精品解析：广东省江门市新会第二中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题

高二数学月考 姓名 班级 学号 成绩 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个正确选项） 1. 一组数据1，1，3，4，5，5，6，7的第25百分位数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 2. 某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则下列事件是互斥而不对立事件是（ ） A. “恰有一名男生”和“全是男生” B. “至少有一名男生”和“至少有一名女生” C. “至少有一名男生”和“全是男生” D. “至少有一名男生”和“全是女生” 3. 若连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，则两次抛掷骰子的点数之积为奇数的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 若直线的斜率为，在轴上的截距为，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 过点且与直线平行的直线方程是（ ） A. B. C. D. 6. 两条平行直线与间的距离为 A. B. C. D. 7. 已知直线和互相平行，则实数的值为（ ） A. B. 2 C. D. 2或4 8. 甲、乙两人独立地破译一份密码，已知两人能破译密码的概率分别是 ，，则密码被成功破译的概率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共4小题，每小题满分6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9. 过点且在两坐标轴上截距都是非负整数的直线可以是（ ） A. B. C. D. 10. 对于直线，下列说法正确有（ ） A. 直线l过点 B. 直线l与直线垂直 C. 直线l的一个方向向量为 D. 原点到直线的距离为1 11. （多选）已知为直线l的方向向量，，分别为平面α，β的法向量（不重合），那么下列说法中，正确的有（ ） A. B. C. D. 12. 已知圆是直线上一动点，过点P作直线PA，PB分别与圆C相切于点A，B，则（ ） A. 圆C上恰有1个点到直线l的距离为 B. |PA|的最小值是 C. |AB|存在最大值 D. |AB|的最小值是 三、填空题（共4小题，每小题满分5分） 13. 设为实数，直线：，：，若，则的值为______． 14. 圆的圆心坐标为_____________； 15. 已知直线，直线，若，则=________. 16. 若一组样本数据，，…，的，则样本数据，，…，的方差为_____. 四、解答题：（共5小题，共66分，必须写出详细解答过程） 17. 如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，求点到平面的距离. 18. 已知的三个顶点的坐标分别为，，. （1）求过点且与直线平行的直线的方程； （2）求边上的高所在直线的方程. 19. 已知圆C经过坐标原点O和点（4，0），且圆心x轴上 （1）求圆C的方程； （2）已知直线l：与圆C相交于A、B两点，求所得弦长值． 20. 已知圆过三点，，． （1）求圆的方程； （2）设直线经过点，且与圆G相切，求直线的方程． 21. 阿波罗尼斯是与阿基米德、欧几里得齐名的古希腊数学家，以他的姓名命名的阿波罗尼斯圆，是指平面内到两定点的距离的比值为常数的动点轨迹.已知，，动点满足. （1）求动点所在的阿波罗尼斯圆的方程； （2）若点，求的最小值和最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二数学月考 姓名 班级 学号 成绩 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个正确选项） 1. 一组数据1，1，3，4，5，5，6，7的第25百分位数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据百分位数的概念计算即可求解. 【详解】由题意知，该组数据共有8个，则 所以第25百分位数为. 故选：B 2. 某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则下列事件是互斥而不对立的事件是（ ） A. “恰有一名男生”和“全是男生” B. “至少有一名男生”和“至少有一名女生” C. “至少有一名男生”和“全是男生” D. “至少有一名男生”和“全是女生” 【答案】A 【解析】 【分析】利用互斥事件、对立事件的定义逐项分析判断即可. 【详解】对于A，“恰有一名男生”和“全是男生”不能同时发生，但可以同时不发生，A是； 对于B，“至少有一名男生”和“至少有一名女生”可以同时发生，即一名男生和一名女生的事件，A不是； 对于C，“至少有一名男生”和“全是男生”可以同时发生，全是男生的事件，C不是； 对于D，“至少有一名男生”和“全是女生”不能同时发生，但必有一个发生，D不是. 故选：A 3. 若连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，则两次抛掷骰子的点数之积为奇数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用列举法写出满足题意的样本点，结合古典概型的概率公式计算即可. 【详解】连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，基本事件总数为个， 其中事件“两次抛掷骰子的点数之积为奇数”包含的样本点有： 共9个， 所以“两次抛掷骰子的点数之积为奇数”的概率为. 故选：B. 4. 若直线的斜率为，在轴上的截距为，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】将直线的方程化为斜截式，求解即可. 【详解】将直线的方程化为斜截式为， 所以，. 故选：C 5. 过点且与直线平行的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设所求直线方程为，代入点的坐标可求. 【详解】设所求直线方程为， 因为该直线经过点，所以，故， 故所求直线方程为． 故选：A． 6. 两条平行直线与间的距离为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由直线平行的充要条件可得：， 结合平行线之间的距离公式可得， 两条平行直线6与间的距离为： . 本题选择C选项. 7. 已知直线和互相平行，则实数的值为（ ） A. B. 2 C. D. 2或4 【答案】C 【解析】 【分析】根据两线平行有斜率相等列方程，求参数即可. 【详解】因为直线的斜率存在，当时，直线的斜率也一定存在， 所以，解得，经验证满足题设. 故选：C 8. 甲、乙两人独立地破译一份密码，已知两人能破译密码的概率分别是 ，，则密码被成功破译的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相互独立事件同时发生的概率公式及对立事件的概率公式计算得解. 【详解】甲乙都没有破译密码的概率, 所以根据对立事件概率公式可知， 密码被成功破译的概率, 故选：D 二、多选题（共4小题，每小题满分6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9. 过点且在两坐标轴上的截距都是非负整数的直线可以是（ ） A B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据各选项直线方程判断是否过点，以及求出其在两坐标轴上的截距. 【详解】对于A：因为，所以过点， 且在两坐标轴上的截距都是，符合题意，故A正确； 对于B：因为，所以过点， 令，解得，即直线在轴上的截距为，不符合题意，故B错误； 对于C：因为，所以过点， 令得，令得， 所以直线在两坐标轴上的截距都是，符合题意，故C正确； 对于D：因为，所以过点， 令得，令得， 所以直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，符合题意，故D正确. 故选：ACD 10. 对于直线，下列说法正确有（ ） A. 直线l过点 B. 直线l与直线垂直 C. 直线l的一个方向向量为 D. 原点到直线的距离为1 【答案】AB 【解析】 【分析】由直线方程易于判断A项；将其化成斜截式，易得其斜率，利用两直线垂直的充要条件易判断B项；利用直线的方向向量和斜率的关系即可判断C项；由点到直线的距离公式可判断D项. 详解】对于A，直线显然经过点，故A正确； 对于B，由可得，直线的斜率为，而直线的斜率为1，故直线l与直线互相垂直，故B正确； 对于C，若直线l的一个方向向量为，则其斜率应该是，显然错误，故C错误； 对于D，由原点到直线的距离为，故D错误. 故选：AB. 11. （多选）已知为直线l的方向向量，，分别为平面α，β的法向量（不重合），那么下列说法中，正确的有（ ） A. B. C D. 【答案】CD 【解析】 【分析】利用直线的方向向量和平面法向量的关系逐项判断即可. 【详解】对于A，若则，故A错误； 对于B，若则或者，故B错误； 对于C，因为不重合，故，故C正确; 对于D，若，则，且当时，,故D正确. 故选：CD 12. 已知圆是直线上一动点，过点P作直线PA，PB分别与圆C相切于点A，B，则（ ） A. 