1.4 线段垂直平分线与角平分线 考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练-2025-2026学年八年级数学上册（苏科版2024）

1.4 线段垂直平分线与角平分线 一、线段垂直平分线 1.定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）。中垂线也可以看成到线段两个端点距离相等的点的集合，中垂线是线段的一条对称轴。 2.性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 3.判定定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。 4.应用：可以利用线段垂直平分线的性质证明线段相等，或者确定点在线段的垂直平分线上。 二、角平分线 1.定义：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。 2.性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。 3.判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。 4.应用：可以利用角平分线的性质证明线段相等或者证明角相等。同时，角平分线是到角两边距离相等的点的集合。 巩固课内例1:线段垂直平分线性质定理的逆定理 1．到三角形三个顶点距离都相等的点是（   ） A．三角形的三条角平分线的交点 B．三角形的三边垂直平分线的交点 C．三角形的三条高线的交点 D．三角形的三条中线的交点 2．风筝又称“纸鸢”、“风鸢”、“纸鹞”等，起源于中国东周春秋时期，距今已有多年的历史，如图是一款风筝骨架的简化图，已知，，，，制作这个风筝需要的布料至少为 ． 3．如图，在中，D是上的一点，连接，作交于点E，交于点F，且平分，连接．证明：垂直平分． 巩固课内例2:角平分线性质定理的逆定理 1．两个完全一样的三角板如图摆放，使三角板的一条直角边分别与的边、重合，它们的顶点重合于点，则点一定在（   ） A．的平分线上 B．边的高上 C．的中垂线上 D．的中线上 2．如图，在中，，点在内部，且到三边的距离相等，则 ． 3．如图，，是的中点，平分，求证：平分． 类型一、垂直平分线的性质定理 1．如图，在四边形中，对角线与互相垂直平分，，则四边形的周长为（   ） A．6 B．9 C．12 D．18 2．如图，在中，为边上一点，，为线段的垂直平分线，若的周长为，，则的长为 ． 3．如图所示，在中，，垂直平分，垂直平分． (1)试说明：； (2)若，，试说明：； 类型二、角平分线的性质定理 1．如图，平分，于点D，若，点E是边上一动点，关于线段叙述正确的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，是的角平分线，于点，，，则的面积是 ． 3．如图，在中，，是的平分线，于E，F在上，且． (1)求证：； (2)试判断与之间存在的数量关系．并说明理由． 类型三、角平分线的尺规作图 1．已知，点P为上一点，用尺规作图，过点P作的平行线．下列作图痕迹不正确的是（   ） A． B． C． D． 2．在中，，按下列步骤作图：①以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交于两点；②分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点；③作射线交于点．则的度数是 ．    3．如图，已知在中． (1)分别作，的平分线，它们交于点O（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)当时，的度数为______． (3)当时，用含的代数式表示的度数． 类型一、证明垂直平分 1．如图，在四边形中，连接、，，，则有（   ） A．与互相垂直平分 B．垂直平分 C．垂直平分 D．平分 2．如图，点是，的垂直平分线的交点，则点 的垂直平分线上．（填“在”或“不在”） 3．如图，是的角平分线，分别是和的高，连接、交于点O． (1)证明：； (2)证明：垂直平分． 类型二、双垂直平分线模型 1．如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．如图，在中，的垂直平分线分别交于点D，E，垂足分别为M，N，已知的周长为22，则的长为 ．    3．教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容． 2．线段垂直平分线 我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴．如图，直线是线段的垂直平分线，是上任一点，连结、．将线段沿直线对折，我们发现与完全重合．由此即有：绕段垂直平分线的性质定理  线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 已知：如图，，垂足点为C，，点P是直线的任意一点，求证：． AI 分析：图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等，便可证明． （1）请根据所给教材内容，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程． 定理应用： （2）如图②，在中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，垂足分别为M，N，，则的周长为________． （3）如图③，在中，，，E、P分别是AB、AD上任意一点，若，的面积为30，则的最小值是________． 类型三、周长问题 1．如图，在中，是的垂直平分线，交于点，交于点，，，，则周长为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，的垂直平分线交于，交于，的周长为，，则的周长是 ． 3．如图，在中，边的垂直平分线分别交、于、，，的周长为18，求的周长． 类型四、面积问题 1．如图，点是内一点，平分，于点，连接，若，，则的面积是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，的平分线交于点，连接，过点作，，若的面积是，周长是，则的长是 . 3．如图，在中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，三角形的面积是16，求的长． 类型一、角平分线与垂直平分线结合求解 1．如图，中，的角平分线和边的垂直平分线交于点，的延长线于点，于点．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，的角平分线与的垂直平分线交于点D．，，垂足分别为E，F．则 ． 3．