精品解析：2025年北京市初中学业水平考试数学试卷（黑）

2025年北京市初中学业水平考试 数学试卷 考生须知 1．本试卷共6页，共两部分，三道大题，28道小题．满分100分．考试时间120分钟． 2．在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回． 第一部分选择题 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列几何体中，如图所示的俯视图对应的几何体是（ ） A. B. C. D. 2. 记者2025年1月29日从中央广播电视总台获悉，《2025年春节联欢晚会》境内新媒体端的实时直播收视次数和互动量均创新纪录．据初步统计，新媒体端直点播收视次数28.17亿次．将2817000000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 3. 六边形的内角和是（ ） A. 540° B. 720° C. 900° D. 1080° 4. 实数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线和相交于点，平分，，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 7. 先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则两次朝向相同的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在正方形中，为上一点（不与点B、C重合），连接，为延长线上一点，，连接，，过点作于点，连接．给出下面四个结论： ①； ②是等腰直角三角形； ③； ④． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A ①②③ B. ①③④ C. ②④ D. ①②③④ 第二部分非选择题 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是_______． 10. 分解因式：________． 11. 方程的解为________． 12. 在平面直角坐标系xOy中，若点，在反比例函数的图象上，则________（填“>”“=”或“<”）． 13. 某中学举办跳绳比赛，并随机抽取了部分学生分钟跳绳的成绩，统计结果列表如下： 成绩/次 人数/名 当成绩大于等于次小于次为良好，大于等于次为优秀．根据以上数据，估计全校参加跳绳比赛的这名学生中分钟跳绳成绩达到良好和优秀的学生人数有________名． 14. 如图，是的直径，是的弦，D为上一点，过点D作，交于点E，交于点F，，连接．若，则的长为________． 15. 如图，在中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，长为半径作弧，交于点D；②分别以点C，D为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点E；③作射线，交于点F．若，，则的值为________． 16. 某校举行“趣味运动会”，其中有一项目为“接棒过桥”，具体规则为：每组四人手持接力棒过一座独木桥，接力棒只有1根，每次过桥时最多允许两人同时握住接力棒出发（记过桥较慢的人的时间），要求不论去程或者返程时必须有接力棒，当四人全部过桥后记为游戏结束． 已知某组的甲，乙，丙，丁四位同学单独过桥所需时间（单位：分钟）分别为1，2，3，5，请写出一种该组同学完成项目可能需要的时间为________分钟，该组同学完成项目所需的最短时间为________分钟． 三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 18 解不等式组： 19. 已知，求代数式的值． 20. 如图，在四边形中，点B与点D关于直线对称，连接交于点O，E为上一点，，连接，． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，，，求的长． 21. 第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日至2月14日在哈尔滨举行．本届亚冬会的吉祥物是两只可爱的小东北虎“滨滨”和“妮妮”，回到家乡哈尔滨过年的小云想买一些如图所示的纪念品送给在北京的小伙伴们，她发现毛绒玩偶的单价比冰箱贴的单价贵50元，买5个毛绒玩偶和3个冰箱贴需要554元，试判断：小云有600元能否购买6个冰箱贴和4个毛绒玩偶？ 22. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象向下平移3个单位长度后经过原点． （1）求b值； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值大于的值，直接写出m的取值范围． 23. 《实况足球》游戏中的球员能力值是指球员的各种属性，如体力、弹跳、加速度、反应速度、敏捷度、带球精度、带球速度等．这些属性可以通过数值来表示，数值越高，球员的相应能力就越强．某足球俱乐部在一次球员招募选拔赛中，为预估报名球员在比赛中的表现，随机抽取20名球员进行试验，得到各球员的能力值（单位：分，满分10分），并对数据进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．20名球员能力值的频数分布表如下： 能力值（分） 频数（名） 3 2 m 6 5 b．球员能力值在这一组的是：7.55 7.55 7.57 7.58 7.59 7.59 c．20名球员能力值的统计图如图所示： （1）m的值为________；随机抽取的这20名球员能力值的中位数为________； （2）这20名球员能力值数据中，低于7.50分的球员占总球员的________%； （3）在20名球员能力值数据中从高到低排第4名的球员是________号球员； （4）1~10号球员属于甲小组，11~20号球员属于乙小组，已知甲、乙两个小组能力值数据的平均数分别为7.537分及7.545分，若方差越小，则认为这组的能力值越稳定．据此推断：甲、乙两组中球员能力更强的小组是________组（填“甲”或“乙”）． 24. 如图，内接于，为的直径，过点O作的平行线交于点D，交于点E，过点D作的切线与的延长线交于点F． （1）求证：； （2）若，，求的长． 25. 室内装修常会产生多种有害气体，某研究小组探究A，B两种常见观叶绿植对装修产生的有害气体吸收情况，部分内容如下： 测量得到某刚装修完的房间内有害气体含量为18毫克，将A，B两种绿植放置在房间内，记绿植吸收有害气体的时间为x（单位：天），绿植A吸收有害气体的量为（单位：毫克），绿植B吸收有害气体的量为（单位：毫克）．记录的部分实验数据如下： x 0.0 1.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 000 1.50 4.00 7.45 8.75 9.30 9.75 0.00 2.74 4.17 4.49 4.50 4.50 4.50 （1）可以用函数刻画与x，与x之间的关系，如图在同一平面直角坐标系中，请分别描出绿植A和绿植B吸收有害气体量与时间对应的点，并绘制出它们的大致函数图象； （2）根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当绿植吸收有害气体的时间约为________天时，A，B两种绿植吸收有害气体的量相同，当有害气体吸收量首次达到10毫克时，绿植吸收有害气体的时间约为________天（结果保留小数点后一位）； ②经测算可得，该房屋有害气体总含量要低于2.4毫克才可用于居住，若装修完的第12天为房屋验收日，则验收日当天，房屋能否成功通过验收：________（填“是”或“否”）． 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线（且）过点． （1）求该抛物线的对称轴（用含的代数式表示）； （2）在该抛物线上存在两点，，当时，总有，求的取值范围． 27. 已知，在中，，，D为边上一动点（不与B，C重合），将线段绕点D顺时针旋转，得到线段，连接． （1）如图1，当，且点E在边上时，连接，判断线段与之间的关系，并证明； （2）如图2，当点E在内部时，在射线上有一点F，连接，使，依据题意补全图形，并用等式表示线段与的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点与的“差距离”，给出如下定义：若，则点与点的“差距离”为；若，则点与点的“差距离”为． 例如：点，点，因为，所以点与点的“差距离”为． 当时，我们将称为点与点的“完美距离”（“完美距离”是“差距离”的特殊情况）． （1）已知点，B为轴上的一个动点． ①若点与点的“差距离”为1，写出所有满足条件的点B的坐标； ②直接写出点与点的“差距离”的最大值； （2）已知是直线上的一个动点，点，当点与点的“差距离”是“完美距离”时，求点的坐标； （3）已知一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，为线段上一动点，是以点为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点与点的“完美距离”的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年北京市初中学业水平考试 数学试卷 考生须知 1．本试卷共6页，共两部分，三道大题，28道小题．满分100分．考试时间120分钟． 2．在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回． 第一部分选择题 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列几何体中，如图所示的俯视图对应的几何体是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的知识点是由三视图还原几何体，解题关键是了解各简单几何体的特征，并由三视图还原出几何体． 观察该俯视图即可得解． 