精品解析：湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题

长沙市第一中学2024—2025学年度高二第二学期期末考试 数 学 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 实数a，b满足，则（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】先根据复数乘法计算化简，再结合复数相等列式求解. 【详解】由得， 解得，所以． 故选：D. 2. 已知集合，若，则实数（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的值域及函数的定义域，根据函数相等即可求解. 【详解】，所以， 的定义域为，即，解得， 所以，，且，所以． 故选：. 3. 设，则，，的大小关系是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得，当时，，因此，故选B. 4. 已知，函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据幂函数与对数函数性质结合题意列式计算即可. 【详解】当时，函数单调递增，所以， 要使得函数的值域为， 则当时，，解得，所以实数的取值范围是 故选：D. 5. 已知平面向量，是两个单位向量，在上的投影向量为，则（ ） A. B. 1 C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据单位向量的定义及投影向量的公式可得，再结合向量的线性运算即可求解. 【详解】因为平面向量，是两个单位向量， 故在上的投影向量为，得， 所以． 故选：. 6. 设F为双曲线（，）的右焦点，，分别为C的两条渐近线的倾斜角，且满足，已知点F到其中一条渐近线的距离为，则双曲线C的焦距为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线渐近线倾斜角的关系求出渐近线的斜率，进而得到的关系，再结合点到直线的距离公式求出的值，最后根据的关系求出焦距. 【详解】双曲线（，）的渐近线方程为，即． ，分别为C的两条渐近线的倾斜角， ． 又，， ，． 又双曲线的右焦点到其中一条渐近线（不妨取这条）的距离为，，，， 双曲线C的焦距为． 故选：C 7. 已知数列满足的前12项组成一组数据，其第90百分位数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】判断数列的单调性，确定其最大项，根据百分位数的求法，即可确定答案. 【详解】因为， 故一组12个数据的第90百分位数是将数据由小到大排序后的第11个数， 又, 则，， 即数列前9项逐渐增大，从第10项开始又逐渐减小，且， 由此可得和是数列的最大项， 故将数列的前12项从小到大排序后，或将排在第11，12位 所以第90百分位数为或. 故选：B 8. 设函数的定义域为，若，且对任意，满足：，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对进行变换化简，可得到，然后利用裂项相消法和等比数列的前项和公式计算即可. 【详解】由，得， 因为， 所以， 又，所以， 则 ． 故选：B. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 随机事件A、B满足，，，下列说法正确的是（ ） A. 事件与事件B相互独立 B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用独立事件计算公式可判断A正确，易知，可得B错误，根据全概率公式可得C正确，计算可得D错误. 【详解】根据，可得； 又，可得； 即满足，因此事件与事件B相互独立，即A正确； 易知，因此B错误； 由可得，即可知C正确； 计算可得，所以，即D错误. 故选：AC 10. 已知，若，则正确的是（ ） A. B. C. 除以6所得余数为5 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】令，已知式变为，可求得判断A； 令，二项式化为，可求得判断B； ,利用二项式展开式可判断除以6所得余数，判断C； 二项式两边都对求导后令可求得，从而判断D． 【详解】令，得∴，所以A正确； 令∴，所以，所以B错误； 由A知， 所以， 所以除以6的余数为5，C正确； 对于D，由， 两边求导可得， 令，得，所以D正确． 故选：ACD 11. 已知四面体中，，，，为四面体外接球的球心，则下列说法中正确的是（ ） A. 若，则平面 B. 若，则的取值范围是 C. 若，则的取值范围是 D. 若，直线与所成的角为，则四面体外接球的表面积为 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用线面垂直的判定定理可判断A选项；由结合空间向量数量积的运算性质可判断B选项；利用空间向量数量积的运算性质可判断C选项；以、为邻边作平行四边形，则为矩形，分、两种情况求出球的表面积，可判断D选项. 【详解】对于A选项，若，又因为，， 、平面，故平面，A对； 对于B选项，，由题意， 所以 ， 因为、互为异面直线，则， 故，故，B对； 对于C选项，不妨取的中点，连接、，则， ， 同理可得，， 所以， ， 因为，故，故，C对； 对于D选项，以、为邻边作平行四边形，则为矩形， 故的各顶点都在球的球面上，如下图所示： 则，又因为，，、平面， 所以，平面，且， 如下图所示： 圆柱的底面圆直径为，母线长为，则的中点到圆柱底面圆上每点的距离都相等，则为圆柱的外接球球心. 可将三棱锥置于圆柱内，使得的外接圆为圆，如下图所示： 因为，故异面直线、所成的角为或其补角， 当时，为等边三角形，则该三角形外接圆直径为， 设球的半径为，则， 此时，球的表面积为； 当时，由于，则， 则外接圆直径为，则， 此时，球的表面积为. 综上所述，球的表面积为或，D错. 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设函数，，若是奇函数，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用辅助式化简函数解析式，再由正弦函数性质求解. 【详解】函数， 由是奇函数，得，则， 所以. 故答案为：. 13. 已知是椭圆的两个焦点，点M在C上，则的最大值为_______． 【答案】16 【解析】 【分析】根据椭圆定义可得：，再用基本不等式求解. 【详解】由椭圆的定义可得：，由基本不等式得：，当且仅当时，等号成立，故的最大值为16 故答案为：16 14. 已知函数.若函数有七个不同的零点，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】作出函数的图象，根据得或，问题转化为直线与函数的图象有3交点，结合函数图象可得结果. 【详解】 如图所示，作出函数的图象. 由得，， ∴或， 由图象可得直线与函数的图象有4个交点，故方程有4个不相等的实数根， 要使函数有七个不同的零点，需方程有3个不相等的实数根，即直线与函数的图象有3交点， 结合图象可得，的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． （1）求B； （2）若，且满足，求的周长． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求解. （2）利用数量积的定义求出，再利用正弦定理角化边，结合（1）中信息求解. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理，得， 即，由余弦定理得，而 所以． 【小问2详解】 由，得，解得， 由，得，由（1）得， 则，即，解得，， 所以的周长为． 16. 为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某高中学校计划优化课程，增加学生体育锻炼时间，提高体质健康水平，某体质监测中心抽取了该校10名学生进行体质测试，得到如下表格： 序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 成绩（分） 38 41 44 51 54 56 58 64 74 80 记这10名学生体质测试成绩的平均分与方差分别为，，经计算，． （1）规定体质测试成绩低于50分为不合格，从这10名学生中任取3名，记体质测试成绩不合格的人数为X，求X的分布列； （2）经统计，高中生体质测试成绩近似服从正态分布，用，的值分别作为，的近似值，若监测中心计划从全省抽查10000名高中生进行体质测试，记这10000名高中生的体质测试成绩恰好落在区间的人数为Y，求Y的数学期望． 附：若，则，，． 【答案】（1）分布列见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求出X的可能取值及各个值对应的概率，列出分布列. （2）由给定的数据求出，再利用正态分布求出概率，利用二项分布求出期望. 【小问1详解】 依题意，体质测试不合格的学生有3名，则X的可能取值为0，1，2，3， ，， ，， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 【小问2详解】依题意，， ，则，， 于是， 学生的体质测试成绩恰好落在区间的概率约为0.9545，， 所以Y的数学期望. 17. 如图，在圆柱中，四边形ABCD是其轴截面，EF为的直径，，，． （1）求证：； （2）若四面体ABEF的体积为，求二面角平面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）通过证明平面ABCD，来证得，进而证得. （2）根据四面体的体积求得，建立空间直角坐标系，利用向量法求得二面角平面角的余弦值． 【小问1详解】 连接． 在圆柱中，平面CEDF，平面CEDF， ． ，，平面， 平面ABCD． 又平面ABCD， ． 又为EF的中点， ． 【小问2详解】 连接，，如图所示， 由四面体ABEF的体积，得． 因为与该圆柱的底面垂直，以点O为坐标原点，OB，所在直线分别为y，z轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， ，． 设平面BEF的法向量是． 由，得，取，得． 设平面ABE的法向量是． 由，得，取，得． 所以， 由图象可知，二面角为锐角， 故所求二面角的余弦值为． 18. 已知在点处与轴相切. （1）求的值； （2）求的单调区间； （3）若，求证. 【答案】（1） （2）单调递减区间为，无单调递增区间 （3）因为，则，要证， 即证， 即证， 设，则， 即证，即证， 令，， 又，所以在上单调递增，， 即，故不等式成立. 【解析】 【分析】（1）依题意知，，联立求得答案； （2）对，利用导数求单调区间； （3）对不等式变形，换元，构造函数证明. 【小问1详解】 因为在点处与轴相切，， 所以，，解得. 【小问2详解】 由（1）得，，定义域为，， 令，则， 令，则， 当时，，单调递增，所以，所以单调递减， 当时，，单调递减，，所以单调递减， 所以的单调递减区间为，无单调递增区间. 【小问3详解】 略 19. 已知动点到点的距离比它到直线的距离小，记动点的轨迹为． （1）求轨迹的方程． （2）直线与分别与轨迹交于点和点（与同向），且，线段与交于点，线段与的中点分别为． （ⅰ）求证：三点共线； （ⅱ）若，，求四边形ABCD的面积． 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）18 【解析】 【分析】（1）根据题意可知动点的轨迹为抛物线，即可求解； （2）（ⅰ）写出直线，的方程，利用即可得到，再写出直线，的方程，得出直线与的交点和直线与的交点重合，即为点，得证；（ⅱ）利用，可得，可求出，进而利用比例关系将四边形的面积用表示即可求解. 【小问1详解】 动点到点的距离比它到直线的距离小， 点到的距离与到直线的距离相等， 则动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以轨迹的方程为． 【小问2详解】 （ⅰ）设，，，， 则直线的斜率为，， 直线的方程为，即， 直线的斜率为，， 直线的方程为，即， ，，，即，故． 又直线的斜率为， 直线的方程为，即， 令，得， 直线的斜率为， 直线的方程为，即， 令，得， 所以直线与的交点和直线与的交点重合，即为点． 所以三点共线； （ⅱ），， ，，得， ， ， 上面两式相减得， 由（ⅰ）知，即，， 过点作交于点， ，，，，， 则，， 又，不妨设，则， 四边形是平行四边形，， 分别是的中点，，， ，， 设的边上的高为，的边上的高为，则， ，， ， ，，， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长沙市第一中学2024—2025学年度高二第二学期期末考试 数 学 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 实数a，b满足，则（ ） A. B. C. 1 D. 3 2. 已知集合，若，则实数（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 3. 设，则，，的大小关系是（ ）． A. B. C. D. 4. 已知，函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知平面向量，是两个单位向量，在上的投影向量为，则（ ） A. B. 1 C. 0 D. 6. 设F为双曲线（，）的右焦点，，分别为C的两条渐近线的倾斜角，且满足，已知点F到其中一条渐近线的距离为，则双曲线C的焦距为（ ） A. B. 2 C. D. 4 7. 已知数列满足的前12项组成一组数据，其第90百分位数为（ ） A. B. C. D. 8. 设函数的定义域为，若，且对任意，满足：，，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 随机事件A、B满足，，，下列说法正确的是（ ） A. 事件与事件B相互独立 B. C. D. 10. 已知，若，则正确的是（ ） A. B. C. 除以6所得余数为5 D. 11. 已知四面体中，，，，为四面体外接球的球心，则下列说法中正确的是（ ） A. 若，则平面 B. 若，则的取值范围是 C. 若，则的取值范围是 D. 若，直线与所成的角为，则四面体外接球的表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设函数，，若是奇函数，则________． 13. 已知是椭圆的两个焦点，点M在C上，则的最大值为_______． 14. 已知函数.若函数有七个不同的零点，则实数的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． （1）求B； （2）若，且满足，求的周长． 16. 为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某高中学校计划优化课程，增加学生体育锻炼时间，提高体质健康水平，某体质监测中心抽取了该校10名学生进行体质测试，得到如下表格： 序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 成绩（分） 38 41 44 51 54 56 58 64 74 80 记这10名学生体质测试成绩的平均分与方差分别为，，经计算，． （1）规定体质测试成绩低于50分为不合格，从这10名学生中任取3名，记体质测试成绩不合格的人数为X，求X的分布列； （2）经统计，高中生体质测试成绩近似服从正态分布，用，的值分别作为，的近似值，若监测中心计划从全省抽查10000名高中生进行体质测试，记这10000名高中生的体质测试成绩恰好落在区间的人数为Y，求Y的数学期望． 附：若，则，，． 17. 如图，在圆柱中，四边形ABCD是其轴截面，EF为的直径，，，． （1）求证：； （2）若四面体ABEF的体积为，求二面角平面角的余弦值． 18. 已知在点处与轴相切. （1）求的值； （2）求的单调区间； （3）若，求证. 19. 已知动点到点的距离比它到直线的距离小，记动点的轨迹为． （1）求轨迹的方程． （2）直线与分别与轨迹交于点和点（与同向），且，线段与交于点，线段与的中点分别为． （ⅰ）求证：三点共线； （ⅱ）若，，求四边形ABCD的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $