精品解析：四川省成都市外国语学校2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题

成都外国语学校2023-2024学年度下期期末考试 高二数学试卷 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 2．本堂考试120分钟，满分150分． 3．答题前，考生务必先将自己姓名、学号填写在答题卡上，并使用2B铅笔填涂． 4．考试结束后，将答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设复数满足，则（ ） A B. C. D. 2. 函数的单调增区间是（ ） A. B. C. D. 3. 关于线性回归的描述，有下列命题： ①回归直线一定经过样本点的中心； ②相关系数r越大，线性相关程度越强； ③决定系数越接近1拟合效果越好； ④随机误差平方和越小，拟合效果越好． 其中正确的命题个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 设，，，则有（ ） A. B. C. D. 5. 在空间直角坐标系中，，三角形重心为，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，抛物线上有一点，则的最小值是（ ） A. 10 B. 8 C. 5 D. 4 7. 有个人到南京、镇江、扬州三所学校去应聘，若每人至多被一个学校录用，每个学校至少录用其中一人，则不同的录用情况种数是（ ） A. 90 B. 150 C. 390 D. 420 8. 双曲线的左､右焦点分别为，离心率为，右支上一点满足，直线平分，过点作直线的垂线，垂足分别为.设为坐标原点，则的面积为（ ） A. B. C. 10 D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分． 9. 若“，”为假命题，则实数的取值可以为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 10. 我国5G技术研发试验在2016~2018年进行，分为5G关键技术试验、5G技术方案验证和5G系统验证三个阶段．2020年初以来，5G技术在我国已经进入高速发展的阶段，5G手机的销量也逐渐上升．某手机商城统计了2022年5个月5G手机的实际销量，如下表所示： 月份 2022年1月 2022年2月 2022年3月 2022年4月 2022年5月 月份编号x 1 2 3 4 5 销量y（部） 50 96 a 185 227 若y与x线性相关，且求得回归直线方程为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 与正相关 C. 与的相关系数为负数 D. 2022年7月该手机商城的5G手机销量约为365部 11. 已知定义在上的函数满足为偶函数，为奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数为周期函数 C. 函数为上的偶函数 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为_____ 13. 若，则的值为__________． 14. 若数列满足，（，为常数，则称数列为调和数列．已知数列为调和数列，且，则的最大值为______． 四、解答题：共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量，，，． （1）求函数的最小值； （2）若，，，求的面积． 16. 如图，在四棱锥中，，，平面，，、分别是棱、的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的正弦值． 17. 某校为了解本校学生课间进行体育活动的情况，随机抽取了50名男生和50名女生，通过调查得到如下数据：50名女生中有10人课间经常进行体育活动，50名男生中有20人课间经常进行体育活动． （1）请补全列联表，试根据小概率值独立性检验，判断性别与课间经常进行体育活动是否有关联； 性别 体育活动 合计 课间不经常进行体育活动 课间经常进行体育活动 男 女 合计 （2）以样本的频率作为概率的值，在全校的男生中任取4人，记其中课间经常进行体育活动的人数为，求的分布列、数学期望和方差． 附表： 01 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6635 7.879 10.828 附：，其中． 18. 已知椭圆的左、右焦点别为，，离心率为，过点的动直线l交E于A，B两点，点A在x轴上方，且l不与x轴垂直，的周长为，直线与E交于另一点C，直线与E交于另一点D，点P为椭圆E的下顶点，如图． （1）求E的方程； （2）证明：直线CD过定点． 19. 定义运算：，已知函数，． （1）若函数的最大值为0，求实数a的值； （2）若函数存在两个极值点，，证明：； （3）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 成都外国语学校2023-2024学年度下期期末考试 高二数学试卷 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 2．本堂考试120分钟，满分150分． 3．答题前，考生务必先将自己姓名、学号填写在答题卡上，并使用2B铅笔填涂． 4．考试结束后，将答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的运算性质求出共轭复数，再求模即可. 【详解】因为，所以， ， 所以，，故C正确. 故选：C. 2. 函数的单调增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对函数求导，根据导函数的正负,确定函数的单调递增递减区间即得. 【详解】由求导得，， 则当时，，即函数在上单调递增； 当时，，即函数在上单调递减， 故函数的单调递增区间为. 故选：D. 3. 关于线性回归的描述，有下列命题： ①回归直线一定经过样本点的中心； ②相关系数r越大，线性相关程度越强； ③决定系数越接近1拟合效果越好； ④随机误差平方和越小，拟合效果越好． 其中正确的命题个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据回归直线方程的性质，相关系数、决定系数及随机误差平方和的意义判断各项的正误即可． 【详解】对于①，回归直线一定经过样本点的中心，故①正确； 对于②，相关系数r的绝对值越接近于1，线性相关性越强，故②错误； 对于③，决定系数R越接近1拟合效果越好，故③正确； 对于④，随机误差平方和越小，拟合效果越好，故④正确． 故选：C． 4. 设，，，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角公式、诱导公式、两角差的正弦公式，化简，再利用正弦函数的单调性 比较大小． 【详解】因为， ，， 函数单调递增， 所以，即. 故选：C. 【点睛】本题考查正弦函数的单调性、二倍角公式、两角和差的三角公式的应用，考查转化与化归思想及运算求解能力. 5. 在空间直角坐标系中，，三角形重心为，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】三角形重心为，所以，计算出和，得到在上的投影，根据勾股定理计算即可. 【详解】在空间直角坐标系中，， 三角形重心为，所以，，， 所以在上的投影为：， 所以点到直线的距离为：. 故选：B 6. 已知点，抛物线上有一点，则的最小值是（ ） A. 10 B. 8 C. 5 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】结合坐标运算和焦半径公式，转化，再利用数形结合求最值. 【详解】已知抛物线上有一点，则，即． 又，故在抛物线的外部， 则， 因为抛物线的焦点为，准线方程为，则，故． 由于，当三点共线（在之间）时，取到最小值， 则最小值为． 故选：B 7. 有个人到南京、镇江、扬州的三所学校去应聘，若每人至多被一个学校录用，每个学校至少录用其中一人，则不同的录用情况种数是（ ） A. 90 B. 150 C. 390 D. 420 【答案】C 【解析】 【分析】根据录用的人数，结合组合和排列的定义分类讨论进行求解即可. 【详解】若人中有且仅有人被录用，满足条件的录用情况有种， 若人中有且仅有人被录用，满足条件的录用情况有种， 若人都被录用，满足条件的录用情况有种， 由分类加法计数原理可得符合要求的不同的录用情况种数是. 故选：C. 8. 双曲线的左､右焦点分别为，离心率为，右支上一点满足，直线平分，过点作直线的垂线，垂足分别为.设为坐标原点，则的面积为（ ） A. B. C. 10 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出，结合几何图形及双曲线定义可得的面积得解.， 【详解】由双曲线的离心率为，得，解得， 令直线交的延长线交于，直线交于，则， 由平分，且，得， 则，， 显然分别为线段的中点，而是的中点，于是， ，即，， 所以的面积. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题求出面积的关键是作出点，借助几何图形的特征，结合双曲线定义求得. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分． 9. 若“，”为假命题，则实数的取值可以为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据条件，将问题转化成即在恒成立，令，利用其单调性，求出最大值，即可求解. 【详解】因为“，”为假命题， 所以，恒成立，即在恒成立， 所以且． 令，易知在上是增函数， 所以，所以． 故选：ABC． 10. 我国5G技术研发试验在2016~2018年进行，分为5G关键技术试验、5G技术方案验证和5G系统验证三个阶段．2020年初以来，5G技术在我国已经进入高速发展的阶段，5G手机的销量也逐渐上升．某手机商城统计了2022年5个月5G手机的实际销量，如下表所示： 月份 2022年1月 2022年2月 2022年3月 2022年4月 2022年5月 月份编号x 1 2 3 4 5 销量y（部） 50 96 a 185 227 若y与x线性相关，且求得回归直线方程为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 与正相关 C. 与的相关系数为负数 D. 2022年7月该手机商城的5G手机销量约为365部 【答案】AB 【解析】 【分析】对A，根据样本中心在回归直线上即可求解；对B，从表格数据看，y随x的增大而增大，即可判断；对C，因为y与x正相关，所以y与x的相关系数为正数，故可判断；对D，将月份编号代入到回归直线即可求解判断. 【详解】对A，，， 因为点在回归直线上，所以， 解得，所以选项A正确； 对B，从表格数据看，随的增大而增大，所以与正相关，所以选项B正确； 对C，因为与正相关，所以与的相关系数为正数，所以选项C错误； 对D，2022年7月对应的月份编号，当时，， 所以2022年7月该手机商城的5G手机销量约为部，所以选项D错误． 故选：AB 11. 已知定义在上的函数满足为偶函数，为奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数为周期函数 C. 函数为上的偶函数 D. 【答案】AB 【解析】 【分析】首先利用函数的奇偶性得到函数的对称轴和对称中心，结合关系式的变换得到函数周期判断B，利用特殊值代入判断A，根据导函数判断函数单调性结合关系式和偶函数定义判断C，根据函数的关系式和单调性判断D. 【详解】因为为偶函数， ，故函数图象关于直线对称， 为奇函数，1），函数图象关于对称， 对于B，，故2是函数的周期，函数为周期函数，故B正确； 对于A，，令，故， 又，故A正确； 对于C，，当时，，即函数在上递增， 函数图象关于对称，故函数在上递减，故函数在上递增， 所以，故函数不是偶函数，故C错误； 对于D，，故D错误， 故选：AB. 【点睛】抽象函数的判断一般会从函数奇偶性、周期性和对称性的定义推得相关的函数性质； 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为_____ 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得对应的集合是对应的集合的真子集，进而可得出答案. 【详解】由，得， 因为“”是“”的充分不必要条件， 所以集合是集合的真子集， 所以（不同时取等号），解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 13. 若，则的值为__________． 【答案】128 【解析】 【分析】赋值令，代入求出结果即可； 【详解】令，得． 故答案为：128. 14. 若数列满足，（，为常数，则称数列为调和数列．已知数列为调和数列，且，则的最大值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据调和数列，可得为等差数列，即可根据等差数列求和公式得，进而利用不等式即可求解． 【详解】数列为调和数列，故，所以为等差数列， 由，所以， 故，所以， 故，故， 由于． 当且仅当时等号成立，故的最大值为2． 故答案为：2. 四、解答题：共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量，，，． （1）求函数的最小值； （2）若，，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据数量积的坐标运算公式，二倍角公式，辅助角公式化简，结合正弦函数性质求其最小值； （2）解方程求，由正弦定理可求，再由余弦定理求，根据三角形面积公式求结论. 【小问1详解】 ． 因为，所以， 所以当，即时，有最小值． 小问2详解】 因为，所以，所以，， 因为，所以． 由正弦定理，， 所以，． 又因为，所以，得， 由余弦定理有：，所以． 所以． 16. 如图，在四棱锥中，，，平面，，、分别是棱、的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）由中位线易证明四边形是平行四边形，进而得到，进而得到平面； （2）由题易知，，两两垂直，建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，通过平面与平面的夹角计算公式计算余弦值，再用同角三角函数的基本关系计算正弦值； 【小问1详解】 如图所示，连接． 