【详解】解：观察可得，该俯视图由一个圆和中间的一点组成， 选项的俯视图应该是一个圆，不符合题中所给的俯视图，选项错误； 选项的俯视图是一个圆和中间的一点，符合题意，选项正确； 选项的俯视图是一个三角形和中间的一点，不符合题意，选项错误； 选项的俯视图是一个圆，不符合题意，选项错误． 故选：． 2. 记者2025年1月29日从中央广播电视总台获悉，《2025年春节联欢晚会》境内新媒体端的实时直播收视次数和互动量均创新纪录．据初步统计，新媒体端直点播收视次数28.17亿次．将2817000000用科学记数法表示应为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：2817000000用科学记数法表示为， 故选：C． 3. 六边形的内角和是（ ） A. 540° B. 720° C. 900° D. 1080° 【答案】B 【解析】 【详解】由内角和公式可得：（6﹣2）×180°=720°， 故选：B． 4. 实数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的知识点是实数与数轴，解题关键是熟练掌握实数与数轴． 根据实数，，在数轴上的对应点的位置，判断出，，的符号以及绝对值的大小即可对选项逐一判断． 【详解】解：由数轴知，，， ，，， ， 选项、、错误； ，，且实数距离原点的距离实数距离原点的距离， ， 选项正确． 故选：． 5. 如图，直线和相交于点，平分，，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的知识点是角平分线相关的计算，解题关键是正确找到角与角之间的关系． 先由推得，再由平分推得即可证． 【详解】解：， ， ， 平分， ， ， ， ． 故选：． 6. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的知识点是根据一元二次方程根的情况求参数，解题关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系． 根据一元二次方程根的判别式，当判别式时，方程有两个相等的实数根，代入计算即可． 【详解】解：对于一元二次方程，其判别式为： ， 当方程有两个相等的实数根时，，即：， 解得， 实数的值为． 故选：． 7. 先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则两次朝向相同的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查知识点是列举法求概率、根据概率公式计算概率，解题关键是熟练掌握概率公式． 抛掷两次硬币共有种等可能的结果，两次朝向相同的情况有种，由此可求得概率． 【详解】解：先后两次抛掷硬币，每次可能出现的结果为正面（记作“正”）或反面（记作“反”）， 所有等可能的结果为： （正，正），（正，反），（反，正），（反，反）， 共有种结果，且每种结果发生的概率相等， 其中两次朝向相同的情况有种：（正，正）和（反，反）， 因此，所求概率为． 故选：． 8. 如图，在正方形中，为上一点（不与点B、C重合），连接，为延长线上一点，，连接，，过点作于点，连接．给出下面四个结论： ①； ②是等腰直角三角形； ③； ④． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ②④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】结合正方形的性质和全等三角形的判定与性质即可证结论①正确；根据全等三角形的性质可证是等腰直角三角形，即结论②正确；再由三线合一、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证结论③正确；结合勾股定理得出后，再由即可证结论④正确． 【详解】解：四边形为正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，，结论①正确； ， ， ， 又， 是等腰直角三角形，结论②正确； ， 是的中点， ， ，结论③正确； 在等腰中，， ， ， ， ∴结论④正确， 综上，正确结论的序号是①②③④． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 第二部分非选择题 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件．直接根据分式有意义的条件作答即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， 即， 故答案为：． 10. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是综合提公因式法与公式法分解因式，解题关键是熟练掌握因式分解． 先提公因式，再结合平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 11. 方程的解为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式方程的解法，分式方程两边同时乘以得整式方程，然后解整式方程求出x的值，然后检验解题． 