专题04 常用逻辑用语六大题型（高效培优专项训练）数学沪教版2020高一必修第一册

专题04 常用逻辑用语 题型一：充分条件、必要条件及充要条件的判断 题型二：充分条件与必要条件的应用 题型三：根据充分不必要条件求参数 题型四：根据必要不充分条件求参数 题型五：充要条件的证明 题型六：根据充要条件求参数 题型一：充分条件、必要条件及充要条件的判断 1．已知，则“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 2．已知，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 3．“”是“”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 4．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．设陈述句，则是的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 题型二：充分条件与必要条件的应用 6．若不等式的一个充分条件为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．设：，：，若是的充分条件，则实数的取值范围是 . 8．已知：，：，若是的必要条件，则实数的取值范围是 . 9．已知；，非空集合. (1)求实数的取值范围： (2)若是的充分条件，求实数的取值范围； (3)若是的必要条件，求实数的取值范围 10．已知非空集合，，全集. (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要条件，求实数a的取值范围. 题型三：根据充分不必要条件求参数 11．命题，若是的充分不必要条件，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 12．已知：是：的充分不必要条件，则实数的取值范围为 ． 13．设全集，集合，集合 (1)当时，求和； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 14．已知全集，集合，集合 (1)若，求，； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围. 15．已知集合，集合. (1)若，求； (2)若集合A成立的充分不必要条件是集合B，求实数m的取值范围. 16．已知集合． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 题型四：根据必要不充分条件求参数 17．已知． （1）若p是q的必要且不充分条件，则实数m的取值范围是 ； （2）若p是q的充要条件，则实数m的取值范围是 ． 18．设集合，，命题，命题. (1)当时，求集合A与集合B的并集； (2)若是的必要不充分条件，求正实数的取值范围. 19．已知集合，，全集. (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 20．已知集合，集合，. (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 21．已知全集，集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)命题，命题，若是的必要条件，求实数的取值范围. 题型五：充要条件的证明 22．证明：“四边形ABCD是平行四边形”是“四边形ABCD的对角线互相平分”的充要条件. 23．求证：是是等边三角形的充要条件.（这里，，是的三边边长）. 24．已知的三边长为，其中.求证：为等边三角形的充要条件是． 题型六：根据充要条件求参数 25．设，则“”的充要条件为（   ） A．至少有一个为1 B．都为1 C．都不为1 D． 26．一元二次方程有两个异号实根的充要条件是 . 27．已知“”是“关于的方程至少有一个负根”的充要条件，求的值. 28．设集合是一个点集，对定义一个新运算，若集合中元素与满足，，则． (1)求； (2)已知，若“”是“对于任意，都成立”的充要条件，求． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 常用逻辑用语 题型一：充分条件、必要条件及充要条件的判断 题型二：充分条件与必要条件的应用 题型三：根据充分不必要条件求参数 题型四：根据必要不充分条件求参数 题型五：充要条件的证明 题型六：根据充要条件求参数 题型一：充分条件、必要条件及充要条件的判断 1．已知，则“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】A 【分析】易知，根据定义即可判断得出结论. 【详解】易知若，由可得，可知充分性成立， 又推不出，因此必要性不成立， 所以“”是“”的充分非必要条件. 故选：A 2．已知，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】A 【分析】根据充分性、必要性的定义，结合特例法即可判断. 【详解】由“”能推出“”， 但由“”推不出“”，如； 故“”是“”的充分非必要条件. 故选：A. 3．“”是“”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 【答案】B 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【详解】因为不能推出，而能推出， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 4．