如图，的角平分线与的垂直平分线相交于点D，，，，垂足分别为E、F． (1)求证：； (2)若，则的周长______． 类型二、最值问题 1．如图，在中，，的面积为12，，分别以点A、B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，连接EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．则周长最小值为（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 2．如图，中，分别是边上的动点，则的和的最小值是 ． 3．如图，在中，，，，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，求的最小值．    类型三、对角互补模型 1．如图，已知四边形的对角互补，且，．过顶点C作于E，则的值为（    ） A．6 B． C．7 D． 2．如图，是的角平分线，于点F，和互补，若，，则的面积为 ．    3．综合与实践 【问题情境】 在学习了角平分线的性质后，兴趣小组通过查阅资料得到以下知识： 定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形， 如图1，在四边形中，，，这种四边形被称为等补四边形． 【探究实践】 经过交流讨论，李明、王红向同学们分享了自己的发现． （1）如图2，李明发现，连接，则为的角平分线，请你判断他的结论是否正确，并说明理由； （2）如图3，王红发现，在等补四边形中，当，，时，，与之间存在某种数量关系，请写出该关系并说明理由． 【拓展应用】 （3）如图4，已知，，，若，，则的长度是_________． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.4 线段垂直平分线与角平分线 一、线段垂直平分线 1.定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）。中垂线也可以看成到线段两个端点距离相等的点的集合，中垂线是线段的一条对称轴。 2.性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 3.判定定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。 4.应用：可以利用线段垂直平分线的性质证明线段相等，或者确定点在线段的垂直平分线上。 二、角平分线 1.定义：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。 2.性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。 3.判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。 4.应用：可以利用角平分线的性质证明线段相等或者证明角相等。同时，角平分线是到角两边距离相等的点的集合。 巩固课内例1:线段垂直平分线性质定理的逆定理 1．到三角形三个顶点距离都相等的点是（   ） A．三角形的三条角平分线的交点 B．三角形的三边垂直平分线的交点 C．三角形的三条高线的交点 D．三角形的三条中线的交点 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定，根据到线段的端点距离相等的点在线段的垂直平分线上进行作答即可． 【详解】解：∵到三角形三个顶点距离都相等的点， ∴该点是三角形的三边垂直平分线的交点， 故选：B 2．风筝又称“纸鸢”、“风鸢”、“纸鹞”等，起源于中国东周春秋时期，距今已有多年的历史，如图是一款风筝骨架的简化图，已知，，，，制作这个风筝需要的布料至少为 ． 【答案】 【分析】本题考查线段垂直平分线的判定，熟练掌握线段垂直平分线的判定是解题的关键．利用线段垂直平分线的判定定理判定垂直平分，再利用即可求解． 【详解】解：设与交于点， ∵， ∴点在的垂直平分线上， ∵， ∴点在的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：2700． 3．如图，在中，D是上的一点，连接，作交于点E，交于点F，且平分，连接．证明：垂直平分． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义、全等三角形的判定和性质，垂直平分线的逆定理．解题的关键在于对知识的灵活运用． 证明，可得，，从而得到点A和点D在的垂直平分线上，即可． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴点A和点D在的垂直平分线上， ∴垂直平分． 巩固课内例2:角平分线性质定理的逆定理 1．两个完全一样的三角板如图摆放，使三角板的一条直角边分别与的边、重合，它们的顶点重合于点，则点一定在（   ） A．的平分线上 B．边的高上 C．的中垂线上 D．的中线上 【答案】A 【分析】本题主要考查对角平分线的判定定理的理解和掌握，根据角平分线的判定推出在的角平分线上，即可得到答案．能熟练地利用角平分线的判定定理进行推理是解此题的关键． 【详解】解：如图： ，，， 在的角平分线上， 故选：A． 2．如图，在中，，点在内部，且到三边的距离相等，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形角平分线交点的性质，三角形内角和定理等；由三角形角平分线交点的性质得点是的角平分线的交点，从而可得，，由三角形内角和定理得，即可求解；掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：点在内部，且到三边的距离相等， 点是的角平分线的交点， ，， ， ， ， ； 故答案：． 3．如图，，是的中点，平分，求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质、平行线的判定和性质，解决本题的关键是掌握角平分线的性质系．过点作，根据角平分线的性质可证，根据中点的定义可知，所以可证，根据到角两边的距离相等的点在角平分线上，可证平分． 【详解】证明：如图所示，过点作， 平分，， ， ， 是的中点， ， ， 平分． 类型一、垂直平分线的性质定理 1．如图，在四边形中，对角线与互相垂直平分，，则四边形的周长为（   ） A．6 B．9 C．12 D．18 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质． 根据线段垂直平分线的性质，可得四边形的四条边长相等，代入已知边长，计算周长即可． 【详解】解：∵在四边形中，对角线与互相垂直平分， ∴，，， ∴， ∵， ∴四边形的周长为， 故选：． 2．如图，在中，为边上一点，，为线段的垂直平分线，若的周长为，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的周长，先由线段垂直平分线的性质得，结合的周长为，，即可得出 【详解】解：∵为线段的垂直平分线， ∴， ∵，，的周长为， ∴ ∴， 故答案为：． 