1.3一元二次方程的根与系数的关系（基础篇）练习2025-2026学年苏科版数学九年级上册

该初中数学讲义通过思维导图系统梳理一元二次方程根与系数关系的知识体系，涵盖定义、两根之和与积的关系、根的判别式关联及主要应用场景，清晰呈现知识脉络与重难点内在联系。 练习设计注重针对性与层次性，包含选择、填空及解答题，如已知方程一根求另一根、等腰三角形边长与方程参数结合等题型，培养学生运算能力与模型意识。资料适用于基础薄弱学生提升，助力教师实施精准分层教学，支持学生自主复习与能力进阶。

1.3一元二次方程的根与系数的关系 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 两根之和关系： 设方程的两个实数根（或复数根）分别为x₁和x₂，则两根之和x₁+x₂= ﹣，即两根的和等于一次项系数除以二次项系数的相反数。 两根之积关系： 两根之积x₁·x₂=，即两根的积等于常数项除以二次项系数。 根的判别式关联： 在实数范围内，当判别式Δ=b²-4ac≥0时，方程有两个实数根，韦达定理成立；当Δ<0时，方程有一对共轭复数根，韦达定理依然适用。 主要应用场景： · 已知方程的一个根，求另一个根； · 已知方程的两根关系，求方程中的参数值； · 不解方程，判断两根的符号（通过两根之和与两根之积的正负性）； 型 习 练 题 根于系数的关系 1．方程的两根分别是m，n，则（    ） A． B．1 C．3 D．7 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再代入表达式计算． 【详解】解：∵方程中，，，， ∴，， ∴． 故选：D． 2．已知一元二次方程的一个根为2，则另一个根及的值分别是（   ） A．3，6 B．， C．7，14 D．， 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用一元二次方程根与系数的关系，即两根之和等于，两根之积等于. 【详解】解：∵ 方程的一个根为2，设另一根为，则， ∴， 又， ∴， 故另一个根为3，m的值为6， 故选A. 3．等腰三角形边长分别为a、b、3，且a、b是关于x的一元二次方程的两个根，则m的值为（    ）． A．13或14 B．14或15 C．15或16 D．13或15 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系及等腰三角形的性质．分两种情况讨论：当时，求m值；当或时，求m值，每种情况均需验证三角形三边是否满足任意两边之和大于第三边，即可作答． 【详解】解：∵a、b是关于x的一元二次方程的两个根， ∴ 情况一：当时， 则， 解得 即三角形边长为4、4、3，满足三角形三边关系； ∴ 即， ∴； 情况二：当时， 则 ∴， ∴三角形边长为3、5、3，满足三角形三边关系， ∴ ∴ 综上，m的值为14或15， 故选：B． 4．若α，β是方程的两根，则的值为（  ） A．3 B． C．7 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则． 利用是方程的根，将用方程代入化简表达式，再根据根与系数的关系求的值，进而计算． 【详解】解：∵是方程 的根， ∴ ，即， ∴ ， 又∵是方程的两根， ∴ （根与系数关系）， ∴ ， 故选：C． 5．已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的求值，利用一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再代入所求表达式计算． 【详解】解：∵ m，n是一元二次方程的两个实数根， ∴ ，， ∴ ． 故选：B． 二、填空题 6．若关于x的方程的一个根是2，则另一个根是 ． 【答案】5 【分析】本题考查根与系数的关系，掌握该知识点是解题的关键． 根据根与系数的关系即可求出方程的另一个根． 【详解】解：设另一个根为，根据根与系数的关系，得 ， 解得， 即另一个根为5． 故答案为：5． 7．关于的方程 的一个根为，则另一个根为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，利用一元二次方程的根与系数的关系，求出两根之和，结合已知根，即可求出另一个根． 【详解】解：方程 中，，， 两根之和为 ， 一个根为 ， 另一个根为 ． 故答案为：． 8．若是关于x的一元二次方程其中一个根，则另一个根 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的计算是关键． 根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和等于一次项系数的相反数，代入已知根即可求出另一个根． 【详解】解：设另一个根为，由根与系数的关系，得 ， 方程 中，，， 所以 ， 已知 ， 所以 ， 解得 ， 故答案为： ． 三、解答题 9．若关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求m的取值范围； (2)若方程的两个根满足，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系．掌握根的判别式以及根与系数的关系的公式是解题关键． （1）利用根的判别式，即可求出答案； （2）先运用根与系数的关系得出，，由得到，将，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵方程有两个实数根， ， 解得； （2）和是一元二次方程的两个根， ，， ∵， ∴， ， 解得． 10．已知关于的一元二次方程． (1)求证：此方程总有两个实数根． (2)若该方程的两个实数根为，求代数式的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，熟知，是一元二次方程的两根时，，是解题的关键． （1）求出，可知，故总有两个实数根； （2）先求出与的值，代入代数式进行计算即可． 【详解】（1）证明： ， ， ， 该方程总有两个实数根； （2）解：， 由可得 ，， ． 11．关于的方程有两个实数根、，请求下列各式的值： (1)填空：________；________； (2)； (3)． 【答案】(1) 2， (2) (3) 8 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握根与系数的关系，乘法公式的变形计算是关键． （1）确定一元二次方程二次项，一次项，常数项的值，根据根与系数的关系（）代入求值即可； （2）运用乘法公式变形计算即可求解； （3）根据分式的计算法则得到，代入计算即可． 【详解】（1）解：关于的方程有两个实数根、， ∴， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：∵， ∴原式． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3一元二次方程的根与系数的关系 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 两根之和关系： 设方程的两个实数根（或复数根）分别为x₁和x₂，则两根之和x₁+x₂= ﹣，即两根的和等于一次项系数除以二次项系数的相反数。 两根之积关系： 两根之积x₁·x₂=，即两根的积等于常数项除以二次项系数。 根的判别式关联： 在实数范围内，当判别式Δ=b²-4ac≥0时，方程有两个实数根，韦达定理成立；当Δ<0时，方程有一对共轭复数根，韦达定理依然适用。 主要应用场景： · 已知方程的一个根，求另一个根； · 已知方程的两根关系，求方程中的参数值； · 不解方程，判断两根的符号（通过两根之和与两根之积的正负性）； 型 习 练 题 根于系数的关系 1．方程的两根分别是m，n，则（    ） A． B．1 C．3 D．7 2．已知一元二次方程的一个根为2，则另一个根及的值分别是（   ） A．3，6 B．， C．7，14 D．， 3．等腰三角形边长分别为a、b、3，且a、b是关于x的一元二次方程的两个根，则m的值为（    ）． A．13或14 B．14或15 C．15或16 D．13或15 4．若α，β是方程的两根，则的值为（  ） A．3 B． C．7 D． 5．已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．若关于x的方程的一个根是2，则另一个根是 ． 7．关于的方程 的一个根为，则另一个根为 ． 8．若是关于x的一元二次方程其中一个根，则另一个根 ． 三、解答题 9．若关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求m的取值范围； (2)若方程的两个根满足，求m的值． 10．已知关于的一元二次方程． (1)求证：此方程总有两个实数根． (2)若该方程的两个实数根为，求代数式的值． 11．关于的方程有两个实数根、，请求下列各式的值： (1)填空：________；________； (2)； (3)． 学科网（北京）股份有限公司 $