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先解不等式，再结合充分、必要条件的概念即可判断. 【详解】由可得或， 所以是的必要不充分条件， 故选：B. 5．设陈述句，则是的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【答案】B 【分析】由是的真子集，即可解题. 【详解】由题可知，， 又是的真子集，所以是的必要非充分条件. 故选：B 题型二：充分条件与必要条件的应用 6．若不等式的一个充分条件为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合充分条件的定义列出不等式组，求解即可． 【详解】若不等式的一个充分条件为， 则，所以，解得. 则实数的取值范围是. 故选：D. 7．设：，：，若是的充分条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据与之间的充分性关系去求参数范围即可. 【详解】因为：，：， 若是的充分条件，即 故答案为： 8．已知：，：，若是的必要条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意得到是的子集，从而得到不等式，求出答案. 【详解】因为是的必要条件，所以是的子集， 故，解得， 故答案为： 9．已知；，非空集合. (1)求实数的取值范围： (2)若是的充分条件，求实数的取值范围； (3)若是的必要条件，求实数的取值范围 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由集合结合一元二次方程根的判别式即可求解. （2）由题意得，从而得，求解该不等式组即可得解. （3）先由题意得，从而得，求解该不等式组即可得解. 【详解】（1）因为集合，所以. （2）因为是的充分条件，所以， 所以，所以. （3）因为是的必要条件，所以， 所以，所以. 10．已知非空集合，，全集. (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要条件，求实数a的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）求出集合，再求出，从而可求； （2）根据题设条件可得，从而可得关于参数的不等式组，从而可求参数的取值范围. 【详解】（1）当时，，而，故 故. （2）因为非空，故即. 因为“”是“”的必要条件，故， 故，故. 题型三：根据充分不必要条件求参数 11．命题，若是的充分不必要条件，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行求解. 【详解】由条件可知集合是集合的真子集，所以． 故选：D． 12．已知：是：的充分不必要条件，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据题意结合充分、必要条件分析求解. 【详解】由题意可知：是的真子集， 可得，所以实数的取值范围为. 故答案为：. 13．设全集，集合，集合 (1)当时，求和； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 【答案】(1)，或 (2) 【分析】（1）根据集合的基本运算可得结果. （2）把条件转化为⫋，利用集合间的基本关系可求参数的取值范围. 【详解】（1）当时，，或， ∴，或. （2）∵“”是“”的充分不必要条件， ∴⫋， ∴（等号不同时成立），解得， ∴实数a的取值范围为. 14．已知全集，集合，集合 (1)若，求，； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由条件可得，根据交集的定义，根据补集的定义求， （2）根据充分条件的定义条件可转化为，列不等式求结论. 【详解】（1）若，则， 因为 所以 或； （2）若是的充分条件，则， 则，解得， 所以， 即实数的取值范围为 15．已知集合，集合. (1)若，求； (2)若集合A成立的充分不必要条件是集合B，求实数m的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）利用并集与补集定义计算即可得； （2）由题意可得集合B是集合A的真子集，再分与计算即可得. 【详解】（1）由题意可知， 若，则， 故，则或； （2）由题意可得集合B是集合A的真子集， 当时，，解得， 当时，则有，解得， 且（等号不能同时成立），解得， 综上所述，实数m的取值范围为. 16．已知集合． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据集合的补集和交集运算即可求； （2）由题意可得是的真子集，分和两种情况讨论即可求. 【详解】（1）当时，集合， 所以或， 又， 所以. （2）因为“”是“”的充分不必要条件， 所以是的真子集， 当时，即时，，满足是的真子集， 当时，即时， ，且不能同时取等号，解得， 综上，实数a的取值范围为或. 题型四：根据必要不充分条件求参数 17．已知． （1）若p是q的必要且不充分条件，则实数m的取值范围是 ； （2）若p是q的充要条件，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【详解】设集合，集合．（1）若p是q的必要且不充分条件，则．①当时，，此时；②当时，且和不能同时成立，解得．故．（2）因为p是q的充要条件，所以，所以解得． 18．设集合，，命题，命题. (1)当时，求集合A与集合B的并集； (2)若是的必要不充分条件，求正实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）化简集合，再由集合并集运算即可； （2）由题意得到，构造不等式求解即可； 【详解】（1）由题设，，当时，所以； （2）由题设，，且，若P是q的必要不充分条件，则 又a为正实数，即，解得， 故a的取值范围为. 19．已知集合，，全集. (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，写出集合，利用补集和交集的定义可得出集合； （2）由题意可知，集合为集合的真子集，分、两种情况讨论，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，集合，全集，则或， 又因为集合，故. （2）若“”是“”的必要不充分条件，则集合为集合的真子集， 当时，，解得； 当时，由题意可得，解得， 检验：当时，，此时集合为集合的真子集，合乎题意； 当时，，此时集合为集合的真子集，合乎题意. 综上所述，实数的取值范围是. 20．已知集合，集合，. (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，可得集合，进而可得； （2）由必要不充分条件可知，进而可得不等式，解不等式即可. 【详解】（1）当时，， 又 则； （2）由“”是“”的必要不充分条件， 可知， 所以或， 解得或， 综上所述， 即. 21．已知全集，集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)命题，命题，若是的必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）求出集合、，根据可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围； （2）分析可知，，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】（1）对于集合，由， 等式两边平方得， 所以，， 可得，解得，则， 因为，则， 所以，， 因为，则或，解得或， 因此，实数的取值范围是或. （2）已知命题，命题，若是的必要条件，则， 所以，，解得或， 因此，实数的取值范围是或. 题型五：充要条件的证明 22．证明：“四边形ABCD是平行四边形”是“四边形ABCD的对角线互相平分”的充要条件. 【答案】证明见解析 【分析】利用充分必要条件的判断方法，结合初中几何知识即可得证. 【详解】①先证明充分性： 已知：四边形ABCD是平行四边形， 求证：四边形ABCD的对角线互相平分； 证明：设AC与BD交于点，如图示： 四边形ABCD是平行四边形， ，且，， ，， 四边形ABCD的对角线互相平分，即充分性得证； ②再证必要性： 已知：四边形ABCD的对角线互相平分， 求证：四边形ABCD是平行四边形； 证明：由已知可得，且，， ，，且，， 四边形ABCD是平行四边形，即必要性得证； 综上所述，"四边形ABCD是平行四边形"是"四边形ABCD的对角线互相平分"的充要条件. 23．求证：是是等边三角形的充要条件.（这里，，是的三边边长）. 【答案】证明见解析 【分析】根据充分性与必要性定义证明即可. 【详解】先证明充分性： 由， 得， 整理得，， 所以，即是等边三角形. 然后证明必要性： 由是等边三角形，则， 所以. 综上所述，是是等边三角形的充要条件. 24．已知的三边长为，其中.求证：为等边三角形的充要条件是． 【答案】证明见解析 【分析】根据题意，结合充分性和必要性的证明方法，结合多项式的化简、运算，即可求解. 【详解】证明：充分性： 当时，多项式可化为， 即，所以， 则，所以， 即，为等边三角形，即充分性成立； 必要性：由为等边三角形，且，所以， 则，，所以，即必要性成立． 故为等边三角形的充要条件是． 题型六：根据充要条件求参数 25．设，则“”的充要条件为（   ） A．至少有一个为1 B．都为1 C．都不为1 D． 【答案】A 【分析】将化为求解，结合充分、必要性定义即可得答案. 【详解】由，则，可得或，即至少有一个为1， 所以“”的充要条件为至少有一个为1，故只有A符合，其它选项均不符. 故选：A 26．一元二次方程有两个异号实根的充要条件是 . 【答案】 【分析】首先写成充要条件，再证明即可. 【详解】是该方程有两个异号实根的充要条件， 证明必要性：由于方程（，，是常数且）有一正实根和一负实根， 设两根为，所以，且，所以. 充分性：由可推出， 从而元二次方程有两个不相等的实数根，设为、， 则，由知：，即两根异号， 所以方程（，，是常数且）有一正一负两实根. 因此是方程有两个异号实根的充要条件. 故答案为： 27．已知“”是“关于的方程至少有一个负根”的充要条件，求的值. 【答案】 【分析】分情况讨论方程解的情况，结合韦达定理可得参数范围. 【详解】“关于的方程至少有一个负根”的情况有： 当时，方程，解得，符合题意． 当时，方程有实根的充要条件是判别式，解得且， 设方程的两根为分别为，，则，， ①当时，方程的两根均为零即，不合题意； ②当时，，即方程有两个异号根； ③当时，，，即方程有两个负根； 综上所述，“”是“方程至少有一个负根”的充要条件，所以. 28．设集合是一个点集，对定义一个新运算，若集合中元素与满足，，则． (1)求； (2)已知，若“”是“对于任意，都成立”的充要条件，求． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据题意由集合新定义计算即可； （2）设，先根据集合新定义和必要性列方程组及讨论和求出；再由充分性和集合新定义讨论和时即可求出； 【详解】（1） （2）必要性： 若，设， 则，即为， 即则， 若，则； 若，则，． 充分性： 若，则满足的只能是，不符合任意性； 若，此时，即为恒成立． 综上，． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$