专题1.4 常用逻辑用语（高效培优讲义）数学沪教版2020高一必修第一册

专题1.4 常用逻辑用语 教学目标 1.理解必要条件、充分条件、充要条件的意义. 教学重难点 教学重点： 1.命题的概念及四种命题的关系，能准确判断命题的真假。 2.充分条件、必要条件与充要条件的概念和判断方法，会用集合的观点理解条件关系。 教学难点： 1.对充分条件、必要条件和充要条件的深刻理解和灵活运用，能准确判断一些复杂命题中条件的关系。 知识点01 有关命题的概念 一般地，我们把可以判断真假的语句叫做命题。 命题通常用陈述句表示，判断为真的命题叫做真命题，判断为假的命题叫做假命题。 定义：如果命题“若，则”是真命题，那么就称推出，记作（或）. 因为子集关系满足传递性，所以推出关系也满足传递性：若且，则. 它是逻辑推理的基础. 【即学即练】判断下列语句是否为命题： (1)有的正方形是三角形； (2)任意一个三角形的内角和都为； (3)1是自然数吗？ (4)； (5)，且. 知识点02充分条件，必要条件、充要条件 【定义】1.对于两个陈述句与，如果，就称是的充分条件，亦称是的必要条件. 【定义】2.对于两个陈述句与，如果，又有，就称是的充分必要条件，简称充要条件，记作，读作与等价或者成立当且仅当成立 （1）若，则是的充分条件，是的必要条件； （2）若且，则是的充分不必要条件； （3）若且，则是的必要不充分条件； （4） 若，则是的充要条件； （5）若且，则是的既不充分也不必要条件. （6）判断命题与命题所表示的范围，再根据“小范围推的出大范围，大范围推不出小范围”的原则，判断命题与命题的关系． 【即学即练】已知，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 知识点03 反证法 要判断一个命题“若，则”是假命题，只要存在一个满足条件但不满足结论的对象就行；但是要判断命题“若，则”是真命题，就需要证明所有满足的对象都满足结论，但有时直接验证这一点并不是一件容易的事. 我们可以首先假设结论不成立（为假），然后经过正确的逻辑推理得出的与已知条件或（已学）定理等相矛盾的结论，从而说明“为假”是不可能发生的，即结论是正确的，这样的证明方法叫反证法. 【解题思路点拨】 用反证法证题时，首先要搞清反证法证题的方法，其次注意反证法是在条件较少，不易入手时常用的方法，尤其有否定词或含“至多”“至少”等词的问题中常用．使用反证法进行证明的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等． 1．证明思路：肯定条件，否定结论→推出矛盾→推翻假设，肯定结论 2．反证法的一般步骤： （1）分清命题的条件和结论； （2）作出与命题结论相矛盾的假设； （3）由假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果； （4）断定产生矛盾的原因，在于开始所作的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真． 【即学即练】用反证法证明命题“设，已知是偶数，则n是偶数”时，应假设 . 知识点04 从集合角度看充分、必要条件 充分、必要条件与对应集合之间的关系 设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}． （1）若p是q的充分条件，则A⊆B； （2）若p是q的充分不必要条件，则； （3）若p是q的必要不充分条件，则； （4）若p是q的充要条件，则A＝B. （5）若A不是B的子集且B不是A的子集，则是的既不充分也不必要条件. 要点归纳：充要条件的判断通常有四种结论：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件.判断方法通常按以下步骤进行： ①确定哪是条件，哪是结论； ②尝试用条件推结论，③再尝试用结论推条件， ④最后判断条件是结论的什么条件. 题型01 充分条件、必要条件及充要条件的判断 【典例1】设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1】“是“”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】“”的一个必要不充分条件为（    ）． A． B． C． D． 【变式3】写出“”的一个充分不必要条件 ． 【变式4】“”是“，”的 条件． 口诀：小范围推的出大范围，大范围推不出小范围 题型02 充分条件与必要条件的应用 【典例1】设，若p是q的必要条件，则实数m的取值范围是 ． 【变式1】若“”是“或”的充分条件，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】若“”是“”的充分条件，则实数a的取值范围为 ． 【变式3】已知集合，集合，若“”是 “”的充分条件，则实数的取值范围是 【变式4】若“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是 . 