16 2023年诸城市学业水平第三次模拟试题(与青州市、安丘市、高密市、昌邑市、临朐县、昌乐县联考)-【中考321】2025年中考数学3年真题2年模拟1年预测（山东潍坊专版）

— ９１— — ９２— — ９３— 一、单选题（共６小题，每小题４分，共２４分。每小题的四个选项中只有一项正确） １．下列计算结果正确的是 （　　） Ａ．７ａ－５ａ＝２ Ｂ．９ａ÷３ａ＝３ａ Ｃ．ａ５÷ａ３＝ａ２ Ｄ．（３ａ２）３＝９ａ６ ２．星载原子钟是卫星导航系统的“心脏”，对系统定位和授时精度具有决定性作用。“北斗”三号卫星导 航系统装载国产高精度星载原子钟，保证“北斗”优于２０纳秒（１纳秒＝１×１０－９秒）的授时精度，那么 ２０纳秒用科学记数法表示为 （　　） Ａ．２×１０－８秒 Ｂ．２×１０－９秒 Ｃ．２０×１０－９秒 Ｄ．２×１０－１０秒 ３．如图１是由６个相同的小正方块组成的几何体，移动其中一个小正方块，变成图２所示的几何体，则 移动前后 （　　） Ａ．主视图改变，俯视图改变 Ｂ．主视图不变，俯视图改变 Ｃ．主视图不变，俯视图不变 Ｄ．主视图改变，俯视图不变 图 → １ 图２ 第３题图 　　　　　 第４题图 ４．把一块等腰直角三角板和一把直尺按如图的位置放置，若∠１＝２５°，则∠２的度数为 （　　） Ａ．１５° Ｂ．２０° Ｃ．２５° Ｄ．３０° ５．如图１是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现。 如图２是该台灯的电流Ｉ（Ａ）与电阻Ｒ（Ω）成反比例函数的图象，该图象经过点Ｐ（８８０，０．２５）。根据 图象可知，下列说法正确的是 （　　） Ａ．当Ｒ＜０．２５时，Ｉ＜８８０ Ｂ．Ｉ与Ｒ的函数关系式为Ｉ＝ ２００ Ｒ （Ｒ＞０） Ｃ．当Ｒ＞１０００时，Ｉ＞０．２２ Ｄ．当８８０＜Ｒ＜１０００时，Ｉ的取值范围是０．２２＜Ｉ＜０．２５ 图１ 　 图２ 第５题图 　　　　　 第６题图 ６．某函数的图象如图所示，当０≤ｘ≤ａ时，在该函数图象上可找到ｎ个不同的点（ｘ１，ｙ１），（ｘ２，ｙ２），…， （ｘｎ，ｙｎ），使得 ｙ１ ｘ１ ＝ ｙ２ ｘ２ ＝…＝ ｙｎ ｘｎ ，则ｎ的取值不可能为 （　　） Ａ．３ Ｂ．４ Ｃ．５ Ｄ．６ 二、多选题（共４小题，每小题４分，共１６分。每小题的四个选项中，有多项正确，全部选对得４分，部分 选对得２分，有错选的得０分） ７．实数ａ在数轴上的对应点的位置如图所示，若实数ｂ满足－ａ＜ｂ＜ａ，则ｂ的值可以为 （　　） Ａ．－２ Ｂ．－１ Ｃ．０ Ｄ．１ ８．某校组织学生进行健康体检，小亮将领航班所有学生测量体温的结果制成如下统计图表。下列说法 正确的是 （　　） 体温／℃ ３６．１ ３６．２ ３６．３ ３６．４ ３６．５ ３６．６ 人数 ４ ８ ８ １０ ｍ ２ 　　 Ａ．这个班有４０名学生 Ｂ．ｍ＝８ Ｃ．这些体温的众数是８ Ｄ．这些体温的中位数是３６．３５ ９．如图，抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的对称轴为直线ｘ＝１，则下列结论正确的是 （　　） Ａ．ａｂｃ＞０ Ｂ．ａ＋ｂ＋ｃ＞０ Ｃ．３ｂ＜２ｃ Ｄ．ｂ＞ａ＋ｃ 第９题图 　　　　　 第１０题图 １０．如图，在正方形纸片ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ，ＢＤ交于点Ｏ，折叠正方形纸片ＡＢＣＤ，使ＡＤ落在ＢＤ上，点 Ａ恰好与ＢＤ上的点Ｆ重合，展开后，折痕ＤＥ分别交ＡＢ，ＡＣ于点Ｅ，Ｇ。