专题06 拓展练：集合中的新定义题（高效培优专项训练） 数学沪教版2020高一必修第一册

专题06 拓展练：集合中的新定义题 1．对于任意两集合A，B，定义且，记，则 ． 【答案】或 【分析】根据条件中的新定义，先求和，再求. 【详解】，，． 故答案为：或 2．在检测文本相似度时常以杰卡德距离作为衡量工具．称为集合内元素的个数，定义为集合之间的杰卡德距离．现有两个文本集合，若，则的最小值为 ． 【答案】/0.5 【分析】分析题干可知当最大且最小时，取得最小值，由此可算得答案. 【详解】由题意可知当最大且最小时，最小， 因为，所以最大为，此时， 且此时最小为，此时， 若，则且，此时， 故的最小值为. 故答案为：. 3．有理数都能表示成（，且，与互质）的形式，进而有理数集且，与互质．任何有理数都可以化为有限小数或无限循环小数，反之，任一有限小数也可以化为的形式，从而是有理数．则下列正确的是 . ①是无理数；②是有理数；③；④无限循环小数是有理数 【答案】②③④ 【分析】根据有理数的定义，将无限循环小数整理为分数性质，逐项检验，可得答案. 【详解】由于，设，得， 两式相减得，解得，于是得，故③正确； 因为，可以化为的形式，故是有理数，故①错误，②正确； 无限循环小数也可以化成，且，m与n互质）的形式，故无限循环小数是有理数，故④正确． 故答案为：②③④． 4．已知有限集合，定义集合中的元素的个数为集合的“容量”，记为.若集合，则 ；若集合，且，则正整数的值是 . 【答案】 3 2025 【分析】第一空，直接由定义即可求解，第二空，由新定义得到，再由元数个数即可求解； 【详解】，则集合， 所以. 若集合，则集合， 故，解得. 故答案为：3；2025 5．定义集合的“长度”是，其中，.已如集合，，且，都是集合的子集，则集合的“长度”的最小值是 ； 【答案】/ 【分析】根据区间长度定义得到关于的不等式组，再分类讨论即可. 【详解】集合，，且M，N都是集合的子集， 由，可得，由，可得． 要使的“长度”最小，只有当取最小值、取最大或取最大、取最小时才成立. 当，，，“长度”为， 当，，，“长度”为， 故集合的“长度”的最小值是. 故答案为：. 6．已知集合，定义集合：，则中的子集个数为 【答案】231 【分析】根据题意，作出示意图，表示出集合的点，求得的取值，结合的定义，表示图象，得出中元素的个数，进而得到中的子集个数，得到答案. 【详解】由题意，集合， 可得集合中有5个元素，即5个点，如图所示的图中的黑点， 集合中有15个元素，即15个点， 即图中长方形内部及长方形的边上的整点， 又由或或或或或或，共由7个值； 或或或或，共由5个值； 所以集合中的元素可看作图中长方形边上除去四个顶点外的整点，共有个， 所以集合中的子集个数为个. 故答案为：. 7．用表示非空集合中元素的个数，定义，若，，，则实数的所有可能取值构成集合，则{ }（请用列举法表示）. 【答案】 【分析】根据题意，可得，则可通过讨论与的大小，进而得到结果． 【详解】根据题意，，则有， 又因为， 即得表示方程实数根的个数， 解这个方程得①，或②， 解方程①得，， 对于方程②，若，即或时， 方程有两个不等实根分别为，； 若，即或时，方程有且只有一个实根； 若，即时，方程没有实数根． 综上可得，当或时，； 当或时，； 当时， 所以（1）当时，，即得， 此时可得； （2）当时，即得，此时可得或； 故答案为：． 8．设为非空实数集满足：对任意给定的（、可以相同），都有，则称为封闭集．关于封闭集有下列结论： ①集合为封闭集；   ②集合为封闭集； ③若集合为封闭集，则为封闭集； ④若集合为封闭集，则一定有； ⑤若集合为封闭集，则为封闭集． 其中正确结论的序号是 ． 【答案】②④⑤ 【分析】本题主要涉及封闭集的定义概念，通过对每个结论逐一根据封闭集的定义进行判断来求解. 【详解】对于集合，取，，则，不满足封闭集的定义，所以①错误. 对于集合，设，，. ，因为，所以. ，因为，所以. ，因为，所以.满足封闭集的定义，所以②正确. 令，，都是封闭集. 中，取（），（），，不满足封闭集的定义，所以③错误. 因为对任意，有，所以若集合为封闭集，则一定有，所以④正确. 