题型03 根据充分不必要条件求参数 【典例1】使得不等式成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围是 ． 【变式1】已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 【变式2】已知，，若p的一个充分非必要条件是q，则实数a的取值范围为 . 【变式3】不等式成立的充分非必要条件是，则m的取值范围是 ． 【变式4】已知，设；．若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 ． 题型04 根据必要不充分条件求参数 【典例1】已知，，若是的必要非充分条件，则实数的取值范围是 ； 【变式1】设：，：，若是的必要非充分条件，则实数m的取值范围是 . 【变式2】命题，，若是的必要非充分条件，则实数的取值范围是 ． 【变式3】已知或，或，若是的必要非充分条件，则实数m的取值范围是 . 【变式4】已知，，若是的充分非必要条件，求实数的取值范围． 题型05 充要条件的证明 【典例1】已知的内角，，的对边分别为，，，求证：关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是． 【变式1】已知是实数，集合，．求证：“”是“”的充要条件． 【变式2】设函数，且，证明：对于，的充要条件是. 【变式3】已知是实数，集合，． (1)若，请写出集合的所有子集； (2)求证：“”是“”的充要条件． 题型06 根据充要条件求参数 【典例1】设集合，； (1)用列举法表示集合； (2)若是的充要条件，求实数的值. 【变式1】若“”是“”的充要条件，则ab的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【变式2】方程与有一个公共实数根的充要条件是（    ）． A． B． C． D． 【变式3】“一元二次方程有两个不相等的正实根”的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 【变式4】若命题：为命题：，的充要条件，则的值是 ． 题型07 反正法 【典例1】已知 ． (1)当时，求的取值范围； (2)求证：中至少有一个不小于1． 【变式1】用反证法证明某命题时，对结论：“自然数都不是偶数”的正确假设应为（   ） A．自然数不都是偶数 B．自然数都不是奇数 C．自然数都是奇数 D．自然数至少有一个是偶数 【变式2】用反证法证明：“如果，可被5整除，则a，b至少有一个能被5整除”时应假设： 【变式3】设，若，则或是真命题．这个命题可以用反证法去证明，可以假设： ． 【变式4】已知m，n都是自然数，利用反证法证明：“若m·n为奇数，则m、n都是奇数”，则第一步应假设 . 1．命题“若，则”是真命题，则实数a的取值范围为 2．“”是“”的 条件． 3．“”为“”的必要而不充分条件，则实数a的取值范围为 ． 4．已知，若是的充分条件，则实数的取值范围是 . 5．若“”是“”的必要非充分条件，则实数的取值范围是 ． 6．若命题甲“”和命题乙“或”中有且仅有一个是真命题，则实数x的取值范围是 . 7．“”是“”的必要非充分条件，则实数的取值范围是 . 8．若“”是“|x|<1”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是 9．若：，：，则是的（   ）. A．充分非必要条件 B．必要非充要条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 10．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 11．命题甲：集合，且．命题乙：集合，且．问题： 若命题甲和乙中有且只有一个真命题，求实数的取值范围． 12．下列“若，则”形式的命题中，判断条件是结论的什么条件？ (1)若，则； (2)若，则； (3)若一个四边形为平行四边形，则这个四边形为菱形． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.4 常用逻辑用语 教学目标 1.理解必要条件、充分条件、充要条件的意义. 教学重难点 教学重点： 1.命题的概念及四种命题的关系，能准确判断命题的真假。 2.充分条件、必要条件与充要条件的概念和判断方法，会用集合的观点理解条件关系。 教学难点： 1.对充分条件、必要条件和充要条件的深刻理解和灵活运用，能准确判断一些复杂命题中条件的关系。 知识点01 有关命题的概念 一般地，我们把可以判断真假的语句叫做命题。 命题通常用陈述句表示，判断为真的命题叫做真命题，判断为假的命题叫做假命题。 定义：如果命题“若，则”是真命题，那么就称推出，记作（或）. 因为子集关系满足传递性，所以推出关系也满足传递性：若且，则. 它是逻辑推理的基础. 【即学即练】判断下列语句是否为命题： (1)有的正方形是三角形； (2)任意一个三角形的内角和都为； (3)1是自然数吗？ (4)； (5)，且. 【答案】(1)是 (2)是 (3)不是 (4)是 (5)是 【分析】利用命题的定义即可得解. 【详解】（1）因为可判断真假的陈述句为命题， 而“有的正方形是三角形”可判断真假，也为陈述句，故为命题. （2）“任意一个三角形的内角和都为”可判断真假，也为陈述句，故为命题. （3）“1是自然数吗？”是疑问句，故不为命题. （4）“”可判断真假，也为陈述句，故为命题. （5）“，且”可判断真假，也为陈述句，故为命题. 知识点02充分条件，必要条件、充要条件 【定义】1.对于两个陈述句与，如果，就称是的充分条件，亦称是的必要条件. 【定义】2.对于两个陈述句与，如果，又有，就称是的充分必要条件，简称充要条件，记作，读作与等价或者成立当且仅当成立 （1）若，则是的充分条件，是的必要条件； （2）若且，则是的充分不必要条件； （3）若且，则是的必要不充分条件； （4） 若，则是的充要条件； （5）若且，则是的既不充分也不必要条件. （6）判断命题与命题所表示的范围，再根据“小范围推的出大范围，大范围推不出小范围”的原则，判断命题与命题的关系． 【即学即练】已知，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】结合区间的包含关系，根据充要条件的判断方法即得. 【详解】因是的真子集，故是的充分不必要条件. 故选：A. 知识点03 反证法 要判断一个命题“若，则”是假命题，只要存在一个满足条件但不满足结论的对象就行；但是要判断命题“若，则”是真命题，就需要证明所有满足的对象都满足结论，但有时直接验证这一点并不是一件容易的事. 我们可以首先假设结论不成立（为假），然后经过正确的逻辑推理得出的与已知条件或（已学）定理等相矛盾的结论，从而说明“为假”是不可能发生的，即结论是正确的，这样的证明方法叫反证法. 【解题思路点拨】 用反证法证题时，首先要搞清反证法证题的方法，其次注意反证法是在条件较少，不易入手时常用的方法，尤其有否定词或含“至多”“至少”等词的问题中常用．使用反证法进行证明的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等． 1．证明思路：肯定条件，否定结论→推出矛盾→推翻假设，肯定结论 2．反证法的一般步骤： （1）分清命题的条件和结论； （2）作出与命题结论相矛盾的假设； （3）由假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果； （4）断定产生矛盾的原因，在于开始所作的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真． 【即学即练】用反证法证明命题“设，已知是偶数，则n是偶数”时，应假设 . 【答案】已知是偶数，则n是奇数 【分析】根据反证法证明命题的原理即可得解. 【详解】命题“设，已知是偶数，则n是偶数”， 可得题设为，“（a，）为偶数， 反设的内容是：假设已知是偶数，则n是奇数. 故答案为：已知是偶数，则n是奇数. 知识点04 从集合角度看充分、必要条件 充分、必要条件与对应集合之间的关系 设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}． （1）若p是q的充分条件，则A⊆B； （2）若p是q的充分不必要条件，则； （3）若p是q的必要不充分条件，则； （4）若p是q的充要条件，则A＝B. （5）若A不是B的子集且B不是A的子集，则是的既不充分也不必要条件. 要点归纳：充要条件的判断通常有四种结论：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件.判断方法通常按以下步骤进行： ①确定哪是条件，哪是结论； ②尝试用条件推结论，③再尝试用结论推条件， ④最后判断条件是结论的什么条件. 题型01 充分条件、必要条件及充要条件的判断 【典例1】设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据不等式的性质化简，即可根据集合间的关系判断. 【详解】由可得，由可得， 由于， 因此“”是“”的必要不充分条件， 故选：B 【变式1】“是“”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】解：由，得，即解得或， 所以是“”的充分且不必要条件， 故选：A 【变式2】“”的一个必要不充分条件为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用集合关系判定充分必要条件即可. 【详解】显然A项是充要条件，不符合题意； 由“”可推出“”，即B项是充分条件，不符合题意； “”不能推出“”，反之“”也推不出“”，即C项为既不充分也不必要条件，不符合题意； 易知真包含于，所以“”的一个必要不充分条件为“”， 故选：D 【变式3】写出“”的一个充分不必要条件 ． 【答案】(答案不唯一) 【分析】由集合间包含关系可得. 【详解】设是“”的一个充分不必要条件， 设集合， 由，则“”是“”的一个充分不必要条件. 故答案为：.(答案不唯一) 【变式4】“”是“，”的 条件． 【答案】必要不充分 【分析】利用不等式的性质证明必要性，举反例否定充分性即可. 【详解】当时，满足，但不满足，，故充分性不成立， 当，时，成立，故必要性成立. 