精品解析：上海市杨浦区复旦大学附属中学2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题

2024学年度上海市复旦大学附属中学高一第二学期5月阶段测试卷（A卷） 数学试卷 （考试时间120分钟 满分150分） 考生注意： 1. 带2B铅笔、黑色签字笔、科学计算器、考试中途不得传借文具. 2. 请作答在答题纸上，作答在试卷上一律不予评分. 3. 禁止携带通讯设备进入考场. 4. 草稿纸由监考老师统一发放，不得自行准备草稿纸. 5. 本试卷共3页，21道试题，满分100分，考试时间120分钟. 一.填空题（12题共54分，1~6题每题4分，7~12题每题5分） 1. 已知则________. 2. 满足为奇函数的所有组成的集合有______个子集. 3. 已知所有周长为x的扇形中面积最大的扇形面积为x，则该扇形周长为________. 4. 已知向量向量，则在方向上的数量投影为________. 5. 复平面上的复数z满足，则复数z对应的点的轨迹上的单位向量为________. 6. 小董同学认为：函数就是单调增函数，若用反证法证明该命题，推出的矛盾可以为________. 7. 下列命题中，所有真命题的序号为________. ①虚轴上的点所对应的数是纯虚数； ②若z为纯虚数i，则z的平方根为虚数； ③若复数 ()是某一元二次方程的根，则一定是该方程的另一个根. 8. 最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，根据记载，商高曾经和周公讨论过“勾股弦”的问题，我国的《九章算术》也有记载，所以，商高比毕达哥拉斯早多年发现勾股定理.现有满足“勾股弦”，其中，为弦上一点（不含端点），且满足勾股定理，则___________. 9. 已知是边长为6的等边三角形，是的内切圆上一动点，则的最大值为_________． 10. 已知三角形内接圆半径为1，外接圆半径为5，则该三角形周长的最小值为_________. 11. 已知有一内角与其半角不为同一象限角，且，，则边长的取值范围为_________. 12. 定义：为不小于的最小整数，设，，各有个零点所需要的整周期为()，()，()，若的内角正弦值之比满足：，则m的取值集合为________. 二.选择题（4题共18分，13~14每题4分，15~16每题5分） 13. 小张同学尺规作图，画一个三角形，三条高的长度分别为，则小张同学（ ） A. 不能作出这样的三角形 B. 能作出一个锐角三角形 C. 能作出一个钝角三角形 D. 能作出无数个钝角三角形 14. 小张同学在学习了向量的数量积后，想出一道题考考同学们，题目和他给出的答案如下： 题目：，求的值．答案：的值为7. 则他的数学老师小朱老师最有可能给出的评价为（ ） A. 题目正确，答案正确 B. 题目错误，答案错误 C. 题目错误，答案正确 D. 题目正确，答案错误 15. 小马同学和小虎同学记忆公式十分马虎，他们要求一个等腰的面积，小马同学把余弦定理记忆为：小虎同学把正弦定理记忆为： 则小马同学能把该三角形面积求对是小虎同学能把该三角形面积求对的（ ） A. 充要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要非充分条件 D. 既不充分也不必要条件 16. 对于的绝对值函数的性质研究，可以借助将图象在x轴下半部分沿x轴翻折进行研究.那么对于函数的绝对值函数：的共性的两个命题（ ） ①这三个绝对值函数较原函数周期均减半；②在[0,π]的区间上，这三个绝对值函数周期性与原函数相同. A. ①正确，②错误 B. ①错误，②正确 C. ①②均正确 D. ①②均错误 三.解答题（共78分，17~19每题14分，20~21每题18分） 17. 已知复数且是关于x的方程的两根. （1）若该方程既没有不同的两个实数根，又没有不同的两个虚数根，判断方程根的情况并求：p，q满足的关系式； （2）若复数满足，若，求：a的取值集合. 18. 已知复平面内分别与复数，，，对应的四点分别为. （1）求证：四点共圆； （2）若还有三点与共圆，其对应的复数为，若；求：的面积. 19. 从基本函数出发，研究分段函数是我们需要掌握的函数能力，已知函数. （1）请在平面直角坐标系中画出该函数的图象，并直接写出该函数最少沿x轴向左平移几个单位可以成为偶函数； （2）若锐角中有两个内角与x值相同，求此时函数：的解析式，定义域与值域. 20. 设扇形的圆心角为，则以O为圆心，弧的长为半径，保持圆心角不变作扇形，再以O为圆心，弧的长为半径作扇形，如此无限重复操作. （1）设与的长度差的绝对值为d，弧的长为，弧的长为，试用表示扇环的面积； （2）当弧的长为，时，求：所有扇形的面积和； （3）当时，求扇环周长与面积之比是否存在最大值，若存在，求取到最大值时的与；若不存在，说明理由. 21. 新定义：对于函数，若满足恒成立，则称为“绝比函数”. （1）是否存在定义域为的周期函数为“绝比函数”，请说明理由； （2）求：周期为P的函数是“绝比函数”的充要条件； （3）若对于任意T≤0，满足在定义域上均为“绝比T函数”，求：a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年度上海市复旦大学附属中学高一第二学期5月阶段测试卷（A卷） 数学试卷 （考试时间120分钟 满分150分） 考生注意： 1. 带2B铅笔、黑色签字笔、科学计算器、考试中途不得传借文具. 2. 请作答在答题纸上，作答在试卷上一律不予评分. 3. 禁止携带通讯设备进入考场. 4. 草稿纸由监考老师统一发放，不得自行准备草稿纸. 5. 本试卷共3页，21道试题，满分100分，考试时间120分钟. 一.填空题（12题共54分，1~6题每题4分，7~12题每题5分） 1. 已知则________. 【答案】## 【解析】 【分析】先利用辅助角公式化简原函数，再结合同角三角函数的基本关系求解即可. 【详解】由辅助角公式得 ， 令， 则由同角三角函数的基本关系得. 故答案为：. 2. 满足为奇函数的所有组成的集合有______个子集. 【答案】1 【解析】 【分析】由奇函数的性质有求得，再验证是否满足题设得到对应空集，即可得. 【详解】由题设，则，故， 当，则，不符合； 当，则，不符合； 综上，不存在这样的值，即对应空集，故子集个数为1. 故答案为：1 3. 已知所有周长为x的扇形中面积最大的扇形面积为x，则该扇形周长为________. 【答案】 【解析】 【分析】设扇形所在圆的半径为，弧长为，得到，再由，结合基本不等式，即可求解. 【详解】设扇形所在圆的半径为，弧长为，则，即 则， 所以，解得，即该扇形周长为. 故答案为：. 4. 已知向量向量，则在方向上的数量投影为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据数量投影的定义可得答案. 【详解】由已知， . 故答案为：. 5. 复平面上的复数z满足，则复数z对应的点的轨迹上的单位向量为________. 【答案】 或 【解析】 【分析】设，由题可得，再设满足题意的向量为，有，据此可得答案. 【详解】设，由题可得， 设复数z对应的点的轨迹上的单位向量为，则. 则 则， 则或，又，则. 故答案为： 或 6. 小董同学认为：函数就是单调增函数，若用反证法证明该命题，推出的矛盾可以为________. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】利用增函数的定义，结合正切函数的图象性质即可得解. 【详解】假定函数是增函数，则对函数定义域内任意，，必有， 取，显然，而，即， 与矛盾，因此假设是错的，所以推出的矛盾可以是. 故答案为： 7. 下列命题中，所有真命题的序号为________. ①虚轴上的点所对应的数是纯虚数； ②若z为纯虚数i，则z的平方根为虚数； ③若复数 ()是某一元二次方程的根，则一定是该方程的另一个根. 【答案】② 【解析】 【分析】由坐标原点可判断①，通过求解，可判断②，通过可判断③. 【详解】对于①，坐标原点在虚轴上，其对应的数为为实数，错误； 对于②设的平方根为，则，即， 故，解得或， 所以..的平方根为或，显然z的平方根是虚数，故②正确； 对于③，令，则是方程的一个根，但方程的另一个根是，并非，错误； 故答案为：② 8. 最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，根据记载，商高曾经和周公讨论过“勾股弦”的问题，我国的《九章算术》也有记载，所以，商高比毕达哥拉斯早多年发现勾股定理.现有满足“勾股弦”，其中，为弦上一点（不含端点），且满足勾股定理，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用面积桥可求得，进而得到，利用数量积定义可求得结果. 【详解】由题意知：，，，， 满足勾股定理，， ，则， 又，. 故答案为：. 9. 已知是边长为6的等边三角形，是的内切圆上一动点，则的最大值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，建立平面直角坐标系，设，，表示出，，根据数量积的坐标表示及余弦函数的性质计算可得. 【详解】如图取的中点，建立平面直角坐标系，则，，， 则内切圆的圆心在上，设圆心为，则为靠近的三等分点，即， 内切圆的半径， 因为点是的内切圆上一动点，设，， 则，， 所以， 因为，所以， 则， 则，当，即时取得最大值. 故答案为： 10. 已知三角形内接圆半径为1，外接圆半径为5，则该三角形周长的最小值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】由等面积法得，再结合三元均值不等式即可求解. 【详解】设三角形三边长为，由题意内接圆半径，外接圆半径为 由等面积法可知，， 即，由三元均值不等式可得， 解得，等号成立当且仅当. 故答案为：. 11. 已知有一内角与其半角不为同一象限角，且，，则边长的取值范围为_________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得内角为钝角或直角，则（或）为钝角或直角，结合三角形的性质及余弦定理求解. 【详解】中，，，， 则，即， 因为有一内角与其半角不为同一象限角， 所以内角为钝角或直角，则（或）为钝角或直角， 则或， 由余弦定理得（其中）或（其中）， 即（其中）或（其中）， 解得或，又， 则或，即边长的取值范围为. 故答案为：. 12. 定义：为不小于的最小整数，设，，各有个零点所需要的整周期为()，()，()，若的内角正弦值之比满足：，则m的取值集合为________. 【答案】，其中 【解析】 【分析】先探索()，()，()与的关系，再根据正弦定理得到的值，结合三角形的边的关系确定的取值集合. 【详解】因为函数，的最小正周期均为，且在一个周期上，，各有2个零点，因此产生个零点所需要的整周期. 因为函数的最小正周期均为，且在一个周期上，有1个零点，因此产生个零点所需要的整周期. 当为奇数时，，此时， 由正弦定理：，所以，因为，所以存在使得成立； 当为偶数时，，此时， 即，因为，所以不存在使得. 综上，的值应该为正奇数. 故答案为：，其中 二.选择题（4题共18分，13~14每题4分，15~16每题5分） 13. 小张同学尺规作图，画一个三角形，三条高的长度分别为，则小张同学（ ） A. 不能作出这样的三角形 B. 能作出一个锐角三角形 C. 能作出一个钝角三角形 D. 能作出无数个钝角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】由余弦定理即可求解. 【详解】设边上的高分别为，则， 所以最大角的余弦值满足，， 所以能作出一个钝角三角形. 故选：C. 14. 小张同学在学习了向量的数量积后，想出一道题考考同学们，题目和他给出的答案如下： 题目：，求的值．答案：的值为7. 则他的数学老师小朱老师最有可能给出的评价为（ ） A. 题目正确，答案正确 B. 题目错误，答案错误 C. 题目错误，答案正确 D. 题目正确，答案错误 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量加法的几何意义，有：，可得，因此题目条件自相矛盾，题目错误，答案错误． 【详解】根据向量加法的几何意义，有：， 代入已知条件，则， 但题目中给出的，互相矛盾， 因此题目条件自相矛盾，题目错误． 若强行按公式计算： ，解得， 虽然计算过程正确，但由于题目条件本身不成立，此结果无实际意义，答案错误． 综上，题目条件矛盾且答案无意义． 故选：B． 15. 小马同学和小虎同学记忆公式十分马虎，他们要求一个等腰的面积，小马同学把余弦定理记忆为：小虎同学把正弦定理记忆为： 则小马同学能把该三角形面积求对是小虎同学能把该三角形面积求对的（ ） A. 充要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要非充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据正确的正余弦定理,求出在什么样的特殊情况下用错误的正余弦定理也能求出正确结果,计算出特殊情况,求出结果. 【详解】根据题意,当小马同学能做对时,即, 解得即,因为是等腰三角形,所以当是等腰直角三角形时小马能做对. 当小虎同学能做对时即 化简得,即是等边三角形时小马能做对.所以是既不充分也不必要条件. 故选:D. 16. 对于的绝对值函数的性质研究，可以借助将图象在x轴下半部分沿x轴翻折进行研究.那么对于函数的绝对值函数：的共性的两个命题（ ） ①这三个绝对值函数较原函数周期均减半；②在[0,π]的区间上，这三个绝对值函数周期性与原函数相同. A. ①正确，②错误 B. ①错误，②正确 C. ①②均正确 D. ①②均错误 【答案】D 【解析】 【分析】根据题设描述，结合三角函数的性质判断两个命题的真假即可得. 【详解】对于，其最小正周期为，而的最小正周期也为，①错； 对于与、与，原函数的周期都是，而绝对值函数周期为，②错. 故选：D 三.解答题（共78分，17~19每题14分，20~21每题18分） 17. 已知复数且是关于x的方程的两根. （1）若该方程既没有不同的两个实数根，又没有不同的两个虚数根，判断方程根的情况并求：p，q满足的关系式； （2）若复数满足，若，求：a的取值集合. 【答案】（1）方程有两个相同的实数根，满足：△ （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得方程有两个相等的实数根，判别式为0； （2）首先求得，进一步得，然后即可列方程求解. 【小问1详解】 若该方程既没有不同的两个实数根，又没有不同的两个虚数根， 则方程有两个相等的实数根，从而，即； 【小问2详解】 由题意，即， 所以， ， 即，解得， 故所求为. 18. 已知复平面内分别与复数，，，对应的四点分别为. （1）求证：四点共圆； （2）若还有三点与共圆，其对应的复数为，若；求：的面积. 【答案】（1） ，复数对应的点为，对应的向量为，其中； 因为， 所以， 复数对应的点为，对应的向量为，其中； 复数对应的点为，对应的向量为，其中； 对应的点为，对应的向量为，其中； 因为，所以四点在以原点为圆心，1为半径的圆上； （2）或 【解析】 【分析】（1）根据复数的几何意义，写出对应的向量，进而可知向量的模相等，由此可证； （2）根据复数的几何意义及余弦定理即可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 根据已知 ，又 又由复数的加减法法则的几何意义及余弦定理，知 ， ， 因为向量的夹角范围为，所以 ， ． 如图，当 与 反向共线时，满足∠ 此时的面积 如图，当 在 的内部时， 的面积 因此 的面积 或 ． 19. 从基本函数出发，研究分段函数是我们需要掌握的函数能力，已知函数. （1）请在平面直角坐标系中画出该函数的图象，并直接写出该函数最少沿x轴向左平移几个单位可以成为偶函数； （2）若锐角中有两个内角与x值相同，求此时函数：的解析式，定义域与值域. 【答案】（1） （2），值域为. 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合正弦和余弦函数的性质，作出函数的图象，结合图象，即可求解； （2）由为锐角三角形，得出，得到，进而得到函数的解析式和值域. 【小问1详解】 解：由函数， 结合正弦函数与余弦函数的图象与性质，可得函数图象， 结合函数图象，最少向左平移个单位，函数成为偶函数. 【小问2详解】 解：由为锐角三角形的充要条件是， 根据和的性质，当时，， 所以，此时值域为. 20. 设扇形的圆心角为，则以O为圆心，弧的长为半径，保持圆心角不变作扇形，再以O为圆心，弧的长为半径作扇形，如此无限重复操作. （1）设与的长度差的绝对值为d，弧的长为，弧的长为，试用表示扇环的面积； （2）当弧的长为，时，求：所有扇形的面积和； （3）当时，求扇环周长与面积之比是否存在最大值，若存在，求取到最大值时的与；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2） （3）不存在最大值，理由为： 扇环周长与面积之比不存在最大值，理由如下： 由题意，若构成扇环，则， 由，则， 又，故数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，则， 当时，， 则扇环的周长 ； 扇环的面积 ； 故周长与面积之比， 记， 由，可得且， 故数列为递减数列，故当时，最大，最大值为. 设，则当时，， 故当时，无最大值，即无最大值； 当时，， 则扇环的周长 ； 扇环的面积 ； 故周长与面积之比， 记， 由，可得且， 故数列为递增数列，且当时，， 故无最大值，即无最大值； 综上所述，扇环周长与面积之比不存在最大值. 【解析】 【分析】（1）按与（扇形半径与）的大小分类讨论，根据扇形弧长与面积公式求解化简可得； （2）结合相似性求出面积比，利用等比数列求和公式求和再求极限可得； （3）分与两类分别求解比值，结合指数函数单调性可得数列单调性，进而可结合函数变化趋势分析最值情况. 【小问1详解】 由题意设，则， 当，即时， 由已知， 则扇环的面积 ； 当，即时，， 同理可得，扇环的面积为， 综上所述，扇环的面积为； 【小问2详解】 设，扇形的弧长为，面积为， 扇形的面积为， 由题意，且，故，， 故， 所以，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 从而， 从而所有扇形的面积和为； 【小问3详解】 略 21. 新定义：对于函数，若满足恒成立，则称为“绝比函数”. （1）是否存在定义域为的周期函数为“绝比函数”，请说明理由； （2）求：周期为P的函数是“绝比函数”的充要条件； （3）若对于任意T≤0，满足在定义域上均为“绝比T函数”，求：a的取值范围． 【答案】（1）答案解析悬赏征集中,欢迎大牛老师们踊跃投稿!联系人QQ:2853279698 （2），，其中 （3） 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 答案解析悬赏征集中,欢迎大牛老师们踊跃投稿!联系人QQ:2853279698 【小问3详解】 答案解析悬赏征集中,欢迎大牛老师们踊跃投稿!联系人QQ:2853279698 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $