暑假预习专题10 不等式的性质（5知识+6题型+提升练）-【暑假自学课】2025年新高一数学暑假提升精品讲义（沪教版2020）

暑假预习专题10 不等式的性质 知识点1 实数(代数式)大小的比较 对于两个实数 、 ， 如果 是正数，就称 大于 ，记为 ； 如果 是负数，就称 小于 ，记为 ； 如果 是零，就称 等于 ，记为 ．这就是说 这是研究一切不等式的基础. 显然,对于任意给定的两个实数 (1)“”的左边反映的是实数的大小关系，右边反映的是实数的运算性质，合起来就是实数的大小与运算性质之间的关系.(2)从基本事实可知,比较两个实数的大小，只需比较它们的差与0的大小。 知识点2 不等式的性质 （1）传递性 设 、、 均为实数，如果 ，且 ，那么 ． （2）加法性质 设 、、 均为实数，如果 ，那么 ． （3）乘法性质 设 、、 均为实数，如果 ，且 ，那么 b c；如果 ，且 ，那么 ． 性质名称 性质内容 移项法则 同向可加性 同向可加性的推论 同向同正可乘性 ， 同向同正可乘性的推论 ， 正数乘方性 正数可开方性 知识点3 数(式)比较大小的方法 1.作差法、作商法、平方法是比较两个实数(或代数式)大小的基本方法 ①作差法的步骤:作差、变形、判断差的符号、得出结论②作商法的步骤:作商、变形、判断商与1的大小、得出结论,③平方法的步骤:两边平方、变形、作差、判断差的符号、得出结论. 2．介值比较法也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性：若 ，则 ；若 ，那么 ．其中 是介于 与 之间的值，此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值． 知识点4 用比较法证明不等式 证明不等式主要利用作差比较法和作商比较法.若要证明的不等式为几个多项式的和或差,则采用作差比较法;若要证明的不等式为几个多项式的积或商,则采用作商比较法. 采用作差比较法，将不等式左右两边的式子作差，然后将其进行适当的变形、放缩,再利用不等式的传递性、可加性来证明结论.运用作差比较法证明不等式时，作差后变形的结果都应是几个因式之积或完全平方式，这样有利于判断符号. 知识点5 常用不等式(定理) 定理 对任意的实数,总有，且等号当且仅当时成立. 当且仅当的逻辑关系是充分必要条件．当且仅当 时等式成立．指的是若不等式中的相等成立必有 ，反之当 时，才能有不等式中的相等成立． 题型一、由已知条件判断所给不等式是否正确 例1（24-25高一上·上海宝山·期末）已知非零实数a、b满足，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用不等式的性质，结合特殊值法和作差法比较大小，对每个选项逐一分析判断其是否一定成立. 【详解】对于A选项，对于，即.当，时，，，此时，所以不一定成立.故A错误. 对于B选项，对于.当，时，满足，此时，，，所以不一定成立. 故B错误. 对于C选项，对于.因为，又恒大于，已知，即，所以，即一定成立. 故C正确. 对于D选项，对于.当，时，满足，但，，，所以不一定成立.故D错误. 故选：C. 1-1（24-25高一上·上海·期末）若下列不等式中：①；②；③； ④，成立的有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据不等式的性质一一判断即可. 【详解】因为，所以，故①错误； ，故②正确； ，即，所以，故③错误； 因为，所以，故④错误； 故选：A 1-2（24-25高一上·上海·期末）若实数，，满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用特殊值、不等式的性质、作差比较法等知识来确定正确答案. 【详解】依题意，，，所以，A选项错误； ，则，B选项错误. 根据不等式的性质可知，C选项错误. ，其中， 所以，D选项正确. 故选：D 1-3（24-25高一上·上海·期末）已知，，且满足，则下列不等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过取，即可判断出选项A，C和D的正误，对于B，通过作差，即可求解. 【详解】取，显然满足，此时，，， 所以选项A，C和D错误， 对于选项B，因为， 又，所以，得到，即，所以选项B正确， 故选：B. 题型二、由不等式的性质比较数（式）大小 例2（24-25高一上·上海·期末）若，，则一定有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用不等式的基本性质即可判断． 