精品解析：山东省菏泽市鄄城县第一中学2024-2025学年高一下学期6月月考数学试题

数学练习题 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答（7）题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，．若，则（ ） A B. C. 3 D. 6 2. 在复平面内，复数满足，则复数对应点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 某小组有2名男生和3名女生，从中任选2名学生去参加唱歌比赛，在下列各组事件中，是互斥事件是（ ） A. 恰有1名女生和恰有2名女生 B. 至少有1名男生和至少有1名女生 C. 至少有1名女生和全是女生 D. 至少有1名女生和至多有1名男生 4. 如图，是利用斜二测画法画出的的直观图，其中轴，轴，且，则的边（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 5. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 6. 如图，是直三棱柱，，点、分别是、的中点，若，则与所成角的余弦值是 A. B. C. D. 7. 在中，，，，点D在边上靠近B点的三等分点处，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，三棱锥中，，，且，，，M是中点，，E是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 数据1，3，5，7，9，11，13的第60百分位数为9 B. 为了了解某地参加计算机水平测试的5000名学生的成绩，从中抽取了200名学生进行调查分析，在这个问题中，被抽取的200名学生是样本 C. 若样本，，，的平均数和方差分别为2和3，则，，…，的平均数和方差分别为8和27 D. 一组样本数据为7，12，13，17，18，20，32，若该组数据去掉一个数得到一组新数据，则这两组数据的平均数不可能相等 10. 在中，分别为角的对边，下列叙述正确的是（ ） A. B. 若，则为等腰三角形 C. 若为锐角三角形，则 D. 若，则为钝角三角形 11. 在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（ ） A. 当时，周长为定值 B. 当时，三棱锥体积为定值 C. 当时，有且仅有一个点，使得 D. 当时，有且仅有一个点，使得平面 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 甲、乙两套设备生产的同类产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80 的样本进行检测.若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件. 13. 已知平行四边形中，，，.若点满足，点为中点，则_____. 14. 如图，在三棱锥中， ，，，为的中点，过作平面，则平面截三棱锥外接球所得截面面积的最小值为___. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字声明、证明过程及演算步骤． 15. 已知向量与的夹角为，且，． （1）求的值； （2）求的值． 16. 某校为了解高一学生在五一假期中参加社会实践活动的情况，抽样调查了其中的100名学生，统计他们参加社会实践活动的时间（单位：小时），并将统计数据绘制成如图的频率分布直方图． （1）估计这100名学生在这个五一假期中参加社会实践活动的时间的众数，中位数，平均数； （2）估计这100名学生在这个五一假期中参加社会实践活动的时间的75百分位数（结果保留两位小数）． （三）阅读Ⅲ（本题共4小题，21分） 17. 如图所示，在三棱柱中，侧棱底面ABC，且底面是边长为2的正三角形，侧棱长为1，D是AC的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成的角的正弦值． 18. △ABC的内角的对边分别为,已知△ABC的面积为 (1)求; (2)若求△ABC的周长. 19. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，且，，侧面底面. 若. （1）求证：平面； （2）侧棱上是否存在点，使得平面？若存在，指出点 的位置并证明，若不存在，请说明理由； （3）求二面角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学练习题 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答（7）题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，．若，则（ ） A. B. C. 3 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量平行的判定方法得到，再解方程即可. 【详解】由，知，解得. 故选：C. 2. 在复平面内，复数满足，则复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法运算化简，即可根据几何意义求解. 【详解】由可得， 故复数z对应的点为，位于第二象限. 故选：B 3. 某小组有2名男生和3名女生，从中任选2名学生去参加唱歌比赛，在下列各组事件中，是互斥事件的是（ ） A. 恰有1名女生和恰有2名女生 B. 至少有1名男生和至少有1名女生 C. 至少有1名女生和全是女生 D. 至少有1名女生和至多有1名男生 【答案】A 【解析】 【分析】根据互斥事件的定义判断即可. 【详解】依题意可能出现名男生、名男生名女生、名女生； 对于A：恰有1名女生即选出的两名学生中有一名男生一名女生和恰有2名女生，他们不可能同时发生，故是互斥事件，故A正确； 对于B：当选出的两名学生中有一名男生一名女生，则至少有1名男生和至少有1名女生都发生了，故不是互斥事件，故B错误； 对于C：至少有1名女生包含有一名男生一名女生与全是女生， 所以当全是女生时，至少有1名女生和全是女生都发生了，故不是互斥事件，故C错误； 对于D：至少有1名女生包含有一名男生一名女生与全是女生， 至多有1名男生包含有一名男生一名女生与全是女生， 故至少有1名女生和至多有1名男生是相等事件，故D错误. 故选：A 4. 如图，是利用斜二测画法画出的的直观图，其中轴，轴，且，则的边（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用斜二测画法可还原到原直角坐标系中，再计算边长即可. 【详解】由题意可得还原后的如下图所示： 因为，且轴，轴，所以，所以， 由斜二测画法可知：，则． 故选：C 5. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】C 【解析】 【分析】ABD可举出反例；C选项，根据直线与平面垂直的性质得到C正确. 【详解】对于A，若，，则或，故A错误； 对于B，若，，，则或与异面，即B错误； 对于C，若，，由直线与平面垂直的性质可得，故C正确； 对于D，若，，，则与的关系为平行、相交或异面，故D错误； 故选：C 6. 如图，是直三棱柱，，点、分别是、的中点，若，则与所成角的余弦值是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】考点：异面直线及其所成的角． 分析：先取BC的中点D，连接D1F1，F1D，将BD1平移到F1D，则∠DF1A就是异面直线BD1与AF1所成角，在△DF1A中利用余弦定理求出此角即可． 解答： 取BC的中点D，连接D1F1，F1D ∴D1B∥D1F ∴∠DF1A就是BD1与AF1所成角 设BC=CA=CC1=2，则AD=，AF1=，DF1= 在△DF1A中，cos∠DF1A=/10． 故选A． 点评：本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题． 7. 在中，，，，点D在边上靠近B点的三等分点处，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件求出，，在中由余弦定理求出，再在中由正弦定理计算作答. 【详解】 在中，， ，可得则， 因，则， 在中，由余弦定理得：，即， 在中，由正弦定理得：， 所以. 故选：D 8. 如图所示，三棱锥中，，，且，，，M是中点，，E是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取的中点，的中点，连接、、，则异面直线与所成角的平面角为，先利用题目所给数据计算出，，，再利用余弦定理求解出的余弦值大小，即可得到异面直线与所成角的余弦值大小. 【详解】取的中点，的中点，连接、、，如图所示， 则， ∵，∴是的中点， 又∵是的中点， ∴， ∴为异面直线与所成的角或其补角， ∵，，且，，平面， ∴平面, 又∵，， ∴中，， 在中，， 在中由余弦定理得， 在中由余弦定理得， ∴， ∴异面直线与所成角的余弦值为. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 数据1，3，5，7，9，11，13第60百分位数为9 B. 为了了解某地参加计算机水平测试的5000名学生的成绩，从中抽取了200名学生进行调查分析，在这个问题中，被抽取的200名学生是样本 C. 若样本，，，的平均数和方差分别为2和3，则，，…，的平均数和方差分别为8和27 D. 一组样本数据为7，12，13，17，18，20，32，若该组数据去掉一个数得到一组新数据，则这两组数据的平均数不可能相等 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据百分位数的概念求第60百分位数，判断A的真假；根据样本的概念判断B的真假；根据平均数和方差的性质求新数据的平均数和方差，判断C的真假；计算给出数据的平均数，可判断D的真假. 【详解】对于A，因为，所以第60百分位数为第5个数是9，所以A正确； 对于B，由题意可知被抽取的200名学生或他们的成绩是样本，所以B正确； 对于C，若样本数据，，…，的平均数为2，方差为3，则，，…，的平均数为，方差为，所以C正确； 对于D，该组数据的平均数等于，去掉17后，得到的新数据的平均数仍然为17，两组数据的平均数相等，故D错误． 故选：ABC 10. 在中，分别为角的对边，下列叙述正确的是（ ） A. B. 若，则为等腰三角形 C. 若为锐角三角形，则 D. 若，则为钝角三角形 【答案】ACD 【解析】 【分析】做中边上的高，可以证明，可判断A正确； 由正弦定理得到，求得或，可判定B不正确； 由锐角三角形，得到，结合正弦函数的单调性，可判定C正确； 由，得到中一定有一个小于0成立，可判定D正确. 【详解】 对于A中，做中边上的高，则， 同理在直角三角形和钝角三角形中也可证，所以A正确； 对于B中，由，可得，即， 因为，可得或，即或， 所以为等腰或直角三角形，所以B不正确； 对于C中，由为锐角三角形，可得，则， 因为，可得， 又函数在上为单调递增函数，所以，所以C正确； 对于D中，因为，由， 可得中一定有一个小于0成立，不妨设，可得， 所以为钝角三角形，所以D正确； 故选：ACD 11. 在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（ ） A. 当时，的周长为定值 B. 当时，三棱锥的体积为定值 C. 当时，有且仅有一个点，使得 D. 当时，有且仅有一个点，使得平面 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，由于等价向量关系，联系到一个三角形内，进而确定点的坐标； 对于B，将点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值； 对于C，考虑借助向量的平移将点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解点的个数； 对于D，考虑借助向量的平移将点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解点的个数． 【详解】 易知，点在矩形内部（含边界）． 对于A，当时，，即此时线段，周长不是定值，故A错误； 对于B，当时，，故此时点轨迹为线段，而，平面，则有到平面的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确． 对于C，当时，，取，中点分别为，，则，所以点轨迹为线段，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，，，，则，，，所以或．故均满足，故C错误； 对于D，当时，，取，中点为．，所以点轨迹为线段．设，因为，所以，，所以，此时与重合，故D正确． 故选：BD． 【点睛】本题主要考查向量的等价替换，关键之处在于所求点的坐标放在三角形内． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 甲、乙两套设备生产的同类产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80 的样本进行检测.若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件. 【答案】1800 【解析】 【详解】试题分析：由题共有产品4800名，抽取样本为80，则抽取的概率为；，再由50件产品由甲设备生产，则乙设备生产有30件，则乙设备在总体中有；． 考点：抽样方法的随机性. 13. 已知平行四边形中，，，.若点满足，点为中点，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用为基底，表达出，利用数量积运算法则计算出答案. 【详解】由题意可得：， ，， . 故答案为：. 14. 如图，在三棱锥中， ，，，为的中点，过作平面，则平面截三棱锥外接球所得截面面积的最小值为___. 【答案】 【解析】 【分析】先求得三棱锥外接球半径，进而求得平面截三棱锥外接球所得截面面积的最小值. 【详解】取中点F，连接. 由，，可得,, 又，则， 又，，则， 又面，则面， 又F为外心，则三棱锥外接球球心O在直线上， 延长交球O于，连接， 则，设球O半径为R，则， 解之得，，则， 又为的中点，则， ， 则平面截三棱锥外接球所得截面面积最小时 即为以为直径的圆的面积，该圆面积为 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字声明、证明过程及演算步骤． 15. 已知向量与的夹角为，且，． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用向量的数量积的定义即可求解；（2）根据题意，利用向量的数量积的运算律，直接计算，即可求解； 【小问1详解】 因为向量与的夹角为，且，， 则． 【小问2详解】 因为向量与的夹角为，且，，且, 可得 16. 某校为了解高一学生在五一假期中参加社会实践活动的情况，抽样调查了其中的100名学生，统计他们参加社会实践活动的时间（单位：小时），并将统计数据绘制成如图的频率分布直方图． （1）估计这100名学生在这个五一假期中参加社会实践活动的时间的众数，中位数，平均数； （2）估计这100名学生在这个五一假期中参加社会实践活动的时间的75百分位数（结果保留两位小数）． 【答案】（1）众数是20；中位数是；平均数为20.32 （2）23.86 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图求出的值，然后根据众数、中位数、平均数的概念计算； （2）根据75百分位数确定所在区间，再计算即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图可看出最高矩形底边上的中点值为20，故众数是20； 由，解得， ∵，且， ∴中位数位于之间，设中位数为， ，解得，故中位数是； 平均数为； 【小问2详解】 75百分位数即为上四分位数， 又∵，， ∴上四分位数位于之间，设上四分位数为， 则，解得． （三）阅读Ⅲ（本题共4小题，21分） 17. 如图所示，在三棱柱中，侧棱底面ABC，且底面是边长为2的正三角形，侧棱长为1，D是AC的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成的角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取，构造三角形中位线可证； （2）借助线面垂直的性质作出线面角直接求解即可. 【小问1详解】 证明：设，连接，因为四边形为平行四边形， 所以中点，又因为为中点，所以， 因为平面，平面，所以平面，得证． 【小问2详解】 取中点，连接、， 因为底面，平面，所以， 因为是正三角形，是的中点，所以， 又因为，平面，所以平面， 因为平面，所以，又因为，所以， 又，，平面，所以平面， 所以为直线与平面所成的角， ， 所以直线与平面所成的角的正弦值为． 18. △ABC的内角的对边分别为,已知△ABC的面积为 (1)求; (2)若求△ABC的周长. 【答案】(1)(2) . 【解析】 【详解】试题分析：（1）由三角形面积公式建立等式，再利用正弦定理将边化成角，从而得出的值；（2）由和计算出，从而求出角，根据题设和余弦定理可以求出和的值，从而求出的周长为. 试题解析：（1）由题设得，即. 由正弦定理得. 故. （2）由题设及（1）得，即. 所以，故. 由题设得，即. 由余弦定理得，即，得. 故的周长为. 点睛:在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可. 19. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，且，，侧面底面. 若. （1）求证：平面； （2）侧棱上是否存在点，使得平面？若存在，指出点 的位置并证明，若不存在，请说明理由； （3）求二面角的余弦值. 【答案】（1）见解析（2）见解析（3） 【解析】 【分析】（Ⅰ）证明线面垂直一般是证线线垂直，由题知，所以．又因为侧面底面，且侧面底面，所以底面，即可得；在中，可证得，综上即证平面； （Ⅱ）先假设在上存在中点，使得平面，设的中点是，连结，，， 可证得四边形为平行四边形，即得，故平面，即假设成立； （Ⅲ）设为中点，连结，则，由题得平面，过作于， 连结，由三垂线定理可知，所以是二面角的平面角，在中，即可求得的余弦值，即为二面角的余弦值． 【详解】（Ⅰ）因为，所以． 又因为侧面底面，且侧面底面， 所以底面． 而底面， 所以． 在底面中，因为，， 所以， 所以． 又因为， 所以平面． （Ⅱ）在上存在中点，使得平面， 证明如下：设的中点是， 连结，，， 则，且． 由已知， 所以．又， 所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以． 因为平面，平面， 所以平面． （Ⅲ）设为中点，连结， 则． 又因平面平面， 所以平面． 过作于， 连结，由三垂线定理可知． 所以是二面角的平面角． 设，则,． 在中，，所以． 所以，． 即二面角的余弦值为． 考点：1．线面垂直的判定；2．线面平行；3．二面角． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$