连接ＦＧ，下列结论正确的是 （　　） Ａ．∠ＡＧＤ＝１１２．５° Ｂ．ｔａｎ∠ＡＥＤ＝槡２＋１ Ｃ．Ｓ△ＡＧＤ＝２Ｓ△ＯＧＤ Ｄ．四边形ＡＥＦＧ是菱形 三、填空题（共４小题，每小题４分，共１６分。只写最后结果） １１．分解因式：ａ３－２ａ２ｂ＋ａｂ２＝　　　　　。 １２．随着生活节奏加快，居民越来越愿意使用ＡＰＰ在线上买菜。某买菜ＡＰＰ今年一月份新注册用户为 ２００万，三月份新注册用户为３３８万，则二、三两个月新注册用户每月平均增长率为　　　　　。 １３．如图，Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ是一个正多边形的顶点，Ｏ是正多边形的中心，若∠ＡＤＢ＝１８°，则这个正多边形的边 数为　　　　　。 第１３题图 　　　　　 第１４题图 １４．如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ＝１０，ＢＣ＝６，延长ＡＢ至点Ｄ，使ＢＤ＝ １ ２ ＡＢ，Ｐ是动点，且ＰＢ＝ＰＣ，连接ＰＤ， 则ＰＤ的最小值为　　　　　。 四、解答题（共８小题，共９４分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） １５．（１０分）（１）计算：１－ ２ ａ＋２( )÷ ａａ２－４； （２）解不等式组： ２ｘ＋１ ３ ＋ｘ≤２， ４ｘ－１＜３（ｘ＋１）。{ １６．（８分）如图，小明练习册上的一个等腰三角形被墨迹污染了，只有它的底边ＡＢ和∠Ｂ还保留着。 （１）小明要在练习册上画出原来的等腰三角形ＡＢＣ，用到的基本作图可以是　　　　（填写正确答案的序号）； ①作一条线段等于已知线段；②作一个角等于已知角；③作已知角的平分线；④作已知线段的垂直平 分线；⑤过一点作已知直线的垂线。 （２）ＣＤ是△ＡＢＣ边ＡＢ上的中线，若∠Ｂ的一个外角为１１０°，求∠ＢＣＤ的度数。 １７．（１２分）为了解市民对全市创卫工作的满意程度，某中学数学兴趣小组在全市甲、乙两个区内进行了 调查统计，将调查结果分为不满意、一般、满意、非常满意四类，回收、整理好全部问卷后，得到下列不 完整的统计图。 　 请结合图中信息，解决下列问题： （１）求此次调查中接受调查的人数，并补全条形统计图； （２）若本市人口为３００万人，估算该市对市创卫工作表示满意的人数和非常满意的人数； （３）兴趣小组准备从调查结果为不满意的４位市民中随机选择２位进行回访，已知４位市民中有 ２位来自甲区，另２位来自乙区，请用列表或画树状图的方法求出选择的市民均来自同区的概率。 １６２０２３年诸城市学业水平第三次模拟试题 （与青州市、安丘市、高密市、昌邑市、临朐县、昌乐县联考） （时间：１２０分钟　总分：１５０分） — ９４— — ９５— — ９６— １８．（１２分）如图，光从空气斜射入水中，入射光线ＡＢ射到水池的水面点Ｂ后折射光线ＢＤ射到池底点Ｄ 处，入射角∠ＡＢＭ＝３０°，折射角∠ＤＢＮ＝２２°；入射光线ＡＣ射到水池的水面点Ｃ后折射光线ＣＥ射到 池底点 Ｅ处，入射角∠ＡＣＭ′＝６０°，折射角∠ＥＣＮ′＝４０．５°。ＤＥ∥ＢＣ，ＭＮ，Ｍ′Ｎ′为法线。入射光线 ＡＢ，ＡＣ和折射光线ＢＤ，ＣＥ及法线ＭＮ，Ｍ′Ｎ′都在同一平面内，点Ａ到直线ＢＣ的距离为６米。 （１）求ＢＣ的长；（结果保留根号） （２）如果ＤＥ＝８．７２米，求水深 ＢＮ。（参考数据：槡２≈１．４１，槡３≈１．７３，ｓｉｎ２２°≈０．３７，ｃｏｓ２２°≈０．９３， ｔａｎ２２°≈０．４，ｓｉｎ４０．５°≈０．６５，ｃｏｓ４０．５°≈０．７６，ｔａｎ４０．５°≈０．８５） １９．（１２分）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式，利用函数图象研究其性质，运用 函数解决问题”的学习过程。在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象。 学习了一次函数之后，现在来解决下面的问题： 在ｙ＝ａ｜ｘ－１｜＋ｂ中，如表是ｙ与ｘ的几组对应值。 ｘ … －３ －２ －１ ０ １ ２ ３ … ｙ … ７ ｍ ３ １ ｎ １ ３ … 　 （１）ｍ＝　　　　，ｎ＝　　　　； （２）在平面直角坐标系中，画出函数的图象； （３）根据图象，判断下列说法是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”； ①该函数图象是轴对称图形，对称轴为直线ｘ＝１。 （　　） ②当ｘ＜１时，ｙ随ｘ的增大而增大，当ｘ≥１时，ｙ随ｘ的增大而减小。 （　　） ③该函数在自变量的取值范围内有最小值，当ｘ＝１时有最小值－１。 （　　） （４）若关于ｘ，ｙ的方程组 ｙ＝２ｘ＋ｔ， ｙ＝ａ｜ｘ－１｜＋ｂ{ 有且只有一个公共解，则ｔ的取值范围是　　　　　　。 ２０．（１２分）某公司对其办公楼大厅一块６×６米的正方形ＡＢＣＤ墙面进行了如图所示的设计装修（四周 阴影部分是八个全等的矩形，用材料甲装修；中心区域是正方形 ＥＦＧＨ，用材料乙装修）。两种材料 的成本如下： 　　　 材料 甲 乙 单价（元／米２） ８００ ６００ 设矩形的较短边ＡＭ的长为ｘ米，装修材料的总费用为ｙ元。 （１）求ｙ与ｘ之间的函数表达式； （２）当中心区域的边长ＥＦ不小于２米时，计划用２８０００元购买甲、乙两种装修材料够用吗？请说明 理由。 ２１．（１４分）从一个已知图形外一点引两条射线，分别经过该已知图形的两点，则这两条射线所成的最大 角称为该点对已知图形的视角，如图１，∠ＡＰＢ是点Ｐ对线段ＡＢ的视角。 图１ 　 图２ 　 图３ 　 图４ 　 图５ 　 【应用】 （１）如图２，在平面直角坐标系中，已知点Ａ（２，槡３），Ｂ（２，槡２３），Ｃ（３，槡３），求原点Ｏ对△ＡＢＣ的视角 的度数； （２）如图３，在平面直角坐标系中，以坐标原点 Ｏ为圆心，２为半径画圆 Ｏ１；以坐标原点 Ｏ为圆心， ４为半径画圆Ｏ２。证明：圆Ｏ２上任意一点Ｐ对圆Ｏ１的视角是定值； 【拓展应用】 （３）很多摄影爱好者喜欢在天桥上对城市的标志性建筑拍照，如图４。现在有一条笔直的天桥，标志 性建筑轮廓呈正方形，摄影师想在天桥上找到对建筑视角为４５°的位置拍摄。现以建筑的中心为原 点建立如图５所示的平面直角坐标系，此时天桥所在的直线的表达式为ｘ＝－５，正方形建筑ＡＢＣＤ的 边长为４，请直接写出直线上满足条件的点的坐标。 ２２．（１４分）综合与实践：如图，将一个等腰直角三角尺 ＡＢＣ的顶点 Ｃ放置在直线 ｌ上，∠ＡＢＣ＝９０°， ＡＢ＝ＢＣ，过点Ａ作ＡＤ⊥ｌ于点Ｄ，过点Ｂ作ＢＥ⊥ｌ于点Ｅ。 