精品解析：山东省烟台莱州市（五四制）2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题

2024－2025学年度第二学期期中学业水平检测 八年级数学试题 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡，试题卷共8页，共3道大题，26道小题，满分120分．考试时间为120分钟． 2．答题前，请将自己的班级、姓名、座号填写在相应的位置上． 一、选择题（本题共10个小题，下列每小题均给出标号为A、B、C、D的四个备选答案，其中只有一个是正确的）． 1. 下列二次根式：、、、中，是最简二次根式的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的知识点是最简二次根式的定义，解题关键是熟练掌握最简二次根式的定义． 根据最简二次根式的定义，逐一判断各二次根式是否符合条件：被开方数不含分母，且不含能开方的因数或因式． 【详解】解：：被开方数是质数，无平方因子，且不含分母，故为最简二次根式； ：被开方数含分母，需化为，故不是最简二次根式； ：被开方数含平方因子，可化简为，故不是最简二次根式； ：被开方数无法分解为平方和以外的形式，无平方因子，故为最简二次根式； 综上，最简二次根式有个． 故选：． 2. 下列方程中，是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数且未知数最高次为2的整式方程，可直接选出答案． 【详解】A．该选项的方程不是整式方程，故本选项不符合题意； B．，是一元二次方程，故本选项符合题意； C．当时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D．整理可得，不是一元二次方程，故本选项不合题意． 故选：B． 3. 已知，则的值是 A. B. － C. 2 D. －2 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵， ∴-=， ∴=， ∴=． 故选：D． 4. 下列计算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，根据运算法则逐项计算即可． 【详解】解：A：，计算正确； B：，计算正确； C：，计算正确； D：，选项计算错误； 故选：D 5. 要使有意义，则x应满足（ ） A. ≤x≤3 B. x≤3且x≠ C. ＜x＜3 D. ＜x≤3 【答案】D 【解析】 【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解． 【详解】解：由题意得： 解不等式①得，≤3， 解不等式②的，＞， 所以，＜≤3． 故答案选：D． 【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，正确把握定义是解题的关键． 6. 已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x﹣m2＝0的两根，下列结论中不一定正确的是（　　） A. x1+x2＞0 B. x1•x2＜0 C. x1≠x2 D. 方程必有一正根 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，求出x1x2，x1＋x2的值，分析后即可判断A项，B项是否符合题意；再结合判别式，分析后即可判断C项，D项是否符合题意． 【详解】解：A、根据根与系数的关系可得出x1＋x2＝2＞0，结论A正确，不符合题意； B、根据根与系数的关系可得出x1x2＝−m2≤0，结论B不一定正确，符合题意； C、根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ＞0，由此即可得出x1≠x2，结论C正确，不符合题意； D、由x1•x2＝−m2≤0，结合两根之和大于0可得出方程必有一正根，结论D正确，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 7. 已知关于的一元二次方程、、是常数，且的解是，，则方程的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. 该方程无解 【答案】C 【解析】 【分析】根据换元法求解，令，，即可求出方程的解. 【详解】由题意得， ，， ∴，. 故选C. 【点睛】此题考查利用换元法解一元二次方程，注意要根据方程的特点灵活选用合适的方法. 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它,从而使问题得到简化，这叫换元法.换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理. 8. 已知，，则用表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意将变形为，由此可得出答案． 【详解】解：由题意得： ， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除法运算，将变形为是解题的关键． 9. 一商店销售某种进价为20元/件的商品，当售价为60元时，平均每天可售出20件．为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施．经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出4件，若该商店每天要实现1400元的利润，每件需降价多少元？设每件商品降价元，由题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了列一元二次方程，设每件商品降价元，则每件的利润为元，根据总利润每件的利润件数即可得解． 【详解】解：设每件商品降价元， 由题意可得：， 故选：B． 10. 如图，点D，E，F分别在的边上，，，，点M是的中点，连接并延长交于点N，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点F作交AC于点G,可证．同理，可得，，；由,得，于是；设，则，，，从而得． 【详解】解：过点F作交AC于点G, ∴ ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵, ∴． ∴． 设，则， ∴ ∴． ∴． ∴． ∴． 故选：A 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理；由平行线得到线段间的数量关系是解题的关键． 二、填空题（本题共8个小题） 11. 写出一个以和2为根的一元二次方程：______． 【答案】x2+x-6=0（答案不唯一） 【解析】 【详解】∵2+（-3）=-1，2×（-3）=-6 ∴方程为：x2+x-6=0 12. 如图所示，直线，直线、、对应刻度尺上的刻度读数分别是5cm、8cm、14cm，若，则等于________cm． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用．根据平行线分线段成比例定理得出，代入数据，求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：8． 13. 已知三条线段的长分别是，和，则再加一条________的线段，才能使这四条线段成比例． 【答案】或或 【解析】 【分析】运用比例的基本性质，将所添的数当作比例式中的任何一项，进行计算即可． 【详解】解：设所加的线段是x，则得到： 或或 解得：或x=8或2 故答案为或x=8或2． 【点睛】本题主要考查了成比例线段，解题的关键是理解成比例线段的概念，写比例式的时候，要注意分情况讨论． 14. 若与最简二次根式是同类二次根式，则的值为________． 【答案】4 【解析】 【分析】先将化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义即可进行解答． 【详解】解：， ∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴，解得：， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了最简二次根式，同类二次根式，解题的关键是掌握最简二次根式的特征：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．以及同类二次根式的定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式． 15. 若，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了化简二次根式，整式的加减计算，先把原式变形为，再化简二次根式后，利用整式的加减计算法则求解即可． 【详解】解；∵， ∴ ， 故答案为：． 16. 当多项式存在最大值时，x的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】将该多项式配方，转化为非负性的形式即可； 【详解】解： ∵ ∴ 当时，原代数式有最大值，最大值为 故答案为： 【点睛】本题考查了完全平方式，熟练掌握配完全平方式的方法是解题的关键． 17. 已知不相等实数，满足，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形，分式的化简求值等知识．熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形，分式的化简求值是解题的关键． 由题意知，，，则是的两个根，即，根据，代值求解即可． 【详解】解：由题意知，，， ∴是的两个根， ∴， ∴， 故答案为：． 18. 观察下列一组由★排列的“星阵”，按图中规律，若某个“星阵”中的★的个数为112个，则这个图的序号是________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了图形类规律探索，解一元二次方程，从所给图形中发现并总结出一般规律是解题的关键． 从所给图形中可发现并总结出一般规律：图（）中★的个数是，由此可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：由题意可得： 图（1）一共有个★， 图（2）一共有个★， 图（3）一共有个★， 图（4）一共有个★， 图（）中★的个数是：， 当时，则， 解得或（舍去）， ∴若某个“星阵”中的★的个数为112个，则这个图的序号是10， 故答案为：10． 三、解答题（本大题共8个小题，要写出必要的解答过程或推理步骤） 19. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，熟知二次根式的相关计算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式，再去括号后计算二次根式乘法，最后计算加减法即可得到答案； （2）根据二次根式的乘除法计算法则求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解； ． 20. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力． （1）先移项，再利用因式分解法解方程即可； （2）先化为一般形式，再利用公式法解方程即可． 【小问1详解】 解：， 移项得， 因式分解得， ∴或， 解得，； 【小问2详解】 解：， ， ，，， ， ， 解得． 21. 已知． （1）求和的值； （2）求的值； （3）若的小数部分是，的整数部分是，求的值． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、利用完全平方公式进行计算、无理数的估算，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）代入即可求出和的值； （2）将原式变形为，代入数值进行计算即可； （3）先估算出，从而得出，，再代入进行计算即可得出答案． 【小问1详解】 解：， ，； 【小问2详解】 解：由（1）得：，， 【小问3详解】 解：， ，即， ， ， 的小数部分是， ， ，的整数部分是， ， ． 22. 某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究： 材料1．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：（其中a，b，c为三角形的三边长）． 材料2．古希腊的几何学家海伦在《度量》一书中，给出了求面积的海伦公式（其中a，b，c为三角形的三边长，） 请你用适合的公式解决问题． （1）三角形的三边长为，，，则面积为 ； （2）如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查二次根式的应用，勾股定理，关键是根据三角形的面积公式解答． （1）根据秦九韶公式即可得到结论； （2）根据勾股定理求出，再由秦九韶公式，二次根式的计算解答即可． 【小问1详解】 解：，，， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：连接， 四边形中，，，， ， 的面积， ， 的面积， 四边形的面积为． 23. 已知关于x的一元二次方程 （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为5．当△ABC是等腰三角形时，求k的值 【答案】 （1）证明：∵△=（2k+1）2-4（k2+k）=1＞0， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）或 【解析】 【分析】（1）先计算出△=1，然后根据判别式的意义即可得到结论； （2）先利用公式法求出方程的解为x1=k，x2=k+1，然后分类讨论：AB=k，AC=k+1，当AB=BC或AC=BC时△ABC为等腰三角形，然后求出k的值． 【详解】（1）略 （2）解：一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+k=0的解为x=， 即x1=k，x2=k+1， ∵k＜k+1， ∴AB≠AC． 当AB=k，AC=k+1，且AB=BC时，△ABC是等腰三角形，则k=5； 当AB=k，AC=k+1，且AC=BC时，△ABC是等腰三角形，则k+1=5，解得k=4， 所以k的值为5或4． 【点睛】本题考查了：1．根的判别式；2．解一元二次方程；3．三角形三边关系；4．等腰三角形的性质． 24. 阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，这样的式子，其实我们还可以进一步化简： ；（一） ；（二） ；（三） 以上这种化简的步骤叫做分母有理化．还可以用以下方法化简： （四） （1）请用不同的方法化简． ①参照（三）式化简； ②参照（四）式化简． （2）若有理数、满足，求的值． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）仿照例题化简即可； （2）先仿照例题进行化简，然后整理对应相等即可； 【小问1详解】 解：①． ②． 【小问2详解】 解：由条件可化简：，， 可化为： ， 整理得：， ， ． 【点睛】本体考查了分式的化简，以及二元一次方程组的解法，材料的准确解读是解题关键． 25. 【教材呈现】下面是华师版教材九年级上册52页的部分内容： 我们可以发现，当两条直线与一组平行线相交时，所截得的线段存在一定的比例关系：．这就是如下的基本事实： 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．（简称“平行线分线段成比例”） 【问题原型】如图①，在矩形中，点为边的中点，过作交边于点，点、分别在矩形的边、上，连结交于点． 求证：． 【结论应用】如图②，在【问题原型】的基础上，点在边上（不与点Q重合），连结PR交EF于点N． （1）若＝，则线段的长为________； （2）当点与点重合，点与点重合时，如图③，若＝，且周长的最小值为，则边的长为________． 【答案】 [问题原型]证明：∵点为边的中点， ∴， 在矩形中，， ∵， ∴ ∴ ∴ [结论应用]（1）；（2） 【解析】 【分析】[问题原型]根据平行线分线段成比例即可得证； [结论应用]（1）根据平行线分线段成比例得出，，进而得到是的中位线，即可求解； （2）根据（1）的结论得出是是的中位线，当为中点时得出的周长的最小值为，进而勾股定理即可求解． 【详解】[问题原型]略 [结论应用]（1）根据题意可得 ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：如图所示， 作点关于的对称点，连接， ∴， 当在上时，取得最小值， 又∵是的中点， ∴是的中位线， ∴是的中点，则 即当顶点是 中点时，三角形的面积取得最小值， ∵根据（1）的结论得出是是的中位线，＝，且周长的最小值为， ∴的周长为， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，中位线的性质与判定，轴对称的性质求线段的最小值，熟练掌握以上知识是解题的关键． 26. 如图1，为美化校园环境，某校计划在一块长为100米，宽为60米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a米﹒ （1）用含a的式子表示花圃的面积； （2）如果通道所占面积是整个长方形空地面积的，求出此时通道的宽； （3）已知某园林公司修建通道的单价是50元/米2，修建花圃的造价y（元）与花圃的修建面积S（m2）之间的函数关系如图2所示，并且通道宽a（米）的值能使关于x的方程x2-ax+25a-150有两个相等的实根，并要求修建的通道的宽度不少于5米且不超过12米，如果学校决定由该公司承建此项目，请求出修建的通道和花圃的造价和为多少元？ 【答案】(1)4a2-320a+6000；(2) 通道的宽为5米；(3) 318000元．   【解析】 【详解】分析：(1)、用含a的式子先表示出花圃的长和宽后利用矩形面积公式列出式子即可；(2)、根据通道所占面积是整个长方形空地面积的，列出方程进行计算即可；(3)、根据方程有两个相等的实数根求得a的值，然后分别求得花圃和甬道的面积及造价即可． 详解：(1)、由图可知，花圃的面积为（100-2a）（60-2a）=4a2-320a+6000； (2)、由已知可列式：100×60-（100-2a）（60-2a）=×100×60， 解得：a1=5，a2=75（舍去），所以通道的宽为5米； (3)、∵方程x2-ax+25 a-150=0有两个相等的实根， ∴△=a2-25a+150=0，解得：a1=10，a2=15， ∵5≤a≤12， ∴a=10． 设修建的花圃的造价为y元，y=55.625S； 当a=10时，S花圃=80×40=3200（m2）；y花圃=3200×55.625=178000（元）， S通道=100×60-80×40=2800（m2）；y通道=2800×50=140000（元）， 造价和：178000+140000=318000（元）．   点睛：本题考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是表示出花圃的长和宽，属于中档题，难度不算大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年度第二学期期中学业水平检测 八年级数学试题 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡，试题卷共8页，共3道大题，26道小题，满分120分．考试时间为120分钟． 2．答题前，请将自己的班级、姓名、座号填写在相应的位置上． 一、选择题（本题共10个小题，下列每小题均给出标号为A、B、C、D的四个备选答案，其中只有一个是正确的）． 1. 下列二次根式：、、、中，是最简二次根式的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2. 下列方程中，是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则的值是 A. B. － C. 2 D. －2 4. 下列计算错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 要使有意义，则x应满足（ ） A. ≤x≤3 B. x≤3且x≠ C. ＜x＜3 D. ＜x≤3 6. 已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x﹣m2＝0的两根，下列结论中不一定正确的是（　　） A. x1+x2＞0 B. x1•x2＜0 C. x1≠x2 D. 方程必有一正根 7. 已知关于的一元二次方程、、是常数，且的解是，，则方程的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. 该方程无解 8. 已知，，则用表示为（ ） A. B. C. D. 9. 一商店销售某种进价为20元/件的商品，当售价为60元时，平均每天可售出20件．为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施．经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出4件，若该商店每天要实现1400元的利润，每件需降价多少元？设每件商品降价元，由题意可列方程（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点D，E，F分别在的边上，，，，点M是的中点，连接并延长交于点N，则的值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共8个小题） 11. 写出一个以和2为根的一元二次方程：______． 12. 如图所示，直线，直线、、对应刻度尺上的刻度读数分别是5cm、8cm、14cm，若，则等于________cm． 13. 已知三条线段的长分别是，和，则再加一条________的线段，才能使这四条线段成比例． 14. 若与最简二次根式是同类二次根式，则的值为________． 15. 若，则________． 16. 当多项式存在最大值时，x的值为_________． 17. 已知不相等实数，满足，，则________． 18. 观察下列一组由★排列的“星阵”，按图中规律，若某个“星阵”中的★的个数为112个，则这个图的序号是________． 三、解答题（本大题共8个小题，要写出必要的解答过程或推理步骤） 19. 计算 （1） （2） 20. 解方程： （1）； （2）． 21. 已知． （1）求和的值； （2）求的值； （3）若的小数部分是，的整数部分是，求的值． 22. 某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究： 材料1．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：（其中a，b，c为三角形的三边长）． 材料2．古希腊的几何学家海伦在《度量》一书中，给出了求面积的海伦公式（其中a，b，c为三角形的三边长，） 请你用适合的公式解决问题． （1）三角形的三边长为，，，则面积为 ； （2）如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积． 23. 已知关于x的一元二次方程 （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为5．当△ABC是等腰三角形时，求k的值 24. 阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，这样的式子，其实我们还可以进一步化简： ；（一） ；（二） ；（三） 以上这种化简的步骤叫做分母有理化．还可以用以下方法化简： （四） （1）请用不同的方法化简． ①参照（三）式化简； ②参照（四）式化简． （2）若有理数、满足，求的值． 25. 【教材呈现】下面是华师版教材九年级上册52页的部分内容： 我们可以发现，当两条直线与一组平行线相交时，所截得的线段存在一定的比例关系：．这就是如下的基本事实： 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．（简称“平行线分线段成比例”） 【问题原型】如图①，在矩形中，点为边的中点，过作交边于点，点、分别在矩形的边、上，连结交于点． 求证：． 【结论应用】如图②，在【问题原型】的基础上，点在边上（不与点Q重合），连结PR交EF于点N． （1）若＝，则线段的长为________； （2）当点与点重合，点与点重合时，如图③，若＝，且周长的最小值为，则边的长为________． 26. 如图1，为美化校园环境，某校计划在一块长为100米，宽为60米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a米﹒ （1）用含a的式子表示花圃的面积； （2）如果通道所占面积是整个长方形空地面积的，求出此时通道的宽； （3）已知某园林公司修建通道的单价是50元/米2，修建花圃的造价y（元）与花圃的修建面积S（m2）之间的函数关系如图2所示，并且通道宽a（米）的值能使关于x的方程x2-ax+25a-150有两个相等的实根，并要求修建的通道的宽度不少于5米且不超过12米，如果学校决定由该公司承建此项目，请求出修建的通道和花圃的造价和为多少元？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $