培优点12 利用导数解决双变量问题 （7大题型）（讲义+精练）-2026年新高考数学大一轮复习讲义之技巧精讲与题型全归纳（新高考专用）

培优点12 利用导数解决双变量问题 目录 01 重点解读 2 02 思维升华 3 03 典型例题 4 题型一：构造单调性 4 题型二：任意存在型 8 题型三：比较双变量 13 题型四：变量换元类 20 题型五：韦达定理类 26 题型六：引参换元类（比值代换与差值代换） 31 题型七：双变量放缩类 39 04 课时精练 45 在高考数学中，利用导数解决双变量问题是重点与难点。这类问题通常涉及两个变量，需通过导数将其转化为单变量问题求解。解题关键在于找到变量间的关系，如极值点满足的方程，通过消元或整体代换简化问题。常用方法包括：变更主元，指定主变量，将双变量转化为值域或最值问题；利用函数单调性，构造新函数求解；通过韦达定理、对数平均不等式等工具处理极值点偏移问题。解题时需灵活运用导数性质，结合函数图像分析，合理构造函数，利用单调性、极值等性质证明不等式或求解参数范围。掌握这些方法，能有效提升解决双变量问题的能力。 在数学问题中，双变量问题常借助导数求解，以下是常见方法： 1、变更主元法：当问题中两个变量地位不均等，可确定一个为主元，另一个视为参数，将双变量问题转化为关于主元的单变量函数问题。例如已知含双变量的不等式恒成立，把其中一个变量看作主元，构造函数，利用导数求其最值，进而求解另一个变量的范围。 2、构造差函数法：对于双变量不等式，可通过移项构造差函数，将问题转化为证明差函数的单调性或最值问题。对差函数求导，分析其单调性，从而证明不等式。 3、利用极值点关系：若双变量与函数极值点相关，先求出函数极值点满足的方程，再利用方程关系对双变量进行消元或转化，最后结合导数求解。 题型一：构造单调性 【典例1-1】（2025·山东聊城·一模）已知函数，曲线在处的切线交轴于点． （1）求的值； （2）若对于内的任意两个数，，当时，恒成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）由，得， ，， ∴曲线在处的切线方程为， 则，解得； （2）， 不妨设，对于内的任意两个数，，， 即有， 设，则在上为减函数． 则对恒成立． 可得在上恒成立． 令，， 则在上单调递减， ∴． ∴，即． ∴实数的取值范围是． 【典例1-2】（2025·全国·模拟预测）已知函数（其中为自然对数的底数）. (1)讨论函数的单调性； (2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）依题意，令，， 则， 令，解得或. 当时，即时，恒成立且不恒为零， 所以，函数的增区间为； 当时，即时，由可得或，由可得， 所以，函数的增区间为、，减区间为； 当时，即时，由可得或，由可得. 所以，函数的增区间为、，减区间为. 综上所述，当时，函数的增区间为； 当时，函数的增区间为、，减区间为； 当时，函数的增区间为、，减区间为. （2）当时，恒成立， 所以在上单调递增，且. 因为，所以， 则不等式可化为， 即. 令，则问题等价于函数在上单调递增， 即在上恒成立， 即，. 令，， 则. 令，解得， 所以当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增； 所以当时，函数取得最小值，且， 所以当时，，所以. 【变式1-1】已知函数，其中 （1）当时，若在区间，上的最小值为，求的取值范围； （2）若对于任意，恒成立，求的取值范围． 【解析】（1）函数的定义域为， 当时， 令，解得或； ①当，即时，在上单调递增； 在上的最小值是，符合题意； ②当，即时，在上的最小值是，不合题意； ③当，即时，在上单调递减； 在上的最小值是不合题意； 综上所述，的取值范围是； （2）令，则只需在上单调递增即可，， 当时，，此时在上单调递增； 当时，只需在上恒成立； ， 只需； ； 对于函数，过定点（0，1），对称轴为，只需，解得， 综上所述，的取值范围是 【变式1-2】已知函数，对于任意，，不等式恒成立，则整数的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】， 设，，则有且，即恒成立， 即，令，则在上单调递增，即恒成立， 即，，得，下证成立： ，易证当时，， 考查函数：，则，故函数在区间上单调递减，在区间上单调造增，当时，函数的最小值为，据此可得：， 当时，，故成立． 故选B． 【变式1-3】（2025·河南洛阳·三模）已知函数，其中. （1）讨论函数的单调性； （2）当时，证明：不等式恒成立（其中，）. 【解析】分析：（1）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可； （2）问题转化为证明 恒成立．设，则上式等价于，要证明对任意，恒成立，要证明g（x1+x2）＞g（x1-x2）对任意x1∈R，x2∈（0，+∞）恒成立，即证明在上单调递增，根据函数的单调性证明即可． （1）由于. 1）当时，，当时，，递增， 当时，，递减； 2）当时，由得或. 当时，，当时，，递增， 当时，，递减， 当时，，递增； 当时，，递增； ③当时，. 当时，，递增， 当时，，递减， 当时，，递增. 综上，当时，在上是减函数，在上是增函数； 当时，在，上是增函数，在上是减函数； 当时，在上是增函数； 当时，在，上是增函数，在上是减函数. （2）依题意 恒成立. 设，则上式等价于， 要证明对任意，恒成立， 即证明在上单调递增，又， 只需证明即可.令，则， 当时，，当时，， ∴，即，，那么，当时，，所以 ；当时，， ， ∴恒成立.从而原不等式成立. 题型二：任意存在型 【典例2-1】（2025·辽宁大连·模拟预测）已知，，其中是自然对数的底数． (1)讨论的单调性； (2)设，．存在，，使得成立，试求实数的取值范围． 【解析】（1）由题，. 当，则，则此时在上单调递减； 当，则. 若，即时，令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增； 若，即时，此时在上单调递减. 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增； （2）时，由（1）可得； 又，则，得在上单调递增， 则. 又注意到存在，，使得， 等价于时，， 则，又， 则. 【典例2-2】已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)设（为自然对数的底数），当时，对任意，存在，使，求实数的取值范围. 【解析】（1）由题意可知：函数的定义域为， 且，， ①当时，令得；令得； 可知在内单调递增；在内单调递减； ②当时，令得；令得； 可知在内单调递增，在内单调递减； 综上所述：当时，在内单调递增；在内单调递减； 当时，在内单调递增，在内单调递减. （2）当时，由（1）可知：函数在上递增，在上递减， 即当时，函数取得极小值，同时也是最小值. 若对任意，存在，使， 等价于为，即，整理可得， 构建，则， 由，得，或（舍）， 当时，；当时，； 可知函数在内单调递增，函数在内单调递减， 则当时，取得极大值同时也是最大值， 且，， 可知，则函数的最小值为， 可得，所以实数的取值范围为. 【变式2-1】已知函数，，． (1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值； (2)若方程在上恰有两个不同的实数根，求的取值范围； (3)若对任意，总存在唯一的，使得，求的取值范围． 【解析】（1） ，即曲线在点处的切线斜率为， 曲线在点处的切线与直线垂直， ； （2）若方程在上恰有两个不同的实数根， 即在上恰有两个不同的实数根， 当时，等式不成立， 故在上有个实数根， 令，则恒成立， 故在和上均为增函数； 当时，； 当时，， 综上可得： （3）由（1）中得： 当时，，函数为减函数； 当时，，函数为增函数； 故当时，函数取最小值， 当时，函数，， 当时，函数； 当时，由得：， 由对任意，总存在唯一的，使得得： ，解得：； 当时，由得：， 满足对任意，总存在唯一的，使得 当时，由得：， 由对任意，总存在唯一的，使得得：，解得：； 综上可得： 【变式2-2】已知函数，若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围 【答案】 【解析】由题意可得：，分类讨论a>0,a=0,a<0，结合导数求得最大、小值，解不等式即可得到所求范围.恒成立  只需 由得：，令解得： 在单调递减，在单调递增 ，恒成立 即只需 当时，令 则，与矛盾 当时，  解得 在单调递增，在单调递减 综上所述： 题型三：比较双变量 【典例3-1】已知函数 (1)求的单调区间； (2)若对恒成立，求实数的取值范围； (3)若，其中，证明：． 【解析】（1）函数的定义域为． 又， 当时，；当时；当时，． 故在区间内为增函数，在区间内为减函数， 即的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）因为对恒成立， 即对恒成立， 即对恒成立， 即对恒成立， 令，，注意到， 又， 当时，所以在上单调递增，则当时， 即对，恒成立，不符合题意； 当时，则当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减； 当，即时，在上单调递减，则当时，符合题意； 当，即时，在上单调递增，则当时，不符合题意； 综上可得实数的取值范围为； （3）因为，其中， 则，即． 由，得． 由（1）不妨设，则，从而，得， 令， 则， 当时，，在区间内为减函数，， 从而，所以， 由（1）得即．① 令，则， 当时，，在区间内为增函数，， 从而，所以． 又由，可得， 所以．② 由①②得． 【典例3-2】已知函数， (1)当时，求在处的切线方程 (2)若恒成立，求的范围 (3)若在内有两个不同零点，，求证：． 【解析】（1）由于，所以，， 则，， 故切线方程为，即， （2）因为，， 进而，即， 令，， 当，，单调递增， 当，，单调递减， 当时，， 所以，因此， ，故； （3）在内有两个不同零点，， 则， 有两个根，，即， 由（2）知，当，在单调递增，单调递减． 故， 欲证，即证， 由于，在单调递减， 所以只需证明，即证， 欲证，即证，即， 即证，即证，而该式显然成立， 所以， 欲证，即证，，即证， 即证，即证，即证， 令， 只需证， ， 令， ，在单调递增， ，得证． 【变式3-1】已知函数的导函数为，我们称函数的导函数为函数的二阶导函数，若一个连续函数在区间I上的二阶导函数，则称为I上的凹函数，若二阶导函数，则称为I上的凸函数． (1)证明：函数是凸函数． (2)已知函数，． ①若是上的凹函数，求实数a的取值范围； ②在内有两个不同的零点，，证明：． 【解析】（1）因为， 所以， 所以是上的凸函数． （2）①因为， 所以． 因为是上的凹函数，所以在上恒成立，即． 令，则． 当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减． ，所以，解得， 所以实数的取值范围是． ②由①知，因为在内有两个不同的零点， 所以方程在内有两个根，即． 因为在上单调递增，在上单调递减，所以． 欲证，即证 因为且在上单调递减， 所以只需证明，即证． 欲证，即证，即， 只需证，即证，而该式显然成立． 欲证，即证．因为，所以只需证， 即证即需证． 令，，则， 所以在上单调递增，所以则原不等式得证． 故． 【变式3-2】（2025·广东深圳·二模）设函数，其中． (1)讨论的单调性； (2)当存在小于零的极小值时，若，且，证明：． 【解析】（1）由 ①当时，在上单调递增. 在上单调递减. ②当时，令 （i）当时，， 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，恒成立，故在上单调递增 （ii）当时，或，，故在和上单调递增，在上单调递减. (iii) 当时，或，，故在上单调递减，在和上单调递增. 综上所述：当时， 在上单调递增.在上单调递减. 当时，若，在上单调递增； 若，在和上单调递增，在上单调递减； 若，在上单调递减，在和上单调递增. （2）当存在小于零的极小值时，满足题意，此时在上单调递增； 当时，极小值为， 令，则， 再令，该函数在上单调递增，在单调递减， 所以，所以，单调递减， 又，所以，，在上单调递增； 所以当存在小于零的极小值时，在上单调递增， 令 令 在上单调递增，而 在上单调递增 从而 在上单调递减 题型四：变量换元类 【典例4-1】（2025·陕西安康·一模）设向量. (1)讨论函数的单调性； (2)设函数，若存在两个极值点，证明：. 【解析】（1）根据已知得，定义域为， 则， 若，当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增； 若，由，得或，由，得， 所以在上单调递增，在上单调递减； 若，则恒成立，所以在上单调递增； 若，由，得或；由，得， 所以在上单调递增，在上单调递减； 综上：时，在上单调递减，在上单调递增； 时，在上单调递增，在上单调递减； 时，在上单调递增； 时，在上单调递增，在上单调递减. （2）证明：由已知得，定义域为， 从而. 当，即时，恒成立，函数不可能有两个极值点； 当时，有两个根，因为，与都是正数相矛盾，不合题意； 当时，有两个根，因为，且， 所以两根均为正数，故有两个极值点， 因为，由知， 因为， 所以等价于， 即， 令， 所以在上单调递减，又，所以当时，， 故成立. 【典例4-2】已知函数 (1)当时，求的单调区间； (2)若存在两个极值点， （i）求的取值范围； （ii）证明：. 【解析】（1）当时，， 则，当且仅当时取等号. 故此时在R上单调递增； （2）（i）因存在两个极值点， 则. 令，则方程有两个相异正根. 注意到，因其有两个相异正根， 则； （ii）证明：由（i）可得， 设，结合，则. 则 ， 则要证，.即证，其中. 令，则. 令，则， 则在上单调递增，得. 则，得在上单调递增， 则当时，即. 【变式4-1】已知函数的定义域是，导函数，设是曲线在点处的切线． (1)求的最大值； (2)当时，证明：除切点A外，曲线在直线的上方； (3)设过点A的直线与直线垂直，，与x轴交点的横坐标分别是，，若，求的取值范围． 【解析】（1）设，， 由可得，当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以的最大值为. （2）因为，所以直线的方程为，即， 设，， 由（1）可知，在上单调递增，而， 所以，当时，，单调递减， 当时，，单调递增，且， 而当时，，所以总有，单调递增 故，从而命题得证； （3）解法一：由题意，直线，直线， 所以，， 当时，，在上单调递增， 所以， 所以 ， 由（1）可得当时，， 所以， 所以. 解法二：由可设，又，所以，即， 因为直线的方程为，易知， 所以直线的方程为, ，. 所以 ,由（1）知,当时，，所以, 所以. 【变式4-2】（2025·江苏·模拟预测）已知函数，其中. (1)若，判断的单调性； (2)设有且只有两个不同的极值点. （i）求的取值范围； （ii）当时，设，证明：. 【解析】（1）. 当时，. 令，则， 令，解得：；令，解得： 在上单调递减，在上单调递增， 则， 令，解得：；令，解得： 故在上单调递减，在上单调递增. （2）若有且只有两个不同的极值点，则有且只有两个不同的零点. （i）只有一个实数根，且不为， 当时，在上单调递减，在上单调递增. 则. 由（1）知，当时，只有一个极值点2，舍去. 当时，为上的减函数. 又因为， 所以存在，使得. 综上，. （ii）证明：当，即时，在上单调递减， 又， 所以. 又，所以. 令，则， 在上单调递减，又， 所以. 【变式4-3】（2025·河南安阳·一模）已知函数与的图象在点处有相同的切线． （Ⅰ）若函数与的图象有两个交点，求实数的取值范围； （Ⅱ）若函数有两个极值点，，且，证明：． 【解析】（Ⅰ）因为，，根据题意，得解得 所以．　 设，则， 当时，，当时，， 所以， 又因为→时，→；当→时，→， 故欲使两图象有两个交点，只需，， 所以实数的取值范围为. （Ⅱ）由题意，函数，其定义域为， ， 令，得，其判别式， 函数有两个极值点，，等价于方程在内有两不等实根，又，故． 所以，且，， ， 令，， 则， 由于，∴，故在上单调递减． 故． 所以， 所以． 题型五：韦达定理类 【典例5-1】（2025·四川·模拟预测）已知函数. (1)当时，求的单调递减区间； (2)若有两个极值点，（）. ①求实数b的取值范围； ②证明：. 【解析】（1）当时，，的定义域为. . 令，得.所以的单调递减区间为. （2）①，. 因为有两个极值点，，所以方程有两个不等正根，， 所以，解得.则实数b的取值范围为. ②证明：. 所以. 令，下面证明， 求导得，显然在上单调递增. 因为，，且在上连续， 所以，函数存在唯一零点，即. 并且时，，时，， 所以. 因为，根据对勾函数的性质得在上单调递增， 则， 所以，所以.命题得证. 【典例5-2】（2025·高三·云南昆明·开学考试）已知函数，，过原点的直线与曲线相切，也与曲线相切. (1)求a； (2)设有两个极值点，. （ⅰ）求实数m的取值范围； （ⅱ）证明：. 【解析】（1）设过原点的直线l与曲线切于点，， 则l的方程为， 由l过原点知，解得， 故. 由，得， 又l与相切，故， 从而解得. （2）（ⅰ）， ， 由函数有两个极值点，知：，是方程的两个不等正实根， 则，解得. （ⅱ）， ， ， ， ， 设， 由， 在上单减. 所以， 综上，. 【变式5-1】已知函数，． (1)若直线(为自然对数的底数)与函数，的图象均相切，求实数的值． (2)设函数． （i）证明：函数有两个极值点，； （ii）对（i）中的两个极值点，，若恒成立，求实数的取值范围 【解析】（1）由可得，令，可得，所以， 所以直线与函数的图象相切于点. 将点代入，可得即切线方程为. 将切线方程代入中， 可得.， 令判别式即得. 所以实数的值为. （2）（i）， 则， 考虑到的判别式，以及， 所以有两个不等实根，， 设，且，， 所以当，；当时，； 当时，， 即函数有两个极值点，. （ii） = ， 若恒成立，则恒成立， 记则， 所以在上递增，因为，所以由可得， 所以实数的取值范围为. 【变式5-2】已知函数，定义域为． (1)讨论的单调性． (2)若函数在定义域内有两个极值点 ①求实数的取值范围． ②时，，求的值． 【解析】（1）因为， 所以， 设，， (i)时，则， 所以在上递增；            (ii)或，， 当时，，， 方程的两根都为正， 令可得：，令可得：， 所以在上递增，在上递减； 当时，，， 方程的两根都为负， 令可得：，所以在上递增， 综上：当时，在上递增； 当时，在上递增，在上递减； （2）①由（1）知：当时，在上递增，在上递减， 则函数在定义域内有两个极值点， 所以实数的取值范围应为. ②满足，方程的两根就是两极值点， 由韦达定理有：， , 将韦达定理代入可得：，又因为， 得：， 设， 令， 在递增，在递减，因为， 由，可得或，满足. 故或. 题型六：引参换元类（比值代换与差值代换） 【典例6-1】（2025·高三·重庆·期末）已知函数． (1)求的最值； (2)若函数有两个不同的零点，证明：． 【解析】（1）由得， 由得；由得； 所以在上单调递增，在上单调递减， 因此有最大值，无最小值； （2）由题知， 两式相减得即， 故要证，只需证， 即证， 即证， 不妨设，令，则需证， 设，， 则， 设， 则在上恒成立， 故在上单调递减， ∴，即，∴在上单调递减， ∴，故原不等式得证． 【典例6-2】已知函数，. (1)设函数，试讨论的单调性； (2)若，的图象存在公切线（与，的图象均相切的直线），求实数的取值范围； (3)若存在不相等的，，使，，证明：. 【解析】（1）． 当时，在上单调递减； 当时，， 在上单调递减，在上单调递增． （2）设的图象与它们公切线的切点坐标分别为． 由，知， 则的图象在点处的切线方程为， 的图象在点处的切线方程为． 这条直线相同，∴它们具有相同的斜率和纵截距， ， 结合①②，有且． 设， 则． 令，得；令，得． 在上单调递增，在上单调递减， 且． 作出的大致图象，如图1所示． 的图象与直线有交点， ，解得或， 实数m的取值范围为． （3）证明：不妨设． （方法一）存在，使， ①，②， ． 设，则， 在上单调递增，在上单调递减， 且的大致图象如图2所示． 记， 则， 在上单调递增，， ． 又在上单调递减， ，即． （方法二）存在，使， ①，②， 两式相减得，即③， 两式相加得④． 将③代入④，得 ． 记，则． 要证，只需证， 即证，即证， 即证，即证． 设， 在上单调递增， ， ，即． （方法三）存在，使， ①，②， ， 则， ． 记，则． 要证，只需证， 即证，即证， 即证，即证． 设， 在上单调递增， ， ，即． 【变式6-1】定义：若函数与在公共定义域内存在，使得，则称与为“契合函数”，为“契合点”． (1)若函数和为“契合函数”，求的取值范围． (2)已知函数和为“契合函数”且有两个“契合点”． ①求的取值范围； ②若，证明：． 【解析】（1）由题意知：与的公共定义域为， 令，即，， 令，若与为“契合函数”，则与有交点. ， 当时，，，即；当时，； 当时，，，即； 在上单调递减，在上单调递增， ，又当时，；当时，； 大致图象如下图所示， 由图象可知：当时，与有交点， 即当与为“契合函数”时，的取值范围为. （2）①由题意知：与的公共定义域为， 令，则，即； 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增， ，又当时，；当时，； 大致图象如下图所示： 令，则， 由得：， 在上单调递增，又与为“契合函数”，与至少有一个交点， 与有两个不同交点，，， ，解得：，即实数的取值范围为. ②由①得：与的两个不同交点为，且， ，即，，， 令，则由知：，， ，整理可得：，， ， 令，则， 令，则， 令，则， 在上单调递增，，， 在上单调递增，，即， 在上单调递增，，即. 【变式6-2】已知. (1)求的单调区间； (2)设，是两个不相等的正数，证明： 【解析】（1）由，，得， 设，， 则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以， 所以的单调递增区间为，无递减区间. （2）证明：不妨设，因为， 又， 所以， 设，则 . 设，， 因为， 设，，则， 所以在上单调递增， 所以，所以在上单调递增， 所以， 所以，即. 题型七：双变量放缩类 【典例7-1】已知函数． (1)当时，求的最大值； (2)当时，证明：； (3)若且，，证明：． 【解析】（1）当时，，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以； （2）当时，， 要证，只需证， 令， 则， 令，则 当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增； ，即，， 当时，，在单调递增； 当时，在单调递减； ，即，，证毕． （3）由，可得， 两边取以为底的对数并整理得，，即， 因为，不妨设， 由（1）知，当时，函数在上单调递增，在上单调递减，， 即， 而，且当时，恒成立，得到， 记，， 则， 函数在上单调递增， ，即，于是， 又在上单调递减，， ，得证． 【典例7-2】（2025·甘肃白银·三模）已知函数，且曲线在点处的切线方程为. (1)求实数的值. (2)当时，证明：当时，. (3)当时，若存在，使得成立，证明：. 【解析】（1）. 曲线在点处的切线方程为. （2）当时，， 在上恒成立， 在上单调递增， 当时，. （3）当时，， 当时，存在成立， ， 得. 由（2）可知，当时，单调递增， ，即， ， 设， 则， 当时，，则， ， ， . 【变式7-1】（2025·海南海口·模拟预测）已知函数，当时，的切线斜率． (1)求的单调区间； (2)已知，若，求证：若，则． 【解析】（1），则． 所以，，则． 令．则． 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，所以恒成立，即恒成立， 故在上单调递增，无单调递减区间． （2）证明：要证，则， 只需证明，，即证明，． ，由得． 则，可得． 又，若，则；若，令， 则，，所以在上单调递增． 因，又，则，从而. 综上可得． 先证明，即，因在上单调递增． 只需证，. 即，． 令，，则， 所以，故; 再证明，即． 同理，只需证明，即． 令，．则． 令，，则， 所以在上单调递增． 又因为，， 则存在，使得， 所以时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又因为，，， 所以，故． 综上所述，对任意的，． 【变式7-2】（2025·河南驻马店·模拟预测）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，不等式恒成立，求实数a的值； (3)设不同正数m，n满足，证明：． 【解析】（1）先确定定义域为， 对求导，则. 令，即，解得. 当时，在上，，即，所以在上单调递增； 在上，，即，所以在上单调递减. 当时，在上，，即，所以在上单调递减； 在上，，即，所以在上单调递增. 综上所得，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，. 因为恒成立，即恒成立，等价于恒成立. 令，. 对求导得. 因为恒成立且，所以是的最大值点，则. ，解得. 当时，，再令，对求导得，所以在上单调递减. 当时，，即，单调递增； 当时，，即，单调递减.所以，满足条件，故. （3）由得，两边取对数整理得， 令.则. ，在递增，递减，则 又，当， 不妨设，则. 记，，则， 在递增，则，即. 又 因为在递减，所以，则. 原命题得证. 1．（2025·安徽·三模）已知函数． (1)若曲线在处的切线平行于直线，求的值以及函数的最小值； (2)证明：对一切的，都有； (3)当时，若曲线与曲线存在两交点，记直线的斜率为，证明：． 【解析】（1）由题意，，所以， 所以， 法1：， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以． 法2：， 当且仅当，即时，取等号，所以函数的最小值为4； （2）证明：先证，则． 设，则， 因为，所以，即在上单调递增，又， 所以当时，， 当，则，所以； 同理，当，则也成立； 所以，则． （3）设，其中，由（2）知，则， 取，得，，所以①， 将和相减，得，，所以代入①， 所以，即． 2．已知函数． (1)判断函数的单调性； (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)若，求证：． 【解析】（1），， 故， 因为，所以当时，，函数在上单调递增； 当时，当，函数单调递增， 当，函数单调递减. （2）对任意，不等式对任意的，不等式恒成立， 在上恒成立，进一步转化为， 设，当时，； 当时，，当时，． 设，当时，， 当时，，所以时，， 即，所以实数的取值范围为； （3）当时，等价于． 令，设，则， 当时，，，， 在上单调递增，（1）， ． 3．已知函数为偶函数， (1)求实数k的值； (2)若，，使得恒成立，求实数m的取值范围． 【解析】（1）的定义域为，因为为偶函数，所以， 所以，所以， 所以，所以， 所以，所以， 又因为不恒为， 所以，即. （2）因为， 令，当时，，且在上单调递增， 由对勾函数性质可知在上单调递增， 所以在上单调递增，所以在上单调递增， 又因为为偶函数，所以在上单调递减， 所以； 又因为，，使得恒成立， 且， 所以对恒成立， 令， 所以对恒成立，所以， 又因为在上单调递减， 所以，即. 4．（2025·全国·二模）已知函数，()，其中是自然对数的底数. （1）讨论函数的单调性； （2）若，对于任意的，，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1） ①若，，由，得，则当时， 当时，，故在单调递减，在单调递增 ②若，由，得或 当时，，则当时，，故在单调递增 当时，，则当时， 当时，，故在，单调递增，在单调递减 3°当时，，则当时， 当时，，故在，单调递增，在单调递减 （2）当时， 不等式可变形为 即 因为上式对于任意的，，且时恒成立 所以函数在上单调递增 令， 则在上恒成立 即在上恒成立 设，则 因为时， 所以函数在上单调递减，所以 所以 即实数的取值范围是 5．（2025·浙江嘉兴·二模）已知. (1)若存在实数，使得不等式对任意恒成立，求的值； (2)若，设，证明： ①存在，使得成立； ②. 【解析】（1）构造，则， 令，则，所以在递增， 又，所以存在，使得， 且在上单调递减，在上单调递增， 所以对任意恒成立，此时. （2）①令，显然，则. 令，则， 因为在递增，趋向于0时，趋向于，趋向于正无穷大时，趋向于正无穷大，所以存在，使得，即. 于是在递减，在递增.因为，所以. ②要证， 即证 ， 因为， 所以只要证， 即证， 即证， 令，即证， 即证， 令，则. 构造， 则， ， 因为， 所以，所以， 所以成立，原命题成立. 6．已知函数，. （Ⅰ）讨论函数的单调区间与极值； （Ⅱ）若，对任意，总存在，使得不等式成立，试求实数的取值范围. 【解析】（Ⅰ）. ①当时，，在上单调递增，无极值. ②当时，令，得. 令，则；令，则. ∴在上单调递增，在上单调递减， 此时，无极小值. 综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间，无极值； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为， 极大值为，无极小值. （Ⅱ）对任意，总存在，使得成立， 等价于在上的最小值与在上的最小值的差恒小于1， ，当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减. 又，，. 由（Ⅰ）知： ①当时，， 由得，所以. ②当时，在上单调递增，在上单调递减. ，又， ∴当时，， 由得，所以； 当时，， 由，得，所以. 综上所述，的取值范围是. 7．（2025·陕西安康·三模）设函数. （1）求函数的递增区间； （2）若对任意，总存在，使得，求实数k的取值范围. 【解析】（1）， 令，得， 的递增区间为. （2）当在上递减， ， 当时， ， 在上递减， ∴， 由题意可得，， 又. 当时，在上递增，. 当时， 当时，；当时，， ， 综上，. 8．已知函数，其中为自然对数的底数. （1）证明：在上单调递减，上单调递增； （2）设，函数，如果总存在，对任意，都成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）证明： 令，解得，∴在上单调递增 令，解得，∴在上单调递减 （2）总存在，，对任意都有， 即函数在，上的最大值不小于，的最大值 令，∴，对称轴 ∴ ∴，， 令，∴，∴ ∴，∴ 9．（2025·浙江·模拟预测）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围； (3)若存在，使得.证明：. 【解析】（1）当时，，所以. 又因为，所以切线方程为. （2）设，只需在时恒成立即可， 又，且，所以，即. 下面证明的充分性： ①当时，由， 令，所以， 记，则， 所以在上单调递增，则， 所以在上单调递增，则，所以恒成立. 综上所述，实数的取值范围是. （3）由函数.可得， 设，由，可得，则， 由（2）知，当时，，则时，， 所以，则，所以， 代入可得：， 则，所以. 10．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有两个极值点，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，证明：当时，. 【解析】（1）当时，，所以， 所以，所以曲线在点处的切线斜率， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）函数的定义域为， 因为有两个极值点， 意味着有两个不同的变号正根. 设，，则. 若，，在上单调递增，不会有两个正根； 当，令，得， 所以当时，所以在上单调递增； 当时，所以在上单调递减. 又当时，当时， 要使有两个正根，需，即，解得. 所以当时，有两个极值点. （3）的定义域为， 因为有两个极值点，意味着是有两个不同正根. 所以，且， 所以，所以， 所以，当时， ， 令，即证当时，对恒成立. 令，则. 因为，所以，所以， 所以在上单调递增，所以，即， 所以当时，恒成立. 11．已知，.证明： (1)函数在上单调递减，且存在唯一，使得； (2)存在唯一，使得，且对（1）中的有：. 【解析】（1）当时，， 函数在上为减函数， 又， 所以存在唯一，使. （2）考虑函数， 令，则时，， 记， 则， 有（1）得，当时，， 当时，. 在上是增函数， 又，从而当时，， 所以在上无零点. 在上是减函数， 又， 所以存在唯一的，使. 所以存在唯一的使. 因此存在唯一的，使. 因为当时，， 故与有相同的零点， 所以存在唯一的，使. 因，所以. 12．（2025·河南濮阳·二模）已知函数. （Ⅰ）当时，讨论函数的单调性； （Ⅱ）当，时，，其中，证明：. 【解析】（Ⅰ）依题意，，. 当时，. 所以当时，，当时，. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 当时，令，解得或. 若，则，所以函数在上单调递增； 若，则， 所以当时，，当时，，当时，，所以函数在和上单调递增，在上单调递减； 若，则， 所以当时，，当时，，当时，，所以函数在和上单调递增，在上单调递减. （Ⅱ）依题意，得，所以. 要证，即证，即证，即证, 即证，所以只需证时，成立即可. 令，则. 令，则. 所以在上单调递增. 所以，即，所以. 所以在上单调递增.所以， 所以，即. 13．（2025·河南·模拟预测）已知函数，且有两个极值点. (1)求实数的取值范围； (2)证明：. 【解析】（1）已知有两个极值点，易得有两个零点， 令，则， 令，即，解得， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 在处取得最小值. 若有两个零点，一定有，解得， 又易知时，， 取，易知，当且仅当时取等号， 所以由可知，， 根据零点存在定理可知，函数在，上各存在一个零点， 故的取值范围为. （2）由（1）知：，且， 故， 故， 令，则， 当时，，在上单调递减， 所以， 故，原式得证. 14．（2025·高三·江苏南京·开学考试）已知函数，为函数的导函数 (1)讨论的单调性； (2)当时，，若，，且，证明：. 【解析】（1）因为定义域为， 则，即， 所以， 当时恒成立，所以在上单调递增， 当时，令解得，令解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 综上可得，当时在上单调递增， 当时在上单调递增，在上单调递减. （2）证明：当时， 所以，， 所以， 令，则，所以当时，当时， 即在上单调递减，在上单调递增， 所以，即，所以在上单调递增， 不妨设，因为，所以有①或②两种情况， 当①时，因为在上单调递增， 所以，所以， 当②时，由，得，所以， 则， 由，所以， 令，， 则， 所以，即在上单调递减，且当趋向于1时趋向于0，则， 所以，则，即， 综上可得当，，且时，. 15．（2025·高三·广东深圳·期末）已知函数有两个极值点，，其中. （Ⅰ）求实数的取值范围； （Ⅱ）当时，求的最小值. 【解析】（Ⅰ）依题意得的定义域为，， 因为函数有两个极值点，，， 所以方程有两个不相等的正根，，， 所以， 解得， 此时在和上单调递增，在上单调递减， 所以实数的取值范围是. （Ⅱ）因为，是方程的两个根， 所以，， 因为，， 所以，， 所以 . 令，，则 ， 即在上单调递减. 因为，所以， 所以，即， 所以，即， 所以，， 所以. 因为在上单调递减， 所以的最小值为， 即的最小值为. 16．（2025·高三·山东潍坊·期末）已知函数有两个极值点，（）． (1)求实数的取值范围； (2)设，若函数的两个极值点恰为函数的两个零点，当时，求的最小值． 【解析】（1）由题设的定义域为，且， 令，即，要使在上有两个极值点， 则方程有两个不相等的正根，则，解得， 即． （2）由题设， 由于，为的两个零点，即，， 两式相减得，则， 又， 所以， 故， 设，且，为的两根， 所以，故，则， 又，即，解得或， 因此，此时， ， 即函数在单调递减， 当时，取得最小值为，即所求最小值为. 17．已知函数. （1）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围； （2）若有两个极值点，，求证：. 【解析】（1）令，，， 令， 当时，，且对称轴， 所以当时，，在上单调递增， 所以恒成立， 当时，，可知必存在区间，使得， 当时，有，即在上单调递减，由于，此时不合题意，综上； （2），令在有两个不同的零点， ，若，则，不合题意； 若，设两个零点分别为，则， 可得， 要证，即证， 即证，即证， 即证，即证， 令，即证 由（1）可得时，， 只需证，即证， 故原不等式得证. 18．（2025·江苏南通·三模）已知函数，，其中为自然对数的底数. （1）求不等式的解集； （2）若函数有两个极值点，()(若是函数的极大值或极小值，则m为函数的极值点，极大值点与极小值点统称为极值点). ①求a的取值范围； ②证明：. 【解析】（1）由得 令，∴，令 当时，，递减；当时，，递增 ∴ 注意到，结合单调性知不等式的解集为 （2） ，由题意知有上有两个不等的实根 令，令 当时，，递减；当时，，递增， ∴ 要使有两个零点，则，此时注意到 ，∴在和上各有一个零点，满足题意，故的取值范围为 ②由为的2个极值点，且 ∴满足且由①知 ∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增 则是的极大值点，是极小值点 ∴ 设，则为偶函数 ， ∴在上单调递增 由时，，∴在上单调递增 ∴， 又为偶函数，∴，，∴ 从而． 19．（2025·高三·福建福州·期末）已知函数. (1)当时，判断函数的零点个数； (2)若在上恒成立，求的取值范围； (3)设，若函数有两个极值点、，求证：. 【解析】（1）当时，，该函数的定义域为，， 所以，函数在上为增函数， 因为，，则， 由零点存在定理可知，函数在区间内存在唯一零点， 所以，函数在定义域内存在唯一零点. （2）因为， 当时，则，由可得， 令，其中，则，令可得，列表如下： 增 极大值 减 所以，函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，，则； 当时，则，由可得， 令，其中，则对任意的恒成立， 所以，函数在上为增函数，且当时，，此时，， 综上所述，实数的取值范围是. （3）因为，其中， 则， 因为函数有两个极值点，则函数在上有两个不等的实根， 则，解得， 所以， ， 令，其中，则， 所以，函数在上单调递减，则，故. 20．（2025·高三·浙江·期中）已知函数，的导函数为. (1)记，讨论函数的单调性； (2)若函数有两个零点 （i）求证：； （ii）若，求a的取值范围. 【解析】（1）由题意知：，， 当时，恒成立，故在R上单调递增； 当时，令，得， 故在上递减，在上递增； （2）（i）依题意知：有两个零点， 由（1）知应有：，所以， 因 ，则 令，，则 故即，又 则， 综上有：， 从而： （ii）又，即， 同理 两式相除有：，令，则， 即，从而有：，故， 因，即，故， 令（） 则（根据常见不等式可知） 故在上递减，所以， ，即， 而，令，则， 从而在上递减，所以， 即的取值范围为：． 21．（2025·高三·江苏南通·期末）已知函数(a∈R)． (1)若是单调增函数，求a的取值范围； (2)若，是函数的两个不同的零点，求证：． 【解析】（1）函数定义域为，当时，， 因是单调增函数，则时，，令， ，即有在上单调递增，，，则， 所以a的取值范围是. （2）因，是函数的两个不同的零点，则，显然，有，， ，不妨令，设，于是得， 要证，只需证， 令，，则在上单调递增， 则有，于是得， 又，要证，只需证， 而，即证， 令，，， 从而得在上单调递减，，即有， 综上得：. 22．已知，函数 (1)求曲线在处的切线方程； (2)若曲线和有公共点， （i）当时，求的取值范围； （ii）求证：． 【解析】（1），故，而， 曲线在点处的切线方程为即. （2）（i）当时， 因为曲线和有公共点，故有解， 设，故，故在上有解， 设，故在上有零点， 而， 若，则恒成立，此时在上无零点， 若，则在上恒成立，故在上为增函数， 而，，故在上无零点， 故， 设，则， 故在上为增函数， 而，， 故在上存在唯一零点， 且时，；时，； 故时，；时，； 所以在上为减函数，在上为增函数， 故， 因为在上有零点，故，故， 而，故即， 设，则， 故在上为增函数， 而，故. （ii）因为曲线和有公共点， 所以有解，其中， 若，则，该式不成立，故. 故，考虑直线， 表示原点与直线上的动点之间的距离， 故，所以， 下证：对任意，总有， 证明：当时，有，故成立. 当时，即证， 设，则（不恒为零）， 故在上为减函数，故即成立. 综上，成立. 下证：当时，恒成立， ，则， 故在上为增函数，故即恒成立. 下证：在上恒成立，即证：， 即证：，即证：， 而，故成立. 故，即成立. 23．（2025·天津河北·一模）已知函数. (1)求的单调区间； (2)证明：； (3)若，且，求证： 【解析】（1），，令，则， 故当时，，单调递增，当，，单调递减； 故，故在单调递减，其单调减区间为，无增区间. （2）要证，只要证. ，令，， 故当，，单调递增；当，，单调递减； 故，则当时，. 令，，当时，恒成立，故在上单调递增， 而，当时，，. （3）已知，且，； 由（1）可知，函数在上单调递减，； 由（2）可知，当时，，即，即； ，. 24．已知函数，. (1)若，讨论的零点个数； (2)若函数有零点，证明：. 【解析】（1）由已知，其中， 令可得，若，则，矛盾，所以， 所以， 设，其中，则函数的零点个数与函数的图象与函数的图象的交点个数相等， 因为， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 且，作函数的图象如下： 所以当时，直线与函数的图象没有交点， 当时，直线与函数的图象有一个交点， 当时，直线与函数的图象有两个交点， 所以当时，函数没有零点，当时，函数有一个零点，当时，函数有两个零点； （2）因为函数有零点，又，所以存在使得， 即，设，， 因为，所以， 所以，所以， 设，则， 所以在上单调递增， 又，所以当时，，所以当时，， 所以，所以，即， 所以，由(1) ，所以， 所以. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优点12 利用导数解决双变量问题 目录 01 重点解读 2 02 思维升华 3 03 典型例题 4 题型一：构造单调性 4 题型二：任意存在型 8 题型三：比较双变量 13 题型四：变量换元类 20 题型五：韦达定理类 26 题型六：引参换元类（比值代换与差值代换） 31 题型七：双变量放缩类 39 04 课时精练 45 在高考数学中，利用导数解决双变量问题是重点与难点。这类问题通常涉及两个变量，需通过导数将其转化为单变量问题求解。解题关键在于找到变量间的关系，如极值点满足的方程，通过消元或整体代换简化问题。常用方法包括：变更主元，指定主变量，将双变量转化为值域或最值问题；利用函数单调性，构造新函数求解；通过韦达定理、对数平均不等式等工具处理极值点偏移问题。解题时需灵活运用导数性质，结合函数图像分析，合理构造函数，利用单调性、极值等性质证明不等式或求解参数范围。掌握这些方法，能有效提升解决双变量问题的能力。 在数学问题中，双变量问题常借助导数求解，以下是常见方法： 1、变更主元法：当问题中两个变量地位不均等，可确定一个为主元，另一个视为参数，将双变量问题转化为关于主元的单变量函数问题。例如已知含双变量的不等式恒成立，把其中一个变量看作主元，构造函数，利用导数求其最值，进而求解另一个变量的范围。 2、构造差函数法：对于双变量不等式，可通过移项构造差函数，将问题转化为证明差函数的单调性或最值问题。对差函数求导，分析其单调性，从而证明不等式。 3、利用极值点关系：若双变量与函数极值点相关，先求出函数极值点满足的方程，再利用方程关系对双变量进行消元或转化，最后结合导数求解。 题型一：构造单调性 【典例1-1】（2025·山东聊城·一模）已知函数，曲线在处的切线交轴于点． （1）求的值； （2）若对于内的任意两个数，，当时，恒成立，求实数的取值范围． 【典例1-2】（2025·全国·模拟预测）已知函数（其中为自然对数的底数）. (1)讨论函数的单调性； (2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【变式1-1】已知函数，其中 （1）当时，若在区间，上的最小值为，求的取值范围； （2）若对于任意，恒成立，求的取值范围． 【变式1-2】已知函数，对于任意，，不等式恒成立，则整数的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1-3】（2025·河南洛阳·三模）已知函数，其中. （1）讨论函数的单调性； （2）当时，证明：不等式恒成立（其中，）. 题型二：任意存在型 【典例2-1】（2025·辽宁大连·模拟预测）已知，，其中是自然对数的底数． (1)讨论的单调性； (2)设，．存在，，使得成立，试求实数的取值范围． 【典例2-2】已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)设（为自然对数的底数），当时，对任意，存在，使，求实数的取值范围. 【变式2-1】已知函数，，． (1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值； (2)若方程在上恰有两个不同的实数根，求的取值范围； (3)若对任意，总存在唯一的，使得，求的取值范围． 【变式2-2】已知函数，若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围 题型三：比较双变量 【典例3-1】已知函数 (1)求的单调区间； (2)若对恒成立，求实数的取值范围； (3)若，其中，证明：． 【典例3-2】已知函数， (1)当时，求在处的切线方程 (2)若恒成立，求的范围 (3)若在内有两个不同零点，，求证：． 【变式3-1】已知函数的导函数为，我们称函数的导函数为函数的二阶导函数，若一个连续函数在区间I上的二阶导函数，则称为I上的凹函数，若二阶导函数，则称为I上的凸函数． (1)证明：函数是凸函数． (2)已知函数，． ①若是上的凹函数，求实数a的取值范围； ②在内有两个不同的零点，，证明：． 【变式3-2】（2025·广东深圳·二模）设函数，其中． (1)讨论的单调性； (2)当存在小于零的极小值时，若，且，证明：． 题型四：变量换元类 【典例4-1】（2025·陕西安康·一模）设向量. (1)讨论函数的单调性； (2)设函数，若存在两个极值点，证明：. 【典例4-2】已知函数 (1)当时，求的单调区间； (2)若存在两个极值点， （i）求的取值范围； （ii）证明：. 【变式4-1】已知函数的定义域是，导函数，设是曲线在点处的切线． (1)求的最大值； (2)当时，证明：除切点A外，曲线在直线的上方； (3)设过点A的直线与直线垂直，，与x轴交点的横坐标分别是，，若，求的取值范围． 【变式4-2】（2025·江苏·模拟预测）已知函数，其中. (1)若，判断的单调性； (2)设有且只有两个不同的极值点. （i）求的取值范围； （ii）当时，设，证明：. 【变式4-3】（2025·河南安阳·一模）已知函数与的图象在点处有相同的切线． （Ⅰ）若函数与的图象有两个交点，求实数的取值范围； （Ⅱ）若函数有两个极值点，，且，证明：． 题型五：韦达定理类 【典例5-1】（2025·四川·模拟预测）已知函数. (1)当时，求的单调递减区间； (2)若有两个极值点，（）. ①求实数b的取值范围； ②证明：. 【典例5-2】（2025·高三·云南昆明·开学考试）已知函数，，过原点的直线与曲线相切，也与曲线相切. (1)求a； (2)设有两个极值点，. （ⅰ）求实数m的取值范围； （ⅱ）证明：. 【变式5-1】已知函数，． (1)若直线(为自然对数的底数)与函数，的图象均相切，求实数的值． (2)设函数． （i）证明：函数有两个极值点，； （ii）对（i）中的两个极值点，，若恒成立，求实数的取值范围 【变式5-2】已知函数，定义域为． (1)讨论的单调性． (2)若函数在定义域内有两个极值点 ①求实数的取值范围． ②时，，求的值． 题型六：引参换元类（比值代换与差值代换） 【典例6-1】（2025·高三·重庆·期末）已知函数． (1)求的最值； (2)若函数有两个不同的零点，证明：． 【典例6-2】已知函数，. (1)设函数，试讨论的单调性； (2)若，的图象存在公切线（与，的图象均相切的直线），求实数的取值范围； (3)若存在不相等的，，使，，证明：. 【变式6-1】定义：若函数与在公共定义域内存在，使得，则称与为“契合函数”，为“契合点”． (1)若函数和为“契合函数”，求的取值范围． (2)已知函数和为“契合函数”且有两个“契合点”． ①求的取值范围； ②若，证明：． 【变式6-2】已知. (1)求的单调区间； (2)设，是两个不相等的正数，证明： 题型七：双变量放缩类 【典例7-1】已知函数． (1)当时，求的最大值； (2)当时，证明：； (3)若且，，证明：． 【典例7-2】（2025·甘肃白银·三模）已知函数，且曲线在点处的切线方程为. (1)求实数的值. (2)当时，证明：当时，. (3)当时，若存在，使得成立，证明：. 【变式7-1】（2025·海南海口·模拟预测）已知函数，当时，的切线斜率． (1)求的单调区间； (2)已知，若，求证：若，则． 【变式7-2】（2025·河南驻马店·模拟预测）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，不等式恒成立，求实数a的值； (3)设不同正数m，n满足，证明：． 1．（2025·安徽·三模）已知函数． (1)若曲线在处的切线平行于直线，求的值以及函数的最小值； (2)证明：对一切的，都有； (3)当时，若曲线与曲线存在两交点，记直线的斜率为，证明：． 2．已知函数． (1)判断函数的单调性； (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)若，求证：． 3．已知函数为偶函数， (1)求实数k的值； (2)若，，使得恒成立，求实数m的取值范围． 4．（2025·全国·二模）已知函数，()，其中是自然对数的底数. （1）讨论函数的单调性； （2）若，对于任意的，，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 5．（2025·浙江嘉兴·二模）已知. (1)若存在实数，使得不等式对任意恒成立，求的值； (2)若，设，证明： ①存在，使得成立； ②. 6．已知函数，. （Ⅰ）讨论函数的单调区间与极值； （Ⅱ）若，对任意，总存在，使得不等式成立，试求实数的取值范围. 7．（2025·陕西安康·三模）设函数. （1）求函数的递增区间； （2）若对任意，总存在，使得，求实数k的取值范围. 8．已知函数，其中为自然对数的底数. （1）证明：在上单调递减，上单调递增； （2）设，函数，如果总存在，对任意，都成立，求实数的取值范围. 9．（2025·浙江·模拟预测）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围； (3)若存在，使得.证明：. 10．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有两个极值点，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，证明：当时，. 11．已知，.证明： (1)函数在上单调递减，且存在唯一，使得； (2)存在唯一，使得，且对（1）中的有：. 12．（2025·河南濮阳·二模）已知函数. （Ⅰ）当时，讨论函数的单调性； （Ⅱ）当，时，，其中，证明：. 13．（2025·河南·模拟预测）已知函数，且有两个极值点. (1)求实数的取值范围； (2)证明：. 14．（2025·高三·江苏南京·开学考试）已知函数，为函数的导函数 (1)讨论的单调性； (2)当时，，若，，且，证明：. 15．（2025·高三·广东深圳·期末）已知函数有两个极值点，，其中. （Ⅰ）求实数的取值范围； （Ⅱ）当时，求的最小值. 16．（2025·高三·山东潍坊·期末）已知函数有两个极值点，（）． (1)求实数的取值范围； (2)设，若函数的两个极值点恰为函数的两个零点，当时，求的最小值． 17．已知函数. （1）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围； （2）若有两个极值点，，求证：. 18．（2025·江苏南通·三模）已知函数，，其中为自然对数的底数. （1）求不等式的解集； （2）若函数有两个极值点，()(若是函数的极大值或极小值，则m为函数的极值点，极大值点与极小值点统称为极值点). ①求a的取值范围； ②证明：. 19．（2025·高三·福建福州·期末）已知函数. (1)当时，判断函数的零点个数； (2)若在上恒成立，求的取值范围； (3)设，若函数有两个极值点、，求证：. 20．（2025·高三·浙江·期中）已知函数，的导函数为. (1)记，讨论函数的单调性； (2)若函数有两个零点 （i）求证：； （ii）若，求a的取值范围. 21．（2025·高三·江苏南通·期末）已知函数(a∈R)． (1)若是单调增函数，求a的取值范围； (2)若，是函数的两个不同的零点，求证：． 22．已知，函数 (1)求曲线在处的切线方程； (2)若曲线和有公共点， （i）当时，求的取值范围； （ii）求证：． 23．（2025·天津河北·一模）已知函数. (1)求的单调区间； (2)证明：； (3)若，且，求证： 24．已知函数，. (1)若，讨论的零点个数； (2)若函数有零点，证明：. 学科网（北京）股份有限公司 $$