【详解】因为，所以，又， 所以，所以：. 故选：C 2-1（24-25高一上·上海虹口·期末）设为实数，则“”是“”的（    ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合不等式的性质判断得解. 【详解】由，得；反之，，可以为， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 2-2（24-25高一上·上海闵行·期末）设、、、为实数，下列命题中成立的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，，那么 D．如果，，那么 【答案】A 【分析】对于A、B选项，利用不等式的性质可判断原命题的真假；对于C、D选项，取特殊值可判断原命题的真假. 【详解】对于A，若，则，显然成立，选项A正确； 对于B，若，当时，，当时，，选项B错误； 对于C，令，满足，，但是， 不满足，选项C错误； 对于D，令，满足，，但是， 不满足，选项D错误， 故选：A. 2-3（24-25高一上·上海·期末）已知是正实数，那么“”是“”的 条件（填“充要”、“充分非必要”、“必要非充分”、“既不必要也不充分”）. 【答案】充要 【分析】由是正实数，可知，进而化简可得结果. 【详解】因为是正实数， 所以，, 所以“”是“”的充要条件. 故答案为：充要 2-4（24-25高一上·上海杨浦·期中）下列关于不等式的命题是假命题的序号为 .（1）若，则，；（2）用反证法证明a=0或b=0时可假设ab≠0；（3）若a，b为正数，则；（4）设，若，则xy的取值范围为. 【答案】（3）（4） 【分析】利用不等式的性质和作差法可判断（1）和（3）；通过逻辑推理可判断（2）；利用特殊值法可判断（4）. 【详解】对于（1），由得， 则成立且， 故，即成立，因此（1）为真命题； 对于（2），当不成立时，有成立，即或，故（2）为真命题； 对于（3），， 显然，当时，不成立，故（3）为假命题； 对于（4），假设，，此时，满足，不满足，故（4）为假命题； 故答案为：（3）（4） 题型三、作差法比较代数式的大小 例3（24-25高一上·上海·期中）若，设 ,则的大小关系为 . 【答案】 【分析】作差计算，根据差值即可比较大小. 【详解】由题恒成立， 所以. 故答案为：. 3-1（24-25高一上·上海嘉定·阶段练习）给出下列命题：①若，则；②若，则；③对于正数若，则．其中真命题的序号是 ． 【答案】①③ 【分析】利用特殊值、不等式的性质、差比较法等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】①若，则，所以①正确. ②若，如， 则，所以②错误. ③正数若，则， ，所以，所以③正确. 故答案为：①③ 3-2（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）（1）已知，比较与的大小； （2）已知，，若，求证：和中至少有一个大于. 【答案】（1）；（2）证明见详解 【分析】（1）运用作差比较法，结合配方法进行比较大小即可； （2）用反证法，假设，，推出矛盾，即得证. 【详解】（1）， . （2）假设，， ，，， ， 两式相加得，，这与矛盾，所以假设错误. 所以和中至少有一个大于. 3-3（24-25高一上·上海黄浦·期中）设，，，是四个正数． (1)已知，比较与的值的大小； (2)若，求证：，，，中至少有一个小于1． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用作差比较即可判断； （2）利用反证法即可证明． 【详解】（1）因为， 则， 所以； （2）假设，，，都不小于1，即，，，， 则，，，， 所以，与已知矛盾， 故，，，中至少有一个小于1． 题型四、作商法比较代数式的大小 例4（23-24高一上·北京·阶段练习）设，，则 （填入“＞”或“＜”）． 【答案】 【分析】由均大于0，可用作商法，再化简后与1作大小比较，即可得出答案. 【详解】∵，即. 又， . 故答案为：>. 4-1（22-23高一·全国·课后作业）若，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】作商法证明不等式. 【详解】证明：∵a>b>0， ∴，且． ∴作商得：． ∴． 4-2（21-22高一上·上海徐汇·阶段练习）已知，试比较与的大小. 