题：一元三次方程（b，c，d为常数）的三个实根分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵一元三次方程（b，c，d为常数）的三个实根分别为，，， ∴方程可表示为：， ∴， ∴， ∴，，；故选项C正确，选项B，D错误； ∵， ∴；故选项A错误； 故选C． 9．已知为互不相等的实数，且，，则的值为（    ） A． B．0 C． D．2 【答案】A 【详解】解：∵，， ∴，． ∵为互不相等的实数， ∴m和n可以看作方程的两个根， ∴， ∴． 故选A． 二、填空题 10．已知，是关于x的一元二次方程的两个根．若，则a的值为 ． 【答案】 【详解】∵ 若 则 解得 【点睛】本题直接考察一元二次方程根与系数的关系，直接依据公式代入计算即可 11．若关于的一元二次方程的两根为，且，则的值是 ． 【答案】 【详解】解：由题意得：， ， ， ， ， ． 故答案为：． 12．若一元二次方程的两个实数根是某直角三角形两条直角边的长，则这个直角三角形的周长为 ． 【答案】 【详解】解：设两条直角边的长分别是，， 则，， ， 直角三角形斜边的长是， 这个直角三角形的周长为：． 故答案为：． 13．若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程的两个实数根，且其面积为4，则该菱形的边长为 ． 【答案】 【详解】解：设菱形的两条对角线长分别为a、b， 由题意得：， ∵菱形面积为4， ∴，解得：， ∴菱形的边长为 ， 故答案为：． 14．已知是一元二次方程的两个根，且，求整数 ． 【答案】 【详解】解：∵是一元二次方程的两个根，且， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴整数或， 当时，，方程有两等根，不合题意； 当时，，方程有两不等根，符合题意； 故答案为：． 15．若关于的一元二次方程． （1）该方程根的情况是 （填“两个相等实根”、“两个不相等实根”或“无实根”）； （2）当时，相应的一元二次方程的两个根分别记为，则的值为 ． 【答案】 两个不相等实根 【详解】解：（1）∵， ∴故该方程有两个不相等的实数根． 故答案为：有两个不相等的实数根． （2）设方程的两个根为：， 则，， ∴， ∴ ∴ 故答案为． 三、解答题 16．设是方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵是方程的两个根， ∴， ∴ ； （2）解：∵是方程的两个根， ∴， ∴ ． 17．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取任何实数时，方程总有两个实数根． (2)若方程的两个实数根满足，请求出m的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵关于x的一元二次方程， ∴方程总有2个实数根； （2）解：由题意，得：，， ∵， ∴， ∴，解得：． 18．已知实数m、n满足，，且． (1)试说明的值恒为正数； (2)求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）证明：∵实数m、n满足，，且， ∴实数m、n可以看做是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴的值恒为正数； （2）证明：由（1）可得实数m、n可以看做是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴，即． 19．已知关于x的一元二次方程，有两个实数根 (1)求的取值范围； (2)若方程两个实数根的差为且为整数，求的值． 【答案】(1)且 (2) 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程 有两个实数根 ，， 整理得 ， ， 即， ∴a的取值范围为 且 （2）方程两个实数根的差为 即 是方程 的两个实数根， 整理得 解得 或 (不是整数，舍去)， 20．已知的两边、的长是关于x的一元二次方程的两个实数根，第三边BC的长为5． (1)k为何值时，是以为斜边的直角三角形？ (2)k为何值时，是等腰三角形？并求的周长． 【答案】(1)3 (2)或 【详解】（1）解：∵的两边、的长是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， 当是以为斜边的直角三角形时，， ∴，解得：或（舍去）， 当时，是以为斜边的直角三角形； （2）∵是等腰三角形， ∴当时， ， 解得不存在； 当时，， ∴，, 解得或4， ∴或4， ∴的周长为或． 【点睛】本题考查了解一元二次方程的方法，一元二次方程的根与系数的关系，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题关键是等腰三角形没有指定腰是需要分情况讨论． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$