3．如图所示，在中，，垂直平分，垂直平分． (1)试说明：； (2)若，，试说明：； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质等知识，解题的关键是： （1）利用线段垂直平分线的性质得出，，利用等边对等角得出，，然后利用三角形内角和定理，等量代换可得出，即可得证； （2）结合（1）中结论可得出，，，利用证明即可； 【详解】（1）证明∶ ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：由（1） 知，，， ∵，， ∴，， ∴在和中， ∴ 类型二、角平分线的性质定理 1．如图，平分，于点D，若，点E是边上一动点，关于线段叙述正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了垂线段最短．过P点作于， 如图，根据角平分线的性质得到， 然后根据垂线段最短可对各选项进行判断． 【详解】解：过P点作于， 如图， 平分， ， 点E是边上一动点， 根据垂线段最短可知： 故选D． 2．如图，在中，，是的角平分线，于点，，，则的面积是 ． 【答案】6 【分析】本题考查的是角平分线的性质，根据角平分线的性质求出，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵是的角平分线，， ∴， ∴， 故答案为：6． 3．如图，在中，，是的平分线，于E，F在上，且． (1)求证：； (2)试判断与之间存在的数量关系．并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． （1）根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质证明； （2）证明，根据全等三角形的性质证明． 【详解】（1）证明：∵是的平分线，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：， 理由如下：在和中， ， ∴， ∴， ∴． 类型三、角平分线的尺规作图 1．已知，点P为上一点，用尺规作图，过点P作的平行线．下列作图痕迹不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查作图-复杂作图．作一个角等于已知角，作一个角的平分线，平分线的判定，菱形的判定和性质，据此判断即可． 【详解】解：A、由作图知，是的平分线，且， ∴，， ∴， ∴，故本选项不符合题意； B、由作图知，是的平分线，且， ∴，，不能说明与相等， ∴与不平行，故本选项符合题意； C、由作图知，， ∴四边形是菱形， ∴，故本选项不符合题意； D、由作图知，， ∴，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．在中，，按下列步骤作图：①以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交于两点；②分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点；③作射线交于点．则的度数是 ．    【答案】/97度 【分析】本题主要考查了尺规作角平分线，三角形内角和定理，角平分线定义，先根据尺规作图的步骤可知平分，进而求出，再根据三角形内角和定理得出答案． 【详解】解：根据题意可知平分，且， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 3．如图，已知在中． (1)分别作，的平分线，它们交于点O（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)当时，的度数为______． (3)当时，用含的代数式表示的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查作图-复杂作图，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识． （1）根据作角平分线的方法按要求作出图形即可； （2）利用三角形内角和定理以及角平分线的定义求出，可得结论； （3）利用三角形内角和定理以及角平分线的定义求出，可得结论． 【详解】（1）解：图形如图所示； （2） 解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴． 类型一、证明垂直平分 1．如图，在四边形中，连接、，，，则有（   ） A．与互相垂直平分 B．垂直平分 C．垂直平分 D．平分 【答案】B 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的判定，由，，得A与C在的垂直平分线上，进而解决此题． 【详解】解：∵，， ∴A与C在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线， ∴垂直平分， 故B选项符合题意； 由已知条件无法证明平分，平分， 故A、C、D选项不符合题意； 故选：B． 2．如图，点是，的垂直平分线的交点，则点 的垂直平分线上．（填“在”或“不在”） 【答案】在 【分析】连接BP，AP，CP，根据线段垂直平分线性质得出AP=BP=CP，根据线段垂直平分线性质得出即可． 【详解】如图，连接，，． ∵点是，的垂直平分线的交点， ∴，，∴， ∴点在的垂直平分线上． 故答案为：在． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的判定和性质，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． 3．如图，是的角平分线，分别是和的高，连接、交于点O． (1)证明：； (2)证明：垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，线段垂直平分线的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． （1）用证明即可； （2）根据全等三角形的性质，得出，，说明点、在线段的垂直平分线上，即可证明结论． 【详解】（1）证明：是的角平分线， ， ，分别是和的高， ， 在和中， ， ； （2）证明：， ，， 点、在线段的垂直平分线上， 垂直平分． 类型二、双垂直平分线模型 1．如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质可得，，再由三角形的周长公式计算即可得解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴的周长为， 故选：C． 2．如图，在中，的垂直平分线分别交于点D，E，垂足分别为M，N，已知的周长为22，则的长为 ．    