因为，为封闭集，设，则且. 因为是封闭集，所以，，. 因为是封闭集，所以，，. 所以，，，满足封闭集的定义，所以⑤正确. 故答案为：②④⑤. 9．给定数集，对于任意，有且，则称集合为闭集合．则以下结论中，错误的命题是 ． ①集合为闭集合 ②集合为闭集合 ③若集合为闭集合，则为闭集合 ④若集合为闭集合，且，，则存在，使得 【答案】①③④ 【分析】由集合新定义，举反例可得①错误，由集合新定义可得②正确；设可得③错误；取则不存在可得④错误； 【详解】对于①，当时，，故①错误； 对于②，由集合可得集合表示为3的整数倍，所以均为3的整数倍，满足且，故②正确； 对于③，设， 则，但，故③错误； 对于④，取则不存在，故④错误；； 故答案为：①③④. 10．集合，，都是非空集合，现规定如下运算：且.假设集合，，，其中实数，，，，，满足：.计算 . 【答案】或 【分析】由题设条件，，，，，的大小关系，根据集合运算新定义求即可. 【详解】因为， 所以，，， ， 故或. 故答案为：或. 11．已知全集，若集合，且对任意，均存在，使得：，则称集合为“对称对点集”.给出如下集合： （1）；    （2）； （3）；    （4）. 其中是“对称对点集”的序号为 （写出所有正确的序号） 【答案】（1）（4） 【分析】对于（1）（4）直接根据集合新定义说明即可；对于（2）（3）举反例说明即可. 【详解】对于（1），显然，且对任意，取，此时， 且，故（1）符合题意； 对于（2），若，，则， 所以与同号，而同号的两个数相加不可能等于0，故（2）不符合题意； 对于（3），若，，而当时，， 此时如果有，就意味着，但事实上，故（3）不符合题意； 对于（4），显然，且对任意，即，取， 此时有，即，且满足，故（4）符合题意. 故答案为：（1）（4）. 12．若三个非零且互不相等的实数满足，则称是调和的；若满足，则称是等差的．已知集合，集合是的三元子集，即．若集合中元素既是调和的，又是等差的，则称集合为“延安集”．不同的“延安集”的个数为 【答案】1012 【分析】由为“延安集”的定义解方程，将全用代换，结合可求解. 【详解】由，则，代入，即， 整理得，展开得，解得或（根据集合的互异性，舍去），代入得， 则， 所以为4的整数倍，且不为0，则共有个不同的“延安集”的个数. 故答案为：1012. 13．定义：如果集合U存在一组两两不交（两个集合交集为空集时，称为不交）的非空真子集，且，那么称无序子集组构成集合U的一个k划分．已知集合，则集合I的所有划分的个数为 ． 【答案】51 【分析】化简集合，再由新定义及组合知识分类求解即可. 【详解】由题意得，，共有5个元素， 则2划分有个，3划分有个，4划分有个， 5划分有1个，所以共有划分的个数为51个． 故答案为；51 14．定义：如果集合存在一组两两不交（两个集合的交集为空集时，称为不交）的非空真子集，，且，那么称子集族构成集合的一个划分.已知集合，则集合的所有划分的个数为 . 【答案】4 【分析】解二次不等式得到集合，由子集族的定义对集合进行划分. 【详解】依题意，， 的2划分为，共3个， 的3划分为，共1个， 故集合的所有划分的个数为4. 故答案为：4 15．把集合，可作如下划分，，，则第个括号内各数字之和为 . 【答案】 【分析】先弄清每个括号里元素个数的特点，然后求出第个括号内的数的个数，求出括号内的每个数，相加即可. 【详解】第个括号内有个数，第个括号内有个数，第个括号内有个数，第个括号内有个数， 第个括号内有个数，， 由上可知，第内有个数， ，则第个括号内有个数，且第个括号内最后一个数为， 所以，第个扩括号内的数字分别为：、、、， 这些数字之和为. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：本题考查数列中的归纳推理，解题的关键就是弄清楚每个括号内数字个数的特点，并确定括号内最大数或最小数，探寻出其中的规律，进而求解. 16．把一个集合分成若干个非空子集，，，，如果满足：①，②，那么这些子集的全体称为集合的一个划分，记为.若集合，则集合的一个划分为 ；利用余数构造集合的划分是解决子集中元素整除问题的常用手段.设为集合的子集，并且中任意两个元素之和不能被3整除，则中元素个数的最大值为 . 【答案】 ，，（作答时，写出一个即可） 676 【分析】根据“划分”的定义直接求集合的一个划分即可；利用集合中元素被3除的余数构造集合的划分，进而根据题意得中元素个数的最大值。 【详解】根据题意，若集合，则集合的划分有： ，，（作答时，写出一个即可）； 对于集合， 所有被3除余数为1的元素组成的集合为，元素个数为675； 所有被3除余数为2的元素组成的集合为，元素个数为675； 所有能被3整除的元素组成的集合为，元素个数为674； 由题意，，且中任意两个元素之和不能被3整除， 又因为，集合中任意一个元素与集合中任意一个元素之和能被3整除， 所以集合中的元素和集合中的元素不能都属于集合， 因为集合中任意一个元素与集合或与集合中任意一个元素之和都不能被3整除， 且集合中任意两个元素之和都能被3整除， 所以当集合中元素个数最多时， 集合，其中；或者，其中； 故集合中元素个数的最大值为676. 故答案为：，，（作答时，写出一个即可）；676. 17．非空集合，且满足如下性质： 性质一：若、，则；性质二：若，则则称集合为一个“群”． 以下叙述正确的个数为（    ） ①若为一个“群”，则必为无限集； ②若为一个“群”，且、，则； ③若、都是“群”，则必定是“群”； A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据性质，运用特例法逐一判断即可. 【详解】对于①，设集合，显然，符合性质一， 同时也符合性质二，因此集合是一个群，但是它是有限集，故本叙述不正确； 对于②，根据群的性质，由可得：，因此可得，故本叙述正确； 对于③，设， 若，一定有，， 因为、都是“群”， 所以，， 因此，若，所以，，，故本叙述正确. 故选：C. 【点睛】关键点睛：正确理解群的性质是解题的关键. 18．非空集合，且满足如下性质：性质一：若，，则；性质二：若，则.则称集合为一个“群”以下叙述正确的个数为（    ） ①若为一个“群”，则必为无限集； ②若为一个“群”，且，，则； ③若，都是“群”，则必定是“群”； ④若，都是“群”，且，，则必定不是“群”； A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据性质，运用特例法逐一判断即可. 【详解】①：设集合，显然，符合性质一，同时也符合性质二，因此集合是一个群，但是它是有限集，故本叙述不正确； ②：根据群的性质，由可得：，因此可得，故本叙述是正确； ③：设， 若，一定有，因为，都是“群”， 所以，因此，若，所以， ，故本叙述正确； ④：因为，，一定存在且，且， 因此且，所以，因此本叙述正确， 故选：C 【点睛】关键点睛：正确理解群的性质是解题的关键. 19．“群”的概念由数学家伽罗瓦在19世纪30年代开创，群论虽起源于对代数多项式方程的研究，但在量子力学、晶体结构学等其他学科中也有十分广泛的应用.“群”的定义是：设为某种元素组成的一个非空集合，若在内定义一个运算“*”，满足以下条件： ①任意.有 ②如，有； ③在中有一个元素，对任意，都有，称为的单位元； ④任意，在中存在唯一确定的，使，称为的逆元； 此时称为一个群 例如实数集和实数集上的加法运算“＋”就构成一个群，其单位元是，每一个数的逆元是其相反数，那么下列说法中，错误的是（    ） A．，则为一个群 B．，为一个群 C．，则为一个群 D．，则为一个群 【答案】D 【分析】分别判断每一个选项，是否为一个群即可. 【详解】A选项：有理数的和还是有理数，求和满足结合律， 设，单位元为，则，故， 所以每一个数的相反数为其逆元， 故为一个群，选项A正确； B 选项：中的任何两个数相加还是属于， 求和满足结合律， 设，单位元为， 则，所以， 每一个数的相反数为其逆元，为一个群，故选项B正确； C选项：中的两个元素相乘，其积可能为或， 又，， 设，单位元为，则，故，的逆元为，的逆元为， 所以则为一个群，故C正确； D选项：两个奇数相乘还是奇数，乘法满足结合率， 设，单位元为，则，故， 又，故存在，使得，则，矛盾， 故不为一个群，故D错误. 【点睛】关键点点睛：需要判断题中说的所有条件，先利用条件③判断单位元，然后再利用条件④判断逆元. 20．如果一个非空集合上定义了一个运算，满足如下性质，则称关于运算构成一个群. （1） 封闭性，即对于任意的，有； （2） 结合律，即对于任意的，有； （3） 对于任意的，方程与在中都有解． 例如，整数集关于整数的加法（）构成群，因为任意两个整数的和还是整数，且满足加法结合律，对于任意的，方程与都有整数解；而实数集关于实数的乘法（）不构成群，因为方程没有实数解. 以下关于“群”的真命题有（    ） ①自然数集关于自然数的加法（）构成群； ②有理数集关于有理数的乘法（）构成群； ③平面向量集关于向量的数量积（）构成群； ④复数集关于复数的加法（）构成群. A．0个； B．1个； C．2个； D．3个. 【答案】B 【分析】根据群的定义需满足的三个条件逐一判断即可. 【详解】对于①，，在自然数集中无解，错误； 对于②，，在有理数集中无解，错误； 对于③，是一个数量，不属于平面向量集，错误； 对于④，因为任意两个复数的和还是复数，且满足加法结合律， 且对任意的，方程与有复数解，正确. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题考查新定义，解题关键是理解新定义，用新定义解题.解题方法是根据新定义的3个条件进行验证，注意实数或复数运算的运算律与新定义中运算的联系可以很快得出结论. 21．“群”是代数学中一个重要的概念，它的定义是：设为某种元素组成的一个非空集合，若在内定义一个运算“*”，满足以下条件： ①，，有 ②如，，，有； ③在中有一个元素，对，都有，称为的单位元； ④，在中存在唯一确定的，使，称为的逆元．此时称（，*）为一个群． 例如实数集和实数集上的加法运算“”就构成一个群，其单位元是，每一个数的逆元是其相反数，那么下列说法中，错误的是（    ） A．，则为一个群 B．，则为一个群 C．，则为一个群 D．{平面向量}，则为一个群 【答案】B 【分析】对于选项A,C,D分别说明它们满足群的定义，对于选项B, 不满足④，则不为一个群，所以该选项错误. 【详解】A. ，两个有理数的和是有理数，有理数加法运算满足结合律，为的单位元，逆元为它的相反数，满足群的定义，则为一个群，所以该选项正确； B. ，为的单位元，但是，当时，不存在唯一确定的，所以不满足④，则不为一个群，所以该选项错误； C. ，满足①②，为的单位元满足③，是-1的逆元，1是1的逆元，满足④，则为一个群，所以该选项正确； D. {平面向量}，满足①②，为的单位元，逆元为其相反向量，则为一个群，所以该选项正确. 故选：B 22．群论，是代数学的分支学科，在抽象代数中.有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一般一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明.群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设是一个非空集合，“.”是上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件： ①对任意的，有； ②对任意的，有； ③存在，使得对任意的，有称为单位元； ④对任意的，存在，使，称与互为逆元. 则称关于“.”新构成一个群.则下列说法正确的有（    ） A．关于数的乘法构成群 B．自然数集关于数的加法构成群 C．实数集关于数的乘法构成群 D．关于数的加法构成群 【答案】D 【分析】反例判断A，B，C是否满足④，对于D，对所有的，设，求出，依次看是否满足要求. 【详解】A：由且，使，但，不存在，使，不正确； B：由且，都有，但，不存在，使，不正确； C：由且，使，但，不存在，使，不正确； D：对所有的，可设，则， ①满足加法结合律，即，有； ②，使得，有； ③，设，使，正确. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：对于D，对所有的，可设，求出. 23．当一个非空数集满足：如果，，则，，，且时，时，我们称就是一个数域以下关于数域的说法：是任何数域的元素若数域有非零元素，则集合是一个数域．有理数集是一个数域其中正确的选项是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数域的定义代入数值分析即可得解. 【详解】对于①，当且时， 所以是任何数域的元素，①正确； 对于②，当时，且时，由数域定义知， 所以1+1=2，1+2=3,...1+2018=2019，故选项②正确； 对于③，当时，,故选项③错误； 对于④，如果，，则则，，,且时，,所以有理数集是一个数域. 故选：A 24．当一个非空数集G满足“如果a、，则、、，且时，”时，我们称G是一个数域．以下四个关于数域的命题中真命题的个数是（    ） ①0是任何数域中的元素；②若数域G中有非零元素，则； ③集合是一个数域；④有理数集Q是一个数域． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据数域定义逐一验证即可. 【详解】由定义可知，，即0是任何数域中的元素，①正确； 若域G中有非零元素a，则，所以，，…，，②正确； 记则，但，故③错误； 易知任意两个有理数的和差积仍是有理数，当分母不为0时，两个有理数的商仍为有理数，故④正确. 故选：C 25．定义1：对于一个数集A，定义一种运算，对任意都有，则称集合A关于运算是封闭的（例如：自然数集N对于加法运算是封闭的）. 定义2：对于一个数集A，若存在一个元素，使得任意，满足，则称a为集合A中的零元，若存在一个元素，使得任意，满足，则称b为集合A中的单位元（例如：0和1分别为自然数集N中的零元和单位元）. 定义3：对于一个数集A，如果满足下列关系： ①有零元和单位元； ②关于加、减、乘、除（除数不为0）四种运算都是封闭的； ③对于乘法和加法都满足交换律和结合律，且满足乘法对加法的分配律，则称这个数集A是一个数域. (1)指出常用数集N，Z，Q，R中，哪些数集可以构成数域（不需要证明）； (2)已知集合，证明：集合A关于乘法运算是封闭的； (3)已知集合，证明：集合A是一个数域. 【答案】(1)Q，R (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由题意中关于数域的定义可得答案； （2）设，，通过计算可完成证明； （3）通过数域定义，依次验证集合A满足即可完成证明. 【详解】（1）由于，而，因此N不是数域； 由于，而，因此不是数域； Q，R中，都有零元：0和单位元：1； 关于加、减、乘、除（除数不为0）四种运算都是封闭的； 对于乘法和加法都满足交换律和结合律，且满足乘法对加法的分配律， 所以Q，R可以是数域； （2）设， （，，，都为整数），则显然，且， 则 显然，，因此， 所以集合A关于乘法运算是封闭的； （3）①显然，当时，；当，时，， 显然对任意，都有，，所以集合A中有零元0和单位元1； ②设，，则， 因为，，，都为有理数，则，也都为有理数， 因此；又由（2）同理可得，，，，都为有理数时， ，也都为有理数，于是；当时，令 ， 显然，都是有理数，则，于是， 因此集合A关于加、减、乘、除运算都是封闭的； ③显然任意，都有，由中加法、乘法运算都满足交换律、结合律，还满足乘法对加法的分配律，因此集合A中加法、乘法运算都满足交换律、结合律，还满足乘法对加法的分配律，所以集合A是一个数域. 【点睛】关键点睛：本题关键为读懂数域的定义，随后仿照复数的加减乘除运算方式验证A满足数域定义. 26．对于一个数集，若满足下列条件：①中至少有两个非零元素；②；③任取中的两个非零元素，它们加､减､乘､除后的结果都仍属于，则称数集为数域，如有理数集为有理数域，实数集为实数域. (1)证明整数集不是数域； (2)判断集合是否为数域，并说明理由； (3)若为任意两个数域且中至少存在两个非零元素，判断是否为数域，并说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)集合是数域，证明见解析 (3)为数域，不一定是数域，，证明见解析 【分析】（1）按照数域的定义，找到不符合除法运算的元素，即可证明； （2）集合是数域，按照数域的定义分别证明满足三个条件即可； （3）为数域，不一定是数域，，按照数域的定义分别证明是否满足三个条件即可. 【详解】（1）证明：任取，且互质，那么一定是分数，即，故根据数域的概念得整数集不是数域. （2）解：集合是数域，理由如下： ①当或时，则，则至少有两个非零元素； ②当时，，则； ③取， 则，又，所以； ，又，所以； ，又，所以； ，又，所以， 综上，集合是数域. （3）解：为数域，不一定是数域，理由如下： 为任意两个数域且中至少存在两个非零元素，任取，则， 由于为个数域，则，；， 所以，则，同样，则，，则，所以为数域； 当且两集合无包含关系时，不妨设，则， 若是数域，则，即或， 当时，，即，与假设不符； 当时，，即，与假设不符； 所以此时不是数域； 当或两集合有包含关系时，或，此时是数域； 所以不一定是数域. 27．设非空数集，对于任意，下列4个条件：①属于；②属于；③属于；④（分母不为零）也属于，定义：满足条件①②③的数集为数环（即数环对于加、减、乘运算封闭）；满足条件④的数环为数域（即数域对于加、减、乘、除运算封闭）. (1)判断自然数集、整数集、有理数集、实数集是不是数环，假如该集合是数环，那么它是不是数域（无需说明理由）； (2)若是一个数环，是一个数域，证明：，； (3)设，证明：是数域. 【答案】(1)自然数集不是数环，整数集是数环，不是数域， 有理数集、实数集是数环也是数域. (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意，由数环与数域的定义判断即可； （2）根据题意，由数域的定义即可证明； （3）根据题意，设，，，然后分别验证①②③④， 【详解】（1）自然数集不是数环，例如； 整数集是数环，不是数域，例如 有理数集、实数集是数环也是数域. （2）若，则，即； 若，，则，即. （3）设，则，， 则， 因为，所以，， 所以，满足条件①. ， 因为， 所以，，所以，满足条件②. ，因为， 所以，，所以，满足条件③. ， 因为，，所以，， 所以，满足条件④.综上所述，是数域. 【点睛】本题主要考查了集合新定义问题，难度较大，解答本题的关键在于理解数环与数域的定义，并且应用. 28．若对一个数集，若任取中的两个非零元素，他们加、减、乘、除后的结果都仍属于，则称数集为数域，如有理数集为有理数域，实数集为实数域. (1)判断整数集是否为数域，并说明理由； (2)判断数集是否为数域，并说明理由； (3)若为任意两个数域，判断是否为数域，并说明理由. 【答案】(1)不是，理由见解析； (2)是，理由见解析； (3) 是， 不是，理由见解析. 【分析】（1）分析Z中两个非零元素的加减乘除是否属于Z； （2）在M中，任取两个非零元素，分析其加减乘除是否属于M； （3）根据交集和并集的定义，先推理 ，再推理 . 【详解】（1）在Z中取1，2两个元素，则 ，所以不是； （2）在M中取 ，并且 ， 则有 ， ， ， 所以M是数域； （3）对于 ，若存在两个元素 ，并且 ，则 ， 由数域的定义可知 ， ， ， 所以 是数域； 对于 ，不妨假设 ， 在A中取 ，在B中 ， ，则 ， ， 所以 不是数域. 综上，（1）Z不是数域；（2    ）M是数域；（3） 是数域， 不是数域. 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 拓展练：集合中的新定义题 1．对于任意两集合A，B，定义且，记，则 ． 2．在检测文本相似度时常以杰卡德距离作为衡量工具．称为集合内元素的个数，定义为集合之间的杰卡德距离．现有两个文本集合，若，则的最小值为 ． 3．有理数都能表示成（，且，与互质）的形式，进而有理数集且，与互质．任何有理数都可以化为有限小数或无限循环小数，反之，任一有限小数也可以化为的形式，从而是有理数．则下列正确的是 . ①是无理数；②是有理数；③；④无限循环小数是有理数 4．已知有限集合，定义集合中的元素的个数为集合的“容量”，记为.若集合，则 ；若集合，且，则正整数的值是 . 5．