精品解析：云南省煤炭第一中学2024-2025学年高二下学期6月摸底考试数学试题

2026届云南省煤炭一中高二6月摸底考试 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某同学测得连续天的最低气温（均为整数）分别为，，，，，，（单位：），若这组数据的平均数与中位数相等，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出平均数，对的取值进行分类讨论，求出这组数据的中位数，根据题意可得出关于的等式，解之即可. 【详解】这组数据的平均数为， 除外，将剩余的个数据由小到大排列依次为，，，，，， 若，则这组数据的中位数为， 若，同理可知，这组数据的中位数也为， 因为这组数据的中位数和平均数相等，故，解得. 故选：B. 2. 复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求，进而可得共轭复数. 【详解】因为，所以. 故选：B. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解方程求出集合后，根据集合的交集运算即可求解. 【详解】由，得，即，解得或或， 则. 又，则. 故选：D. 4. 若关于的不等式的解集为或，则不等式的解集为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】先利用已知一元二次不等式的解集求得参数，，再代入所求不等式，利用分式大于零，则分子分母同号，列不等式计算即得结果. 【详解】因为关于不等式的解集为或， 所以的两根是和，所以，， 所以可转化为， 等价于或，解得或． 所以原不等式的解集为或. 故选：B． 5. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】先利用余弦定理求解出再用正弦定理求解出外接圆的半径，然后过外接圆圆心O作，根据几何性质可知当当点B与点D重合时，取得最大值. 【详解】由题意得，， 由余弦定理得， 由，得，又因为， 所以的外接圆半径， 且点B在优弧上运动（不包括端点）， 如图过外接圆圆心O作，过作垂直， 当点B与点D重合时，取得最大值. 此时，，， 的最大值为. 故选：A. 6. 设为坐标原点，直线与抛物线交于两点，与的准线交于点．若，点为的焦点，则与的面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别过点作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，易得直线过定点，则，由此即可得解. 【详解】如图，分别过点作抛物线的准线的垂线，垂足分别为， 则，， 抛物线的焦点， 直线过定点， 因为，， 所以， 所以. 故选：B. 7. 设等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. B. C. 2022 D. 2023 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列的求和公式，建立方程组，可得答案. 【详解】设等差数列的首项为，公差为，则，即， 由，则，即， 由，则，即， 将代入，解得， . 故选：A. 8. 已知函数的图象关于直线对称，则（ ） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角恒等变换公式化简，再根据函数的对称性得到，由二倍角公式得，分为奇偶数讨论，结合诱导公式求解. 详解】函数 ， 令 ，得到对称轴， 图象关于直线对称， ， 易知， ， 当为奇数时，设， 此时，， ， ； 当为偶数时，设， ，， ， ， 综上，知的值为或 . 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知数列的前n项和为，若，，则（ ） A. B. 数列为等比数列 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用构造法求出数列的通项公式，再逐项判断即可. 【详解】数列中，，，则，， 整理得，而，因此数列是首项、公比均为的等比数列，B正确； ，解得， 对于A，，A错误； 对于C，，则，C正确； 对于D， ，D正确. 故选：BCD 10. 已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（ ） A. B. 当时， C. 当且仅当 D. 是的极大值点 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，根据奇函数特点即可判断；对B，利用代入求解即可；对C，举反例即可；对D，直接求导，根据极大值点判定方法即可判断. 【详解】对A，因为定义在上奇函数，则，故A正确； 对B，当时，，则，故B正确； 对C，， 故C错误； 对D，当时，，则， 令，解得或（舍去）， 当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 则是极大值点，故D正确； 故选：ABD. 11. 