【答案】 【分析】利用两个数都大于0,直接利用作商比较其大小即可. 【详解】， ，. 两数作商 ， . 4-3（23-24高一·江苏·假期作业）已知，试比较和的大小. 【答案】 【分析】方法1：采用作商比较法，结合分母有理化即可求解；方法2：先计算，从而可得，进而可求解. 【详解】（方法1）因为，所以. 所以. 因为，所以，即； （方法2）所以， 又， 所以 , 所以. 题型五、由不等式的性质证明不等式 例5（24-25高一上·上海·期中）对于任意的实数、，有不等式，等号当且仅当（    ）时成立 A．、同号 B．、异号 C． D． 【答案】D 【分析】利用不等式的性质和绝对值的意义，即可求解. 【详解】因为，两边平方得到， 整理得得到，所以等号当且仅当时成立， 故选：D. 5-1（23-24高一·上海·课堂例题）已知，求证：. 【答案】证明见解析 【分析】结合立方和公式及，利用作差法即可证明. 【详解】， 因为，所以，又，所以， 所以. 5-2（23-24高一·上海·课堂例题）已知，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】利用不等式的性质求证即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 即， 即 5-3（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，，求证． 【答案】证明见解析 【分析】由不等式的性质直接证明即可. 【详解】证明：因为，，所以， 又因为，，所以， 由不等式传递性，． 5-4（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知，，求证：； （2）已知，，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【分析】（1）利用不等式性质4，5得出，再取倒数，再利用性质6即可证明； （2）对不等式进行等价变形，利用分析法的思路来转化证明不等式． 【详解】证明：（1）因为，所以． 又．所以，所以． 又因为， 所以． （2）因为，要证，只需证明， 展开得， 即， 因为成立， 所以成立． 题型六、利用不等式求值或取值范围 例6（24-25高一上·上海徐汇·期末）已知为实数，满足，则等号成立的条件是 . 【答案】 【分析】利用平方数的性质及已知确定等号成立条件. 【详解】由，当且仅当时等号成立， 所以等号成立的条件是. 故答案为： 6-1（24-25高一上·上海·期末）已知，，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】借助不等式的性质计算即可得. 【详解】由，，则. 故答案为：. 6-2（24-25高一上·上海宝山·期中）已知，，则的范围是 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质求出范围. 【详解】由，，得. 所以的范围是. 故答案为： 6-3（24-25高一上·上海·阶段练习）对任意，方程和在上均有解，则的取值范围为 【答案】 【分析】根据绝对值函数的性质和方程的解法以及不等式的性质，可求得的取值范围. 【详解】因为方程和， 所以， 因为，所以，即， 因为任意，方程和在上均有解， 所以，即， 则，即， 所以 的取值范围为， 故答案为：. 6-4（24-25高一上·上海杨浦·期中）若实数x，y均在[-2，1]的区间内，则xy的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据的符号分类讨论，再利用不等式的性质求范围. 【详解】由题意得，； 当，时，； 当，时，，，此时； 当，时，，所以，即； 当，时，，所以，即； 当或时，； 综上所述： 故答案为： 6-5（24-25高一上·上海·期中）已知，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据不等式的性质得解. 【详解】因为， 所以， 所以， 故答案为： 1.（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）若，，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取特殊值，结合不等式性质判断. 【详解】对于A：取，，满足，但不满足，故A错误； 对于B：取，，满足，但不满足，故B错误； 对于C：因为 ，则，又，所以，故C正确； 对于D：取，则，故D错误； 故选：C 2．（24-25高一上·河南南阳·阶段练习）设，则“”是“且”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】依题意举反例可得不能推出且，可得结论. 【详解】因为且能推出； 但不能推出且（如，）， 所以“”是“且”的必要不充分条件. 故选：B. 3．（24-25高一上·上海杨浦·阶段练习）已知，且，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据特值法可排除，，，根据在上单调递增，可判断项. 【详解】当时，，故错误； 当，时，，故错误； 因为在上单调递增，且，所以，故正确； 当，时，，故错误. 综上，正确的为. 故选：. 4．（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）已知命题甲：，命题乙：，则甲是乙的 条件. 【答案】必要不充分 【分析】根据题意，利用充分，必要条件的判定方法，结合特例和不等式的性质，即可求解. 【详解】当，时，满足命题甲：，此时命题乙不成立，即充分性不成立； 反之，若命题乙：成立时，可得命题甲一定成立，即必要性成立， 所以甲是乙的必要不充分条件， 故答案为：必要不充分 5．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，，，则下列命题哪些是正确的 ． ①若，则；②若，则；③若，则；④若，，，，则，；⑤若，，则；⑥已知且，则． 【答案】①②③⑥ 【分析】根据不等式的性质、函数的单调性、特殊值等知识确定正确答案. 【详解】①，若，则，所以，所以①正确. ②，若，两边平方得，所以②正确. ③，当时，函数单调递减， 所以若，则，所以③正确. ④，若，，，，则可能，所以④错误. ⑤，若，，如，有，所以⑤错误. ⑥，已知且，所以， 由两边乘以正数，得，所以⑥正确. 故答案为：①②③⑥ 6．（24-25高一上·上海·课后作业）解关于的不等式：． (1)当解集为空集时，________； (2)当解集为非空集时，解不等式． 【答案】(1)1 (2)答案见解析. 【分析】（1）根据一元一次不等式的解集为空集求参数的值. （2）分情况讨论，解一元一次不等式. 【详解】（1）当时，不等式无解，故答案填1． （2）原不等式整理为． ①当时，，即解集为； ②当时，，即解集为． 1．（24-25高一上·上海·阶段练习）对于四个正数，如果，那么称是的“下位序列”. (1)对于，试问是否为的“下位序列”，请说明理由； (2)设均为正数，且是的“下位序列”，试判断：，之间的大小关系，并说明理由； (3)已知正整数满足条件：对集合内的每个元素，总存在正整数，使得是的“下位序列”，且是的“下位序列”，求的最小值. 【答案】(1)不是，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)4045 【分析】（1）根据新定义，代入计算判断即可； （2）根据新定义得到，再利用不等式的性质利用作差法判断即可； （3）由题意得到，，进而得到，从而求出最小值. 【详解】（1）由于，不满足"下位序列"的概念，所以不是“下位序列”. （2）均为正数，由是的“下位序列”，得，即， 则，即， ，即， 所以. （3）由是的“下位序列”，得， 即，则， 由是的“下位序列”，得， 即，则， 所以， 则，又对集合内的每个均成立， 则， 所以正整数的最小值为4045. 【点睛】关键点点睛：本题考查新定义“下位序列”，解题时要充分利用这个定义构造不等关系，结合不等式的性质求解. 2．（23-24高一上·上海普陀·期中）设是不小于1的实数.若对任意，总存在，使得，则称这样的满足“性质1” (1)分别判断和时是否满足“性质1”; (2)先证明:若，且，则; 并由此证明当时，对任意，总存在，使得. (3)求出所有满足“性质1”的实数t 【答案】(1)不满足性质1，不满足性质1. (2)证明见详解 (3) 【分析】（1）分别举反例证明和时性质1不成立； （2）先分别就，讨论证明若，且，则，再利用这个结论可得证； （3）结合（2）的结论可得解. 【详解】（1）记，， 假如，则当时，对任意，均有，不满足要求； 假如，则当，时，对任意，均有，， 若，同正或同负，则，其余情况下总有，不满足要求. （2）先来证明：若，且，则，同时该结论记为引理. 当时，， 当时，不妨设，则，又，所以. 所以若，且，则. 下面证当时，对任意，总存在，使得， 若，则取，此时， 其中，，且， 由引理可得， 若，则取，此时， 其中，，且，故由引理可得， 综上，当时，对任意，总存在，使得. （3）当时，当时，可取，使得，理由如下： 当时，取，则； 当时，取，则，则，故， 同理，可取，使得，此时， 所以当时，对任意，总存在，使得. 结合（2）的结论可得，对任意，总存在，使得. 综上，所有满足性质1的实数. 【点睛】思路点睛：此题考查等式和不等式的新定义问题，属于难题. （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，分别举反例证明和时性质1不成立； （3）分别就，分类讨论证明若，且，则，再利用这个结论证明当时，对任意，总存在，使得；再证明当时，对任意，总存在，使得，注意完备性. 试卷第1页，共3页 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 暑假预习专题10 不等式的性质 知识点1 实数(代数式)大小的比较 对于两个实数 、 ， 如果 是正数，就称 大于 ，记为 ； 如果 是负数，就称 小于 ，记为 ； 如果 是零，就称 等于 ，记为 ．这就是说 这是研究一切不等式的基础. 显然,对于任意给定的两个实数 (1)“”的左边反映的是实数的大小关系，右边反映的是实数的运算性质，合起来就是实数的大小与运算性质之间的关系.(2)从基本事实可知,比较两个实数的大小，只需比较它们的差与0的大小。 知识点2 不等式的性质 （1）传递性 设 、、 均为实数，如果 ，且 ，那么 ． （2）加法性质 设 、、 均为实数，如果 ，那么 ． （3）乘法性质 设 、、 均为实数，如果 ，且 ，那么 b c；如果 ，且 ，那么 ． 性质名称 性质内容 移项法则 同向可加性 同向可加性的推论 同向同正可乘性 ， 同向同正可乘性的推论 ， 正数乘方性 正数可开方性 知识点3 数(式)比较大小的方法 1.作差法、作商法、平方法是比较两个实数(或代数式)大小的基本方法 ①作差法的步骤:作差、变形、判断差的符号、得出结论②作商法的步骤:作商、变形、判断商与1的大小、得出结论,③平方法的步骤:两边平方、变形、作差、判断差的符号、得出结论. 2．介值比较法也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性：若 ，则 ；若 ，那么 ．其中 是介于 与 之间的值，此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值． 知识点4 用比较法证明不等式 证明不等式主要利用作差比较法和作商比较法.若要证明的不等式为几个多项式的和或差,则采用作差比较法;若要证明的不等式为几个多项式的积或商,则采用作商比较法. 采用作差比较法，将不等式左右两边的式子作差，然后将其进行适当的变形、放缩,再利用不等式的传递性、可加性来证明结论.运用作差比较法证明不等式时，作差后变形的结果都应是几个因式之积或完全平方式，这样有利于判断符号. 知识点5 常用不等式(定理) 定理 对任意的实数,总有，且等号当且仅当时成立. 当且仅当的逻辑关系是充分必要条件．当且仅当 时等式成立．指的是若不等式中的相等成立必有 ，反之当 时，才能有不等式中的相等成立． 题型一、由已知条件判断所给不等式是否正确 例1（24-25高一上·上海宝山·期末）已知非零实数a、b满足，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 1-1（24-25高一上·上海·期末）若下列不等式中：①；②；③； ④，成立的有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 1-2（24-25高一上·上海·期末）若实数，，满足，，则（    ） A． B． C． D． 1-3（24-25高一上·上海·期末）已知，，且满足，则下列不等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 题型二、由不等式的性质比较数（式）大小 例2（24-25高一上·上海·期末）若，，则一定有（    ） A． B． C． D． 2-1（24-25高一上·上海虹口·期末）设为实数，则“”是“”的（    ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 2-2（24-25高一上·上海闵行·期末）设、、、为实数，下列命题中成立的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，，那么 D．如果，，那么 2-3（24-25高一上·上海·期末）已知是正实数，那么“”是“”的 条件（填“充要”、“充分非必要”、“必要非充分”、“既不必要也不充分”）. 2-4（24-25高一上·上海杨浦·期中）下列关于不等式的命题是假命题的序号为 .（1）若，则，；（2）用反证法证明a=0或b=0时可假设ab≠0；（3）若a，b为正数，则；（4）设，若，则xy的取值范围为. 题型三、作差法比较代数式的大小 例3（24-25高一上·上海·期中）若，设 ,则的大小关系为 . 3-1（24-25高一上·上海嘉定·阶段练习）给出下列命题：①若，则；②若，则；③对于正数若，则．其中真命题的序号是 ． 3-2（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）（1）已知，比较与的大小； （2） 已知，，若，求证：和中至少有一个大于. 3-3（24-25高一上·上海黄浦·期中）设，，，是四个正数． (1)已知，比较与的值的大小； (2)若，求证：，，，中至少有一个小于1． 题型四、作商法比较代数式的大小 例4（23-24高一上·北京·阶段练习）设，，则 （填入“＞”或“＜”）． 4-1（22-23高一·全国·课后作业）若，求证：． 4-2（21-22高一上·上海徐汇·阶段练习）已知，试比较与的大小. 4-3（23-24高一·江苏·假期作业）已知，试比较和的大小. 题型五、由不等式的性质证明不等式 例5（24-25高一上·上海·期中）对于任意的实数、，有不等式，等号当且仅当（    ）时成立 A．、同号 B．、异号 C． D． 5-1（23-24高一·上海·课堂例题）已知，求证：. 5-2（23-24高一·上海·课堂例题）已知，．求证：． 5-3（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，，求证． 5-4（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知，，求证：； （2）已知，，求证：． 题型六、利用不等式求值或取值范围 例6（24-25高一上·上海徐汇·期末）已知为实数，满足，则等号成立的条件是 . 6-1（24-25高一上·上海·期末）已知，，则的取值范围是 . 6-2（24-25高一上·上海宝山·期中）已知，，则的范围是 . 6-3（24-25高一上·上海·阶段练习）对任意，方程和在上均有解，则的取值范围为 6-4（24-25高一上·上海杨浦·期中）若实数x，y均在[-2，1]的区间内，则xy的取值范围为 . 6-5（24-25高一上·上海·期中）已知，则的取值范围为 . 1.（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）若，，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·河南南阳·阶段练习）设，则“”是“且”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（24-25高一上·上海杨浦·阶段练习）已知，且，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）已知命题甲：，命题乙：，则甲是乙的 条件. 5．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，，，则下列命题哪些是正确的 ． ①若，则；②若，则；③若，则；④若，，，，则，；⑤若，，则；⑥已知且，则． 6．（24-25高一上·上海·课后作业）解关于的不等式：． (1)当解集为空集时，________； (2)当解集为非空集时，解不等式． 1．（24-25高一上·上海·阶段练习）对于四个正数，如果，那么称是的“下位序列”. (1)对于，试问是否为的“下位序列”，请说明理由； (2)设均为正数，且是的“下位序列”，试判断：，之间的大小关系，并说明理由； (3)已知正整数满足条件：对集合内的每个元素，总存在正整数，使得是的“下位序列”，且是的“下位序列”，求的最小值. 2．（23-24高一上·上海普陀·期中）设是不小于1的实数.若对任意，总存在，使得，则称这样的满足“性质1” (1)分别判断和时是否满足“性质1”; (2)先证明:若，且，则; 并由此证明当时，对任意，总存在，使得. (3)求出所有满足“性质1”的实数t 试卷第1页，共3页 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$