高二下学期期末模拟测试卷（2）-2024-2025学年高二数学高频考点题型归纳与满分必练（人教A版2019选择性必修）

2024-2025学年高二下学期期末模拟测试卷（2） 【人教A版2019】范围：高中全部 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 1. 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数（为虚数单位），那么的共轭复数为 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】   复数，那么的共轭复数为，故选B. 2．函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可得解. 【详解】函数的定义域为，又， 令，解得，所以函数的单调递增区间是. 故选：A 3．给出下列说法中错误的是（    ） A．回归直线恒过样本点的中心 B．两个变量相关性越强，则相关系数就越接近1 C．某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的方差不变 D．在回归直线方程中，当变量x增加一个单位时，平均减少0.5个单位 【答案】C 【分析】A中，根据回归直线方程的特征，可判定是否正确；B中，根据相关系数的意义，可判定是否正确；C中，根据方差的计算公式，可判定是否正确；D中，根据回归系数的含义，可判定是否正确. 【详解】对于A中，回归直线恒过样本点的中心，所以正确； 对于B中，根据相关系数的意义，可得两个变量相关性越强， 则相关系数就越接近1，所以是正确的； 对于C中，根据平均数的计算公式可得， 根据方差的计算公式，所以是不正确的； 对于D中，根据回归系数的含义，可得在回归直线方程中， 当解释变量增加一个单位时， 预报变量平均减少0.5个单位，所以是正确的. 故选：C. 4．已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过和中间数比大小即可. 【详解】； ； ； 所以 故选：D 5．直线l过点，，则点到直线l的距离为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据空间中点到线的距离公式求解即可. 【详解】因为，，，故，. 故在方向上的投影， 则点到直线l的距离为. 故选：C 6．已知抛物线的焦点为，点，是抛物线上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作垂直于准线，垂足为，过点作垂直于准线，垂足为，由抛物线的定义可得，可得出，利用当、、三点共线时，取最小值，即可得解. 【详解】由题意得，准线方程为，过点作垂直于准线，垂足为， 过点作垂直于准线，垂足为，由抛物线的定义可得， ． 当且仅当为线段与抛物线的交点时，等号成立， 故的最小值为. 故选：C. 7．在某项建造任务中，需6名航天员在天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱这三个舱内同时进行工作，由于空间限制，每个舱至少1人，至多3人，则不同的安排方案共有（    ） A．450种 B．180种 C．720种 D．360种 【答案】A 【分析】安排方案分为两类，第一类，每个舱各安排2人，第二类，分别安排3人，2人，1人，结合分堆分配问题解决方法求解即可. 【详解】方案一：每个舱各安排2人，共有（种）不同的方案； 方案二：分别安排3人，2人，1人，共有（种）不同的方案． 所以共有（种）不同的安排方案． 故选：A． 8．已知双曲线的左､右焦点分别为，点是上的一点（不同于左，右顶点），且，则的面积是（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】由结合正弦定理求得，又由双曲线的定义求出， 再结合余弦定理和面积公式求出的面积即可. 【详解】在中，由正弦定理得，，又，所以， 又，所以.由余弦定理可得，， 所以，所以的面积. 故选：D. 2． 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设函数，则（   ） A．的定义域为R B．是偶函数 C．在上单调递增 D．的值域为R 【答案】BCD 【分析】根据解析式求定义域，应用奇偶性定义判断奇偶性，再由复合函数的单调性判断在上单调性，由换元法及分式型函数的性质求值域. 【详解】由，显然定义域为，A错； 由，即是偶函数，B对； 由在上单调递增，则在上单调递减， 所以在上单调递增，则在上单调递增，C对； 令，则在上值域为R，即的值域为R，D对. 故选：BCD 10．药物临床试验是验证新药有效性和安全性必不可少的步骤．在某新药的临床实验中，志愿者摄入一定量药物后，在较短时间内，血液中药物浓度将达到峰值，当血液中药物浓度下降至峰值浓度的20%时，需要立刻补充药物．已知血液中该药物的峰值浓度为120mg/L，为探究该药物在人体中的代谢情况，研究人员统计了血液中药物浓度y（mg/L）与代谢时间x（h）的相关数据，如下表所示： x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 y 120 110 103 93 82 68 59 47 38 根据表中数据可得到经验回归方程，则（   ） A． B．变量y与x的相关系数 C．当时，残差为-1.5 D．代谢约10小时后才需要补充药物 【答案】AC 【分析】根据样本中心点计算求解判断A，根据单调性判断B，应用回归直线计算求解得出残差判断C，计算判断得出D. 【详解】因为样本中心点在直线上，所以，A选项正确； 血液中药物浓度y（mg/L）随代谢时间x（h）的增大而减小，所以变量y与x的相关系数，B选项错误； 当时，，残差为，C选项正确； 令，解得，D选项错误； 综上所述，应选AC． 故选：AC. 11．函数的定义域为，，且为奇函数，当时，，则下列说法正确的是（    ） A．在上单调递增 B． C．若关于的方程在区间上的所有实数根之和为，则 D．函数有2个零点 【答案】BD 【分析】根据函数为奇函数，推理可得出函数周期对称轴，据此结合判断A，根据周期及性质判断B，利用图象判断CD. 【详解】为奇函数，所以， 又，所以， 所以， 由可知函数关于轴对称， 因为时，单调递增，所以，单调递减， 由周期可知，在上单调递减，故A错误； 因为，， ， 由为奇函数知，，所以，故B正确； 由可得，又， 所以，即为奇函数，设，则， 所以，即，根据函数的周期性及对称性，作函数图象，如图， 当时，实根之和为交点横坐标之和为，不符合题意， 当时，设最右边交点横坐标为，则实根之和为交点横坐标之和为，则，不符合题意， 当时，实根之和为交点横坐标之和为，不符合题意， 当时，实根之和为交点横坐标之和为，不符合题意， 当时，实根之和为交点横坐标之和为，不符合题意，综上C错误； 作函数与的图象，如图， 由图象可知，两个函数有2个交点，所以函数有2个零点，故D正确. 故选：BD 3． 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若“”是“”的充分非必要条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意得到与的包含关系，从而得到答案. 【详解】根据题意可知，但，故是的真子集， 故, 故答案为： 13．在二项式的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为 ． 【答案】243 【分析】由二项式系数的性质可求，再利用赋值法求各项系数和. 【详解】因为二项式的展开式中，所有二项式系数的和是32， 所以，故， 取可得二项式的展开式中各项系数和为，即243. 故答案为：243. 14．若数列满足，（，为常数，则称数列为调和数列．已知数列为调和数列，且，则的最大值为 ． 【答案】2 【分析】根据调和数列，可得为等差数列，即可根据等差数列求和公式得，进而利用不等式即可求解． 【详解】数列为调和数列，故，所以为等差数列， 由，所以， 故，所以， 故，故， 由于． 当且仅当时等号成立，故的最大值为2． 故答案为：2. 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且. (1)求A； (2)若AD为BC边上的中线，，，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理及三角公式求出，即可求出A；（2）利用正弦定理求出，设，，利用向量的中线公式求出，，代入面积公式求面积. 【详解】（1）由正弦定理可将原等式化为 在中， ∴ ∴，又在中， ∴，∴，即， 而，，故即. （2）由 ，可得, 在中，, , ， 设，，而边上的中线, 在中， 得即， ∴， ∴ 16．如图，已知边长为1的两个正方形，所在的平面互相垂直，点M，N分别在正方形对角线AC和BF上运动，且满足（）． (1)求证：平面； (2)当线段的长最小时，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【分析】（1）建立适当的空间直角坐标系，要得到平面，只需证明共面即可，通过坐标运算即可得证. （2）首项求出线段的长最小时的的值，然后分别求出两平面的法向量，最终由法向量的夹角的余弦公式即可得解. 【详解】（1）由题意在正方形中，有，在正方形中，有， 且面面，面面，面， 所以面， 又因为面，所以， 故以点为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系： 因为正方形，的边长均为1，所以， 所以， 又因为，，所以， 所以，即共面， 这表明了存在面内的两点，使得，即，且面， 面， 故平面. （2）由（1）可知， 故当且仅当时，线段的长最小，此时， 又由（1）可知， 所以， 不妨设平面与平面的法向量分别为， 则有，在两个方程组中令， 解得，即取平面与平面的法向量分别为， 不妨设平面与平面的夹角为，则， 即平面与平面夹角的余弦值为. 17．某中学对学生钻研奥数课程的情况进行调查，将每周独立钻研奥数课程超过6小时的学生称为“奥数迷”，否则称为“非奥数迷”，从调查结果中随机抽取100人进行分析，得到数据如表所示： 奥数迷 非奥数迷 总计 男 24 36 60 女 12 28 40 总计 36 64 100 (1)判断是否有的把握认为是否为“奥数迷”与性别有关？ (2)现从抽取的“奥数迷”中，按性别采用分层抽样的方法抽取3人参加奥数闯关比赛，已知其中男、女学生独立闯关成功的概率分别为、，在恰有两人闯关成功的条件下，求有女生闯关成功的概率. 参考数据与公式： 0.10 0.05 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 ，其中. 【答案】(1)没有99%的把握认为是否为“奥数迷”与性别有关 (2) 【分析】（1）提出假设：“奥数迷”与性别无关，计算，从而可判断假设是否成立得结论； （2）根据条件概率公式求解即可. 【详解】（1）提出假设：“奥数迷”与性别无关. 则 因为，而， 故没有99%的把握认为是否为“奥数迷”与性别有关. （2）根据分层抽样，抽取的男生人数为2人，女生人数为1人， 记“恰有两人闯关成功”为事件，“有女生闯关成功”为事件， 则， 由条件概率的公式得， 故在恰有两人闯关成功的条件下，有女生闯关成功的概率为. 18．已知椭圆的左右两个焦点分别是，，焦距为2，点在椭圆上且满足，． （1）求椭圆的标准方程； （2）不垂直轴且不过点的直线交椭圆于、两点，如果直线、的倾斜角互补，证明：直线过定点． 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【解析】（1）首先根据题意得到，再根据，即可得到，，即可得到答案. （2）首先设直线，与椭圆联立得到，根据直线、的倾斜角互补和根系关系即可得到，从而得到直线恒过定点. 【详解】（1）依题意：，∴， 由，，∴，， ∴，∴， ∴求椭圆的方程为． （2）依题意可设直线，，， 由消去得：， ∴ 由、的倾斜角互补可得：， ∴，∴， 即， ∴， 化简得：， 则直线过． 【点睛】方法点睛：定点问题，一般从三个方法把握： （1）从特殊情况开始，求出定点，再证明定点、定值与变量无关； （2）直接推理，计算，在整个过程找到参数之间的关系，代入直线，得到定点. 19．已知函数，． （1）当时，求函数的单调区间； （2）当时，恒成立，求k的取值范围； （3）设n，求证：． 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）；（3）证明见解析. 【分析】（1）代入，求出，再令求出其单调递增区间，令求出其单调递减区间； （2）求出，再分类讨论的取值，验证其正确性，进而求出k的取值范围； （3）利用（2）中得出的结论，取，得到不等式，再令 ，对不等式变形得到≤，进而证明原不等式. 【详解】解：（1）当时，，，由，解得；由，解得， 因此函数单调递增区间为，单调递减区间为． （2），故． 当时，因为，所以，因此恒成立，即在上单调递增，所以恒成立．   当时，令，解得． 当，，单调递增；当，，单调递减； 于是，与恒成立相矛盾． 综上，k的取值范围为． （3）由（2）知，当时，． 令 ，则+ ，即， 因此≤． 所以. 【点睛】本题主要考查函数的单调性与最值，以及不等式的证明相关问题，考查运算求解能力，属于中等题型. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二下学期期末模拟测试卷（2） 【人教A版2019】范围：高中全部 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 1. 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数（为虚数单位），那么的共轭复数为 A． B． C． D． 2．