因为，分别是棱，的中点， 所以， 因为，， 所以，， 所以四边形是平行四边形， 则． 因为平面，平面， 所以平面． 【小问2详解】 因为平面， 平面 所以， 又因为， 所以，，两两垂直， 以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 由题中数据可得，， ，． 设平面的法向量为， 则 令，得． 因为，，平面， 所以平面 平面的一个法向量为． 设平面与平面的夹角为， 则． 故， 即平面与平面的夹角的正弦值为． 17. 某校为了解本校学生课间进行体育活动的情况，随机抽取了50名男生和50名女生，通过调查得到如下数据：50名女生中有10人课间经常进行体育活动，50名男生中有20人课间经常进行体育活动． （1）请补全列联表，试根据小概率值的独立性检验，判断性别与课间经常进行体育活动是否有关联； 性别 体育活动 合计 课间不经常进行体育活动 课间经常进行体育活动 男 女 合计 （2）以样本的频率作为概率的值，在全校的男生中任取4人，记其中课间经常进行体育活动的人数为，求的分布列、数学期望和方差． 附表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 附：，其中． 【答案】（1）可以认为性别与课间是否经常进行体育活动有关联 （2）分布列见详解，， 【解析】 【分析】（1）计算卡方，根据独立性检验方法求解即可； （2）根据二项分布的分布列与数学期望和方差公式求解即可 【小问1详解】 依题意，列出列联表如下： 课间不经常进行体育活动 课间经常进行体育活动 合计 男 30 20 50 女 40 10 50 合计 70 30 100 零假设为：性别与课间经常进行体育活动相互独立，即性别与课间是否经常进行体育活动无关， 因为， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为性别与课间是否经常进行体育活动有关联，此推断犯错误的概率不大于. 【小问2详解】 由题意得，经常进行体育活动者的频率为， 所以在本校中随机抽取1人为经常进行体育活动者的概率为， 由题意得，则， 可得， ， ， ， ， 的分布列为： 0 1 2 3 4 的数学期望为， 的方差为. 18. 已知椭圆的左、右焦点别为，，离心率为，过点的动直线l交E于A，B两点，点A在x轴上方，且l不与x轴垂直，的周长为，直线与E交于另一点C，直线与E交于另一点D，点P为椭圆E的下顶点，如图． （1）求E的方程； （2）证明：直线CD过定点． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用椭圆的定义和离心率，求解椭圆方程； （2）设点，，，，的方程为，联立直线与椭圆的方程，根据韦达定理求出点的坐标，同理得到点的坐标，进而得到直线的方程，根据对称性，如果直线CD过定点，则该定点在x轴上，即可得到定点坐标. 【小问1详解】 由椭圆定义可知，， 所以的周长为，所以， 又因为椭圆离心率为，所以，所以， 又，所以椭圆的方程：． 【小问2详解】 设点，，，， 则直线的方程为，则， 由得，， 所以， 因为，所以，所以，故， 又， 同理，，， 由A，，B三点共线，得，所以， 直线CD的方程为， 由对称性可知，如果直线CD过定点，则该定点在x轴上， 令得， ， 故直线CD过定点． 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线点斜式方程或截距式来证明. 19. 定义运算：，已知函数，． （1）若函数的最大值为0，求实数a的值； （2）若函数存在两个极值点，，证明：； （3）证明：． 【答案】（1）1 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导后，分类讨论单调性，进而得到最值，求出a的值即可； （2）条件等价于有两个不等的正根，结合判别式非负，以及韦达定理求出a的范围，要证， 即证，令求导确定函数的单调性，证明结论． （3）利用（1）结论可得则当时，，进而利用裂项相消求和证明结论. 【小问1详解】 由题意知： ， ①当时，，在单调递减，不存在最大值． ②当时，由得， 当，；，， 函数的增区间为，减区间为． ， ． 【小问2详解】 “函数存在两个极值点，”等价于 “方程有两个不相等的正实数根”； 故，解得． 要证，即证， ，不妨令，故 由得，令 在恒成立， 所以函数在上单调递减，故． 成立． 【小问3详解】 由（1）知，，即， 当时， ． 【点睛】知识点点睛：本题以新定义为载体，考查了利用导数研究函数单调性和最值，考查了不等式的放缩，裂项相消求和知识，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$