圆C上恰有1个点到直线l的距离为 B. |PA|的最小值是 C. |AB|存在最大值 D. |AB|的最小值是 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出圆心到直线的距离判断A；利用切线长定理计算判断B；利用四边形面积求得，借助的范围求解判断CD. 【详解】圆的圆心，半径， 对于A，点到直线的距离，点到直线的距离的最小值为， 因此圆C上恰有1个点到直线l的距离为 ，A正确； 对于B，，当且仅当时取等号，B正确； 对于CD，由垂直平分得，， 则，当且仅当时取等号，D正确，C错误. 故选：ABD 三、填空题（共4小题，每小题满分5分） 13. 设为实数，直线：，：，若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】当两条直线垂直时，若直线与直线垂直，则满足.我们可以根据这个定理来求解的值. 【详解】对于直线和，根据两直线垂直的定理，则可得方程. 对进行求解. . 故答案为：. 14. 圆的圆心坐标为_____________； 【答案】## 【解析】 【分析】直接化成标准方程即可求出. 【详解】圆的方程可化为 则圆心的坐标为 故答案为： 15. 已知直线，直线，若，则=________. 【答案】 【解析】 【分析】由一般式得到两直线斜率，再由两直线平行，斜率相等求解即可； 【详解】，则；. 若，则存在斜率，方程可化为， 则且，解得. 故答案为：. 16. 若一组样本数据，，…，的，则样本数据，，…，的方差为_____. 【答案】8 【解析】 【分析】根据方差的性质计算可得. 【详解】由题意一组样本数据，，…，的， 则样本数据，，…，的方差为. 故答案为：8 四、解答题：（共5小题，共66分，必须写出详细解答过程） 17. 如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，求点到平面的距离. 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到平面的距离. 【详解】如图，以为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， ，，，，，， ，， 设平面的一个法向量为， 由，即，可令，则，， 则，又， 点C到面的距离. 18. 已知的三个顶点的坐标分别为，，. （1）求过点且与直线平行的直线的方程； （2）求边上的高所在直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求得直线的斜率，利用点斜式即可求得直线方程； （2）由两直线垂直关系可得所求直线的斜率为3，代入点斜式方程可得结果. 【小问1详解】 由，可知， 故所求直线的方程为， 即. 【小问2详解】 易知， 则所求直线的斜率为3， 故所求直线的方程为， 即. 19. 已知圆C经过坐标原点O和点（4，0），且圆心在x轴上 （1）求圆C的方程； （2）已知直线l：与圆C相交于A、B两点，求所得弦长的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出圆心和半径，写出圆的方程；（2）求出圆心到直线距离，进而利用垂径定理求出弦长. 【小问1详解】 由题意可得，圆心为(2，0)，半径为2．则圆的方程为； 【小问2详解】 由（1）可知：圆C半径为，设圆心（2，0）到l的距离为d，则，由垂径定理得：． 20. 已知圆过三点，，． （1）求圆的方程； （2）设直线经过点，且与圆G相切，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】(1)利用三点坐标可确定圆方程;(2)利用直线与圆相切则圆心到直线的距离等于半径建立等式即可求解. 【小问1详解】 设圆G的方程为， 因为圆过三点，，， 所以 ，解得, 圆G的方程为. 【小问2详解】 由(1)知圆是以为圆心，以为半径的圆， （i）若直线的斜率不存在， 则此时的方程为到圆心的距离为，满足与圆相切; （ii）若直线的斜率存在， 则设直线方程为 即， 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离为， 解得,所以切线方程为. 综上，切线方程为或. 21. 阿波罗尼斯是与阿基米德、欧几里得齐名的古希腊数学家，以他的姓名命名的阿波罗尼斯圆，是指平面内到两定点的距离的比值为常数的动点轨迹.已知，，动点满足. （1）求动点所在的阿波罗尼斯圆的方程； （2）若点，求的最小值和最大值. 【答案】（1） （2）最小值是，最大值是. 【解析】 【分析】（1）设，把条件用坐标表示出来，化简即可. （2）数形结合，根据点和圆的位置关系，分析点与圆上的点的距离的最值. 【小问1详解】 设动点，则就是， 即，整理得，. 故动点所在的阿波罗尼斯圆的方程为. 【小问2详解】 就是，其半径是4， 圆心是，. 显然在圆外，故的最小值是，最大值是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$