定义集合的“长度”是，其中，.已如集合，，且，都是集合的子集，则集合的“长度”的最小值是 ； 6．已知集合，定义集合：，则中的子集个数为 7．用表示非空集合中元素的个数，定义，若，，，则实数的所有可能取值构成集合，则{ }（请用列举法表示）. 8．设为非空实数集满足：对任意给定的（、可以相同），都有，则称为封闭集．关于封闭集有下列结论： ①集合为封闭集；   ②集合为封闭集； ③若集合为封闭集，则为封闭集； ④若集合为封闭集，则一定有； ⑤若集合为封闭集，则为封闭集． 其中正确结论的序号是 ． 9．给定数集，对于任意，有且，则称集合为闭集合．则以下结论中，错误的命题是 ． ①集合为闭集合 ②集合为闭集合 ③若集合为闭集合，则为闭集合 ④若集合为闭集合，且，，则存在，使得 10．集合，，都是非空集合，现规定如下运算：且.假设集合，，，其中实数，，，，，满足：.计算 . 11．已知全集，若集合，且对任意，均存在，使得：，则称集合为“对称对点集”.给出如下集合： （1）；    （2）； （3）；    （4）. 其中是“对称对点集”的序号为 （写出所有正确的序号） 12．若三个非零且互不相等的实数满足，则称是调和的；若满足，则称是等差的．已知集合，集合是的三元子集，即．若集合中元素既是调和的，又是等差的，则称集合为“延安集”．不同的“延安集”的个数为 13．定义：如果集合U存在一组两两不交（两个集合交集为空集时，称为不交）的非空真子集，且，那么称无序子集组构成集合U的一个k划分．已知集合，则集合I的所有划分的个数为 ． 14．定义：如果集合存在一组两两不交（两个集合的交集为空集时，称为不交）的非空真子集，，且，那么称子集族构成集合的一个划分.已知集合，则集合的所有划分的个数为 . 15．把集合，可作如下划分，，，则第个括号内各数字之和为 . 16．把一个集合分成若干个非空子集，，，，如果满足：①，②，那么这些子集的全体称为集合的一个划分，记为.若集合，则集合的一个划分为 ；利用余数构造集合的划分是解决子集中元素整除问题的常用手段.设为集合的子集，并且中任意两个元素之和不能被3整除，则中元素个数的最大值为 . 17．非空集合，且满足如下性质： 性质一：若、，则；性质二：若，则则称集合为一个“群”． 以下叙述正确的个数为（    ） ①若为一个“群”，则必为无限集； ②若为一个“群”，且、，则； ③若、都是“群”，则必定是“群”； A． B． C． D． 18．非空集合，且满足如下性质：性质一：若，，则；性质二：若，则.则称集合为一个“群”以下叙述正确的个数为（    ） ①若为一个“群”，则必为无限集； ②若为一个“群”，且，，则； ③若，都是“群”，则必定是“群”； ④若，都是“群”，且，，则必定不是“群”； A．1 B．2 C．3 D．4 19．“群”的概念由数学家伽罗瓦在19世纪30年代开创，群论虽起源于对代数多项式方程的研究，但在量子力学、晶体结构学等其他学科中也有十分广泛的应用.“群”的定义是：设为某种元素组成的一个非空集合，若在内定义一个运算“*”，满足以下条件： ①任意.有 ②如，有； ③在中有一个元素，对任意，都有，称为的单位元； ④任意，在中存在唯一确定的，使，称为的逆元； 此时称为一个群 例如实数集和实数集上的加法运算“＋”就构成一个群，其单位元是，每一个数的逆元是其相反数，那么下列说法中，错误的是（    ） A．，则为一个群 B．，为一个群 C．，则为一个群 D．，则为一个群 20．如果一个非空集合上定义了一个运算，满足如下性质，则称关于运算构成一个群. （1） 封闭性，即对于任意的，有； （2） 结合律，即对于任意的，有； （3） 对于任意的，方程与在中都有解． 例如，整数集关于整数的加法（）构成群，因为任意两个整数的和还是整数，且满足加法结合律，对于任意的，方程与都有整数解；而实数集关于实数的乘法（）不构成群，因为方程没有实数解. 以下关于“群”的真命题有（    ） ①自然数集关于自然数的加法（）构成群； ②有理数集关于有理数的乘法（）构成群； ③平面向量集关于向量的数量积（）构成群； ④复数集关于复数的加法（）构成群. A．0个； B．1个； C．2个； D．