专题05 拓展练：集合与逻辑中的参数问题五大题型（高效培优专项训练） 数学沪教版2020高一必修第一册

专题05 拓展练：集合与逻辑中的参数问题 题型一：元素与集合的关系中的参数问题 题型二：集合中元素个数的参数问题 题型三：集合中包含关系中的参数问题 题型四：集合并交补运算中的参数问题 题型五：充分性与必要性中的参数关系 题型一：元素与集合的关系中的参数问题 1．若，若实数的值为 . 【答案】 【分析】根据元素的确定性和互异性可求实数的值. 【详解】因为，故或，故或， 若时，，与元素的互异性矛盾； 当，，符合题意； 故， 故答案为： 2．已知集合 ，其中.若存在正数，使得对任意， 都有，则的值是 . 【答案】 【分析】由可得出，进而可得的取值范围，根据，可得出关于的不等式，进一步可得出关于的方程，解之即可. 【详解】因为，则只需考虑下列三种情况： 因为，，则， 又因为，则， 因为，则且， 可得， 所以，，解得， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用集合与元素的关系求解参数的取值问题，关键在于能够通过的取值范围，得到与所处的范围，从而能够利用集合的上下限得到关于的等量关系，从而构造出关于的方程求解. 3．已知集合，若，则实数 【答案】 【分析】根据元素与集合的关系，建立方程，可得答案. 【详解】将代入，则，由题意可得. 故答案为： 4．已知集合，若，则中所有元素之和为（    ） A．3 B．1 C． D． 【答案】C 【解析】根据，依次令中的三个元素分别等于1，根据集合中元素的互异性作出取舍，求得结果. 【详解】若，则，矛盾； 若，则，矛盾，故， 解得（舍）或， 故，元素之和为， 故选：C. 【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关集合的问题，在解题的过程中，关键是用好集合中元素的互异性对参数的值进行取舍. 5．设数集A由实数构成，且满足：若（且），则. (1)若，试证明A中还有另外两个元素； (2)集合A是否为只含有两个元素的集合，并说明理由； (3)若A中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A. 【答案】(1)证明见解析 (2)否，理由见解析 (3) 【分析】（1）利用集合与元素之间的关系证明即可； （2）根据条件求出元素间的规律即可； （3）先利用求出集合中元素个数，再根据所有元素和求解即可. 【详解】（1）由题意，若，则， 则， 若，则， 所以集合A中还有另外两个元素和. （2）否，理由如下： 由题意，若（且），则， 则， 若，则， 所以集合A中应包含，，，而， 所以集合的元素个数为3的倍数， 故集合A不是只含有两个元素的集合. （3）由（2）知，，且集合的元素个数为3的倍数， 因为集合A中元素个数不超过8个，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积， 所以集合的元素个数为6，其中一个元素为， 由结合已知条件可得，， 由， 解得或或， 所以. 题型二：集合中元素个数的参数问题 6．若集合只含有一个元素，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】对进行分类讨论，由此求得正确答案. 【详解】当时，，符合题意. 当时，. 综上所述，的取值范围是. 故答案为： 7．已知集合，若集合A中只有一个元素，则实数的取值的集合是 ． 【答案】 【分析】分和讨论，当时，利用判别式即可求解. 【详解】当时，由方程解得，集合A只有一个元素； 当时，因为集合A中只有一个元素，则，解得. 综上，实数的取值的集合为. 故答案为： 8．若集合有且仅有一个元素，则实数的值是 ． 【答案】或 【分析】对进行分类讨论，结合判别式求得的值. 【详解】当时，，符合题意. 当时，令， 解得， 综上所述，的值为或 故答案为：或 9．已知集合，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由集合的子集个数确定元素个数，进而求出值. 【详解】由集合A有且仅有2个子集，得集合有且只有1个元素，即方程有唯一解， 当时，方程有唯一解，符合题意，则， 当时，一元二次方程有相等实根，，解得， ，方程的根为；，方程的根为，符合题意，因此， 所以a的取值是. 故选：D 10．已知集合，若集合为空集，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】通过讨论和即可求解. 【详解】解:当时，易知， 当时，若集合为空集，则 故选：B 题型三：集合中包含关系中的参数问题 11．已知，. (1)若，求； (2)若且，求的值. 【答案】(1)； (2)1或2. 【分析】（1）根据给定条件，结合含参的一元一次方程解的意义求出. （2）根据给定条件，求出集合，再利用集合的包含关系求出值. 【详解】（1）当时，对任意实数，恒有，因此， 所以. （2）当时，，由，得或，解得或， 所以的值1或2. 12．（1）若集中有且仅有一个元素，求实数的所有取值. （2）已知集合，若，求实数的值. 【答案】（1），；（2），，. 【分析】（1）分是否等于0两种情况讨论即可； （2）分是否等于0两种情况讨论即可. 【详解】（1）情形一：若，则中只有这一个元素，故符合题意； 情形二：若，且集合中只有一个元素， 这意味着当且仅当一元二次方程有两个相等的实数根， 从而，解得； 综上所述，实数的所有取值可能为：，； （2）， 情形一：当时，，此时满足，故符合题意； 情形二：当时，， 若要，则当且仅当或， 解得或； 综上所述，实数的值可能是：，，. 13．已知集合． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若AB，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意首先有，得，结合包含关系列出方程组即可求解. （2）结合A是B的真子集列出不等式组即可求解. 【详解】（1）因为为非空数集，得，解得， 若，则，解得，即实数m的取值范围是. （2）若AB，则（等号不同时取得），解得，即实数m的取值范围是. 14．已知集合. (1)若，求的取值范围. (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用空集的定义即可得解； （2）利用集合的包含关系，分类讨论与两种情况即可得解. 【详解】（1）因为，， 所以中没有元素，即， 所以的取值范围为. （2）因为，， 由（1）知，当时，，此时满足； 当时，则； 所以的取值范围为. 15．已知集合，集合，且. (1)求m的值； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2)1或4 【分析】（1）根据题意分析可知2为方程的根，代入运算求解即可； （2）根据题意求集合，结合子集关系分析求解. 【详解】（1）因为，可知2为方程的根， 则，解得. （2）由（1）可得：，且， 若，则或， 所以或4. 题型四：集合并交补运算中的参数问题 16．已知集合为实数. (1)当时，求； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用交集定义计算求解； （2）根据并集的结果得出，再分类讨论求解即可. 【详解】（1）时，，. （2）， （ⅰ）当时，.此时，不符合题意舍去. （ⅱ）当时，或2. 当时，，不符合题意舍去. 当时，符合. 综上：. 17．设集合，， (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据集合的交集、并集的运算可直接求解. （2）根据可得，再根据集合的包含关系，分类讨论可求参数的取值范围. 【详解】（1）当时，，所以，. （2）因为，所以. ①当时，，此时成立； ②当时，. 综上：. 故实数的取值范围为. 18．已知集合. (1)当时，求； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)或；或 (2) 【分析】（1）根据补集和交集的概念与运算即可求解； （2）根据集合间的包含关系建立不等式组，解之即可求解. 【详解】（1）当时，可得, 则或； 又， 所以或； （2）由，需满足，解得； 综上可得，的取值范围为 19．已知集合. (1)求； (2)若集合，是否存在实数，使得？若存在，试求出实数的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)， (2)存在，或3或5. 【分析】（1）求出，再求； （2）分类讨论求出集合，根据得，可得答案. 【详解】（1）， ， ， （2）存在. ， ①当时，，满足，所以； ②当时，，要满足，则， 因为，所以或5； 综上所述，或3或5. 20．已知关于不等式的解集，集合． (1)求实数的值； (2)从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求实数的取值范围． 条件①：； 条件②：． 注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)选择见解析，答案见解析 【分析】（1）根据绝对值不等式的几何意义，得到，再结合条件，即可求解； （2）选择①，根据条件，结合图形，得到，即可求解；选项择②，根据条件，结合图形，得到，即可求解. 【详解】（1）由，得到，即， 又因为关于不等式的解集， 所以，解得，所以实数的值为. （2）选择条件①，因为，， 又，由图知， ，解得. 选择条件②，因为，， 又，即，由图知， ，解得. 21．已知全集，，. (1)求； (2)若且，求a的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据补集、交集的知识来求得正确答案. （2）先求得，然后根据是否为空集进行分类讨论，列不等式来求得的取值范围. 【详解】（1）因为，， 所以或， 因为， 所以或； （2）因为，， 所以或， 当时，成立，此时，解得， 当时，因为， 所以或 解得， 综上，a的取值范围为. 题型五：充分性与必要性中的参数关系 22．设集合，. (1)当时，求，； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)，或； (2) 【分析】（1）先求得集合A、B，然后利用交集、并集及补集运算的概念求解即可； （2）根据题意得是的真子集，按照和分类讨论，列不等式组求解即可，注意求并集. 【详解】（1）由，可得，解得， 所以，或， 当时，集合，即， 所以，或； （2）因为“”是“”的充分不必要条件， 所以是的真子集， 当时，，解得，满足题意， 当时，， 由得，由得，由得， 所以， 综上，实数的取值范围是. 23．已知集合，集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题，命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）求出集合，分、两种情况讨论，根据可求得实数的取值范围； （2）分析可知，，分、两种情况讨论，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式（组），综合可解得实数的取值范围. 【详解】（1）由题意可知， 又，当时，，解得， 当时，，可得， 则有或，解得或， 因为，则. 综上所述，实数的取值范围为或. （2）因为命题是命题的必要不充分条件，则， 当时，，解得， 当时，则，解得. 检验：当时，，合乎题意； 当时，，合乎题意. 综上所述，实数的取值范围是. 24．已知集合. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）代入算出，根据并集概念计算即可； （2）根据交集概念，结合空集条件，由此列不等式来求得取值范围. （3）根据充分不必要条件转化为集合与集合的关系，由此列不等式来求得取值范围. 【详解】（1）当时，由得，， （2），. 又.实数的取值范围. （3）“”是“”的充分不必要条件，即是的真子集， ，. . 实数的取值范围是. 25．已知集合或. (1)当时，求； (2)“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或. (2) 【分析】（1）根据集合间的运算可得； （2）根据题意⫋，根据和分类可得. 