【详解】解：方程两边同乘得， 解得， 检验：当时，， 原分式方程的解为． 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系xOy中，若点，在反比例函数的图象上，则________（填“>”“=”或“<”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质；根据，可得反比例函数的图象在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大，即可求解． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象在二、四象限， ∵， ∴点，在第四象限，y随x的增大而增大， ∴． 故答案为：． 13. 某中学举办跳绳比赛，并随机抽取了部分学生分钟跳绳的成绩，统计结果列表如下： 成绩/次 人数/名 当成绩大于等于次小于次为良好，大于等于次为优秀．根据以上数据，估计全校参加跳绳比赛的这名学生中分钟跳绳成绩达到良好和优秀的学生人数有________名． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是由样本所占百分比估计总体的数量，解题关键是熟练掌握由样本所占百分比估计总体的数量． 根据题意找出样本中分钟跳绳成绩达到良好和优秀的学生的概率，即可估计总体的数量． 【详解】解：分钟跳绳的成绩大于等于次小于次为良好，大于等于次为优秀， 估计全校参加跳绳比赛的这名学生中分钟跳绳成绩达到良好和优秀的学生人数为：（名）． 故答案为：． 14. 如图，是的直径，是的弦，D为上一点，过点D作，交于点E，交于点F，，连接．若，则的长为________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，直径所对的圆周角是直角，由垂径定理得到，则设，则，由勾股定理可得，解方程可求出，求出，则由勾股定理可得，即，解之即可得到答案． 【详解】解；，是的直径，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∵是的直径， ． ， ∴在中，由勾股定理得，即， 或（舍去）， 故答案为：6． 15. 如图，在中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，长为半径作弧，交于点D；②分别以点C，D为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点E；③作射线，交于点F．若，，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质以及三角形面积公式，解题的关键是利用相似三角形的判定及性质，进而计算面积比． 结合已知条件先判定，得到，再根据三角形的面积公式，进而求出面积比． 【详解】由作图痕迹可知，即， ，为公共角， ， ， ， ， ， 与的高均为， ． 故答案：． 16. 某校举行“趣味运动会”，其中有一项目为“接棒过桥”，具体规则为：每组四人手持接力棒过一座独木桥，接力棒只有1根，每次过桥时最多允许两人同时握住接力棒出发（记过桥较慢的人的时间），要求不论去程或者返程时必须有接力棒，当四人全部过桥后记为游戏结束． 已知某组的甲，乙，丙，丁四位同学单独过桥所需时间（单位：分钟）分别为1，2，3，5，请写出一种该组同学完成项目可能需要的时间为________分钟，该组同学完成项目所需的最短时间为________分钟． 【答案】 ①. 14（答案不唯一） ②. 12 【解析】 【分析】根据规则解答即可． 本题的关键在于每次两人拿接力棒过桥后，必须还要有一人拿接力棒返回，（明确游戏规则）然后继续两人拿接力棒过桥后一人返回，直到四人全部过桥，因此若想时间最短，每次返程的人所用时间应尽可能地短． 【详解】解：每次两人拿接力棒过桥后，必须还要有一人拿接力棒返回，（明确游戏规则）然后继续两人拿接力棒过桥后一人返回，直到四人全部过桥，因此若想时间最短，每次返程的人所用时间应尽可能地短． 该组同学完成项目所需的时间规划可以为：甲、乙拿接力棒一起过桥（计时2分钟），甲拿接力棒返回（计时1分钟）；丙、丁拿接力棒过桥（计时5分钟），丙拿接力棒返回（计时3分钟）；甲、丙拿接力棒过桥（计时3分钟），此时全部过桥，所用时间为：（分钟）；该组完成项目需要的最短时间为：甲、乙一起过桥（计时2分钟），甲返回（计时1分钟），甲、丙一起过桥（计时3分钟），甲返回（计时1分钟），最后甲、丁再一起过桥（计时5分钟），共需要：（分钟） 故答案为：14，12． 三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，特殊角的三角函数值的运算，先化简各数，再进行加减运算即可，熟练掌握相关运算法则，熟记特殊角的三角形函数值，是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 18. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】根据解不等式组的基本步骤解答即可． 本题考查了解不等式组，熟练掌握解不等式组的基本步骤是解题的关键． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 该不等式组的解集为． 19. 已知，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，代数式求值，熟练掌握分式的约分是解题的关键．先将分式化简为最简分式，再求出，最后代入求值即可． 【详解】解： ， ， ， 原式． 20. 如图，在四边形中，点B与点D关于直线对称，连接交于点O，E为上一点，，连接，． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）详见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质与判定，平行四边形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质与判定是解题的关键； （1）根据轴对称的性质可得，，进而证明四边形为平行四边形，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可得证； （2）根据等边对等角得出，进而根据三角形的外角的性质即可得出的度数，进而根据等边三角形的性质以及含度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，进而根据，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵点与点关于直线对称 ∴，， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵四边形为菱形； ∴，，， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 21. 第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日至2月14日在哈尔滨举行．本届亚冬会的吉祥物是两只可爱的小东北虎“滨滨”和“妮妮”，回到家乡哈尔滨过年的小云想买一些如图所示的纪念品送给在北京的小伙伴们，她发现毛绒玩偶的单价比冰箱贴的单价贵50元，买5个毛绒玩偶和3个冰箱贴需要554元，试判断：小云有600元能否购买6个冰箱贴和4个毛绒玩偶？ 【答案】小云有600元能购买6个冰箱贴和4个毛绒玩偶 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，掌握理解题意、列出方程是解题的关键； 设每个毛绒玩偶x元，则每个冰箱贴元，根据：买5个毛绒玩偶和3个冰箱贴需要554元，即可列出方程，求出x后再进一步计算判断即可． 【详解】解：设每个毛绒玩偶x元，则每个冰箱贴元， 根据题意得， 解得， （元）， 小云要买6个冰箱贴和4个毛绒玩偶的费用为：（元）， ， 小云有600元能购买6个冰箱贴和4个毛绒玩偶． 22. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象向下平移3个单位长度后经过原点． （1）求b的值； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值大于的值，直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，一次函数的平移问题，一次函数与不等式的关系等． （1）先得到平移后的函数解析式得到，再代入原点坐标即可求解； （2）画出图象，找出临界位置求解即可． 【小问1详解】 解：将一次函数的图象向下平移3个单位长度后，得到， 平移后的图象过原点， 将代入，得， 解得； 【小问2详解】 解：由（1）知，， 当时，， ， 解得； 如解图，当直线与函数的图象平行时，， 此时直线在函数图象的下方． 综上，m的取值范围是． 23. 《实况足球》游戏中的球员能力值是指球员的各种属性，如体力、弹跳、加速度、反应速度、敏捷度、带球精度、带球速度等．这些属性可以通过数值来表示，数值越高，球员的相应能力就越强．某足球俱乐部在一次球员招募选拔赛中，为预估报名球员在比赛中的表现，随机抽取20名球员进行试验，得到各球员的能力值（单位：分，满分10分），并对数据进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．20名球员能力值的频数分布表如下： 能力值（分） 频数（名） 3 2 m 6 5 b．球员能力值在这一组的是：7.55 7.55 7.57 7.58 7.59 7.59 c．20名球员能力值的统计图如图所示： （1）m的值为________；随机抽取的这20名球员能力值的中位数为________； （2）这20名球员能力值数据中，低于7.50分的球员占总球员的________%； （3）在20名球员能力值数据中从高到低排第4名的球员是________号球员； （4）1~10号球员属于甲小组，11~20号球员属于乙小组，已知甲、乙两个小组的能力值数据的平均数分别为7.537分及7.545分，若方差越小，则认为这组的能力值越稳定．据此推断：甲、乙两组中球员能力更强的小组是________组（填“甲”或“乙”）． 