3个. 21．“群”是代数学中一个重要的概念，它的定义是：设为某种元素组成的一个非空集合，若在内定义一个运算“*”，满足以下条件： ①，，有 ②如，，，有； ③在中有一个元素，对，都有，称为的单位元； ④，在中存在唯一确定的，使，称为的逆元．此时称（，*）为一个群． 例如实数集和实数集上的加法运算“”就构成一个群，其单位元是，每一个数的逆元是其相反数，那么下列说法中，错误的是（    ） A．，则为一个群 B．，则为一个群 C．，则为一个群 D．{平面向量}，则为一个群 22．群论，是代数学的分支学科，在抽象代数中.有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一般一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明.群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设是一个非空集合，“.”是上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件： ①对任意的，有； ②对任意的，有； ③存在，使得对任意的，有称为单位元； ④对任意的，存在，使，称与互为逆元. 则称关于“.”新构成一个群.则下列说法正确的有（    ） A．关于数的乘法构成群 B．自然数集关于数的加法构成群 C．实数集关于数的乘法构成群 D．关于数的加法构成群 23．当一个非空数集满足：如果，，则，，，且时，时，我们称就是一个数域以下关于数域的说法：是任何数域的元素若数域有非零元素，则集合是一个数域．有理数集是一个数域其中正确的选项是（    ） A． B． C． D． 24．当一个非空数集G满足“如果a、，则、、，且时，”时，我们称G是一个数域．以下四个关于数域的命题中真命题的个数是（    ） ①0是任何数域中的元素；②若数域G中有非零元素，则； ③集合是一个数域；④有理数集Q是一个数域． A．1 B．2 C．3 D．4 25．定义1：对于一个数集A，定义一种运算，对任意都有，则称集合A关于运算是封闭的（例如：自然数集N对于加法运算是封闭的）. 定义2：对于一个数集A，若存在一个元素，使得任意，满足，则称a为集合A中的零元，若存在一个元素，使得任意，满足，则称b为集合A中的单位元（例如：0和1分别为自然数集N中的零元和单位元）. 定义3：对于一个数集A，如果满足下列关系： ①有零元和单位元； ②关于加、减、乘、除（除数不为0）四种运算都是封闭的； ③对于乘法和加法都满足交换律和结合律，且满足乘法对加法的分配律，则称这个数集A是一个数域. (1)指出常用数集N，Z，Q，R中，哪些数集可以构成数域（不需要证明）； (2)已知集合，证明：集合A关于乘法运算是封闭的； (3)已知集合，证明：集合A是一个数域. 26．对于一个数集，若满足下列条件：①中至少有两个非零元素；②；③任取中的两个非零元素，它们加､减､乘､除后的结果都仍属于，则称数集为数域，如有理数集为有理数域，实数集为实数域. (1)证明整数集不是数域； (2)判断集合是否为数域，并说明理由； (3)若为任意两个数域且中至少存在两个非零元素，判断是否为数域，并说明理由. 27．设非空数集，对于任意，下列4个条件：①属于；②属于；③属于；④（分母不为零）也属于，定义：满足条件①②③的数集为数环（即数环对于加、减、乘运算封闭）；满足条件④的数环为数域（即数域对于加、减、乘、除运算封闭）. (1)判断自然数集、整数集、有理数集、实数集是不是数环，假如该集合是数环，那么它是不是数域（无需说明理由）； (2)若是一个数环，是一个数域，证明：，； (3)设，证明：是数域. 28．若对一个数集，若任取中的两个非零元素，他们加、减、乘、除后的结果都仍属于，则称数集为数域，如有理数集为有理数域，实数集为实数域. (1)判断整数集是否为数域，并说明理由； (2)判断数集是否为数域，并说明理由； (3)若为任意两个数域，判断是否为数域，并说明理由. 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$