【答案】22 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由，的垂直平分线分别交于D，E，根据线段垂直平分线的性质，可得，继而可得的周长等于的长． 【详解】解：∵，的垂直平分线分别交于点D，E， ∴， ∴，即为的周长， ∵的周长为22， ∴． 故答案为：22． 3．教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容． 2．线段垂直平分线 我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴．如图，直线是线段的垂直平分线，是上任一点，连结、．将线段沿直线对折，我们发现与完全重合．由此即有：绕段垂直平分线的性质定理  线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 已知：如图，，垂足点为C，，点P是直线的任意一点，求证：． AI 分析：图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等，便可证明． （1）请根据所给教材内容，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程． 定理应用： （2）如图②，在中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，垂足分别为M，N，，则的周长为________． （3）如图③，在中，，，E、P分别是AB、AD上任意一点，若，的面积为30，则的最小值是________． 【答案】（1）见解析；（2）24；（3） 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质、最短路径等知识，熟练掌握线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质是关键． （1）证明即可得证； （2）利用线段垂直平分线的性质得出，，然后根据三角形的周长和线段的和差关系即可求解； （3）在上取点F，使，过点B作于H，证明得出，证明得出，则，故当B、P、F三点共线，且时，最小，最小值为，然后根据三角形面积求出即可． 【详解】（1）证明：在和中 ， ∴， ∴； （2）解：∵、的垂直平分线分别交于点、， ∴， ∴， ∵， ∴，即的周长为24． 故答案为：24； （3）解：在上取点F，使，过点B作于H， 在和中 ， ∴， ∴，， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， 当B、P、F三点共线，且时，最小，最小值为， ∵，的面积为30， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 类型三、周长问题 1．如图，在中，是的垂直平分线，交于点，交于点，，，，则周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查垂直平分线的性质，根据是的垂直平分线得，继而得到，可得答案．解题的关键是掌握：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵，，， ∴， ∴周长为． 故选：B． 2．如图，在中，的垂直平分线交于，交于，的周长为，，则的周长是 ． 【答案】30 【分析】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质并求出的周长是解题的关键．根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，然后求出的周长，再根据三角形的周长公式列式计算即可得解． 【详解】解：是的中垂线， 的周长， 又， ， 的周长． 故答案为：30． 3．如图，在中，边的垂直平分线分别交、于、，，的周长为18，求的周长． 【答案】26 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段的垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算得到答案． 【详解】解：是线段的垂直平分线，， ，， △的周长为18， ， ， 的周长． 类型四、面积问题 1．如图，点是内一点，平分，于点，连接，若，，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，过O作于点E，根据角平分线的性质求出，最后用三角形的面积公式即可解答． 【详解】解：过O作于点E， ∵平分，， ∴， ∴的面积， 故选：C． 2．如图，在中，，的平分线交于点，连接，过点作，，若的面积是，周长是，则的长是 . 【答案】3 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，掌握角平分线的性质定理是关键． 如图所示，过点作于点，由题意可得，根据，代入求解即可． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∵点是，的平分线交点， ， ∴， ∵， ∴， ∴，且， 解得，， 故答案为：3 ． 3．如图，在中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，三角形的面积是16，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题关键． （1）根据垂直得到，利用三角形外角的性质得到，再根据，即可求出的度数； （2）过点作，根据角平分线的性质得到，进而得到，再根据角平分线的判定定理即可证明结论； （3）根据三角形的面积公式求出，再根据（2）中结论即可求解． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ， ，即． （2）证明：过点作交于点交于点， ， ， 由（1）可知，， ， 平分， ， ， 平分， ， ， 平分． （3）解：， ， ， ， ， ， ． 类型一、角平分线与垂直平分线结合求解 1．如图，中，的角平分线和边的垂直平分线交于点，的延长线于点，于点．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，连接，由“”可证，可得，，由线段垂直平分线的性质的得到，进而由“”可证，可得，即得到，据此即可求解，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 【详解】解：连接 ∵是的平分线 ， ∴， ∵，， ∴， 在和中 ， ， ∴， ∴，， ∵是的垂直平分线， ∴， 在和中 ， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：． 2．如图，在中，，，的角平分线与的垂直平分线交于点D．，，垂足分别为E，F．则 ． 