故答案为：必要不充分 口诀：小范围推的出大范围，大范围推不出小范围 题型02 充分条件与必要条件的应用 【典例1】设，若p是q的必要条件，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由已知条件可得出集合的包含关系，可得出关于实数m的不等式组，由此可解得实数m的取值范围. 【详解】因为p是q的必要条件， 所以， 所以， 则实数m的取值范围是， 故答案为： 【变式1】若“”是“或”的充分条件，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先解出的取值，再根据充分条件确定m的取值. 【详解】，则， 因为“”是“或”的充分条件， 所以，解得， 故选：C. 【变式2】若“”是“”的充分条件，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据充分条件的定义结合题意即可求解. 【详解】“”是“”的充分条件，则. 所以实数a的取值范围为. 故答案为：. 【变式3】已知集合，集合，若“”是 “”的充分条件，则实数的取值范围是 【答案】 【分析】由题意得，建立不等式即可求解的取值范围； 【详解】因为“”是 “”的充分条件， 所以， 所以， 故答案为：. 【变式4】若“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据必要条件的定义直接求解即可. 【详解】由题意，“若，则”为真命题， 故实数的取值范围是. 故答案为： 题型03 根据充分不必要条件求参数 【典例1】使得不等式成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据充分不必要条件的定义解不等式即可. 【详解】由题意可知集合是的真子集， 即且等号不同时成立， 解之得，经检验符合题意. 故答案为： 【变式1】已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得出集合的包含关系，即可得出实数的取值范围. 【详解】已知，，若是的充分不必要条件， 则，所以，. 故选：B. 【变式2】已知，，若p的一个充分非必要条件是q，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】得到为的真子集，从而得到不等式，求出实数a的取值范围. 【详解】由题意得为的真子集， 要满足（等号不同时成立），解得， 综上，实数a的取值范围是. 故答案为： 【变式3】不等式成立的充分非必要条件是，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据成立的充分非必要条件是，列不等式组求解即可. 【详解】由题知是的真子集， 所以且等号不同时成立， 解得， 所以m的取值范围是. 故答案为：. 【变式4】已知，设；．若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用给定条件得到，，再转化为子集问题求解即可. 【详解】若是的充分不必要条件，则，， 故有，解得，又，故. 故答案为： 题型04 根据必要不充分条件求参数 【典例1】已知，，若是的必要非充分条件，则实数的取值范围是 ； 【答案】 【分析】根据充分、必要条件分析可知：是的真子集，结合包含关系分析求解. 【详解】由题意可知：是的真子集， 则且等号不同时成立，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式1】设：，：，若是的必要非充分条件，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据必要非充分条件，列式运算即可求解. 【详解】因为是的必要非充分条件，即是的真子集， 则，即实数的取值范围为. 故答案为：. 【变式2】命题，，若是的必要非充分条件，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将必要不充分条件转化为，即可求解. 【详解】由于是的必要非充分条件，故， 因此或，解得， 故答案为： 【变式3】已知或，或，若是的必要非充分条件，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据必要非充分条件，转化为子集关系，即可求解. 【详解】因为是的必要非充分条件， 设集合或，或，, 当，得时，此时成立，，成立， 当时，即时，再满足，得：，此时的取值为， 所以 故答案为： 【变式4】已知，，若是的充分非必要条件，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】利用给定条件将问题转化为子集问题求解即可. 【详解】因为是的充分非必要条件， 所以， 所以，即. 题型05 充要条件的证明 【典例1】已知的内角，，的对边分别为，，，求证：关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是． 