【观察发现】 （１）如图１，当Ａ，Ｂ两点均在直线ｌ的上方时， ①猜测线段ＡＤ，ＣＥ与ＢＥ的等量关系，并说明理由； ②直接写出线段ＣＤ，ＡＤ与ＢＥ的等量关系； 【操作证明】 （２）将等腰直角三角尺ＡＢＣ绕着点Ｃ逆时针旋转至图２位置时，线段ＣＤ，ＡＤ与ＢＥ又有怎样的等量 关系？请写出你的猜想，并写出证明过程； 【推广探索】 （３）将等腰直角三角尺ＡＢＣ绕着点Ｃ继续旋转至图３位置时，ＡＤ与ＢＣ交于点Ｈ，若ＣＤ＝３，ＡＤ＝９， 请直接写出ＤＨ的长度。 图１ 　 图２ 　 图３ 同理，图２的直线的表达式为ｙ＝ １ ２ ｘ＋ ５ ２ ， 当ｘ＝－ ７ ５ 时，ｙ＝ ９ ５ ，即直线过点 － ７ ５ ， ９ ５( ) 。 因此三种不同的分割直线都经过同一个点。 （３）设点Ｈ（１，０），将点 Ｈ右侧矩形补到 ＡＢ上侧，构 成矩形ＯＨＧＤ， 连接ＦＧ，ＥＨ交于点Ｐ，过点Ｐ作与ＥＧ和ＦＨ都相交 的直线，即为所求直线。 （４）基本收获：①根据例题可以得出只要过矩形的中 心即可平分面积；②平分面积的直线经过同一点。 （答案不唯一） １６２０２３年诸城市学业水平第三次模拟试题 （与青州市、安丘市、高密市、昌邑市、临朐县、昌乐县联考） 答案速查 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ Ｃ Ａ Ｂ Ｂ Ｄ Ｄ ＢＣＤＡＢＤ ＡＣ ＡＢＤ １．Ｃ　【解析】７ａ－５ａ＝２ａ，故选项 Ａ错误，不符合题意； ９ａ÷３ａ＝３，故选项 Ｂ错误，不符合题意；ａ５÷ａ３＝ａ２，故 选项Ｃ正确，符合题意；（３ａ２）３＝２７ａ６，故选项Ｄ错误， 不符合题意。故选Ｃ。 ２．Ａ　【解析】用科学记数法表示２０纳秒为２０×１×１０－９秒 ＝２×１０－８秒。故选Ａ。 ３．Ｂ　【解析】小正方块移动前的主视图中正方形的个数 为１，２，１；小正方块移动后的主视图中正方形的个数 为１，２，１，主视图不发生改变；小正方块移动前的左视 图中正方形的个数为 ２，１，１；小正方块移动后的左视 图中正方形的个数为２，１，左视图发生改变；小正方块 移动前的俯视图中正方形的个数为 ３，１，１；小正方块 移动后的俯视图中正方形的个数为 ２，１，２，俯视图发 生改变。故选Ｂ。 ４．Ｂ　【解析】如图，标注∠３和线段ａ，ｂ。 ∵ａ∥ｂ，∴∠１＝∠３＝２５°。 ∵∠２＋∠３＝４５°，∴∠２＝４５°－∠３＝２０°。故选Ｂ。 ５．Ｄ　【解析】设Ｉ与Ｒ的函数关系式为Ｉ＝ Ｕ Ｒ （Ｒ＞０）。 ∵该图象经过点Ｐ（８８０，０．２５）， ∴ Ｕ ８８０ ＝０．２５。∴Ｕ＝２２０。 ∴Ｉ与Ｒ的函数关系式为Ｉ＝ ２２０ Ｒ （Ｒ＞０）。故选项 Ｂ不 符合题意； ∵Ｉ随Ｒ的增大而减小， ∴当Ｒ＜０．２５时，Ｉ＞８８０，当 Ｒ＞１０００时，Ｉ＜０．２２。故选 项Ａ，Ｃ不符合题意； ∵Ｒ＝８８０时，Ｉ＝０．２５，当Ｒ＝１０００时，Ｉ＝０．２２， ∴当８８０＜Ｒ＜１０００时，Ｉ的取值范围是 ０．２２＜Ｉ＜０．２５。 故选项Ｄ符合题意。故选Ｄ。 ６．Ｄ　【解析】设 ｙ１ ｘ１ ＝ ｙ２ ｘ２ ＝…＝ ｙｎ ｘｎ ＝ｋ，则在该函数图象上 ｎ个不同的点（ｘ１，ｙ１），（ｘ２，ｙ２），…，（ｘｎ，ｙｎ）也都在函 数ｙ＝ｋｘ的图象上，即为正比例函数ｙ＝ｋｘ的图象与如 题图所示的图象的交点，由图象可知，正比例函数 ｙ＝ ｋｘ的图象与如题图所示的图象的交点可能有１个或２ 个或３个或４个或５个。故选Ｄ。 ７．ＢＣＤ　【解析】∵１＜ａ＜２，∴－２＜－ａ＜－１。∵－ａ＜ｂ＜ａ， ∴ｂ的值可以为－１，０，１。故选ＢＣＤ。 ８．ＡＢＤ　【解析】由扇形统计图可知，体温为３６．１℃的学 生人数所占百分比为 ３６ ３６０ ×１００％＝１０％，故这个班有学 生 ４ １０％ ＝４０（名），所以ｍ＝４０－４－８－８－１０－２＝８，故选 项Ａ，Ｂ符合题意； 这些体温的众数是３６．４，故选项Ｃ不符合题意； 这些体温的中位数是 ３６．３＋３６．４ ２ ＝３６．３５，故选项Ｄ符合 题意。故选ＡＢＤ。 ９．ＡＣ　【解析】Ａ．由题图，得－ ｂ ２ａ ＝１，ａ＞０，ｃ＜０， ∴ｂ＝－２ａ＜０。∴ａｂｃ＞０。正确，符合题意； Ｂ．∵当ｘ＝１时，ｙ＜０， ∴ａ＋ｂ＋ｃ＜０。错误，不符合题意； Ｃ．∵当ｘ＝－１时，ｙ＞０，∴ａ－ｂ＋ｃ＞０。∴ｃ＞ｂ－ａ。 ∵ａ＝－ １ ２ ｂ，∴ｃ＞ ３ ２ ｂ，即３ｂ＜２ｃ。正确，符合题意； Ｄ．∵ａ－ｂ＋ｃ＞０，∴ｂ＜ａ＋ｃ。错误，不符合题意。 故选ＡＣ。 １０．ＡＢＤ　【解析】∵四边形ＡＢＣＤ是正方形， ∴ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ＡＤ，ＯＡ＝ＯＣ＝ＯＢ＝ＯＤ，ＡＣ⊥ＢＤ。 ∴∠ＯＡＤ＝∠ＯＤＡ＝４５°。 根据折叠的性质可得∠ＡＤＥ＝∠ＦＤＥ＝ １ ２∠ ＯＤＡ＝ ２２．５°， ∴∠ＡＧＤ＝１８０°－∠ＤＡＧ－∠ＡＤＧ＝１８０°－４５°－２２．５°＝ １１２．５°。故选项Ａ正确，符合题意； 根据折叠的性质可得∠ＤＦＥ＝∠ＤＡＥ＝９０°，ＡＥ＝ＥＦ， ＡＤ＝ＤＦ，∴∠ＢＦＥ＝９０°。 ∵ＯＡ＝ＯＢ，ＯＡ⊥ＯＢ，∴∠ＡＢＯ＝４５°。 ∴△ＢＥＦ是等腰直角三角形。 ∴ＢＦ＝ＥＦ＝ＡＥ。 设ＡＤ＝ＡＢ＝ａ，则ＤＦ＝ａ，∴ＢＤ＝槡２ａ。 ∴ＢＦ＝ＢＤ－ＤＦ＝槡２ａ－ａ。 ∴ＡＥ＝ＥＦ＝ＢＦ＝槡２ａ－ａ。 在Ｒｔ△ＡＤＥ中，ｔａｎ∠ＡＥＤ＝ ＡＤ ＡＥ ＝ ａ 槡２ａ－ａ ＝槡２＋１，故选 项Ｂ正确，符合题意；                                                                —２５— 根据折叠的性质可得ＡＥ＝ＥＦ，ＡＧ＝ＦＧ，∠ＡＥＧ＝∠ＦＥＧ。 ∵∠ＤＦＥ＝∠ＡＯＢ＝９０°，∴ＥＦ∥ＯＡ。 ∴∠ＦＥＧ＝∠ＡＧＥ。∴∠ＡＥＧ＝∠ＡＧＥ。 ∴ＡＥ＝ＡＧ＝ＦＧ＝ＥＦ。 ∴四边形ＡＥＦＧ是菱形。故选项Ｄ正确，符合题意； ∵四边形ＡＥＦＧ是菱形，∴ＦＧ∥ＡＢ。 ∴∠ＧＦＯ＝∠ＡＢＯ＝４５°。 ∴ＦＧ＝槡２ＯＧ。∴ＡＧ＝ＦＧ＝槡２ＯＧ。 ∴Ｓ△ＡＧＤ＝ １ ２ ＡＧ·ＯＤ＝槡 ２ ２ ＯＧ·ＯＤ， Ｓ△ＯＧＤ＝ １ ２ ＯＧ·ＯＤ。 ∴Ｓ△ＡＧＤ＝槡２Ｓ△ＯＧＤ。故选项Ｃ错误，不符合题意。 故选ＡＢＤ。 １１．ａ（ａ－ｂ）２　【解析】ａ３－２ａ２ｂ＋ａｂ２＝ａ（ａ２－２ａｂ＋ｂ２）＝ ａ（ａ－ｂ）２。　 １２．３０％　【解析】设二、三两个月新注册用户每月平均 增长率为 ｘ，由题意，得 ２００（１＋ｘ）２＝３３８，解得ｘ１＝ ０．３＝３０％，ｘ２＝－２．３（不合题意，舍去）。 １３．１０　【解析】如图，连接ＯＡ，ＯＢ。 ∵Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ是一个正多边形的顶点，Ｏ 是正多边形的中心， ∴点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ在以点Ｏ为圆心，ＯＡ为 半径的同一个圆上。 ∵∠ＡＤＢ＝１８°， ∴∠ＡＯＢ＝２∠ＡＤＢ＝３６°。 ∴这个正多边形的边数＝ ３６０° ３６° ＝１０。 １４． ９ ２ 　【解析】如图，作直线ＰＡ交ＢＣ于点Ｅ。 ∵ＡＢ＝ＡＣ＝１０， ＰＢ＝ＰＣ， ∴直线 ＰＡ是线段 ＢＣ 的垂直平分线。 ∴ＢＥ＝ １ ２ ＢＣ＝３，ＢＣ⊥ＰＡ。 ∴当ＰＤ⊥ＰＡ时，ＰＤ最短。 ∴∠ＡＰＤ＝∠ＡＥＢ＝９０°。 ∵ＢＤ＝ １ ２ ＡＢ，∴ＡＤ＝ ３ ２ ＡＢ＝１５。 ∵∠ＥＡＢ＝∠ＰＡＤ，∴△ＡＥＢ∽△ＡＰＤ。 ∴ ＡＢ ＡＤ ＝ＢＥ ＤＰ 。∴ １０ １５ ＝３ ＤＰ 。 ∴ＰＤ＝ ９ ２ 。∴ＰＤ的最小值为 ９ ２ 。 １５．解：（１）原式＝ ａ＋２－２ ａ＋２ · （ａ＋２）（ａ－２） ａ ＝ ａ ａ＋２ · （ａ＋２）（ａ－２） ａ ＝ａ－２。 （２） ２ｘ＋１ ３ ＋ｘ≤２，① ４ｘ－１＜３（ｘ＋１），②{ 解不等式①，得ｘ≤１，解不等式②，得ｘ＜４， 所以不等式组的解集为ｘ≤１。 １６．解：（１）如图，△ＡＢＣ即为所求作。 作线段ＡＢ的垂直平分线 ＭＮ，垂足为 Ｄ，∠Ｂ的另一 边交直线ＭＮ于点 Ｃ，连接 ＡＣ，△ＡＢＣ即为所求作， 所以用到④。想要画出原来的等腰三角形，根据题目 中说的ＡＢ为底边，可以画出∠Ａ＝∠Ｂ，从而画出等 腰三角形，所以用到②。故可以选②④。 （２）∵∠Ｂ的一个外角为１１０°，∴∠Ｂ＝７０°。 ∵ＡＣ＝ＢＣ，∴∠Ａ＝∠Ｂ＝７０°。 ∴∠ＡＣＢ＝１８０°－２×７０°＝４０°。 ∵ＡＣ＝ＢＣ，ＣＤ⊥ＡＢ， ∴∠ＢＣＤ＝ １ ２∠ ＡＣＢ＝２０°。 １７．解：（１）∵非常满意的有２０人，占４０％， ∴此次调查中接受调查的人数为２０÷４０％＝５０。 ∴此次调查中结果为满意的人数为５０－４－８－２０＝１８。 补全条形统计图如图所示。 （２）该市对市创卫工作表示满意的人数＝３００× １８ ５０ ＝ １０８（万）。 该市对市创卫工作表示非常满意的人数＝３００× ２０ ５０ ＝ １２０（万）。 答：估算该市对市创卫工作表示满意和非常满意的人 数分别为１０８万，１２０万。 （３）画树状图如下： ∵共有１２种等可能的结果，选择的市民均来自同区 的结果有４种， ∴选择的市民均来自同区的概率为 ４ １２ ＝１ ３ 。 １８．解：（１）如图，作ＡＦ⊥ＢＣ于点Ｆ，                                                                —３５— 则ＡＦ∥ＭＮ∥Ｍ′Ｎ′， ∴∠ＡＢＭ＝∠ＢＡＦ，∠ＡＣＭ′＝∠ＣＡＦ。 ∵∠ＡＢＭ＝３０°，∠ＡＣＭ′＝６０°， ∴∠ＢＡＦ＝３０°，∠ＣＡＦ＝６０°。 ∵ＡＦ＝６米， ∴ＢＦ＝ＡＦ·ｔａｎ３０°＝６×槡 ３ ３ ＝槡２３（米）， ＣＦ＝ＡＦ·ｔａｎ６０°＝６×槡３＝槡６３（米）。 ∴ＢＣ＝ＣＦ－ＢＦ＝槡６３－槡２３＝槡４３（米）， 即ＢＣ的长为 槡４３米。 （２）设水池的深为ｘ米，则ＢＮ＝ＣＮ′＝ｘ米。 由题意，得∠ＤＢＮ＝２２°，∠ＥＣＮ′＝４０．５°，ＤＥ＝８．７２米， ∴ＤＮ＝ＢＮ·ｔａｎ２２°≈０．４ｘ（米）， ＥＮ′＝ＣＮ′·ｔａｎ４０．５°≈０．８５ｘ（米）。 ∵ＤＮ＋ＤＥ＝ＢＣ＋ＥＮ′， ∴０．４ｘ＋８．７２＝槡４３＋０．８５ｘ，解得ｘ≈４。 ∴水深ＢＮ约为４米。 １９．解：（１）∵函数ｙ＝ａ｜ｘ－１｜＋ｂ的图象经过点（－１，３）， （０，１）， ∴ ２ａ＋ｂ＝３， ａ＋ｂ＝１，{ 解得 ａ＝２，ｂ＝－１。{ ∴ｙ＝２｜ｘ－１｜－１。 ∴当ｘ＝－２时，ｍ＝２×｜－２－１｜－１＝５， 当ｘ＝１时，ｎ＝２×｜１－１｜－１＝－１。 故答案为５；－１。 （２）函数ｙ＝２｜ｘ－１｜－１的图象如图所示。 （３）①√　②×　③√ （４）把（１，－１）代入ｙ＝２ｘ＋ｔ，得ｔ＝－３， ∴当ｔ＞－３时，直线 ｙ＝２ｘ＋ｔ与函数 ｙ＝２｜ｘ－１｜－１的 图象只有一个交点。 ∴方程组 ｙ＝２ｘ＋ｔ， ｙ＝ａ｜ｘ－１｜＋ｂ{ 有且只有一个公共解，则 ｔ的 取值范围是ｔ＞－３。故答案为ｔ＞－３。 ２０．解：（１）根据题意，得ＡＤ＝ＡＢ＝６米，ＡＭ＝ＭＮ＝ｘ米。 ∵四周阴影部分是八个全等的矩形， ∴ＥＦ＝（６－４ｘ）米，ＤＮ＝（６－２ｘ）米。 ｙ＝８００×８ｘ（６－２ｘ）＋６００（６－４ｘ）２＝－３２００ｘ２＋９６００ｘ＋ ２１６００（０＜ｘ＜２）。 （２）∵ＥＦ不小于２，∴６－４ｘ≥２。∴０＜ｘ≤１。 ｙ＝－３２００ｘ２＋９６００ｘ＋２１６００＝－３２００ｘ－ ３ ２( ) ２ ＋ ２８８００。 ∵－３２００＜０，∴当０＜ｘ≤１时，ｙ随ｘ的增大而增大。 ∴当ｘ＝１时，ｙ取得最大值２８０００。 ∴计划用２８０００元购买甲、乙两种装修材料够用。 ２１．（１）解：如图１，延长ＢＡ交ｘ轴于点Ｄ， 过点Ｃ作ＣＥ⊥ｘ轴于点Ｅ。 图１ ∵点Ａ（２，槡３），Ｂ（２，槡２３），Ｃ（３，槡３）， ∴ＡＢ∥ｙ轴，ＣＥ＝槡３，ＯＥ＝３。 ∴ＡＢ⊥ｘ轴。∴ＢＤ＝槡２３，ＯＤ＝２。 ∴ｔａｎ∠ＢＯＤ＝ ＢＤ ＯＤ ＝槡３， ｔａｎ∠ＣＯＥ＝ ＣＥ ＯＥ ＝槡３ ３ 。 ∴∠ＢＯＤ＝６０°，∠ＣＯＥ＝３０°。 ∴∠ＢＯＣ＝∠ＢＯＤ－∠ＣＯＥ＝３０°。 ∴原点Ｏ对△ＡＢＣ的视角为３０°。 （２）证明：如图２，过圆Ｏ２上任意一点Ｐ作圆Ｏ１的两 条切线交圆 Ｏ１于点 Ａ，Ｂ，连接 ＯＡ，ＯＢ，ＯＰ，则有 ＯＡ ⊥ＰＡ，ＯＢ⊥ＰＢ。 图２ 在△ＰＡＯ中，ＯＡ＝２，ＯＰ＝４， ∴ｓｉｎ∠ＯＰＡ＝ ＯＡ ＯＰ ＝１ ２ 。 ∴∠ＯＰＡ＝３０°。 同理可得∠ＯＰＢ＝３０°， ∴∠ＡＰＢ＝６０°。 ∴圆Ｏ２上任意一点Ｐ对圆Ｏ１的视角为６０°， 即圆Ｏ２上任意一点Ｐ对圆Ｏ１的视角是定值。 （３）解：如图３，当在直线ＡＢ与直线ＣＤ之间时，视角 是∠ＡＰＤ，此时以 Ｅ（－４，０）为圆心，ＡＥ长为半径画 圆，交直线ｘ＝－５于点Ｐ３，Ｐ６。 ∵∠ＢＰ３Ｄ＞∠ＡＰ３Ｄ＝４５°，∠ＡＰ６Ｃ＞∠ＡＰ６Ｄ＝４５°， 不符合视角的定义，∴Ｐ３，Ｐ６舍去。 图３ 同理，当在直线 ＡＢ上方 时，视角是∠ＢＰＤ， 此时以Ａ（－２，２）为圆心， ＡＢ长为半径画圆，交直线 ｘ＝－５于点 Ｐ１，Ｐ５，Ｐ５不 满足视角的定义； 过点 Ｐ１作 Ｐ１Ｍ⊥ＡＤ交 ＤＡ的延长线于点 Ｍ，则 ＡＰ１＝４，Ｐ１Ｍ＝５－２＝３， ∴ＡＭ＝ ＡＰ２１－Ｐ１Ｍ槡 ２＝槡７。                                                                —４５— ∴Ｐ１（－５，２＋槡７）。 当在直线ＣＤ下方时，视角是∠ＡＰＣ， 此时以Ｄ（－２，－２）为圆心，ＣＤ长为半径画圆，交直线 ｘ＝－５于点Ｐ２，Ｐ４，点Ｐ４不满足视角的定义； 同理可得Ｐ２（－５，－２－槡７）。 综上，直线上满足条件的点 Ｐ的坐标为（－５，２＋槡７） 或（－５，－２－槡７）。 ２２．解：（１）①ＡＤ＋ＣＥ＝ＢＥ。理由如下： 如图１，过点Ｂ作ＢＦ⊥ＡＤ，交ＤＡ的延长线于点Ｆ。 图１ ∵ＢＥ⊥ｌ，ＢＦ⊥ＡＤ， ∴∠ＢＥＣ＝∠Ｆ＝９０°。 又∵ＡＤ⊥ｌ，∴∠ＥＤＦ＝９０°。 ∴四边形ＤＥＢＦ是矩形。∴∠ＥＢＦ＝９０°。 又∵∠ＡＢＣ＝９０°，∴∠ＡＢＣ－∠ＡＢＥ＝∠ＥＢＦ－∠ＡＢＥ。 ∴∠ＣＢＥ＝∠ＡＢＦ。 在△ＣＢＥ与△ＡＢＦ中， ∠ＣＢＥ＝∠ＡＢＦ， ∠ＢＥＣ＝∠ＢＦＡ， ＣＢ＝ＡＢ，{ ∴△ＣＢＥ≌△ＡＢＦ（ＡＡＳ）。 ∴ＣＥ＝ＡＦ，ＢＥ＝ＢＦ。 又∵四边形ＤＥＢＦ是矩形， ∴四边形ＤＥＢＦ是正方形。 ∴ＢＥ＝ＤＥ＝ＤＦ＝ＢＦ。 ∴ＡＤ＋ＣＥ＝ＡＤ＋ＡＦ＝ＤＦ＝ＢＥ。 ②由①知ＣＤ＋ＡＤ＝ＤＥ＋ＣＥ＋ＡＤ＝ＤＥ＋ＤＦ＝２ＢＥ。 （２）ＤＣ－ＡＤ＝２ＢＥ。证明如下： 如图２，过点Ｂ作ＢＧ⊥ＡＤ，交ＡＤ的延长线于点Ｇ。 图２ ∵ＢＥ⊥ｌ，ＢＧ⊥ＡＤ，∴∠ＢＥＣ＝∠Ｇ＝９０°。 又∵ＡＤ⊥ｌ， ∴∠ＥＤＧ＝９０°。∴四边形ＤＥＢＧ是矩形。 ∴∠ＥＢＧ＝９０°。 又∵∠ＡＢＣ＝９０°，∴∠ＡＢＣ－∠ＡＢＥ＝∠ＥＢＧ－∠ＡＢＥ。 ∴∠ＣＢＥ＝∠ＡＢＧ。 在△ＢＣＥ与△ＢＡＧ中， ∠ＣＢＥ＝∠ＡＢＧ， ∠ＢＥＣ＝∠ＢＧＡ， ＣＢ＝ＡＢ，{ ∴△ＢＣＥ≌△ＢＡＧ（ＡＡＳ）。∴ＣＥ＝ＡＧ，ＢＥ＝ＢＧ。 又∵四边形ＤＥＢＧ是矩形， ∴四边形ＤＥＢＧ是正方形。 ∴ＤＥ＝ＢＥ＝ＢＧ＝ＤＧ。 ∵ＣＤ＝ＣＥ＋ＤＥ， ∴ＣＤ＝ＡＧ＋ＢＥ＝ＡＤ＋ＤＧ＋ＢＥ＝ＡＤ＋２ＢＥ。 ∴ＣＤ－ＡＤ＝２ＢＥ。 （３）如图３，过点Ｂ作ＢＦ⊥ＡＤ于点Ｆ。 由（２）同理可证△ＢＡＦ≌△ＢＣＥ，四边形ＤＥＢＦ是正方形， 图３ ∴ＣＥ＝ＡＦ，ＤＥ＝ＢＥ＝ＤＦ。 ∵ＣＤ＝ＣＥ－ＤＥ， ∴ＣＤ＝ＡＦ－ＢＥ＝ＡＤ－ＤＦ－ＢＥ ＝ＡＤ－２ＢＥ。 ∴ＡＤ－ＣＤ＝２ＢＥ。 ∵ＣＤ＝３，ＡＤ＝９， ∴ＢＥ＝ＤＥ＝３，ＣＥ＝ＣＤ＋ＤＥ＝６。 ∵ＤＨ∥ＢＥ，∴ ＤＨ ＥＢ ＝ＣＤ ＣＥ 。 ∴ ＤＨ ３ ＝３ ６ 。∴ＤＨ＝ ３ ２ 。 １７２０２５年学业水平考试预测模拟卷（一） 答案速查 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ Ｃ Ｄ Ｄ Ｂ Ｂ Ｃ ＡＣ ＡＣＤＡＢＤ ＢＣ １．Ｃ　【解析】Ａ不是轴对称图形，是中心对称图形，故选 项不符合题意；Ｂ既不是轴对称图形，也不是中心对称 图形，故选项不符合题意；Ｃ既是轴对称图形，又是中 心对称图形，故选项符合题意；Ｄ不是轴对称图形，是 中心对称图形，故选项不符合题意。故选Ｃ。 ２．Ｄ　【解析】６．０１亿＝６０１００００００＝６．０１×１０８。故选Ｄ。 ３．Ｄ　【解析】该直口杯的左视图如下。故选Ｄ。 ４．Ｂ　【解析】原式＝（ｘ＋ｙ）（ｘ－ｙ）－２ｘ＋２０２４ ＝ｘ＋ｙ－２ｘ＋２０２４＝ｙ－ｘ＋２０２４ ＝－１＋２０２４＝２０２３。故选Ｂ。 ５．Ｂ　【解析】由题意，得Ｓ△ＡＯＭ＝ １ ２ Ｓ△ＡＢＭ＝２。 所以｜ｋ｜＝４，即ｋ＝－４。故选Ｂ。 ６．Ｃ　【解析】如图，设ＡＭ交ＢＣ于点 Ｆ，过点 Ｆ作 ＦＧ⊥ ＡＢ于点Ｇ。 ∵ＡＭ是∠ＢＡＣ的平分线，ＢＮ是∠ＡＢＣ的平分线， ∴∠ＢＡＭ＋∠ＡＢＮ＝ １ ２ （∠ＢＡＣ＋∠ＡＢＣ）                                                                —５５—