【答案】（1）4，7.55 （2）25 （3）3 （4）乙 【解析】 【分析】本题考查了频数分布表、统计图、中位数、众数、平均数和方差，熟练掌握中位数、众数、平均数和方差的概念并结合题干解题读据统计图和频数分布表是解题的关键． （1）利用频数之和为 20 求，根据中位数定义确定中位数； （2）计算低于 7.50 分的频数占比； （3）排序后确定第 4 名对应的球员编号； （4）通过平均数和方差意义判断稳定性与能力强弱． 【小问1详解】 （块）， 将 20 块试验田每公顷产量数据从小到大排列，可知第 10 个和第 11 个数据数据均为 7.55 ，所以这组数据的中位数为， 故答案为：4，7.55 ； 【小问2详解】 ， 故答案为：25 ； 【小问3详解】 从统计图可以看出，共有5个，分别是1，3，5，6，17，其中1，5，6的能力值略高于3号，17号略小于3号， 3号球员的数据从高到低排第4名． 故答案为：3 ； 【小问4详解】 甲组的数据主要分布于，乙组的数据主要分布于， 与甲的数据相比，乙的数据波动较低，离散程度较低，数据更加稳定， 又乙平均数大于甲的平均数， 球员能力更强的小组是乙组． 故答案为：乙． 24. 如图，内接于，为的直径，过点O作的平行线交于点D，交于点E，过点D作的切线与的延长线交于点F． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）详见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关性质和定理，是解题的关键． （1）圆周角定理，得到，平行线的性质，得到，切线的性质，得到，进而得到，即可得出结论； （2）延长交于点H，易得四边形是矩形，勾股定理求出的长，中位线定理求出的长，进而求出的长，进而求出的长，根据，进行求解即可． 【小问1详解】 证明：内接于，为的直径， ， ， ， 是的半径，是的切线， ， ， ； 【小问2详解】 解：如解图，延长交于点H， ， 四边形是矩形， ． ， ， ． O是的中点，， ∴， ∴， 是的中位线． ，， ， ， ． ， ， 解得． 25. 室内装修常会产生多种有害气体，某研究小组探究A，B两种常见观叶绿植对装修产生的有害气体吸收情况，部分内容如下： 测量得到某刚装修完的房间内有害气体含量为18毫克，将A，B两种绿植放置在房间内，记绿植吸收有害气体的时间为x（单位：天），绿植A吸收有害气体的量为（单位：毫克），绿植B吸收有害气体的量为（单位：毫克）．记录的部分实验数据如下： x 0.0 1.0 2.0 40 6.0 8.0 10.0 0.00 1.50 4.00 7.45 8.75 9.30 9.75 0.00 2.74 4.17 4.49 4.50 4.50 4.50 （1）可以用函数刻画与x，与x之间的关系，如图在同一平面直角坐标系中，请分别描出绿植A和绿植B吸收有害气体量与时间对应的点，并绘制出它们的大致函数图象； （2）根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当绿植吸收有害气体的时间约为________天时，A，B两种绿植吸收有害气体的量相同，当有害气体吸收量首次达到10毫克时，绿植吸收有害气体的时间约为________天（结果保留小数点后一位）； ②经测算可得，该房屋有害气体总含量要低于2.4毫克才可用于居住，若装修完的第12天为房屋验收日，则验收日当天，房屋能否成功通过验收：________（填“是”或“否”）． 【答案】（1）图见解析 （2）①2.2；2.7（答案不唯一）；②否 【解析】 【分析】本题考查的是画函数图象，从函数图象中获取信息； （1）根据表格信息先描点，再画图即可； （2）①由图象可得当绿植吸收有害气体的时间约为天时，A，B两种绿植吸收有害气体的量相同，当两种绿植有害气体吸收量之和首次达到10毫克时，绿植吸收有害气体的时间约为天； ②分析数据及图象可得，绿植A从第10天到第12天的有害气体吸收量低于0.45毫克，第12天A绿植的吸收量小于10.2毫克，绿植B第12天的有害气体吸收量约为4.5毫克，再进一步分析即可. 【小问1详解】 解：描点、绘制出大致图象如图； ； 【小问2详解】 解：①由图象可得： 当绿植吸收有害气体的时间约为天时，A，B两种绿植吸收有害气体的量相同，当有害气体吸收量首次达到10毫克时，绿植吸收有害气体的时间约为天； ②否．理由如下： （毫克）， 分析数据及图象可得，绿植A从第10天到第12天的有害气体吸收量低于0.45毫克， ∴第12天A绿植的吸收量小于10.2毫克，绿植B第12天的有害气体吸收量约为4.5毫克， ∴总的吸收量约为， 因此不能成功通过验收. 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线（且）过点． （1）求该抛物线的对称轴（用含的代数式表示）； （2）在该抛物线上存在两点，，当时，总有，求的取值范围． 【答案】（1）抛物线的对称轴为直线； （2）且． 【解析】 【分析】（1）解法一：先根据抛物线一定过原点得出与是对称点，从而推出该抛物线的对称轴；解法二：将点代入求出抛物线解析式后，根据抛物线对称轴为即可得解； （2）分情况讨论：当时：ⅰ．若；ⅱ．若；②当时：ⅰ．