双曲线：的焦点在圆：上，圆与双曲线的渐近线在第一、二象限分别交于点、，点满足 (其中为坐标原点，则（ ） A. 双曲线的一条渐近线方程为 B. 双曲线离心率为 C. D. 的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题干求出焦距， 再由得点E为三角形OMN的重心，从而有，得，再结合可求出a,b的值，进而可求得渐近线方程、离心率、三角形OMN的面积. 【详解】如图： 设双曲线的焦距为，与轴交于点， 由题可知，则，由， 得点为的重心，可得， 即，，得，得，， 对于A：双曲线的渐近线方程为，故A正确； 对于B：， 故B正确； 对于C：因为，所以，故C错误； 对于D：联立方程,解得, 故M，N的坐标为， 所以．故D正确； 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，且，则__________． 【答案】或 【解析】 【分析】设,根据向量加法、数乘及数量积的坐标运算列式，解出即可. 【详解】设,则， ， 所以， 解得或， 所以或. 故答案为:或． 13. 若是函数的极值点，则___________ 【答案】 【解析】 【分析】由题意得即可求解，再代入即可求解. 【详解】由题意有， 所以， 因为是函数极值点，所以，得， 当时，， 当单调递增，当单调递减， 当单调递增， 所以是函数的极小值点，符合题意； 所以. 故答案为：. 14. 已知四边形ABCD为平行四边形，，，，现将沿直线BD翻折，得到三棱锥，若，则三棱锥的内切球与外接球表面积的比值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意利用余弦定理求得，由此三棱锥的对棱相等，故此三棱锥的三组对棱是一个长方体的六个面的对角线，利用长方体的性质求外接圆半径，再等体积法求出内切球半径，运算求解即可. 【详解】在中，， 故，即， 则折成的三棱锥中，，，， 即此三棱锥的对棱相等，故此三棱锥的三组对棱是一个长方体的六个面的对角线， 设长方体从同一个顶点出发的三条棱长分别为a，b，c 则，解得， 此长方体的外接球是三棱锥的外接球， 设外接球的直径，即， 又因为三棱锥是长方体切掉四个角， 故三棱锥， 三棱锥四个侧面是全等， ， 设内切球半径为，以内切球球心为顶点，把三棱锥分割为以球心为顶点，四个面为底面的四个小三棱锥，四个小三棱锥体积等于大三棱锥的体积， 故， 则三棱锥的内切球与外接球表面积的比值为. 故答案为：. 【点睛】方法定睛：多面体与球切、接问题的求解方法 (1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解． (2)若球面上四点P、A、B、C构成的三条线段PA、PB、PC两两垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R2＝a2＋b2＋c2求解． (3)正方体的内切球的直径为正方体的棱长． (4)球和正方体的棱相切时，球的直径为正方体的面对角线长． (5)利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求的最小正周期，并求出的对称轴方程； （2）若，求的单调递增区间和最小值． 【答案】（1），； （2）单调递增区间为，． 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简，利用周期公式和余弦函数的对称性求解； （2）根据余弦函数的单调性求出增区间和最小值. 【小问1详解】 由已知 ， 所以最小正周期， 令，解得， 所以的对称轴方程为. 【小问2详解】 当时，， 又在上单调递增， 所以由，解得， 即的单调递增区间为， 因为，所以， 所以， 即的最小值为. 16. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上一点，且满足． （1）求椭圆的方程； （2）在直线上取一点，连接交椭圆于两点、，若，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据已知条件可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的方程； （2）依题意，设直线的斜率为，则直线的方程为，设、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，根据题中条件得出，可得出，结合韦达定理求出的值，即可得出点的坐标. 【小问1详解】 因为为椭圆上一点，且满足，则， 由题意知，得， 故椭圆的方程为． 【小问2详解】 若直线的斜率不存在，则该直线与椭圆相离，不合乎题意， 由题意可知，直线不与轴重合， 依题意，设直线的斜率为，则直线的方程为， 设、， 联立消得， 则， 可得①，②， 由，，， ，整理得③， 由①③得，代入②，解得， 直线的方程为或， 若直线的方程为，则点； 若直线的方程为，则点. 综上所述，点坐标为或． 17. 