函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 3．给出下列说法中错误的是（    ） A．回归直线恒过样本点的中心 B．两个变量相关性越强，则相关系数就越接近1 C．某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的方差不变 D．在回归直线方程中，当变量x增加一个单位时，平均减少0.5个单位 4．已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．直线l过点，，则点到直线l的距离为（    ） A． B． C．2 D．3 6．已知抛物线的焦点为，点，是抛物线上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．在某项建造任务中，需6名航天员在天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱这三个舱内同时进行工作，由于空间限制，每个舱至少1人，至多3人，则不同的安排方案共有（    ） A．450种 B．180种 C．720种 D．360种 8．已知双曲线的左､右焦点分别为，点是上的一点（不同于左，右顶点），且，则的面积是（    ） A．2 B．3 C． D． 2． 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设函数，则（   ） A．的定义域为R B．是偶函数 C．在上单调递增 D．的值域为R 10．药物临床试验是验证新药有效性和安全性必不可少的步骤．在某新药的临床实验中，志愿者摄入一定量药物后，在较短时间内，血液中药物浓度将达到峰值，当血液中药物浓度下降至峰值浓度的20%时，需要立刻补充药物．已知血液中该药物的峰值浓度为120mg/L，为探究该药物在人体中的代谢情况，研究人员统计了血液中药物浓度y（mg/L）与代谢时间x（h）的相关数据，如下表所示： x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 y 120 110 103 93 82 68 59 47 38 根据表中数据可得到经验回归方程，则（   ） A． B．变量y与x的相关系数 C．当时，残差为-1.5 D．代谢约10小时后才需要补充药物 11．函数的定义域为，，且为奇函数，当时，，则下列说法正确的是（    ） A．在上单调递增 B． C．若关于的方程在区间上的所有实数根之和为，则 D．函数有2个零点 3． 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若“”是“”的充分非必要条件，则实数的取值范围是 . 13．在二项式的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为 ． 14．若数列满足，（，为常数，则称数列为调和数列．已知数列为调和数列，且，则的最大值为 ． 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且. (1)求A； (2)若AD为BC边上的中线，，，求的面积. 16．如图，已知边长为1的两个正方形，所在的平面互相垂直，点M，N分别在正方形对角线AC和BF上运动，且满足（）． (1)求证：平面； (2)当线段的长最小时，求平面与平面夹角的余弦值． 17．某中学对学生钻研奥数课程的情况进行调查，将每周独立钻研奥数课程超过6小时的学生称为“奥数迷”，否则称为“非奥数迷”，从调查结果中随机抽取100人进行分析，得到数据如表所示： 奥数迷 非奥数迷 总计 男 24 36 60 女 12 28 40 总计 36 64 100 (1)判断是否有的把握认为是否为“奥数迷”与性别有关？ (2)现从抽取的“奥数迷”中，按性别采用分层抽样的方法抽取3人参加奥数闯关比赛，已知其中男、女学生独立闯关成功的概率分别为、，在恰有两人闯关成功的条件下，求有女生闯关成功的概率. 参考数据与公式： 0.10 0.05 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 ，其中. 18．已知椭圆的左右两个焦点分别是，，焦距为2，点在椭圆上且满足，． （1）求椭圆的标准方程； （2）不垂直轴且不过点的直线交椭圆于、两点，如果直线、的倾斜角互补，证明：直线过定点． 19．已知函数，． （1）当时，求函数的单调区间； （2）当时，恒成立，求k的取值范围； （3）设n，求证：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$