专题03 小数乘除法（2） - 2025年新五年级数学暑假自学课（沪教版）

第3讲 小数乘除法（2） 课前导入 【思考】同学们，你们会计算吗？ 知识点精讲 知识点一 小数除法 内容 除数是整数的小数除法 计算方法：先按照整数除法的方法计算，最后点上小数点。商的小数点要和被除数的小数点对齐。 除数是小数的小数除法 计算方法： 1. 移动除数的小数点，使它变成整数； 2. 除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也要向右移动相同的位数。若位数不够，在被除数的末尾用0补足； 3. 按照除数是整数的小数除法进行计算； 4. 如果除到被除数木尾仍有剩余，就在剩余部分后面添0,继续除。 【注意】 1. 除数是整数的小数除法，若整数部分不够除，商先写0，再点上小数点进行计算。初到小数部分有余数时，添0再计算； 2. 除数是小数的小数除法，移动位数时一定不要多或少，尤其被除数。 如图，在12.48÷26的竖式中，箭头所指的这一步表示的是（    ）。例1 A．208个1 B．208个0.1 C．208个0.01 D．208个0.001 如图，方框里的“140”表示140个（    ）。例2 A．十分之一 B．百分之一 C．千分之一 D．万分之一 一根18米长的绳子，对折再对折后，每段长是（    ）米。练1 A．9 B．6 C．4.5 D．2.25 一只机器狗0.3小时前进了0.6千米。算式0.3÷0.6表示这只机器狗（    ）。练2 A．前进1千米需要多少小时 B．前进0.1千米需要多少小时 C．1小时能前进多少千米 D．0.1小时能前进多少千米 知识点精讲 知识点二 循环小数；用计算器计算；积、商的凑整 内容 循环 小数 1. 定义。一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫作循环小数； 2. 循环节。一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，叫作循环小数的循环节； 3. 表示方法。写循环小数时，可以只写第一个循环节，并在这个循环节的收尾和末尾数字上方各点上一个实心圆点。 用计算器计算 用计算器计算小数乘、除法的步骤，与整数计算的方法一致。也可以利用计算器，探索小数乘除法的计算规律。 积、商的凑整 1. 求积的近似数。先算出准确的积，再看要求保留的小数位数下一位上的数字，最后根据这个数字的大小按“四舍五入”法求出近似数； 2. 求商的近似数。先看要求保留几位小数，然后除到比需要保留的小数位数多一位，再按照“四舍五入”法得到要求的结果。 【注意】 1. 小数部分的位数是有限的小数，叫作有限小数；反之，则为无限小数； 2. 用计算器计算时，一定要注意小数点，别漏了； 3. 求积的近似数时，可以在乘法算式的后面用“≈”连接，并直接写出近似数；求商的近似数时，有时保留指定的小数位数后，近似数的末尾有0，此时的0不能去掉。 在3.333，4.72121…，0.42424242，3.1415926…，0.4103103…这些数中，循环小数有（    ）个。例1 A．2 B．3 C．4 D．5 根据下面的规律写下去，第五个式子是（    ）。例2 10÷11＝0.909090… 20÷11＝1.818181… 30÷11＝2.727272… 40÷11＝3.636363… A．50÷11＝4.545454… B．50÷11＝4.454545… C．60÷11＝5.545454… D．60÷11＝5.454545… 一个正方形的周长是12.96cm，这个正方形的面积是（    ）cm2（结果保留两位小数）。练1 A．10.50 B．10.4976 C．10.5 D．12.96 在文具店里，某款彩笔卖14元一盒。老师带了300元去买这款彩笔，他可以买回（    ）。练2 A．21 B．22 C．21.4 D．21.43 一、选择题 1．10.44÷725的商的最高位是（    ）。 A．十位 B．个位 C．十分位 D．百分位 2．下面的除法算式中，商大于被除数的算式是（    ）。 A．8.2÷4.1 B．1.25÷25 C．0.36÷0.8 D．10.8÷3.6 3．下列各数中，与循环小数一样的是（    ）。 A．2.854545… B．2.85454… C．2.854854… D．2.85454545 4．一个计算器的小数点键坏了，如果要计算5.4×0.25，错误的计算方法是（    ）。 A．54×25÷100 B．54÷10×25÷100 C．54×25÷1000 D．54÷10÷4 5．3.38×2.1得数省略百分位后的尾数是（    ）。 A．7 B．7.00 C．7.09 D．7.10 二、填空题 6．的商是循环小数，用简便形式记作( )，保留两位小数是( )。 7．比大小。 39.42÷0.12( )394.2÷12     5.43÷10( )5.43×0.1 8．5个0.01和32个1组成的数是( )，这个数里有( )个0.001。 9．被减数加减数再加差等于5，差等于1.75，减数等于( )。 10．从4千克海水里可以提炼98克盐。那么，算式表示( )；算式表示( )。 三、计算题 11．直接写出得数。 12÷1.2＝        3.5÷0.5＝        0.48÷24＝ 0.49÷0.7＝        2.68÷0.4＝        1.25÷2.5＝ 12．用竖式计算，带※的要验算。 6.4÷4＝     91÷2.6＝    17.4÷15＝     ※16.38÷0.91＝ 13．递等式计算，能巧算的要巧算。 （32＋360÷4.5）×7.2           20.87＋2.13×0.4＋0.6              56.87×101－56.87 36.59－3.27＋3.41－6.73               4464÷[216÷（155－83）] 14．请你用计算器计算下面有趣的算式。 1×0.9＝0.9      21×0.9＝18.9      321×0.9＝288.9 4321×0.9＝      54321×0.9＝      654321×0.9＝ 观察上面的算式和结果，你发现了什么？用你发现的规律直接写出下面各题的结果。 7654321×0.9＝       87654321×0.9＝ 四、解答题 15．AB两地相距142千米，甲、乙两人驾车同时从两地相向而行。甲每小时行45千米，乙每小时行40千米。几小时后两人还未相遇并相距6千米？ 16．甲车3.5小时行驶238千米，乙车4小时行驶260千米。问：哪辆汽车的速度快些？ 17．同学们，前不久认识了“循环小数”，是不是觉得它特别神奇啊？那你是不是真正了解“循环小数”了呢？考考你。 你看，5÷7＝0.714285714285…，商的小数点右边第100位上的数字是几呢？这100位上的数字之和是多少呢？你能算出来并加以说明吗？（提示：可以用文字，也可以结合图示与算式等） 18．小巧的阿姨从美国带回一本书送给小巧，定价是1.2美元，你帮小巧仔细算一算，折合人民币约多少元？（将结果四舍五入保留两位小数） 19．月饼，又称月团、丰收饼，是久负盛名的中国传统糕点之一，中秋节节日食俗，象征着团圆和睦。 （1）食品加工厂加工一个黑芝麻月饼需用2.8克黑芝麻，300克黑芝麻最多可以加工多少个黑芝麻月饼？ （2）如果把这些月饼都装到礼品盒里，每盒装15个，至少需要准备多少个礼品盒？ 知识点一： C例1 【分析】先找出箭头所指的208末尾对应的是被除数的哪个数位，再结合数位对应的计数单位解题即可。 【详解】箭头所指的208末尾对应的是被除数的百分位，百分位的计数单位是0.01，所以这一步表示208个0.01。 故答案为：C 【点睛】本题考查了除数是整数的小数除法，掌握小数除法各部分的意义是解题的关键。 B例2 【分析】1.134除以0.28，先将除数0.28转化为整数28，即小数点向右移动两位，其被除数的小数点也要向右移动两位变成113.4，即1.134÷0.28＝113.4÷28，先商4，小数点对齐，余数为1，再将十分位上的4移下来，最后商0，再在百分位补0，移下来，所以，方框里的“140”表示140个百分之一。 【详解】由分析可知： 方框里的“140”表示140个百分之一。 故答案为：B C练1 【分析】一根18米长的绳子，对折再对折后，是把这根绳子平均分成4分，求每一段的长度，用绳子的长度除以4，解答即可 【详解】18÷4＝4.5（米） 一根18米长的绳子，对折再对折后，每段长是4.5米。 故答案为：C A练2 【分析】已知一只机器狗0.3小时前进了0.6千米，0.6表示路程，0.3表示时间，用时间除以路程，表示前进1千米需要的时间。 【详解】A．求这只机器狗前进1千米需要多少小时，列式：0.3÷0.6，符合题意； B．求这只机器狗前进0.1千米需要多少小时，列式：0.3÷0.6×0.1，不符合题意； C．求这只机器狗1小时能前进多少千米，列式：0.6÷0.3，不符合题意； D．求这只机器狗0.1小时能前进多少千米，列式：0.6÷0.3×0.1，不符合题意。 故答案为：A 知识点二： A例1 【分析】根据一个无限小数的小数部分有一个或几个依次不断重复出现的数字，这样的小数就叫做循环小数，由此即可判断即可。 【详解】由分析可知； 4.72121…，0.4103103…是循环小数，一共有2个。 故答案为：A 【点睛】此题考查如何识别循环小数：根据循环小数的概念即可识别。 A例2 【分析】得数都是循环节有2位的循环小数；得数的整数部分比被除数十位上数字少1；循环节按顺序依次是90，81，72，63，它们分别是9×10，9×9，9×8，9×7。 【详解】被除数是50，得数整数部分是5－1＝4 按顺序看，下一个算式应该是9×6＝54，所以循环节是54； 算式应该是50÷11＝4.545454… 故答案为：A。 【点睛】本题考查算式找规律，依次找到得数与被除数的关系就能解决问题。 A练1 【分析】正方形的边长＝周长÷4，正方形的面积＝边长×边长，保留两位小数需要看小数部分的第三位，“四舍五入”求近似数，据此分析解答。 【详解】12.96÷4＝3.24（cm） 3.24×3.24 ＝10.4976 ≈10.50（cm2） 这个正方形的面积约是10.50cm2 故答案为：A A练2 【分析】最后无论剩下多少钱，只要不够买一盒彩笔的价格，就无法再买一盒彩笔，用老师带去的钱数÷一盒彩笔的价格，结果用“去尾法”取整数。 【详解】300÷14≈21（盒） 在文具店里，某款彩笔卖14元一盒。老师带了300元去买这款彩笔，他可以买回21盒。 故答案为：A 1．D 【分析】根据题意，按照计算除数是整数的小数除法，按整数除法的计算方法去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐，整数部分不够除，商0，点上小数点，继续除；如果有余数，要添0再除。解答即可。 【详解】由于10.44÷725＝0.0144，商的最高位在百分位上。 故答案为：D 【点睛】此题主要考查学生对小数除法的理解与实际应用解题能力。 2．C 【分析】当被除数不是0时，商与被除数比较大小，可以只看除数，除数小于1，商反而大于被除数；除数大于1，商反而小于被除数，除数等于1，商与被除数相等；根据这个规律求解。 【详解】A．4.1＞1，所以，8.2÷4.1＜8.2； B．25＞1，所以，1.25÷25＜1.25； C．0.8＜1，所以，0.36÷0.8＞0.36； D．3.6＞1，所以，10.8÷3.6＜3.6。 故答案为：C 【点睛】本题根据两个数的商与被除数比较的规律，要熟记，并灵活运用。 3．A 【分析】写循环小数时，可以只写第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点，据此把选项中的循环小数简写，即可得出答案。 【详解】A．2.854545…＝，与循环小数一样； B．2.85454…＝，与循环小数不一样； C．2.854854…＝，与循环小数不一样； D．2.85454545不是循环小数，是有限小数。 故答案为：A 【点睛】熟练掌握循环小数的简便记法是解题的关键。 4．A 【分析】5.4×0.25中，5.4是一位小数，0.25是两位小数；因计算器的小数点键坏了，要按整数乘法计算，即5.4扩大到原来的10倍变成54，0.25扩大到原来的100倍变成25，那么积就扩大到原来的1000倍；所以54×25的积要除以1000，才是原来算式5.4×0.25的积。 【详解】5.4×0.25＝54×25÷1000 A．54×25÷100，不是54×25÷1000，计算方法错误； B．54÷10×25÷100 ＝54×25÷（10×100） ＝54×25÷1000 计算方法正确； C．54×25÷1000计算方法正确； D．54÷10÷4 ＝54÷（10×4） ＝54÷40 ＝（54×25）÷（40×25） ＝54×25÷1000 计算方法正确； 故答案为：A 【点睛】掌握积的小数位数与因数的小数位数的关系是解题的关键。 5．D 【分析】小数乘法法则：（1）按整数乘法的法则先求出积；（2）看因数中一个有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点。 省略百分位后的尾数看千分位，小于5直接舍去，大于或等于5向前一位进一。 【详解】3.38×2.1≈7.10 3.38×2.1得数省略百分位后的尾数是7.10。 故答案为：D 6． 1.64 【分析】先根据小数除法的计算法则，计算出18÷11的商，再循环小数的简便写法：写循环小数时，可以只写第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点。保留几位小数，就看保留小数的下一位小数，再根据“四舍五入”法进行解答。 【详解】18÷11＝ ≈1.64 18÷11的商是循环小数，用简便形式记作，保留两位小数是1.64。 7． ＞ ＝ 【分析】根据商不变原则：39.420.12＝（39.42×100）÷（0.12×100）＝3942÷12， 对比3942÷12和394.2÷12，除数不变，被除数缩小到原来的十分之一，则商也缩小到原来的十分之一，所以3942÷12大于394.2÷12； 5.43÷10，即将5.43缩小到原来的十分之一，小数点向左移动一位，商为0.543，而5.43×0.1，先按照整数乘法进行计算，即543×1＝543，再看因数中一共有几位小数，5.43×0.1的因数中一共有三位小数，则从积的右边数出三位点上小数点，故5.43×0.1＝0.543。由此进行比较即可。 【详解】由分析可知： 39.42÷0.12＝3942÷12，3942÷12＞394.2÷12，所以39.42÷0.12＞394.2÷12 5.43÷10＝0.543，5.43×0.1＝0.543，所以5.43÷10＝5.43×0.1 8． 32.05 32050 【分析】5个0.01用乘法计算，32个1也用乘法计算，然后再把两个计算所得的积相加，即可得组成的数；问这个数里有几个0.001，用这个数除以0.001即可得解。 【详解】 5个0.01和32个1组成的数是32.05，这个数里有32050个0.001。 9．0.75 【分析】差是1.75，被减数＋减数＋差＝5，则被减数＋减数＝5－1.75＝3.25。被减数－减数＝差＝1.75，则减数＝（3.25－1.75）÷2。 【详解】5－1.75＝3.25 （3.25－1.75）÷2 ＝1.5÷2 ＝0.75 减数等于0.75。 【点睛】本题先根据减法各部分之间的关系求出被减数减数的和与差，再根据和差问题的公式：较小数＝（和－差）÷2解答。 10． 每克盐需要多少千克海水 每千克海水可以提炼多少克盐 【分析】已知4千克海水里可以提炼98克盐，那么4÷98，即用海水的重量除以提炼盐的重量，表示提炼每克盐需要多少千克海水；98÷4，即用提炼盐的重量除以需要海水的重量，表示每千克海水可以提炼多少克盐，据此解答。 【详解】根据分析可知，从4千克海水里可以提炼98克盐。那么，算式4÷98表示每克盐需要多少千克海水；算式98÷4表示每千克海水可以提炼多少克盐。 11．10；7；0.02 0.7；6.7；0.5 【详解】略 12．1.6；35；1.16；18 【分析】计算除数是整数的小数除法时，除数是整数的小数除法，按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐；如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添“0”继续除；如果整数部分不够除，商0，点上小数点再除。 计算除数是小数的小数除法时，先移动除数的小数点使它变成整数，除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数末尾用0补足），然后按照除数是整数的小数除法进行计算，据此解答。 【详解】6.4÷4＝1.6                91÷2.6＝35                  17.4÷15＝1.16                ※16.38÷0.91＝18                 验算： 13．806.4；22.322；5687 30；1488 【分析】（1）先算括号里的除法，再算括号里的加法，最后算括号外的乘法； （2）先算乘法，然后按顺序计算； （3）根据乘法分配律进行巧算； （4）利用加法交换律和减法的性质进行简便运算； （5）先算小括号里的减法，再算中括号内的除法，最后算括号外的除法； 【详解】（1）（32＋360÷4.5）×7.2           ＝（32＋80）×7.2 ＝112×7.2 ＝806.4 （2）20.87＋2.13×0.4＋0.6               ＝20.87＋0.852＋0.6 ＝21.722＋0.6 ＝22.322 （3）56.87×101－56.87 ＝56.87×（101－1） ＝56.87×100 ＝5687 （4）36.59－3.27＋3.41－6.73                ＝36.59＋3.41－（3.27＋6.73） ＝40－10 ＝30 （5）4464÷[216÷（155－83）] ＝4464÷[216÷72] ＝4464÷3 ＝1488 14．3888.9；48888.9；588888.9 发现见详解 6888888.9；78888888.9 【分析】观察得出的前三个算式的积，从中发现规律：第一个因数是从1开始连续按倒序排列的连续自然数，第二个因数都是0.9，积的整数部分位数和第一个因数的位数相同，积的最高位比第一个因数的最高位少1，积的整数部分除最高位以外，其余数字都是8；积的小数点后面的数字是9。据此规律解答。 【详解】1×0.9＝0.9      21×0.9＝18.9      321×0.9＝288.9 4321×0.9＝3888.9      54321×0.9＝48888.9      654321×0.9＝588888.9 我发现：假设第一个因数的最高位数字是a，则所得的积的最高位数字是（a－1），后面有（a－1）个8，在最后一个8后面添上小数点，小数部分是9。 7654321×0.9＝6888888.9      87654321×0.9＝78888888.9 15． 1.6小时 【分析】当两人还相距6千米时，他们共同行驶的总路程为＝两地之间的路程－相距的千米数，速度和是85千米/时根据“时间＝路程÷速度”，即可求出时间。 【详解】（千米/时） （千米） （小时） 答：1.6小时后两人还相距6千米。 16．甲车快 【分析】利用除法先分别求出甲乙两车的速度，再比较出哪辆汽车的速度更快即可。 【详解】238÷3.5＝68（千米/时） 260÷4＝65（千米时） 68＞65 答：甲车的速度快一些。 【点睛】本题考查了行程问题，速度等于路程除以时间。 17．2；446 【分析】算小数点后第100位上的数字是多少，循环节有几位就用60除以几，求出一共有多少组循环节，整除的话就是循环节的最后一位，有余数的话看余数是几，就是循环节的第几位。求和用一组循环节的和乘上组数加上余下的几个数即可。 【详解】5÷7＝0.714285714285…，循环节是714285，是6位数，100÷6＝16……4，所以小数点后面第100位上的数字是第17个循环节的第4个数字是2。 这100个数字的和是： （7＋1＋4＋2＋8＋5）×16＋（7＋1＋4＋2） ＝27×16＋14 ＝432＋14 ＝446 答：小数点后面第100位上的数字是2，这100位数字之和是446。 【点睛】此题考查学生循环节的概念，以及分析判断能力，本题重点要确定循环节有几位小数，用100除以循环节的位数，得出是第几个循环节，然后看余数是几就是循环节的第几个数字，没有余数就是循环节的最后一个数字。 18．7.63元 【分析】由题意可知，1美元可以兑换人民币6.3560元，然后根据乘法的意义，用1.2乘6.3560即可求出折合人民币多少元，得数保留两位小数，看千分位上的数字是否满5，然后运用“四舍五入”法求得近似数即可。 【详解】1.2×6.3560＝7.6272≈7.63（元） 答：折合人民币约7.63元。 【点睛】本题考查小数乘法，明确1美元可以兑换人民币6.3560元是解题的关键。 19．（1）107个 （2）8个 【分析】（1）根据除法的意义，用300除以2.8进行计算，其结果根据实际情况运用“去尾法”保留整数即可； （2）用月饼的数量除以15进行计算，其结果根据实际情况运用“进一法”保留整数即可。 【详解】（1）300÷2.8≈107.1≈107（个） 答：最多可以加工107个黑芝麻月饼。 （2）107÷15≈7.1≈8（个） 答：至少需要准备8个礼品盒。 第4页，共4页 第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$