四川省成都市玉林中学2024-2025学年高二下学期期末适应性数学试题

成都市玉林中学高2023级期末适应性考试试题 数 学 命题人：郑传远 审题人：高二数学备课组 时间：120分钟；总分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知随机变量满足，记函数，则（    ） A． B． C． D． 3．用可以排成数字不重复的三位数的个数是（    ） A． B． C． D． 4．已知数列的前项和，则数列的前项和为（    ） A．0 B．32 C．48 D．64 5．等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的面积是（     ） A． B． C． D． 6．如图，正方体的棱长为2，点O为底面ABCD的中心，点P在侧面的边界及其内部运动．若，则面积的最大值为（     ） A．2 B． C． D． 7．如图是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．格子从左到右分别编号为0，1，2，…，10，用X表示小球最后落入格子的号码，则（     ） A．2 B． C． D．4 8．已知函数有且仅有一个极值点，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，若，为C的离心率，则（     ） A． B．C的虚轴长为 C． D．C的一条渐近线的斜率为 10．已知数列满足，数列的前项和为，则 （     ） A． B．数列是等比数列 C．，，构成等差数列 D．数列前2025项和为 11．已知函数，则下列结论正确的是（ ） A．当时，则有三个零点 B．当且时， C．， D．若存在极值点和对称中心，且，其中，则成等比数列 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡上. 12．圆心为点，且过点的圆的标准方程是 ． 13．先后抛掷两枚质地均匀的骰子，设得到的点数分别为，在已知两次点数之和小于8的情况下，的概率为 ． 14．设函数，若恒成立，则的最小值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本题共13分） 如图，在四棱锥中，平面，，，，直线与平面所成角为60°，为线段的中点． （I）证明：平面； （II）求平面与平面所成角的正弦值． 16．（本题共15分） 已知各项均不为零的等差数列的前项和为，且满足． （I）求数列的通项公式； （II）若数列的前项和为，且满足，求证：成等比数列． 17．（本题共15分） 已知椭圆的左焦点为F，右顶点为A，P为直线上一点，且直线的斜率为，的面积为，离心率为． （I）求椭圆的方程； （II）过点P的直线与椭圆有唯一交点B（异于点A），求证：PF平分． 18．（本题共17分） 有一个摸球游戏，一个不透明口袋中装有1个红球和3个白球，这些球除颜色外其他完全相同，为了增加游戏的趣味性，需先抛掷一枚质地均匀的骰子来确定摸球方式．若抛掷骰子得到的点数大于2，则一次摸出一个球，否则一次摸出2个球．摸到红球就算中奖，游戏结束．若未中奖，需要把摸到的球放回口袋，重复上述过程．用随机变量表示摸球的次数． （I）求每次摸到红球的概率； （II）求游戏进行了次才结束的概率的值； （III）若，，求证：． 19．（本题共17分） 已知函数． （I）讨论函数的单调性； （II）若存在正实数，满足． （i）求实数的取值范围； （ii）证明：． 零诊模拟数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D D A B D C B C ACD AD BCD 12. 13. 14. 2 15. （1）取的中点，连， 则，，     因为，， 所以平行且等于，四边形为平行四边形，     所以 又因为平面，且平面，所以平面.     （2）以为原点，，，所在直线为轴，轴，轴建立如图2所示的空间直角坐标系，则，，，，， 设平面的法向量为， 则得，     易知为平面的一个法向量     设平面与平面所成的角为， 则，     又，. 16.（1）是各项均不为0的等差数列， ， . （2）证明：由已知得：， . ， 成等比数列． 17.（1）依题意，设椭圆的半焦距为， 则左焦点，右顶点，离心率，即， 因为为上一点，设， 又直线的斜率为，则，即， 所以，解得，则，即， 因为的面积为，，高为， 所以，解得， 则，， 所以椭圆的方程为. （2）由（1）可知，，， 易知直线的斜率存在，设其方程为，则，即， 联立，消去得，， 因为直线与椭圆有唯一交点，所以， 即，则，解得，则， 所以直线的方程为， 联立，解得，则， 以下分别用两种方法证明结论： 法一：则， 所以， ， 则，又， 所以，即平分. 法二：则， 所以直线的方程为，即， 则点到直线的距离为， 又点到直线的距离也为， 所以平分. 18.（1）设每次摸到红球的概率为，则． （2）由题意，知的可能取值为， 则． （3）设 ① 则 ② ①②得, 所以又 19.（1）由题意知，， 令，解得， 令，解得， 故函数在上单调递减，在上单调递增． （2）（i）由题意知，在上有两个不相等的实数根，即， 两边取对数，可得．记，易知在上是增函数， 故可等价于，即． 记，则，得在上单调递减，在上单调递增， 有最小值，故，即． （ii）根据题意得，不妨设． 构造函数， 则． 当时，，则，得在上单调递减， 有，即． 将代入不等式，得，又， 故，又在上单调递增， 故，即． 学科网（北京）股份有限公司 $$