第1章 集合与逻辑（高效培优单元测试·强化卷）数学沪教版2020高一必修第一册

第1章 集合与逻辑（高效培优单元测试·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知集合，集合，则 . 2．已知全集为，集合，则 ． 3．已知是正实数，那么“”是“”的 条件（填“充要”、“充分非必要”、“必要非充分”、“既不必要也不充分”）. 4．设全集，若，则可以用列举法表示为 . 5．设集合，则A的非空子集的个数为 . 6．已知集合，，则 . 7．已知集合 ，若 ，则 的取值范围是 . 8．已知集合}，若，则 k的值为 . 9．已知为实数 ， ，用表示有限集合的元素个数，的取值集合为 10．若“”是“”的充分条件，则的最小值为 . 11．“实数”是“关于x的不等式解集为R”的 条件． 12．设集合，现对M的任一非空子集A，令为A中最大数与最小数之和，则所有这样的的算术平均值为 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．已知，则“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．已知集合，则（ ） A． B． C． D． 15．已知实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 16．已知全集，，，则集合的真子集个数为（    ） A． B． C． D． 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．已知全集，集合．求： (1)及； (2)及 18．设全集为R，集合． (1)若，求； (2)若，求实数a的取值范围． 19．已知集合，． (1)若命题，是真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题，是真命题，求实数m的取值范围． 20．已知集合，集合，． (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围; (3)若，求实数的取值范围． 21．已知集合，1，2，，，集合，记的元素个数为．若集合中存在三个元素，，，使得，则称为“理想集”． (1)若，分别判断集合，2，3，，，1，2，是否为“理想集”，并说明理由； (2)若，写出所有的“理想集”的个数并列举； (3)若，证明：集合T必为“理想集”． 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 集合与逻辑（高效培优单元测试·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知集合，集合，则 . 【答案】 【分析】应用集合的交运算求集合. 【详解】. 故答案为： 2．已知全集为，集合，则 ． 【答案】或 【分析】根据补集的定义即可得解. 【详解】因为集合， 所以或. 故答案为：或. 3．已知是正实数，那么“”是“”的 条件（填“充要”、“充分非必要”、“必要非充分”、“既不必要也不充分”）. 【答案】充要 【分析】由是正实数，可知，进而化简可得结果. 【详解】因为是正实数， 所以，, 所以“”是“”的充要条件. 故答案为：充要 4．设全集，若，则可以用列举法表示为 . 【答案】 【分析】根据全集和给定集合，求出该集合在全集中的补集. 【详解】已知全集，集合. 补集是在全集中去掉集合的元素. 在全集的元素、、、里，去掉集合中的和，所以. 故答案为：. 5．设集合，则A的非空子集的个数为 . 【答案】15 【分析】根据非空子集个数公式计算. 【详解】集合，则A的子集的个数为， 所以A的非空子集的个数为. 故答案为：15. 6．已知集合，，则 . 【答案】 【分析】化简两个集合，即可利用交集的定义求解. 【详解】由可得， 可得， 故， 故答案为： 7．已知集合 ，若 ，则 的取值范围是 . 【答案】 【分析】应用集合的基本关系列不等式求解. 【详解】因为集合 ， 因为 ，则 . 故答案为：. 8．已知集合}，若，则 k的值为 . 【答案】或 【分析】集合中的元素都是直线上的点，可将“交集为空集”转化成“两条直线没有交点”，根据两直线间的位置关系可求得结果. 【详解】由题意，集合中，可整理成， 所以，集合表示直线上的点集，集合表示直线上的点集. 因为，所以直线与直线平行或有一个交点， 当两直线平行时，；当两直线交点为时，. 故答案为：或. 9．已知为实数 ， ，用表示有限集合的元素个数，的取值集合为 【答案】 【分析】令，由时，，的零点一一对应求解. 【详解】令， 设，显然，则， 所以除外，的零点一一对应， 又存在，，，使得， 所以或， 则或， 故答案为： 10．若“”是“”的充分条件，则的最小值为 . 【答案】2 【分析】首先解一元二次不等式，根据充分条件，所以，即可求出参数的取值范围，从而得解； 【详解】，解得， 因为“”是“”的充分条件， 所以， 所以， 所以的最小值为2， 故答案为：2. 11．“实数”是“关于x的不等式解集为R”的 条件． 【答案】必要非充分 【分析】先根据一元二次不等式恒成立得到判别式小于等于0，再结合充分和必要条件定义判断即可. 【详解】关于x的不等式解集为R，则，解得，可推出， 反之推不出，故“实数”是“关于x的不等式解集为R”的必要非充分条件． 故答案为：必要非充分. 12．设集合，现对M的任一非空子集A，令为A中最大数与最小数之和，则所有这样的的算术平均值为 【答案】 【分析】记最大值与最小值的差为，的值分别为，根据的值分类讨论确定的值及与之对应的集合的个数．然后由平均数定义计算． 