如图，在圆柱中，分别为圆柱的母线和下底面的直径，为底面圆周上一点. （1）若为的中点，求证：平面； （2）若，圆柱的体积为，求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）取中点，利用线面平行的判定性质，结合圆柱的结构特征推理即得. （2）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面、平面的法向量，再利用面面角的向量求法求解即得. 【小问1详解】 取中点，连结，如图， 由分别为的中点，得， 由圆柱上下底面平行，且与平面交于和， 得，且，则且， 因此四边形为平行四边形，，又平面平面， 所以平面. 【小问2详解】 由为底面直径，得， 由圆柱的体积，得， 过作平面，则，又， 以原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 设平面的法向量为，则，令，得， 设平面的法向量为，则，令，得， 设二面角的大小为，则， 于是， 所以二面角的正弦值为. 18. 已知函数，其中． （1）证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点； （2）设分别为在区间的极值点和零点. （i）设函数.证明：在区间单调递减； （ii）比较与的大小，并证明你的结论． 【答案】（1）证明见解析； （2）（i）证明见解析；（ii），证明见解析. 【解析】 【分析】（1）先由题意求得，接着构造函数，利用导数工具研究函数的单调性和函数值情况，从而得到函数的单调性，进而得证函数在区间上存在唯一极值点；再结合和时的正负情况即可得证在区间上存在唯一零点； （2）（i）由（1）和结合（1）中所得导函数计算得到，再结合得即可得证； （ii）由函数在区间上单调递减得到，再结合， 和函数的单调性以以及函数值的情况即可得证. 【小问1详解】 由题得， 因为，所以，设， 则在上恒成立，所以在上单调递减， ，令， 所以当时，，则；当时，，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在上存在唯一极值点， 对函数有在上恒成立， 所以在上单调递减， 所以在上恒成立， 又因为，时， 所以时， 所以存在唯一使得，即在上存在唯一零点. 【小问2详解】 （i）由（1）知，则，， ， 则 ， ， ， 即在上单调递减. （ii），证明如下： 由（i）知：函数在区间上单调递减， 所以即，又， 由（1）可知在上单调递减，，且对任意， 所以. 19. 人工智能（Artificial Intelligence），英文缩写为AI，是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量.近几年以来，AI技术加持的智能手机（以下简称为AI手机）逐渐成为市场新宠.为了解顾客对AI手机的满意程度，M市某手机大卖场从购买了AI手机的顾客中随机选取了100人进行问卷调查，并根据其满意度得分Z（单位：分）制作了如下的频数分布表： 分组（单位：分） 频数 10 15 20 30 15 10 （1）若该手机大卖场中某手机店经销A，B两种品牌的手机，A品牌中AI手机占比为，B品牌中AI手机占比为，A，B品牌手机的数量之比是2:1，现从该手机店中随机抽取一部手机，求抽取到的手机是AI手机的概率； （2）为提升AI手机的销量，该手机大卖场针对购买AI手机的顾客设置了抽奖环节，抽奖规则如下：①共设一、二等奖两种奖项，分别奖励600元、300元现金，抽中一、二等奖的概率分别为，，其余情况不获得奖金；②每位顾客允许连续抽奖两次，且两次抽奖结果相互独立，总奖金为两次奖金之和.记某位购买了AI手机的顾客获得的总奖金为X元，求X的分布列和数学期望； （3）由频数分布表可以认为从手机大卖场购买AI手机的顾客对AI手机的满意度得分Z近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并已求得.现将满意度得分Z超过84.81分的顾客对AI手机的态度定义为“非常满意”.若某月该手机大卖场共有1万名顾客购买了AI手机（每人一部），记为这些顾客中对AI手机“非常满意”的人数，事件“”的概率为，求使取最大值时的值. 参考数据：若随机变量Z服从正态分布，即，则，. 【答案】（1） （2）分布列见解析；（元） （3） 【解析】 【分析】（1）利用全概率公式计算即可； （2）的可能取值为0，300，600，900，1200， 根据独立事件和互斥事件的概率公式依次求出概率，并列出其分布列； （3）先根据频数分布表求出，再根据正态分布求出每位顾客中对AI手机“非常满意”的概率，即可利用二项分布求出，再利用求解即可. 【小问1详解】 记“抽取到的手机是A品牌手机”为事件，“抽取到的手机是B品牌手机”为事件， “抽取到的手机是AI手机”为事件B， 则，，，， 则， 则从该手机店中随机抽取一部手机，抽取到的手机是AI手机的概率为. 【小问2详解】 由题意可得，不获得奖金的概率为， 的可能取值为0，300，600，900，1200， ，， ， ，， 则的分布列为 0 300 600 900 1200 所以（元）. 【小问3详解】 样本平均数， 随机选1名顾客，其对AI手机“非常满意”的概率 ， 依题意，记，， 则， 则问题等价于求当取何值时，取得最大值. 