【详解】（1）当时，. 因为或， 所以或. （2）因为或，所以. 因为“”是“”的充分不必要条件， 所以⫋. 当时，符合题意，此时有，解得. 当时，要使⫋，只需解得. 综上可得， 即实数的取值范围是 26．设集合，集合. (1)若且，求实数的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据元素是否属于集合来确定不等式的取值范围； （2）充分不必要条件意味着集合是集合的真子集. 【详解】（1）因为，将代入，得到，解得. 又因为，将代入，得到，解得.   综合可得. （2）因为是的充分不必要条件，所以为的真子集。. 对于集合，方程的两个根为和. 当时，. 因为为的真子集，所以.   当时，. 此时不可能是的真子集.   当时，，也不可能是的真子集.   故满足题意时，. 27．设全集，集合，非空集合，. (1)若，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据补集、交集的定义计算可得； （2）依题意可得非空集合是集合的真子集，列不等式组，解得即可. 【详解】（1）， 或 当时，， 或. （2）“”是“”的必要不充分条件等价于非空集合是集合的真子集， 易知，即， 则有，且等号不能同时取到，解得. 故的取值范围为. 28．设为实数，集合． (1)若，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)；或 (2) 【分析】（1）可知，结合集合的交集、并集和补集运算求解即可； （2）分析可知集合B是集合A的真子集，结合包含关系列式求解即可. 【详解】（1）若，则，且， 可得，， 所以或. （2）若“”是“”的必要不充分条件，可知集合B是集合A的真子集， 显然集合B不是空集，则，解得， 所以实数的取值范围为. 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 拓展练：集合与逻辑中的参数问题 题型一：元素与集合的关系中的参数问题 题型二：集合中元素个数的参数问题 题型三：集合中包含关系中的参数问题 题型四：集合并交补运算中的参数问题 题型五：充分性与必要性中的参数关系 题型一：元素与集合的关系中的参数问题 1．若，若实数的值为 . 2．已知集合 ，其中.若存在正数，使得对任意， 都有，则的值是 . 3．已知集合，若，则实数 4．已知集合，若，则中所有元素之和为（    ） A．3 B．1 C． D． 5．设数集A由实数构成，且满足：若（且），则. (1)若，试证明A中还有另外两个元素； (2)集合A是否为只含有两个元素的集合，并说明理由； (3)若A中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A. 题型二：集合中元素个数的参数问题 6．若集合只含有一个元素，则实数的取值范围为 ． 7．已知集合，若集合A中只有一个元素，则实数的取值的集合是 ． 8．若集合有且仅有一个元素，则实数的值是 ． 9．已知集合，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值是（　　） A． B． C． D． 10．已知集合，若集合为空集，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 题型三：集合中包含关系中的参数问题 11．已知，. (1)若，求； (2)若且，求的值. 12．（1）若集中有且仅有一个元素，求实数的所有取值. （2）已知集合，若，求实数的值. 13．已知集合． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若AB，求实数m的取值范围． 14．已知集合. (1)若，求的取值范围. (2)若，求的取值范围. 15．已知集合，集合，且. (1)求m的值； (2)若，求的值. 题型四：集合并交补运算中的参数问题 16．已知集合为实数. (1)当时，求； (2)若，求的值. 17．设集合，， (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 18．已知集合. (1)当时，求； (2)若，求的取值范围. 19．已知集合. (1)求； (2)若集合，是否存在实数，使得？若存在，试求出实数的值；若不存在，请说明理由. 20．已知关于不等式的解集，集合． (1)求实数的值； (2)从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求实数的取值范围． 条件①：； 条件②：． 注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分. 21．已知全集，，. (1)求； (2)若且，求a的取值范围. 题型五：充分性与必要性中的参数关系 22．设集合，. (1)当时，求，； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 23．已知集合，集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题，命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围. 24．已知集合. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 25．已知集合或. (1)当时，求； (2)“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 26．设集合，集合. (1)若且，求实数的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 27．设全集，集合，非空集合，. (1)若，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围. 28．设为实数，集合． (1)若，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$