【答案】证明见解析 【分析】先证必要性，根据两方程有公共根，探索的关系，判断三角形的形状；再证充分性，根据得到的关系，解两个方程，可得它们有公共解.最后总结作答即可. 【详解】必要性：设方程与的公共根为， 则，，两式相加，得或（因为，所以不成立，故舍去）， 将代入，得， 整理得，所以，因此，必要性成立． 充分性：当时，． 可化为，即， 所以方程的两根为，． 同理，由可得， 所以方程的两根为，． 显然，故两方程有一个公共根，因此充分性成立． 故关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是． 【变式1】已知是实数，集合，．求证：“”是“”的充要条件． 【答案】证明见解析 【分析】利用充分性和必要性的定义求解即可. 【详解】充分性：当时，， 则； 必要性：若，则， 所以，即； 综上，“”是“”的充要条件． 【变式2】设函数，且，证明：对于，的充要条件是. 【答案】证明见解析 【分析】先求出函数的最小值，再分别证明充分性和必要性即可. 【详解】证明：因为，所以函数图象的对称轴为直线， 所以. 先证充分性：因为，且，所以； 再证必要性：因为对于，，所以，即，从而. 综上可知，对于，的充要条件是. 【变式3】已知是实数，集合，． (1)若，请写出集合的所有子集； (2)求证：“”是“”的充要条件． 【答案】(1)，，，，，，， (2)证明见解析 【分析】（1）结合子集的概念列出即可； （2）分别判断充分性和必要性，结合集合的互异性判断取值即可. 【详解】（1）若，则，所以的所有子集为： ，，，，，，，. （2）证明：若，则，所以，故充分性成立； 若，则，因为，所以， 解得或，当时，，不满足互异性，故舍去， 当时，，满足互异性，故必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 题型06 根据充要条件求参数 【典例1】设集合，； (1)用列举法表示集合； (2)若是的充要条件，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接解方程即可； （2）根据条件得，可得是方程的根，进而可得实数的值. 【详解】（1）集合， 即； （2）由已知，， 若是的充要条件，则， ， . 【变式1】若“”是“”的充要条件，则ab的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】由题意得，解得，所以． 【变式2】方程与有一个公共实数根的充要条件是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用判别式求得的取值范围，然后结合充要条件的知识求得的值. 【详解】方程有实根，故， 解得或. 方程有实根，故， 解得. 综上所述，，只有D选项符合. 若方程与有一个公共实数根，设公共实根为， 则，两式相减得， 由于，所以， 所以. 当时，两个方程分别为、， 方程的两个根为； 方程的两个根为； 即方程与有一个公共实数根. 综上所述，方程与有一个公共实数根的充要条件是. 故选：D 【变式3】“一元二次方程有两个不相等的正实根”的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】先求出一元二次方程有两个不相等的正实根时的取值范围，再根据充要条件的定义即可求解. 【详解】解：一元二次方程有两个不相等的正实根， 设两根分别为：， 故， 解得：， 故“一元二次方程有两个不相等的正实根”的充要条件是. 故选：B. 【变式4】若命题：为命题：，的充要条件，则的值是 ． 【答案】 【分析】根据充要条件定义可直接构造方程求得结果. 【详解】命题是命题的充要条件，，解得：. 故答案为：. 题型07 反正法 【典例1】已知 ． (1)当时，求的取值范围； (2)求证：中至少有一个不小于1． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由指数函数的单调性即可求解不等式； （2）先假设都小于，然后求得解集为，从而可得假设不成立，即可证明. 【详解】（1）由可得，即. （2）证明：假设都小于，即， 所以，即，解集为， 这与假设所得结论矛盾，故假设不成立， 中至少有一个大于或等于． 【变式1】用反证法证明某命题时，对结论：“自然数都不是偶数”的正确假设应为（   ） A．自然数不都是偶数 B．自然数都不是奇数 C．自然数都是奇数 D．自然数至少有一个是偶数 【答案】D 【分析】假设结论的反面成立即可． 【详解】自然数都不是偶数的反面为自然数至少有一个是偶数. 故选：D 【变式2】用反证法证明：“如果，可被5整除，则a，b至少有一个能被5整除”时应假设： 【答案】a，b都不能被5整除 【分析】根据反证法的步骤填写即可. 【详解】“如果，可被5整除，则a，b至少有一个能被5整除”反证法应假设a，b都不能被5整除. 故答案为：a，b都不能被5整除. 【变式3】设，若，则或是真命题．这个命题可以用反证法去证明，可以假设： ． 【答案】且 【分析】根据给定信息，写出命题结论的否定即可得解. 【详解】依题意，或的否定是：且， 所以所求假设为：且. 故答案为：且 【变式4】已知m，n都是自然数，利用反证法证明：“若m·n为奇数，则m、n都是奇数”，则第一步应假设 . 【答案】m、n不都是奇数 【分析】根据题意结合反证法即可得结果. 【详解】“若m·n为奇数，则m、n不都是奇数”， 利用反证法，第一步假设：m、n不都是奇数. 故答案为：m、n不都是奇数. 1．命题“若，则”是真命题，则实数a的取值范围为 【答案】 【分析】根据命题的真假得出结论． 【详解】命题“若，则”是真命题，则， 故答案为：． 2．“”是“”的 条件． 【答案】充分不必要 【分析】结合不等式的范围检验充分及必要性即可判断． 【详解】当时，一定成立，即充分性成立； 当时，不一定成立，即必要性不成立． 故答案为：充分不必要． 3．“”为“”的必要而不充分条件，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据必要不充分条件的定义求解即可. 【详解】由题意得是的真子集，故. 故答案为：. 4．已知，若是的充分条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】分析可知集合是集合子集，再根据包含关系列式求解即可. 【详解】若是的充分条件，则集合是集合子集， 可得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 5．若“”是“”的必要非充分条件，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由，可得， “”是“”的必要非充分条件， 即，故， 故实数的取值范围是， 故答案为： 6．若命题甲“”和命题乙“或”中有且仅有一个是真命题，则实数x的取值范围是 . 【答案】 【分析】分甲命题为真乙命题为假和甲命题为假乙命题为真分类求解，最后再求并集即可. 【详解】若甲命题为真乙命题为假，则，可得，即； 若甲命题为假乙命题为真，则，可得或，即； 综上所述，实数x的取值范围是. 故答案为： 7．“”是“”的必要非充分条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意可得是的真子集，求解即可. 【详解】因为“”是“”的必要非充分条件， 所以是的真子集， 所以． 故答案为： 8．若“”是“|x|<1”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是 【答案】 【分析】根据题意得到，再利用数轴得到不等式，解出不等式即可. 【详解】 是的必要不充分条件, , , 实数的取值范围是, 故答案为： . 9．若：，：，则是的（   ）. A．充分非必要条件 B．必要非充要条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【分析】根据题意，有条件可得，再由充分条件以及必要条件的定义，即可得到结果. 【详解】由可得， 且：，所以是的必要非充要条件. 故选：B 10．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若，则，反之不成立，如：，满足， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 11．命题甲：集合，且．命题乙：集合，且．问题： 若命题甲和乙中有且只有一个真命题，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】对于命题甲，根据条件利用集合的运算可求出命题甲是真命题时的范围；对于命题乙，将问题转化成或集合A中元素为非正数，从而通过方程根的情况，求得命题乙是真命题时的范围，然后根据命题甲与命题乙的真假分两种情况讨论即可求得答案． 【详解】对于命题甲： 因为， 又，所以，解得 所以当命题甲是真命题，实数的取值范围为． 对于命题乙： 因为，且，则或集合A中元素为非正数． 又，所以A中元素是方程的根． 当时，，解得； 当集合A中元素为非正数时，设是方程的根， 因为，则且，解得． 所以当命题乙是真命题，实数的取值范围为． 当命题甲是真命题，命题乙是假命题时，得，从而得， 当命题甲是假命题，命题乙是真命题时，得或，从而得， 所以命题甲和乙中有且只有一个真命题时，实数的取值范围为． 12．下列“若，则”形式的命题中，判断条件是结论的什么条件？ (1)若，则； (2)若，则； (3)若一个四边形为平行四边形，则这个四边形为菱形． 【答案】(1)充分非必要条件； (2)充分非必要条件； (3)必要非充分条件. 【分析】（1）（2）（3）利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】（1），而不能保证，如， 因此是的充分非必要条件. （2），而当时，或，即不能推出， 所以是的充分非必要条件. （3）一个四边形为平行四边形，则这个平行四边形的邻边可以不等，它不是菱形； 若一个四边形是菱形，则它一定是平行四边形， 所以一个四边形为平行四边形是这个四边形为菱形必要非充分条件. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$