由，得， 化简得， 得，即， 因，得， 即当时，取得最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2026届云南省煤炭一中高二6月摸底考试 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某同学测得连续天的最低气温（均为整数）分别为，，，，，，（单位：），若这组数据的平均数与中位数相等，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，，则（ ） A B. C. D. 4. 若关于的不等式的解集为或，则不等式的解集为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 5. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 1 6. 设为坐标原点，直线与抛物线交于两点，与准线交于点．若，点为的焦点，则与的面积之比为（ ） A. B. C. D. 7. 设等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. B. C. 2022 D. 2023 8. 已知函数的图象关于直线对称，则（ ） A. B. 或 C. 或 D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知数列的前n项和为，若，，则（ ） A. B. 数列为等比数列 C. D. 10. 已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（ ） A. B. 当时， C. 当且仅当 D. 是的极大值点 11. 双曲线：的焦点在圆：上，圆与双曲线的渐近线在第一、二象限分别交于点、，点满足 (其中为坐标原点，则（ ） A. 双曲线的一条渐近线方程为 B. 双曲线的离心率为 C. D. 的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，且，则__________． 13. 若是函数的极值点，则___________ 14. 已知四边形ABCD为平行四边形，，，，现将沿直线BD翻折，得到三棱锥，若，则三棱锥的内切球与外接球表面积的比值为_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求的最小正周期，并求出的对称轴方程； （2）若，求的单调递增区间和最小值． 16. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，椭圆左、右焦点分别为、，为椭圆上一点，且满足． （1）求椭圆的方程； （2）在直线上取一点，连接交椭圆于两点、，若，求点的坐标． 17. 如图，在圆柱中，分别为圆柱的母线和下底面的直径，为底面圆周上一点. （1）若为的中点，求证：平面； （2）若，圆柱的体积为，求二面角的正弦值. 18. 已知函数，其中． （1）证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点； （2）设分别为在区间极值点和零点. （i）设函数.证明：在区间单调递减； （ii）比较与的大小，并证明你的结论． 19. 人工智能（Artificial Intelligence），英文缩写为AI，是新一轮科技革命和产业变革重要驱动力量.近几年以来，AI技术加持的智能手机（以下简称为AI手机）逐渐成为市场新宠.为了解顾客对AI手机的满意程度，M市某手机大卖场从购买了AI手机的顾客中随机选取了100人进行问卷调查，并根据其满意度得分Z（单位：分）制作了如下的频数分布表： 分组（单位：分） 频数 10 15 20 30 15 10 （1）若该手机大卖场中某手机店经销A，B两种品牌的手机，A品牌中AI手机占比为，B品牌中AI手机占比为，A，B品牌手机的数量之比是2:1，现从该手机店中随机抽取一部手机，求抽取到的手机是AI手机的概率； （2）为提升AI手机的销量，该手机大卖场针对购买AI手机的顾客设置了抽奖环节，抽奖规则如下：①共设一、二等奖两种奖项，分别奖励600元、300元现金，抽中一、二等奖的概率分别为，，其余情况不获得奖金；②每位顾客允许连续抽奖两次，且两次抽奖结果相互独立，总奖金为两次奖金之和.记某位购买了AI手机的顾客获得的总奖金为X元，求X的分布列和数学期望； （3）由频数分布表可以认为从手机大卖场购买AI手机的顾客对AI手机的满意度得分Z近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并已求得.现将满意度得分Z超过84.81分的顾客对AI手机的态度定义为“非常满意”.若某月该手机大卖场共有1万名顾客购买了AI手机（每人一部），记为这些顾客中对AI手机“非常满意”的人数，事件“”的概率为，求使取最大值时的值. 参考数据：若随机变量Z服从正态分布，即，则，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$