若；ⅱ．若；ⅲ．若． 【小问1详解】 解：解法一：由题知抛物线为（且）， 该抛物线过点， 抛物线过点， 与是对称点， 该抛物线的对称轴为直线； 解法二：抛物线为（且）过点， 将点代入中得， ， ， ， ， 抛物线的解析式为， 该抛物线的对称轴为直线． 【小问2详解】 解：将点代入抛物线（且）， 中，得， ，， 抛物线的解析式为， ①当时，（抛物线对称轴在轴左侧）， ⅰ．若，即，抛物线的大致图象如解图①， 则，， ； ⅱ．若，即，则，抛物线的大致图象如解图②， ， 点、均在对称轴的右侧，且，即， 又在对称轴右侧，随的增大而减小， ； ②当时，（抛物线对称轴在轴右侧）， ⅰ．若，即，则，抛物线的大致图象如解图③， 点，均在对称轴的右侧，且，即， 又在对称轴右侧，随的增大而减小， ； ⅱ．若，即，则，抛物线的大致图象如解图④， 点，均在对称轴的右侧，随的增大而减小， 和的大小关系不确定， 和的大小关系不确定，不符合题意； ⅲ．若，即，抛物线的大致图象如解图⑤， 此时，不符合题意． 综上，的取值范围是且． 【点睛】本题考查的知识点是待定系数法求二次函数解析式、二次函数的对称性、二次函数的图象与性质，解题关键是利用数形结合的思想解题． 27. 已知，在中，，，D为边上一动点（不与B，C重合），将线段绕点D顺时针旋转，得到线段，连接． （1）如图1，当，且点E在边上时，连接，判断线段与之间的关系，并证明； （2）如图2，当点E在内部时，在射线上有一点F，连接，使，依据题意补全图形，并用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】（1），，证明见解析 （2）图见解析，，证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，等腰三角形的判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边 的一半，全等三角形的判定与性质以及平行线分线段成比例定理等知识． （1）先根据三角形外角的性质得出，再由等角对等边可得结论； （2）①根据题意补全图形即可；②连接，取中点H，连接，证明，再根据证明得，得到，再根据平行线分线段成比例定理可得结论． 【小问1详解】 解： ，； 证明：由题意得，，， ， ， 是等边三角形， ， ，即， ，即； 【小问2详解】 解：依据题意补全图形如解图， ． 证明：如图，连接，取中点H，连接， ，H是的中点， ． ，， ， ， ， ， ． 28. 在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点与的“差距离”，给出如下定义：若，则点与点的“差距离”为；若，则点与点的“差距离”为． 例如：点，点，因为，所以点与点的“差距离”为． 当时，我们将称为点与点的“完美距离”（“完美距离”是“差距离”的特殊情况）． （1）已知点，B为轴上的一个动点． ①若点与点的“差距离”为1，写出所有满足条件的点B的坐标； ②直接写出点与点的“差距离”的最大值； （2）已知是直线上的一个动点，点，当点与点的“差距离”是“完美距离”时，求点的坐标； （3）已知一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，为线段上一动点，是以点为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点与点的“完美距离”的取值范围． 【答案】（1）①或；②2 （2）点的坐标为或 （3） 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系，圆的切线，一次函数的图象，等腰直角三角形的判定与性质，熟练根据题意确定“差距离”和“完美距离”的定义是解题的关键． （1）①设点，根据“差距离”的定义即可求解； ②设点，分别讨论，，即可解答． （2）设点，根据定义可得，求解即可； （3）分别过点，向轴，轴作垂线，两垂线相交于点，可得，则完美距离为以为斜边的等腰直角三角形的直角边，即．证明，则为上一点到直线的距离．当平行于的直线l与相切时，可以出现相应的最小值和最大值（直线l与直线在圆心同侧时，有最小值．直线l与直线在圆心异侧时，有最大值），求解范围即可． 【小问1详解】 解：（1）①设点， ∵点与点的“差距离”为1，， ， 解得， 点或． ②设点， 当时，， 当时，， 当时，， 点与点的“差距离”的最大值是2． 【小问2详解】 解：∵是直线上的一个动点， ∴设点， ∵点与点的“差距离”是“完美距离”，， 则， 解得或， 当点与点的“差距离”是“完美距离”时，点的坐标为或； 【小问3详解】 解：如解图①，分别过点，向轴，轴作垂线，两垂线相交于点， 当时，， 完美距离为以为斜边的等腰直角三角形的直角边， ． 一次函数的图象与轴，轴分别交于点，， 点，点，， ． ， ． 又， ， 为上一点到直线的距离． 当平行于的直线l与相切时，可以出现相应的最小值（如解图②）和最大值（如解图③），（直线l与直线在圆心同侧时，有最小值．直线l与直线在圆心异侧时，有最大值） 过点作， 可知， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$