【答案】 【分析】本题主要是全等三角形的判定与性质、角平分线的定义与垂直平分线的性质等等；连接，，证明推出，，证明，推出，再根据线段的和差关系求解即可． 【详解】解：如图，连接，， 是的平分线，，， ，， 在和中， ， ， ，， ∵点D在的垂直平分线上， ． 在和中， ， ， ， ． ，， ． 故答案为：． 3．如图，的角平分线与的垂直平分线相交于点D，，，，垂足分别为E、F． (1)求证：； (2)若，则的周长______． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等，线段垂直平分线上的点到相等两端的距离相等是解题的关键． （1）连接，根据线段垂直平分线的性质和角平分线性质得出，，证明，即可得出结论； （2）证明，可得，然后求出的周长为，计算即可． 【详解】（1）证明：连接，    ∵D在的中垂线上， ∴， ∵，，平分， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由（1）可知， ∴的周长为：， 故答案为：． 类型二、最值问题 1．如图，在中，，的面积为12，，分别以点A、B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，连接EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．则周长最小值为（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】A 【分析】本题考查了两点之间线段最短，尺规作垂直平分线，三角形的面积公式，解题关键是利用三角形的面积公式求解． 先根据两点之间线段最短，找出最小值，再根据三角形的面积公式求解． 【详解】连接， 由作图得：是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，D为的中点， ∴，， ∵的面积为，， ∴， ∴， ∴， ∴周长最小值为， 故选：A． 2．如图，中，分别是边上的动点，则的和的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称-最短问题、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用轴对称以及垂线段最短解决最短问题． 如图作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，．由，，，推出，可得、、共线，由，，可知当、、、共线时，且时，的值最小，最小值，求出的值即可解决问题． 【详解】解：如图，作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，． ，，，， ， ，，， ， 、、共线， ， ， 当、、、共线时，且时，的值最小， 最小值为， ， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 3．如图，在中，，，，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，求的最小值．    【答案】 【分析】过点C作交于点M，交于点P，过点P作于点Q，由角平分线的性质得，这时有最小值，即的长． 【详解】解：如图，过点C作交于点M，交于点P，过点P作于点Q，    ∵是的平分线． ∴，这时有最小值，即的长度， ∵，，，， ∵， ∴， 即的最小值为． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，垂线段最短，以及面积法的应用，解题的关键是找出满足有最小值时点P和Q的位置． 类型三、对角互补模型 1．如图，已知四边形的对角互补，且，．过顶点C作于E，则的值为（    ） A．6 B． C．7 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，过点作交的延长线于点，证明，结合已知数据，求出和的长度，即可解决问题，正确作出辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点，则， ， ， ， ， 平分， ， 四边形的对角互补， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 2．如图，是的角平分线，于点F，和互补，若，，则的面积为 ．    【答案】9 【分析】过点D作于点H，根据角平分线的性质可得，再证明，，根据全等三角形的性质进一步即可求出的面积． 【详解】解：过点D作于点H，如图所示：      ∵是的角平分线，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵和互补，即， 又， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：9． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握相关图形的性质定理、证明三角形全等是解题的关键． 3．综合与实践 【问题情境】 在学习了角平分线的性质后，兴趣小组通过查阅资料得到以下知识： 定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形， 如图1，在四边形中，，，这种四边形被称为等补四边形． 【探究实践】 经过交流讨论，李明、王红向同学们分享了自己的发现． （1）如图2，李明发现，连接，则为的角平分线，请你判断他的结论是否正确，并说明理由； （2）如图3，王红发现，在等补四边形中，当，，时，，与之间存在某种数量关系，请写出该关系并说明理由． 【拓展应用】 （3）如图4，已知，，，若，，则的长度是_________． 【答案】（1）正确，理由见解析；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质．正确地作出辅助线是解题的关键． （1）作交延长线于点，作于点，利用“角角边”证明，得出，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等反推出为的角平分线． （2）延长至使，连接，利用“边角边”证明，得到，，再通过角的等量代换得到，再利用“边角边”证明，得到，最后通过角的等量代换即可得到结论． （3）延长至，使，连接，利用“边角边”证明，得到，，再通过角的等量代换得到，再利用“边角边”证明，，最后通过角的等量代换即可得到结论． 【详解】解：（1）正确，理由如下： 作交延长线于点，作于点， ， 已知，， ． 在和中， ， ， ， 又，， 为的角平分线． （2），理由如下： 延长至使，连接， ，， 在和中， ， ， ，， 又， ， ， 在和中， ， ， ， 又 ． （3）延长至，使，连接， ，， ． 在和中， ， ， ，． 又， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$