【详解】由已知集合的非空子集有个， 其中一元集有7个，，的和为， 记最大值与最小值的差为，的值分别为，其中是上面的一元集， 的集合有6个：中相邻两个元素构成的集合，，的和为， 的集合有个：如，之类的，，每个值对应两个集合，的和为， 的集合有个：如之类的， ，每个值对应4个集合，的和为， 的集合有个，，的和为， 的集合有个，，的和为， 的集合有个，，的和为， 所以所求平均数为． 故答案为：． 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．已知，则“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用充分条件与必要条件的定义判断即可. 【详解】由，可得，所以“”是“”的充分条件， 由，可得，所以“”是“”的必要条件， 所以“”是“”的充分必要条件. 故选：C. 14．已知集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分式不等式和一元二次不等式可求得集合，再利用交集运算法则可得结果. 【详解】对于集合， ，进一步化简为， 所以或. 对于集合，因式分解得， 所以或. 所以或. 故选：C 15．已知实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】化简，对照条件的定义可得答案. 【详解】不等式，等价于， 因为，所以，显然，不一定得出； 也不一定得出. 故选：D 16．已知全集，，，则集合的真子集个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求解补集，再根据元素个数计算真子集个数. 【详解】，，， 则集合的真子集个数为7个. 故选：C. 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．已知全集，集合．求： (1)及； (2)及 【答案】(1)， (2)或， 【分析】（1）由集合的交集、补集运算即可求解； （2）由交集、并集、补集运算即可求解； 【详解】（1）因为， 所以， （2）由（1）可得：或， 由，可得：或， 所以 18．设全集为R，集合． (1)若，求； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1)或；或. (2)或. 【分析】（1）分别求两个集合的解集，再求并集和混合运算； （2）首先求，再根据条件，讨论和两种情况，列不等式求参数的取值范围. 【详解】（1）不等式， 即，解得：或， 所以或， 当时，，所以或， 或，所以或. （2），若 当，即，得满足条件， 当，则或，解得：或， 综上可知，或. 19．已知集合，． (1)若命题，是真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题，是真命题，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】解：（1）由于，是真命题，所以，所以，解得，故m的取值范围是． （2）由题意，所以，即，解得．当时，或，解得．所以当时，．故m的取值范围是． 20．已知集合，集合，． (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围; (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据已知条件得是的真子集，列不等式组即可求解； （2）根据已知条件得是的子集，讨论和，列不等式组即可求解； （3）讨论和，列不等式组即可求解. 【详解】（1）若“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集， 所以，解得， 所以实数的取值范围为； （2）若命题“，都有”是真命题，则是的子集， 当时，，得； 当时，，不等式组无解， 综上实数的取值范围为； （3）若， 当时，，得； 当时，或，解得或无解， 综上， 所以实数的取值范围为. 21．已知集合，1，2，，，集合，记的元素个数为．若集合中存在三个元素，，，使得，则称为“理想集”． (1)若，分别判断集合，2，3，，，1，2，是否为“理想集”，并说明理由； (2)若，写出所有的“理想集”的个数并列举； (3)若，证明：集合T必为“理想集”． 【答案】(1)T1不是“理想集”， T2是“理想集”，理由见解析 (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意，分别取集合中的三个数，利用列举法，可得答案； （2）利用分类讨论的思想，根据集合的元素个数，结合元素的大小关系，可得答案； （3）利用反证法，任意取三个元素，假设不等式成立，结合元素之间的大小关系，可得答案． 【详解】（1）不是“理想集”， 是“理想集”． 由题意，令，，，则； 令，，，则； 令，，，则； 令，，，则；所以不是“理想集”． 令，，，则，所以是“理想集”． （2）共16个“理想集”． 若，有，1，2，3，4，． 当时，若，则，由可知， 故，，或； 若，则，由可知，则，故，，． 故含有三个元素的“理想集” ，1，，，1，或，2，，共3个． 当时，，1，2，，，1，3，，，1，2，，，1，3，，，1，4，，，2，3，或，2，4，，共7个． 当时，，1，2，3，，，1，2，3，，，1，2，4，，，1，3，4，，，2，3，4，，共5个． 当时，，1，2，3，4，，共1个． 综上所述，所有“理想集” 的个数为16个分别为：，1，，，1，，，2，，，1，2，，，1，3，，，1，2，，，1，3，，，1，4，，，2，3，，，2，4，，，1，2，3，，，1，2，3，，，1，2，4，，，1，3，4，，，2，3，4，，，1，2，3，4，． （3）证明：若，记，，，且． 利用反证法，假设对于中任意三个元素，，，均有， 则，，2，，． 记，于是，则， 因此，矛盾． 故集合必为“理想集”． 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$