预习专题04 平面与平面间的位置关系（3知识点+13题型+过关测试）-【暑假自学课】2025年新高二数学暑假提升精品讲义（沪教版2020）

预习专题04 平面与平面间的位置关系 知识点01 平面与平面平行 1、平面与平面位置关系 位置关系 定义 符号表示 平行 平面与平面没有公共点 ∥ 相交 平面与平面有且仅有一条公共直线 2、平面与平面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 图形语言： 符号语言：且，那么 3、两个平面平行的性质定理 如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 图形语言： 符号语言：若，，则 4、几个重要结论 （1）垂直于同一条直线的两个平面平行 （2）如果两个平面平行那么在一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 （3）一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，则它也垂直于另外一个 （4）夹在两个平行平面中的平行线段相等 （5）经过平面外一点有且仅有一个平面与已知直线平行 注：①两个平面平行的判定定理中必须是“两条”“相交”直线才能得出面面平行，把条件改成“一条”、“两条”、“无数条”都不一定成立 ②面面平行则面内的所有直线都平行与另一个平面，但是分别在两个平行平面内的两条直线不一定平行 5、半平面的定义 一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点． 求证：(1)B，C，H，G四点共面； (2)平面EFA1∥平面BCHG. 【解析】证明　(1)∵GH是△A1B1C1的中位线， ∴GH∥B1C1. 又B1C1∥BC，∴GH∥BC， ∴B，C，H，G四点共面． (2)∵E，F分别为AB，AC的中点， ∴EF∥BC. ∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG， ∴EF∥平面BCHG. ∵A1G∥EB且A1G＝EB， ∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB. ∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG， ∴A1E∥平面BCHG. ∵A1E∩EF＝E，A1E，EF⊂平面EFA1， ∴平面EFA1∥平面BCHG. 知识点02 二面角 1、二面角的定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面 2、画法 第一种是卧式法，也称为平卧式： 第二种是立式法，也称为直立式： 3、二面角的平面角： （1）过二面角的棱上的一点分别在两个半平面内作棱的两条垂线，则叫做 二面角的平面角 （2）一个平面垂直于二面角的棱，且与两半平面交线分别为为垂足， 则也是的平面角 求解二面角的常用方法 1、定义法：过二面角的棱上任一点在两个面内分别作垂直于棱的直线，则两直线所构成的角即为二面角的平面角，继而在平面中求出其平面角的一种方法； 2、三垂线法：利用三垂线定理，根据 “与射影垂直 ，则也与斜线垂直”的思想构造出二面角的平面角，继而求出平面角的方法； 3、垂面法：指用垂直于棱的平面去截二面角，则截面与二面角的两个面必有两条交线，这两条交线构成的角即为二面角的平面角，继而再求出其平面角的一种方法； 4、面积射影法：根据图形及其在某一个平面上的射影面积之间的关系，利用射影的面积比上原来的面积等于二面角的余弦值，来计算二面角。此法常用于无棱的二面角； 5、法向量法：通过求与二面角垂直的两个向量所成的角，继而利用这个角与二面角的平面角相等或互补的关系，求出二面角的一种方法。 如图所示，已知三棱锥A－BCD的各棱长均为2，求二面角A－CD－B的平面角的余弦值． 【解析】解　如图，取CD的中点M，连接AM，BM， 则AM⊥CD，BM⊥CD. 由二面角的定义可知∠AMB为二面角A－CD－B的平面角． 设点H是△BCD的中心，连接AH， 则AH⊥平面BCD，且点H在线段BM上． 在Rt△AMH中，AM＝×2＝， HM＝×2×＝， 则cos∠AMB＝＝＝， 即所求二面角的平面角的余弦值为. 知识点03 平面与平面垂直 1、平面与平面垂直定义 　　两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直. 表示方法：平面与垂直，记作. 画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直. 如图： 　　　　　　　　　　 2、平面与平面垂直的判定定理 　　判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. 　　符号语言： 　　图形语言： 　　　　　　 　　特征：线面垂直面面垂直 平面与平面垂直的判定定理告诉我们，可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直.通常我们将其记为“线面垂直，则面面垂直”.因此，处理面面垂直问题处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题.以后证明平面与平面垂直，只要在一个平面内找到两条相交直线和另一个平面垂直即可. 3、平面与平面垂直的性质 　　性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 　　符号语言： 　　图形语言： 　　　　　　　　 如图，在边长为a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，求证：平面PDB⊥平面PAC. 证明　∵PC⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PC⊥BD. ∵四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD， 又PC∩AC＝C，PC，AC⊂平面PAC， ∴BD⊥平面PAC. ∵BD⊂平面PDB，∴平面PDB⊥平面PAC. 题型一、判断面面平行 例1（23-24高二下·山东潍坊·阶段练习）若，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的有（　　） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 1-1（23-24高二上·上海奉贤·期中）下列命题中，是真命题的选项为（    ） A．平行于同一条直线的两个平面平行 B．若两个平面分别经过两条平行直线，则这两个平面平行 C．分别在两个平行平面上的两条直线平行 D．与两条异面直线都平行的两个平面平行． 1-2（23-24高一下·上海嘉定·期末）已知两条直线m，n，两个平面，，给出下列四个说法： ①，，； ②，，； ③，； ④，，， 其中正确的序号是 ． 题型二、证明面面平行 例2（23-24高二上·上海普陀·阶段练习）过平面外一点，可以作这个平面的平行线的条数是（    ） A．1条 B．2条 C．超过2条但有限 D．无数条 2-1（23-24高二上·上海普陀·阶段练习）如图，在棱长为2的正方体中，E、F分别是棱，的中点，M为底面上的动点，若直线平面，则线段的长度的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 2-2（24-25高二上·上海徐汇·期中）正方体，E，F分别是棱，的中点．    (1)直线平面； (2)求异面直线与所成角的大小； 题型三、面面平行证明线线平行 例3（23-24高三下·上海松江·阶段练习）已知、、是三个不同的平面，、、是三条不同的直线，则（   ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，且，则 3-1（24-25高二上·上海·期中）已知，是，外一点，过点的两条直线，分别交于，，交于，，且，，，则的长为 . 3-2（24-25高二上·上海·课前预习）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线 ． 3-3（23-24高二上·上海徐汇·期末）如图，在正四棱柱中，底面是正方形，且，，经过顶点A和各作一个平面与平面平行，前者与平面交于，后者与平面交于，则异面直线与所成角的余弦值为 . 3-4（21-22高二上·上海杨浦·期中）已知底面边长和斜高长均为2的正四棱锥被平行于底面的平面所截得的正棱台为，且满足. (1)求证：平面 (2)求棱台的体积和表面积. 3-5（22-23高二上·上海黄浦·期末）如图，正四棱锥的底面边长为a，侧棱长为2a，点P、Q分别在BD和SC上，并且，平面，求线段PQ的长． 题型四、面面平行证明线面平行 例4（22-23高二上·上海长宁·阶段练习）在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，F是侧面内的动点，若平面，则点F轨迹的长度为（    ） A． B． C． D． 4-1（23-24高二上·上海浦东新·期中）设是两个不同的平面，是直线且.“”是“”的 条件.（填“充分不必要”､“必要不充分”､“充要”､“不充分不必要”） 4-2（21-22高二上·上海静安·阶段练习）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是BC1的中点，求证：DE∥平面AB1D1． 4-3（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，，E为线段AB的中点，M为线段DE的中点，将沿直线DE翻折成，使得平面，F为线段的中点. (1)求证：平面 (2)求直线FM与平面所成角的余弦值. 题型五、空间平行的转化 例5（23-24高二上·上海金山·期中）在正四棱柱中，已知是棱的中点，是对角线的中点，设是正四棱柱的面上的动点，且平面，则动点P围成的图形的周长为 ． 5-1（22-23高二上·上海嘉定·阶段练习）如图所示，在棱长为3的正方体中，E在棱上，，是侧面上的动点，且平面，则在侧面上的轨迹的长度为 ． 5-2（23-24高二上·上海闵行·期末）已知表示三个不同的平面，若，且，则直线，的位置关系是 . 题型六、二面角的概念及辨析 例6（24-25高二上·上海·期中）二面角的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 6-1（24-25高二上·上海·阶段练习）下列关于二面角的平面角的说法，正确的是（     ）. A．两条边分别在二面角的两个面内的角 B．过二面角棱上一点且两边分别垂直于棱的角 C．二面角的两个面被一个垂直于棱的平面所截得的角 D．任一个平面去截二面角的两个面所得的角 6-2（24-25高二上·上海·期中）为空间中两条直线，为空间中两个不同平面，下列命题中正确的个数为（    ） ①二面角的范围是； ②经过3个点有且只有一个平面； ③若为两条异面直线，，则． ④若为两条异面直线，且，则． A．0 B．1 C．2 D．3 6-3（24-25高二上·上海·期中）如图，是边长为的等边三角形，为直角三角形，D为直角顶点，，连接AD．当二面角从变化到的过程中，线段AD在平面上的投影扫过的平面区域的面积为 ． 6-4（24-25高二上·上海·阶段练习）如图所示，点是平面外一点，平面，点是线段的中点. (1)求证:平面 (2)问：是否存在线段上的一点，使得对线段上的任一动点，均有平面成立？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由； (3)若，二面角为，求的余弦值. 题型七、求二面角 例7（24-25高二上·上海·阶段练习）二面角的平面角为，A在棱上，在平面P内有一条射线和棱所成的角为β，和平面Q所成的角为γ，则下列结论成立的是（     ）. A． B． C． D． 7-1（24-25高二上·上海·阶段练习）设四边形是一个正方形，平面，，则二面角的大小为 . 7-2（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，在三棱锥中，，，，平面平面，则二面角的正切值的最小值为 . 7-3（24-25高二上·上海·期末）如图，在三棱锥中，侧面，是全等的直角三角形，是公共的斜边，且，，另一个侧面是正三角形． (1)求证：； (2)求二面角的大小； 7-4（24-25高二上·上海闵行·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面是的中点. (1)求证：平面； (2)求侧面与底面所成二面角的正切值. 题型八、由二面角大小求线 段长度或距离 例8（24-25高二上·上海松江·阶段练习）已知是大小为的二面角，为二面角内一定点，且到半平面的距离分别为，分别是半平面､内的动点.则周长的最小值为 . 8-1（24-25高二上·上海静安·阶段练习）如图，在四面体中，是边长为2的等边三角形，为直角三角形，为直角顶点，，当二面角从到的过程中，线段在平面上的投影扫过的平面区域的面积是 . 8-2（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，在正三棱柱中，．若二面角的大小为，则侧棱长为 ． 8-3（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，边长为3的正方形ABCD所在平面与半圆弧BC所在平面垂直，点M是BC上异于B、C的点.    (1)求证：平面平面； (2)当二面角的大小为时，求直线CA与平面ABM所成角的正弦值. 题型九、判断面面是否垂直 例9（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 9-1（24-25高二上·上海·阶段练习）设，是两个平面，，，是三条直线，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，则 9-2（24-25高二上·上海·期中）下列命题正确的是（   ） A．过直线外一点有且只有一条直线与该直线垂直 B．过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行 C．过平面外一点有且只有一个平面与该平面垂直 D．过平面外一点有且只有一个平面与该平面平行 题型十、证明面面垂直 例10（24-25高二上·上海·期末）已知表示两个不同的平面，是一条直线且，则是的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10-1（24-25高二上·上海·阶段练习）已知m，n是空间中两条不同的直线，平面α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（    ） A．若， 则 B．若， 则 C．若， 则 D．若， 则 10-2（24-25高二上·上海松江·期中）已知平面，平面，为等边三角形，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求直线和平面所成角的正弦值. 10-3（24-25高二上·上海·期中）如图，在三棱锥中，底面，垂足为，，． (1)求证：侧面侧面； (2)为的中点，，垂足为，求与侧面所成角的大小． 10-4（24-25高二上·上海静安·阶段练习）如图，ABCD是边长为1的正方形，平面，，    (1)证明： 平面平面； (2)求二面角的大小. 10-5（24-25高二上·上海黄浦·阶段练习）如图，在多面体中，四边形是边长为2的菱形，，四边形是正方形，平面丄平面. (1)证明：平面丄平面； (2)若点M是线段的一点，且满足丄平面，求二面角的大小 10-6（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）如图，圆柱中，是一条母线，是底面一条直径，是的中点. (1)证明：平面平面； (2)若，求二面角的余弦值. 题型十一、面面垂直证线面垂直 例11（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，四面体的顶点在平面上，侧棱平面，且两两垂直且长度均为，是中点，是线段上的动点，过点作平面的垂线交平面于点，则的取值范围为 ． 11-1（24-25高二上·上海·期中）在矩形中，，，点在上，现将沿折起，使平面平面，当从运动到时，则点在平面上的投影点的轨迹长度为 . 11-2（24-25高二上·上海浦东新·期末）如图，边长为2的正方形所在平面与平面垂直，与的交点为，，且. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小. 11-3（24-25高二上·上海·期中）如图，棱柱的所有棱长都等于，，平面平面，.    (1)证明：； (2)求锐二面角的余弦值； (3)在直线上是否存在点，使平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由. 11-4（24-25高二上·上海·期中）如图，四棱锥 的底面是 的矩形，侧面PAB是等边三角形，且侧面底面 (1)证明平面PAB⊥平面PBC; (2)求平面PCD与平面ABCD所成锐二面角的大小. 题型十二、空间垂直的转化 例12（23-24高二上·上海闵行·阶段练习）已知平面平面，，直线在平面内，直线在平面内，且，与均不垂直，则（    ） A．与可能垂直，但不可能平行 B．与可能垂直也可能平行 C．与不可能垂直，但可能平行 D．与不可能垂直，也不可能平行 12-1（23-24高二上·上海黄浦·阶段练习）已知，是两个不同平面，给出下列四个条件： ①存在一条直线，，； ②存在一个平面，，； ③存在两条平行直线，，，，，； ④存在两条异面直线，，，，，.其中可以推出的是（    ） A．①③ B．①④ C．②④ D．②③ 12-2（24-25高二上·上海宝山·阶段练习）两个边长为的正方形和各与对方所在平面垂直，分别是对角线上的点，且，则两点间的最短距离为 . 12-3（2023·上海闵行·一模）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面底面，且，设、分别为、的中点． (1)证明：直线平面； (2)求直线与平面所成的角的正切值． 12-4（22-23高二上·上海嘉定·阶段练习）类比于平面三角形中的余弦定理，我们得到三维空间中的三面角余弦定理；如图1，由射线PA、PB、PC构成的三面角，，，，二面角的大小为，则． (1)四棱柱，平面平面ABCD，，，求的余弦值； (2)当、时，证明以上三面角余弦定理； (3)如图3，斜三棱柱中侧面，，的面积分别为，，，各侧面所应得平面与底面所成的三个二面角分别记为，，，请用文字和符号语言描述你能够得到的正弦定理在三维空间中推广的结论，并证明． 题型十三、求异面直线的距离 例13（23-24高二上·上海普陀·期中）已知长方体的棱，，则异面直线与所成角的余弦值为 ． 13-1（23-24高二上·上海黄浦·期中）已知正方体的棱长为1，则异面直线与之间的距离是 . 13-2（24-25高二上·上海·期中）四棱锥中，平面，底面是平行四边形，且，是的中点. (1)求二面角的余弦值； (2)求异面直线和之间的距离. 13-3（24-25高二上·上海·随堂练习）S是矩形所在平面外一点，，，与成60°角，与成30°角，，求：    (1)直线与的距离； (2)求直线与的距离． 13-4（24-25高二上·上海·课堂例题）在空间四边形ABCD中，，，E、F分别是AD、BC的中点．求证：线段EF是异面直线AD，BC的公垂线． 13-5（24-25高二·上海·课堂例题）如图，四面体SABC的所有棱长为a． (1)求异面直线的公垂线段EF的长； (2)求异面直线EF与SA所成角的大小． 1．（24-25高二上·上海宝山·阶段练习）已知，是两个平面，，是两条不同的直线，则下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 2．（24-25高二上·上海·期中）设α，β是两个不同的平面，直线，则“对β内的任意直线l，都有”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（24-25高二上·上海·阶段练习）二面角的半平面上有一点，到直线的距离为4，到平面的距离为2，则二面角的大小是 . 4．（24-25高二上·上海静安·阶段练习）下列命题正确的是 ： ①过直线外一点有且只有一条直线与该直线垂直； ②过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行； ③过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直； ④过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行； ⑤过平面外一点有且只有一个平面与该平面垂直； ⑥过平面外一点有且只有一个平面与该平面平行. 5．（2024·上海宝山·一模）如图，四棱锥中，底面为矩形，，且该四棱锥的体积为.    (1)证明：平面底面； (2)求异面直线和所成角的余弦值. 6．（24-25高二上·上海闵行·期末）如图，在直三棱柱中，，，且、分别是、的中点． (1)证明：； (2)求二面角的大小．（结果用反三角函数值表示） 7．（24-25高二上·上海宝山·期末）已知平面，，两两垂直，直线a，b，c满足，，，则直线a，b，c不可能满足以下哪种关系（    ） A．两两垂直 B．两两异面 C．两两相交 D．两两平行 8．（22-23高二上·上海黄浦·阶段练习）在棱长为1的正方体中，为底面的中心，是棱上一点，且，，为线段的中点，则下列命题中正确的是（    ） A．与是异面直线 B．三棱锥的体积跟的取值有关 C．当时， D．当时，过、、三点的平面截正方体所得截面的周长为 1．（24-25高二上·上海·阶段练习）一个“皇冠”状的空间图形（如图）由一个正方形和四个正三角形组成，并且正方形与每个正三角形所成的二面角的大小均为.如果把两个这样的“皇冠”倒扣在一起，可以围成一个十面体，则的值为 . 2．（24-25高二上·上海·期中）已知一个正三棱锥的高为6，底面边长为12，动点分别在其内切球和外接球上，则线段长度的取值范围是 . 3．（24-25高二上·上海·期中）如图，在四面体ABCD中，平面，点M为AD上一点，且，连接BM，CM.    (1)； (2)求二面角的大小. 试卷第1页，共3页 1 / 59 学科网（北京）股份有限公司 $$ 预习专题04 平面与平面间的位置关系 知识点01 平面与平面平行 1、平面与平面位置关系 位置关系 定义 符号表示 平行 平面与平面没有公共点 ∥ 相交 平面与平面有且仅有一条公共直线 2、平面与平面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 图形语言： 符号语言：且，那么 3、两个平面平行的性质定理 如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 图形语言： 符号语言：若，，则 4、几个重要结论 （1）垂直于同一条直线的两个平面平行 （2）如果两个平面平行那么在一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 （3）一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，则它也垂直于另外一个 （4）夹在两个平行平面中的平行线段相等 （5）经过平面外一点有且仅有一个平面与已知直线平行 注：①两个平面平行的判定定理中必须是“两条”“相交”直线才能得出面面平行，把条件改成“一条”、“两条”、“无数条”都不一定成立 ②面面平行则面内的所有直线都平行与另一个平面，但是分别在两个平行平面内的两条直线不一定平行 5、半平面的定义 一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点． 求证：(1)B，C，H，G四点共面； (2)平面EFA1∥平面BCHG. 【解析】证明　(1)∵GH是△A1B1C1的中位线， ∴GH∥B1C1. 又B1C1∥BC，∴GH∥BC， ∴B，C，H，G四点共面． (2)∵E，F分别为AB，AC的中点， ∴EF∥BC. ∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG， ∴EF∥平面BCHG. ∵A1G∥EB且A1G＝EB， ∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB. ∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG， ∴A1E∥平面BCHG. ∵A1E∩EF＝E，A1E，EF⊂平面EFA1， ∴平面EFA1∥平面BCHG. 知识点02 二面角 1、二面角的定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面 2、画法 第一种是卧式法，也称为平卧式： 第二种是立式法，也称为直立式： 3、二面角的平面角： （1）过二面角的棱上的一点分别在两个半平面内作棱的两条垂线，则叫做 二面角的平面角 （2）一个平面垂直于二面角的棱，且与两半平面交线分别为为垂足， 则也是的平面角 求解二面角的常用方法： 1、定义法：过二面角的棱上任一点在两个面内分别作垂直于棱的直线，则两直线所构成的角即为二面角的平面角，继而在平面中求出其平面角的一种方法； 2、三垂线法：利用三垂线定理，根据 “与射影垂直 ，则也与斜线垂直”的思想构造出二面角的平面角，继而求出平面角的方法； 3、垂面法：指用垂直于棱的平面去截二面角，则截面与二面角的两个面必有两条交线，这两条交线构成的角即为二面角的平面角，继而再求出其平面角的一种方法； 4、面积射影法：根据图形及其在某一个平面上的射影面积之间的关系，利用射影的面积比上原来的面积等于二面角的余弦值，来计算二面角。此法常用于无棱的二面角； 5、法向量法：通过求与二面角垂直的两个向量所成的角，继而利用这个角与二面角的平面角相等或互补的关系，求出二面角的一种方法。 如图所示，已知三棱锥A－BCD的各棱长均为2，求二面角A－CD－B的平面角的余弦值． 【解析】解　如图，取CD的中点M，连接AM，BM， 则AM⊥CD，BM⊥CD. 由二面角的定义可知∠AMB为二面角A－CD－B的平面角． 设点H是△BCD的中心，连接AH， 则AH⊥平面BCD，且点H在线段BM上． 在Rt△AMH中，AM＝×2＝， HM＝×2×＝， 则cos∠AMB＝＝＝， 即所求二面角的平面角的余弦值为. 知识点03 平面与平面垂直 1、平面与平面垂直定义 　　两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直. 表示方法：平面与垂直，记作. 画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直. 如图： 　　　　　　　　　　 2、平面与平面垂直的判定定理 　　判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. 　　符号语言： 　　图形语言： 　　　　　　 　　特征：线面垂直面面垂直 平面与平面垂直的判定定理告诉我们，可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直.通常我们将其记为“线面垂直，则面面垂直”.因此，处理面面垂直问题处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题.以后证明平面与平面垂直，只要在一个平面内找到两条相交直线和另一个平面垂直即可. 3、平面与平面垂直的性质 　　性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 　　符号语言： 　　图形语言： 　　　　　　　　 如图，在边长为a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，求证：平面PDB⊥平面PAC. 证明　∵PC⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PC⊥BD. ∵四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD， 又PC∩AC＝C，PC，AC⊂平面PAC， ∴BD⊥平面PAC. ∵BD⊂平面PDB，∴平面PDB⊥平面PAC. 题型一、判断面面平行 例1（23-24高二下·山东潍坊·阶段练习）若，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的有（　　） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【分析】根据空间中线面、面面的位置关系一一判断即可. 【详解】因为，是两条不同的直线，，是两个不同的平面， 对于A：若，，则或与相交，故A错误； 对于B：若，，则或，故B错误； 对于C：两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面， 即若，，则，故C正确； 对于D：若，，则或或或与相交（不垂直），故D错误. 故选：C 1-1（23-24高二上·上海奉贤·期中）下列命题中，是真命题的选项为（    ） A．平行于同一条直线的两个平面平行 B．若两个平面分别经过两条平行直线，则这两个平面平行 C．分别在两个平行平面上的两条直线平行 D．与两条异面直线都平行的两个平面平行． 【答案】D 【分析】举例说明判断ABC；利用面面平行的判定推理判断D. 【详解】如图，正方体，    对于A，平面与平面都与直线平行，而平面与平面相交，A是假命题； 对于B，相交平面与平面分别经过直线，且，B是假命题； 对于C，直线平面，直线平面，且平面平面， 而直线与直线是异面直线，C是假命题； 对于D，直线是两条异面直线，是两个不同平面，， 过直线上的点作直线，则直线确定平面，由，得点， 而，于是，因此，所以，D真命题.      故选：D 1-2（23-24高一下·上海嘉定·期末）已知两条直线m，n，两个平面，，给出下列四个说法： ①，，； ②，，； ③，； ④，，， 其中正确的序号是 ． 【答案】①④ 【分析】对于①：根据线面垂直的性质分析判断；对于②③：根据线面位置关系分析判断；对于④：根据线面垂直分析判断. 【详解】对①，∵，，∴，又，∴，∴①正确； 对②，∵，，，∴或m与n异面，∴②错误； 对③，∵，，∴n与可以成任意角，∴③错误； 对④，∵，，则， 又∵，∴，∴④正确． 故答案为：①④． 题型二、证明面面平行 例2（23-24高二上·上海普陀·阶段练习）过平面外一点，可以作这个平面的平行线的条数是（    ） A．1条 B．2条 C．超过2条但有限 D．无数条 【答案】D 【分析】结合平面的基本性质，以及线，面平行判定定理和性质定理，即可得到结论. 【详解】如图所示，因为点，在平面作两条相交直线， 由直线与点可以确定一个平面，在平面内过点作， 由直线与点可以确定一个平面，在平面内过点作， 因为且，设直线与确定平面，则平面， 在平面内过点的所有直线都平行与平面， 故过平面外一点能作出无数条直线和这个平面平行. 故选：D.    2-1（23-24高二上·上海普陀·阶段练习）如图，在棱长为2的正方体中，E、F分别是棱，的中点，M为底面上的动点，若直线平面，则线段的长度的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】找出点在平面内的轨迹，再根据过直线外一点垂线段最短，求出线段的长度的最小值即可. 【详解】设点分别为棱，的中点，连接，可证明点， 事实上，在底面正方形中，可知， 因为平面，平面，所以平面； 在底面正方形中，可知且， 又因为且，所以且， 则四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面； 又因为平面，所以平面平面， 因为平面且平面，所以平面， 因为平面平面且点平面、平面， 所以，即M点的轨迹为线段； 由于正方体棱长为2，故三角形为等腰直角三角形，且为斜边，， 所以当点为的中点时，即时，线段的长度最小且最小值为. 故选：A 2-2（24-25高二上·上海徐汇·期中）正方体，E，F分别是棱，的中点．    (1)直线平面； (2)求异面直线与所成角的大小； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线线平行可得线面平行，进而可得面面平行，利用面面平行的性质即可求证， （2）根据可得为异面直线与所成角，即可利用余弦定理求解，在中利用余弦定理计算． 【详解】（1）取中点，连接， 则, 由于平面，平面，故平面, 由于,故四边形为平行四边形， 则， 平面，平面，故平面, 平面， 故平面平面， 平面,故直线平面    （2）由（1）知， 或其补角为异面直线与所成角， 设正方体棱长为1，则，， ，所以异面直线与所成角的大小为.    题型三、面面平行证明线线平行 例3（23-24高三下·上海松江·阶段练习）已知、、是三个不同的平面，、、是三条不同的直线，则（   ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，且，则 【答案】B 【分析】根据空间中线线、线面、面面的位置关系一一判断即可. 【详解】对于A：若，，则或与相交或与异面，故A错误； 对于B：根据面面平行的性质定理可知，若，且，，则，故B正确； 对于C：若，，则，又，则或与相交或与异面，故C错误； 对于D：若，且，则或，故D错误. 故选：B 3-1（24-25高二上·上海·期中）已知，是，外一点，过点的两条直线，分别交于，，交于，，且，，，则的长为 . 【答案】或 【分析】由可知，根据两平面在点的同侧和异侧分别讨论，结合相似可得解. 【详解】 由已知，平面，平面， 所以， 当平面，在点同侧时，由可知点在靠近平面一侧， 如图所示，可知，且，，， 则，即； 当平面，在点异侧时， 如图所示，可知，且，，， 则，即； 综上所述或， 故答案为：或. 3-2（24-25高二上·上海·课前预习）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线 ． 【答案】平行 【分析】由面面平行的判定定理，即可得到结果. 【详解】由面面平行的判定定理可知，如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行. 故答案为：平行 3-3（23-24高二上·上海徐汇·期末）如图，在正四棱柱中，底面是正方形，且，，经过顶点A和各作一个平面与平面平行，前者与平面交于，后者与平面交于，则异面直线与所成角的余弦值为 . 【答案】 【分析】利用平面与平面平行的性质定理，得，，求与所成的角的余弦值即为所求. 【详解】设平面平面，因为平面，所以， 又因为平面平面，且平面平面， 所以，， 因为平面平面，且平面平面， 同理可证，异面直线与所成的角即所成的 在正四棱柱中，底面是正方形，且， ，， ， 所以异面直线与所成的角的余弦值为. 故答案为：. 3-4（21-22高二上·上海杨浦·期中）已知底面边长和斜高长均为2的正四棱锥被平行于底面的平面所截得的正棱台为，且满足. (1)求证：平面 (2)求棱台的体积和表面积. 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【分析】 （1）根据面面平行的性质可得，，则有，再根据线面平行的判定定理即可得证； （2）由题意得是正四棱锥，根据正棱锥的结构特求出棱长和高，再根据棱锥和棱柱的表面积公式体积公式即可得解. 【详解】（1） 因为平面平面，平面平面， 平面平面， 所以，同理， 又，所以， 又平面，平面，所以平面； （2） 由题意得是正四棱锥， 故在平面上的投影为正方形的中心， ， 在中，，所以， ， 因为平面平面，， 所以，所以， 由已知的四个侧面为全等的等腰梯形，作BC的中点E，连结PE， 为等边三角形，故， ， 所以. 3-5（22-23高二上·上海黄浦·期末）如图，正四棱锥的底面边长为a，侧棱长为2a，点P、Q分别在BD和SC上，并且，平面，求线段PQ的长． 【答案】 【分析】过作，交于，根据线面平行即面面平行的判定定理可得平面平面，进而，然后利用余弦定理结合条件即得． 【详解】如图，过作，交于，连结， 因为，， 所以，又平面，平面， 所以平面，又平面， 又，平面， 所以平面平面，又平面平面，平面平面， ， 由，可得， ， ，， ， ， 所以， 所以线段的长为． 题型四、面面平行证明线面平行 例4（22-23高二上·上海长宁·阶段练习）在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，F是侧面内的动点，若平面，则点F轨迹的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取中点，中点，连接，则易证平面平面，进而得当F的轨迹为线段时，则有平面，再根据勾股定理及三角形的中位线计算即可. 【详解】如图所示： 取中点，中点，连接， 因为，， 所以， 平面，平面， 所以平面， 同理可证明平面， 又因为，平面， 所以平面平面， 当F的轨迹为线段时，此时平面，则有平面， 此时. 故选：B. 4-1（23-24高二上·上海浦东新·期中）设是两个不同的平面，是直线且.“”是“”的 条件.（填“充分不必要”､“必要不充分”､“充要”､“不充分不必要”） 【答案】必要不充分 【分析】根据线面平行与面面平行的判定的判定与性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由直线且，则或与相交，所以充分性不成立； 反之：若且，根据两平面平行的性质，可得，即必要性成立， 所以是的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分. 4-2（21-22高二上·上海静安·阶段练习）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是BC1的中点，求证：DE∥平面AB1D1． 【答案】证明见解析 【分析】利用面面平行的性质定理证明线面平行. 【详解】 证明：连接BD，C1D，在正方体中， 因为BD∥B1D1，平面AB1D1，平面AB1D1， 所以BD∥平面AB1D1， 同理，因为BC1∥AD1，平面AB1D1，平面AB1D1， 所以BC1∥平面AB1D1， 又BD∩BC1＝B，BD平面BDC1，BC1平面BDC1 所以平面BDC1∥平面AB1D1， 因为DE⊂平面BDC1， 所以DE∥平面AB1D1． 4-3（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，，E为线段AB的中点，M为线段DE的中点，将沿直线DE翻折成，使得平面，F为线段的中点. (1)求证：平面 (2)求直线FM与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）作辅助线，先证明面面平行，再由面面平行得线面平行； （2）利用，可证得平面得出线面角，解三角形即可. 【详解】（1）取中点，连结，，如图， 由分别为的中点可知，， 又平面，平面，面， 在平行四边形中，， 四边形为平行四边形，， 又平面，平面，面， 又平面，平面平面， 而面，平面. （2）取的中点N，连接， 在平行四边形中，设， 则， 因为，在中，可得， 在中，可得， 在中，因为，所以， 因为平面，平面，所以， 由分别为的中点，则，则， 因为，平面，所以平面， 则为直线与平面所成的角. 在中，由，可得， 则 所以直线FM与平面所成角的余弦值. 题型五、空间平行的转化 例5（23-24高二上·上海金山·期中）在正四棱柱中，已知是棱的中点，是对角线的中点，设是正四棱柱的面上的动点，且平面，则动点P围成的图形的周长为 ． 【答案】 【分析】 利用面面平行的性质确定动点P的运动轨迹即可. 【详解】是对角线的中点,故是正四棱柱的中心， 所以点均在平面上， 平面，即平面， ， 取的中点分别为, 且是棱的中点 ,, 且平面，平面， 平面，平面, 且平面，, 所以平面平面， 所以当平面时，平面， 此时平面，即平面. 且是正四棱柱的面上的动点， 故围成的图形即四边形, 四边形的周长为: . 故答案为： 5-1（22-23高二上·上海嘉定·阶段练习）如图所示，在棱长为3的正方体中，E在棱上，，是侧面上的动点，且平面，则在侧面上的轨迹的长度为 ． 【答案】 【分析】设在棱上，且，在棱上，且，在棱上，且，根据面面平行的判定定理，可得平面平面，结合已知中平面，可得落在线段上，则答案可求. 【详解】解：设在棱上，且，在棱上，且，在棱上，且 连接，，IH，，EG，BG，则， 所以，B，E，G四点共面， 由，平面，平面，所以平面， 同理平面，又，平面，所以平面平面， 又因为平面，所以F落在线段HI上， 因为正方体的棱长为3，所以， 即F在侧面上的轨迹的长度是． 故答案为：. 5-2（23-24高二上·上海闵行·期末）已知表示三个不同的平面，若，且，则直线，的位置关系是 . 【答案】 【分析】根据面面平行的性质定理可得答案. 【详解】由题意知，且， 根据面面平行的性质定理可得， 故答案为： 题型六、二面角的概念及辨析 例6（24-25高二上·上海·期中）二面角的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二面角的定义判定选项即可. 【详解】由二面角的定义可知，二面角的平面角范围是. 故选：D 6-1（24-25高二上·上海·阶段练习）下列关于二面角的平面角的说法，正确的是（     ）. A．两条边分别在二面角的两个面内的角 B．过二面角棱上一点且两边分别垂直于棱的角 C．二面角的两个面被一个垂直于棱的平面所截得的角 D．任一个平面去截二面角的两个面所得的角 【答案】C 【分析】根据二面角的平面角的定义判断即可. 【详解】二面角的平面角是指过棱上一点在两个半平面内作棱的垂线，两条射线所成的角叫二面角的平面角， 对于A，两条边不一定垂直两个半平面内作棱，故A错误； 对于B，此时两边不一定在平面内，故B错误； 对于C，二面角的两个面被一个垂直于棱的平面所截得的角，此时棱垂直于面与二面角的 两个平面的两条交线，并且均在平面内，符合二面角的平面角定义，故C正确； 对于D，由C知，棱不一定垂直于面与二面角的两个平面的两条交线，故D错误， 故选：C. 6-2（24-25高二上·上海·期中）为空间中两条直线，为空间中两个不同平面，下列命题中正确的个数为（    ） ①二面角的范围是； ②经过3个点有且只有一个平面； ③若为两条异面直线，，则． ④若为两条异面直线，且，则． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】利用二面角的取值范围可判断①，当三点共线时可判断②，利用线面平行的判定方法可判断③，利用线面平行的性质以及面面平行的判定定理可判断④ 【详解】对于①，二面角的范围是，①错； 对于②，若三点共线，则经过这个点有无数个平面，②错 对于③，若为两条异面直线，，则与可能平行也可能相交，故③错误； 对于④，因为，过直线m作平面，使得， 由线面平行的性质定理可得，则， 因为，则， 因为，过直线n作平面，使得， 由线面平行的性质定理可得，则， 因为，则， 若，则，这与为两条异面直线矛盾，故相交， 又因为，所以，故④对，    故选：B 6-3（24-25高二上·上海·期中）如图，是边长为的等边三角形，为直角三角形，D为直角顶点，，连接AD．当二面角从变化到的过程中，线段AD在平面上的投影扫过的平面区域的面积为 ． 【答案】 【分析】延长至点，使，连接，为等边三角形，可找到顶点在底面内的射影轨迹，确定线段AD在平面上的投影扫过的平面区域，从而求出面积. 【详解】解：在中，，，所以，， 延长至点，使，连接，，且， 则为等边三角形，且为二面角为时在平面上的投影. 取边的中点，连接，，则，， 又，所以平面， 过点作平面，则，即点在平面内的摄影在线段上， 则二面角从变化到的过程中，点在平面内的摄影从到， 线段AD在平面上的投影扫过的平面区域为. ，，所以为等边三角形， 则有， 又，， 所以. 故答案为： 6-4（24-25高二上·上海·阶段练习）如图所示，点是平面外一点，平面，点是线段的中点. (1)求证:平面 (2)问：是否存在线段上的一点，使得对线段上的任一动点，均有平面成立？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由； (3)若，二面角为，求的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，点为的中点，证明见解析； (3). 【分析】（1）构造辅助线，通过线线平行证明线面平行. （2）由线面平行得到线线平行，通过构造辅助线得到面面平行，从而证明线面平行. （3）通过构造辅助线找到二面角的平面角，利用角度得到各边之间的关系，结合二倍角公式即可得到结果. 【详解】（1） 如图，取中点，连接， ∵分别是的中点，∴. ∵平面，平面，平面平面， ∴. ∵，∴, ∴四边形为平行四边形，∴， ∵平面，平面，∴平面. （2）存在，点为的中点.证明如下： 如图，取的中点，连接. ∵分别是的中点，∴. ∵平面，平面，∴平面. 由（1）得，平面， ∵，平面，平面，∴平面平面， ∵平面，∴平面. （3） 如图，过点作平面，垂足为，过点作，垂足分别为，连接. ∵平面，平面，平面，∴，. ∵，，平面，平面，∴平面， ∵平面，∴，故为二面角的平面角，即. 设， 在中，由得，，∴. 在中，由得，， 在中，， ∴，同理得，即 ∴，即的余弦值为. 题型七、求二面角 例7（24-25高二上·上海·阶段练习）二面角的平面角为，A在棱上，在平面P内有一条射线和棱所成的角为β，和平面Q所成的角为γ，则下列结论成立的是（     ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过作平面，垂足为，过作，垂足为，连接，易得写出代入选项逐一验证即可. 【详解】如图，过作平面，垂足为，过作，垂足为，连接， 因平面，则， 又平面，故平面， 而平面，所以，故为二面角的平面角， 则则在中，有 在中，在中，， 将上述结论依次代入四个选项逐一验证，可知只有A正确. 故选：A. 7-1（24-25高二上·上海·阶段练习）设四边形是一个正方形，平面，，则二面角的大小为 . 【答案】 【分析】由已知条件可证是二面角的平面角，在中，，即可求出的大小． 【详解】平面，， 又是正方形，， 平面， 平面， ， 是二面角的平面角． 在中，，， 二面角的大小为， 故答案为：． 7-2（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，在三棱锥中，，，，平面平面，则二面角的正切值的最小值为 . 【答案】 【分析】过点P作,则O点为AB的中点，再过作于，利用线面 垂直的性质与判定确定为二面角的平面角，结合中位线的性质及三角 形三边关系确定最小值即可. 【详解】 过点P作,则O点为AB的中点，且平面平面， 平面平面，平面，所以平面， 又平面，所以， 过作于，连接， 因为平面，， 所以平面， 又平面，所以， 所以为二面角的平面角， 在中，,， 因为，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为2. 此时取得最小值， 故二面角的正弦值的最小值为. 故答案为：. 7-3（24-25高二上·上海·期末）如图，在三棱锥中，侧面，是全等的直角三角形，是公共的斜边，且，，另一个侧面是正三角形． (1)求证：； (2)求二面角的大小； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线线垂直可证明平面，即可求证， （2）根据二面角的定义可得就是二面角的平面角，即可根据余弦定理求解. 【详解】（1）取的中点为，连接, 由于，故, 由于是正三角形，故, 平面， 故平面，平面, 故 （2）作于，作交于， 则就是二面角的平面角， 因为， ∵是的中点，则，，， 由余弦定理可求得， ∴二面角的余弦值为． 7-4（24-25高二上·上海闵行·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面是的中点. (1)求证：平面； (2)求侧面与底面所成二面角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据面面垂直的性质与线面垂直的性质可得，又，结合线面垂直的判定定理即可证明； （2）如图，根据面面垂直的性质与线面垂直的性质可得，确定为所求的平面角，解三角形即可. 【详解】（1）因为是正三角形，且是的中点.，所以， 又底面是正方形，所以，又因为平面平面， 且平面平面平面，所以平面， 又平面，所以. 由，平面， 所以平面； （2）如图，取的中点的中点， 连接， 因为是正三角形，所以， 又因为平面平面，且平面平面平面，所以平面平面，故， 由题意可知平面， 故平面，又平面，故， 故为平面PCD与面所成二面角的平面角， 设，则. 综上所述：侧面PCD与底面所成二面角的正切值为. 题型八、由二面角大小求线 段长度或距离 例8（24-25高二上·上海松江·阶段练习）已知是大小为的二面角，为二面角内一定点，且到半平面的距离分别为，分别是半平面､内的动点.则周长的最小值为 . 【答案】 【分析】作出辅助线，得到当分别取直线与平面的交点时，周长最短，由余弦定理求出最小值. 【详解】分别作点关于平面的对称点， 则，， 易证当分别取直线与平面的交点时，周长最短， 且这个周长最小值为. 故答案为： 8-1（24-25高二上·上海静安·阶段练习）如图，在四面体中，是边长为2的等边三角形，为直角三角形，为直角顶点，，当二面角从到的过程中，线段在平面上的投影扫过的平面区域的面积是 . 【答案】 【分析】画出为和时的的投影，由此判断出线段的平面上的投影所扫过的平面区域，进而求得区域的面积. 【详解】因为，所以在平面上的投影满足，即在线段的中垂线上， 如图所示，将补成边长为2的正， 当二面角为时，即点在平面上，此时为， 当二面角为时，此时为的中点， 故在平面上的投影所扫过的平面区域为，而， 故线段在平面上的投影所扫过的平面区域的面积为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键是确定点在平面上的投影满足的条件，从而根据和时的投影点，确定扫过的区域. 8-2（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，在正三棱柱中，．若二面角的大小为，则侧棱长为 ． 【答案】/ 【分析】根据二面角的定义，找到二面角的平面角，解三角形求. 【详解】由多面体为正三棱柱可知，为正三角形，且, 取的中点为，连接，，则，， 所以即为二面角的平面角，所以， 在中，，，所以， 所以正三棱柱侧棱长为. 故答案为：. 8-3（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，边长为3的正方形ABCD所在平面与半圆弧BC所在平面垂直，点M是BC上异于B、C的点.    (1)求证：平面平面； (2)当二面角的大小为时，求直线CA与平面ABM所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据已知可推得，又，根据线面垂直的判定定理得平面，然后根据面面垂直的判定定理，即可可证； （2）由已知可推得即为二面角的平面角，即，进而求出，在中得出，即可得答案. 【详解】（1）由题设，平面平面，平面平面，，平面， 所以平面，又平面，故， 由圆的性质有，都在平面内，故平面， 由平面，所以平面平面. （2）由平面，所以在平面上的投影为， 所以直线CA与平面ABM所成角， 由二面角的大小为，，故， 由，则，，， 由平面，则，故. 所以直线CA与平面ABM所成角的正弦值. 题型九、判断面面是否垂直 例9（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】D 【分析】对于AB：以正方体为载体，举反例说明即可；对于CD：面面平行、垂直分析判断即可. 【详解】作正方体， 对于A，取平面为平面，平面为平面，直线为直线，直线为直线， 则，但直线异面，故A选项错误； 对于B，取平面为平面，平面为平面，直线为直线，直线为直线， 则，但直线不垂直，故B选项错误； 对于C：若，，，则，故C选项错误； 对于D：若，，，则，故D选项正确. 故选：D. 9-1（24-25高二上·上海·阶段练习）设，是两个平面，，，是三条直线，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，则 【答案】B 【分析】根据线面位置关系和相关判定定理和性质定理即可逐一判断正误. 【详解】对于A，若，，，则，相交或平行，所以A错误； 对于B，如图，四棱柱中，分别取直线为，为，平面为平面，平面为平面， 若满足，因平面，而平面，故， 同理由可证得，故， 又，，故，又，故得，所以，故B正确； C，若，，，，，互相平行或交于同一点，所以C错误； D，若，，则或，所以D错误. 故选：B. 9-2（24-25高二上·上海·期中）下列命题正确的是（   ） A．过直线外一点有且只有一条直线与该直线垂直 B．过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行 C．过平面外一点有且只有一个平面与该平面垂直 D．过平面外一点有且只有一个平面与该平面平行 【答案】D 【分析】根据空间点、线、面间的位置关系进行判断，即可得出结论. 【详解】对于A选项，过直线外一点有无数条直线与这条直线垂直， 且这无数条直线均相交于这个点（即与它垂直的平面内的任意一条过该点的直线），A错； 对于B选项，过平面外一点，有无数条直线与这个平面平行， 且这无数条直线均相交于这个点（即与它平行的平面内的任意一条过该点的直线），B错； 对于C选项，过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面垂直， 若将过该直线的平面绕这条直线旋转，则可以得到无数个平面与已知平面垂直，C错； 对于D选项，由B选项可知，过平面外一点，有无数条直线与这个平面平行， 且这无数条直线均相交于这个点，并且这无数条直线共面， 故过平面外一点有且只有一个平面与该平面平行，D对. 故选：D. 题型十、证明面面垂直 例10（24-25高二上·上海·期末）已知表示两个不同的平面，是一条直线且，则是的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据平面与平面垂直的判定定理和性质定理，充分条件必要条件的定义 【详解】由平面与平面垂直的判定定理知，若，，则； 反之，当时，则相交，记交线为， 又，所以或相交或重合， 若，又，则，所以不一定能得到． 所以是的必要不充分条件． 故选：B． 10-1（24-25高二上·上海·阶段练习）已知m，n是空间中两条不同的直线，平面α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（    ） A．若， 则 B．若， 则 C．若， 则 D．若， 则 【答案】C 【分析】根据线面平行的判定定理判断A，根据面面垂直及线面垂直判断B，根据线面垂直的性质及面面垂直的判定判断C，由面面平行的判定判断D. 【详解】若，则满足，推不出，故A错误； 若，可能，推不出，故B错误； 由 ，必有，所以由可得，由可得， 又，所以，故C正确； 若不相交时，满足，不能推出，故D错误. 故选：C 10-2（24-25高二上·上海松江·期中）已知平面，平面，为等边三角形，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求直线和平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）取的中点，连接、，即可证明，从而得证． （2）通过证明，，从而得到，，即可证明平面，进而证明平面平面． （3）在平面内，过作于，由平面平面，得平面，故为和平面所成的角，解求出的正弦值． 【详解】（1）取的中点，连接、，又为的中点，则且， 而平面，平面，则，，又，则， 因此四边形为平行四边形，则，而平面，平面， 所以平面. （2）在等边中，为的中点，则， 由平面，平面，得， 而，于是，，又，平面， 因此平面，又平面， 所以平面平面. （3）在平面内，过作于，连接， 由平面平面，平面平面，平面， 得平面，则为和平面所成的角， 由，，得，，， 在中，， 所以直线和平面所成角的正弦值为. 10-3（24-25高二上·上海·期中）如图，在三棱锥中，底面，垂足为，，． (1)求证：侧面侧面； (2)为的中点，，垂足为，求与侧面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面垂直的性质证明，再根据线面垂直的判定定理证明侧面，再根据面面 垂直的判定定理即可得证； （2）先证明侧面，则即为与侧面所成角的平面角，再解即可. 【详解】（1）因为面，面， 所以， 又侧面， 所以侧面， 又因为侧面， 所以侧面侧面； （2）因为，为的中点， 所以，， 因为侧面，侧面， 所以， 又因为侧面， 所以侧面， 所以即为与侧面所成角的平面角， 在中，， 在中，，所以， 在中，，所以， 即与侧面所成角的大小为． 10-4（24-25高二上·上海静安·阶段练习）如图，ABCD是边长为1的正方形，平面，，    (1)证明： 平面平面； (2)求二面角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面垂直的性质定理和判断定理，首先证明平面，即可证明面面垂直； （2）首先根据，构造二面角的平面角，再根据余弦定理求解. 【详解】（1）因为平面，平面， 所以， 又因为，，平面， 所以平面，又因为平面， 所以平面平面； （2）由条件可知，，，且， 所以， 过点作，连结，则，且 所以为二面角的平面角，    由（1）知，平面，平面，所以， 由，则，所以，则， 中，，， 所以，所以, 所以二面角的大小为. 10-5（24-25高二上·上海黄浦·阶段练习）如图，在多面体中，四边形是边长为2的菱形，，四边形是正方形，平面丄平面. (1)证明：平面丄平面； (2)若点M是线段的一点，且满足丄平面，求二面角的大小 【答案】(1)证明见解析 (2)arctan 【分析】（1）根据菱形、正方形的性质有、，结合面面垂直的性质可得面，根据线面垂直、面面垂直的判定即可证结论； （2）是、的交点，连接交于，由线面垂直的性质及射影的性质可得，进而可确定二面角的平面角，根据已知求其正切值，即可得二面角的大小. 【详解】（1）∵四边形是菱形，∴， 由四边形是正方形有， 又面面，面面，面， ∴面，面，即， 又，且面， ∴面，由面， ∴平面平面； （2）若是、的交点，连接交于， 由面，面，即， 由（1）知：是在面上的射影，故，连接， ∴是二面角的平面角， 由射影定理知：，，，则，. ∴，故. ∴二面角的大小为. 10-6（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）如图，圆柱中，是一条母线，是底面一条直径，是的中点. (1)证明：平面平面； (2)若，求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）由线面垂直的性质可得又，结合线面垂直和面面垂直的判定定理即可证明； （2）如图，确定是二面角的平面角，利用定义法求解即可. 【详解】（1）因为是一条母线，所以平面， 而平面则 因为是底面一条直径，C是的中点，所以，即， 又平面且， 所以平面，而平面， 则平面平面. （2）设，则， 因为C是的中点，为底面圆心，所以平面， 作，交于点连接， 由可知，是二面角的平面角. 则，即， 在直角中，. 所以. 故二面角的余弦值为. 题型十一、面面垂直证线面垂直 例11（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，四面体的顶点在平面上，侧棱平面，且两两垂直且长度均为，是中点，是线段上的动点，过点作平面的垂线交平面于点，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由题设可知都为等腰直角三角形，将几何体补全为正方体，且一个底面在上，进而确定与所成角为，并有，应用和余弦定理、勾股定理求的范围即可. 【详解】因为两两垂直且长度均为， 所以都为等腰直角三角形， 又四面体的顶点在平面上，侧棱平面， 将补全为正方体如下图示，其中一个面在上且棱长为1， 所以， 在等边中是中点，所以， 过作平面垂线交面于， 则平面，平面，所以， 因为，平面，平面，故， 又，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面， 平面平面，且， 所以过作平面的垂线在平面内，即面， 而面， 综上点必在对角线上，且与所成角为，， 则，在中，令， 由， 故，解得， 故答案为： 11-1（24-25高二上·上海·期中）在矩形中，，，点在上，现将沿折起，使平面平面，当从运动到时，则点在平面上的投影点的轨迹长度为 . 【答案】 【分析】根据空间中垂直关系的转化可得点在平面上的投影点的轨迹为圆弧，故可求其长度. 【详解】 设将沿折起后得到的平面为平面， 在矩形中，过作，垂足为， 旋转后，故为二面角的平面角， 因平面平面，，故， 而，平面， 故平面，故为在平面上的射影， 因为，故在以为直径的半圆上（如图所示，去除）， 连接，交半圆于， 因为，故，故在劣弧（去除）上， 其长度为， 故答案为： 11-2（24-25高二上·上海浦东新·期末）如图，边长为2的正方形所在平面与平面垂直，与的交点为，，且. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1)证明见详解； (2) 【分析】（1）由是正方形可得，由面面垂直性质定理可得面，进而得到，由线面垂直的判定定理即可证明； （2）过作交于，连接，由面面垂直性质定理可得面，进而得到，由线面垂直的判定定理可得面，故可得即为直线与平面所成角，由已知长度即可求线面角. 【详解】（1）由是正方形，则， 因为面面，面面，，面， 所以面，又面， 所以， 又因为，平面，平面， 所以平面. （2）过作交于，连接， 因为是正方形，则， 因为面面，面面，面， 所以面，又面， 所以， 又因为，，面，面， 所以面， 所以即为直线与平面所成角， 因为正方形边长为2，，， 所以，， 所以， 因为， 所以，即直线与平面所成角的大小为. 11-3（24-25高二上·上海·期中）如图，棱柱的所有棱长都等于，，平面平面，.    (1)证明：； (2)求锐二面角的余弦值； (3)在直线上是否存在点，使平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见详解 (2) (3)存在，. 【分析】（1）连接交于点，由面面垂直的性质定理可证平面，进而得证； （2）过点作，连接，可得即是二面角的平面角，运算得解； （3）在的延长线上取点，使得，可证，得解. 【详解】（1）连接交于点，连接， 则，又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，平面， 所以. （2）由（1），平面，过点作，连接， 则，是平面内两条相交直线，所以平面， 平面，则， 所以即是二面角的平面角， ，， 在中，可得， 又，， ， 所以锐二面角的余弦值为.    （3）存在这样的点，连接， 因为，，所以四边形为平行四边形， 所以， 在的延长线上取点，使得，连接， ，， ，，所以四边形为平行四边形， 所以，又， 所以，平面，平面， 所以平面， 所以在直线的延长线上存在点，使得平面，此时满足. 11-4（24-25高二上·上海·期中）如图，四棱锥 的底面是 的矩形，侧面PAB是等边三角形，且侧面底面 (1)证明平面PAB⊥平面PBC; (2)求平面PCD与平面ABCD所成锐二面角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由面面垂直可得线面垂直，再得面面垂直即可证明； （2）证明平面，得出二面角的平面角，解直角三角形即可得解. 【详解】（1）在矩形 中，，平面， 又平面 平面 ，平面 平面， 平面， 平面 ， 平面 平面 . （2）取中点， CD中点F，连接, 是等边三角形， ， 又，平面， 所以平面，因为， 所以平面，平面， 所以, 为平面 与平面 所成的角， 又， 在中，， 所以. 题型十二、空间垂直的转化 例12（23-24高二上·上海闵行·阶段练习）已知平面平面，，直线在平面内，直线在平面内，且，与均不垂直，则（    ） A．与可能垂直，但不可能平行 B．与可能垂直也可能平行 C．与不可能垂直，但可能平行 D．与不可能垂直，也不可能平行 【答案】C 【分析】利用空间中线线间的位置关系求解． 【详解】平面平面，，直线在平面内，直线在平面内，且，与均不垂直， 直线在平面内的射影为直线，若，则有，与已知矛盾，与不可能垂直， 当且时，由平行公理得，即与可能平行. 故选：C 12-1（23-24高二上·上海黄浦·阶段练习）已知，是两个不同平面，给出下列四个条件： ①存在一条直线，，； ②存在一个平面，，； ③存在两条平行直线，，，，，； ④存在两条异面直线，，，，，.其中可以推出的是（    ） A．①③ B．①④ C．②④ D．②③ 【答案】B 【分析】利用线面垂直的性质可知①符合题意；由面面垂直性质可知②不符合题意；由线面平行的性质即可得，可能相交，可知③不符合题意；利用异面直线以及线面平行的性质可知④符合题意. 【详解】对于①，若一条直线同时垂直于两个平面，则这两个平面平行，所以可以推出； 对于②，若，，则，可能垂直，例如正方体中有公共点的三个面相互垂直，即不能推出； 对于③，若直线，同时平行于与的交线，此时，是相交的（如下图所示），不能推出； 对于④，由，，，，所以存在过直线的平面，使得，且，即有， 因为，是两条异面直线，所以相交，同时，所以可以推出，即能推出的有①④. 故选：B 12-2（24-25高二上·上海宝山·阶段练习）两个边长为的正方形和各与对方所在平面垂直，分别是对角线上的点，且，则两点间的最短距离为 . 【答案】 【分析】过点作，交于点，连接，设，，由题意证明，进而根据面面垂直的性质定理证，根据勾股定理即可得、与的数量关系，即可求得两点间的最短距离. 【详解】 过点作，交于点，连接， 设，， 因为，所以， 由已知可得，，， 所以，，， 所以，， 所以，， 又，所以， 由，， 所以，， 所以，， 同理可得，， 又平面平面，平面平面，，平面， 所以，平面， 因为平面，所以， 因为，，所以， 所以，是直角三角形， 所以， ， 即， 所以当，即、分别为线段、中点时，有最小值， 即、两点间的最短距离为， 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题的关键通过面面垂直的性质证明，再根据，，证明是直角三角形. 12-3（2023·上海闵行·一模）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面底面，且，设、分别为、的中点． (1)证明：直线平面； (2)求直线与平面所成的角的正切值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，利用中位线的性质可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）取线段的中点，连接、，推导出平面，可知，与平面所成的角为，计算出、的长，即可求得的正切值. 【详解】（1）证明：连接，如图：    因为底面为正方形，为的中点，则为中点， 又因为为的中点，所以，为的中位线，所以，， 又平面，平面， 所以，平面. （2）解：取线段的中点，连接、，如下图所示：    因为，为的中点，则， 因为平面底面，平面平面，平面， 所以，平面，则与平面所成的角为， 因为，，则，所以，， 所以，， 因为四边形是边长为的正方形，则， 因为平面，平面，则， 因此，， 因此，直线与平面所成的角的正切值为. 12-4（22-23高二上·上海嘉定·阶段练习）类比于平面三角形中的余弦定理，我们得到三维空间中的三面角余弦定理；如图1，由射线PA、PB、PC构成的三面角，，，，二面角的大小为，则． (1)四棱柱，平面平面ABCD，，，求的余弦值； (2)当、时，证明以上三面角余弦定理； (3)如图3，斜三棱柱中侧面，，的面积分别为，，，各侧面所应得平面与底面所成的三个二面角分别记为，，，请用文字和符号语言描述你能够得到的正弦定理在三维空间中推广的结论，并证明． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）根据定义将已知的条件代入计算即可；（2）过射线PC上一点H作交PA于M点，作交PB于N点，连接MN，画出图形，则是二面角的平面角，根据已知条件利用三角形中的余弦定理进行证明即可； （3）这问比较灵活，例如已知在三棱锥ABCD中， ，，，AB所对的二面角记为， 所对的二面角记为，AC对的二面角记为，求证：．根据所描述的结论进行证明即可. 【详解】（1）由平面平面ABCD，得， 由三面角余弦定理得， 因为，， 所以； （2）过射线PC上一点H作交PA于M点， 作交PB于N点，连接MN，如图所示： 则是二面角的平面角， 在中，由余弦定理得： ， 在中，由余弦定理得： ， 两式相减得： ， 则：， 两边同除以， 得； （3）已知在三棱锥ABCD中，，，， AB所对的二面角记为， 所对的二面角记为， AC对的二面角记为， 求证：． 不难推出， 所以． 作A点在底面BDC上的射影O，过OE作于E，连接AE， 过O作于F，连接AF， 由， 有， 所以， 因为，， 所以， 同理可得， 所以． 题型十三、求异面直线的距离 例13（23-24高二上·上海普陀·期中）已知长方体的棱，，则异面直线与所成角的余弦值为 ． 【答案】/ 【分析】由定义说明是异面直线与所成角或其补角，然后计算． 【详解】因为，所以是异面直线与所成角或其补角， 在直角中，，， 故答案为：．    13-1（23-24高二上·上海黄浦·期中）已知正方体的棱长为1，则异面直线与之间的距离是 . 【答案】 【分析】由题意直线与的距离，即为点到的距离，然后求出点到的距离即可． 【详解】在正方体中，平面， 所以直线与的距离即为点到的距离， 又因为正方形的对角线为，且， 所以点到的距离为， 即异面直线与之间的距离是. 故答案为：． 13-2（24-25高二上·上海·期中）四棱锥中，平面，底面是平行四边形，且，是的中点. (1)求二面角的余弦值； (2)求异面直线和之间的距离. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）取中点，连接，作，垂足为，再过点A作，连接，通过构造线面垂直，确定二面角的一个平面角，由等面积法及勾股定理计算即可； （2）利用线面平行的判定，确定异面直线的距离为线面距离结合（1）的结论计算即可. 【详解】（1） 取中点，连接，作，垂足为， 再过点A作，连接， 根据题意可知为正三角形， 则，， 又平面，则平面， 因为平面，则， 又平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为平面， 所以平面， 因为平面，所以， 所以为二面角的平面角， 在中，， 在中，， 在中，， 所以二面角的余弦值为. （2）根据底面是平行四边形，所以， 因为平面，平面， 故平面， 所以线段的长度即为直线与平面间的距离， 也即异面直线和之间的距离. 由上可知，所以异面直线和之间的距离为. 13-3（24-25高二上·上海·随堂练习）S是矩形所在平面外一点，，，与成60°角，与成30°角，，求：    (1)直线与的距离； (2)求直线与的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先证明是异面直线的公垂线段，然后结合异面直线所成角以及解直角三角形知识即可求解； （2）先证明是异面直线的公垂线段，然后结合异面直线所成角以及解直角三角形知识即可求解. 【详解】（1）如图所示，在矩形中，． ∵，∴． 又，∴是异面直线的公垂线段，其长度为异面直线的距离． 又，与成30°角， 故在中，是与所成的角，∴． 又，∴，即直线与的距离为； （2）在矩形中，，，∴， 又，∴是直线的公垂线段，其长度为异面直线的距离． 又，故在中，是异面直线与所成的角，∴． 又，∴，∴直线与的距离为． 13-4（24-25高二上·上海·课堂例题）在空间四边形ABCD中，，，E、F分别是AD、BC的中点．求证：线段EF是异面直线AD，BC的公垂线． 【答案】证明见解析 【分析】利用三角形全等得，进而可得，同理可证，即可得证. 【详解】连接AF、DF、BE、CE． 在△ABD和△ACD中，，，． ∴．又E是AD中点， ∴． 在△BEC中，又F是BC的中点， ∴． 同理， ∴EF是异面直线AD、BC的公垂线． 13-5（24-25高二·上海·课堂例题）如图，四面体SABC的所有棱长为a． (1)求异面直线的公垂线段EF的长； (2)求异面直线EF与SA所成角的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）取的中点，连接，根据三角形的性质可证明是的公垂线段，再根据勾股定理求其长度即可； （2）取的中点，连接，可得和所成的锐角或直角就是异面直线和所成的角，再根据余弦定理求解即可. 【详解】（1）如图，分别取的中点，连接． 由已知，得．所以，是的中点， 所以， 同理可证， 所以是的公垂线段． 在中，， 所以． （2）取的中点，连接，则， 所以和所成的锐角或直角就是异面直线和所成的角， 连接，在中， ， 由余弦定理，得，所以，故异面直线和所成的角为． 1．（24-25高二上·上海宝山·阶段练习）已知，是两个平面，，是两条不同的直线，则下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】B 【分析】根据空间中平行关系或垂直关系的转化逐项判断后可得正确的选项. 【详解】对于选项AB：若，，则，故A错误；B正确； 对于选项C：若，，则或，故C错误； 对于选项D：若，，则，故D错误； 故选：B. 2．（24-25高二上·上海·期中）设α，β是两个不同的平面，直线，则“对β内的任意直线l，都有”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用线面垂直的定义、面面垂直的判定定理结合充分条件、必要条件的定义即可判断. 【详解】充分性：若对β内的任意直线l，都有，利用线面垂直的定义可知； 又，根据面面垂直的判定定理可知， 因此可知充分性成立； 必要性：由，，如下图所示： 无法确定β内的任意直线l与的关系，因此必要性不成立. 即“对β内的任意直线l，都有”是“”的充分不必要条件. 故选：A 3．（24-25高二上·上海·阶段练习）二面角的半平面上有一点，到直线的距离为4，到平面的距离为2，则二面角的大小是 . 【答案】或 【分析】作出图像，根据二面角定义求解即可. 【详解】①如图，过点作于点，平面于点，则二面角是   ，，则，∴， ①如图，过点作于点，平面于点，则二面角是的补角   ，，则，∴，二面角为 ∴二面角的大小是：或. 故答案为：或. 4．（24-25高二上·上海静安·阶段练习）下列命题正确的是 ： ①过直线外一点有且只有一条直线与该直线垂直； ②过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行； ③过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直； ④过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行； ⑤过平面外一点有且只有一个平面与该平面垂直； ⑥过平面外一点有且只有一个平面与该平面平行. 【答案】②③⑥ 【分析】根据空间中点、线、面的位置关系逐项判断即可. 【详解】过直线外一点，存在无数条直线与该直线垂直，故①错误； 过直线外一点，有且只有一个直线与该直线平行，故②正确； 过平面外一点，有且只有一条直线与该平面垂直，故③正确； 过平面外一点，有无数条直线与该平面平行，故④错误； 过平面外一点，有无数个平面与该平面垂直，故⑤错误； 过平面外一点，有且只有一个平面与该平面平行，故⑥正确. 故答案为：②③⑥. 5．（2024·上海宝山·一模）如图，四棱锥中，底面为矩形，，且该四棱锥的体积为.    (1)证明：平面底面； (2)求异面直线和所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由四棱锥的体积为得到高 ，取的中点为，计算出，从而底面即可得证. （2）因为，所以即为异面直线和所成的角或其补角，最后在中利用余弦定理即可求出夹角. 【详解】（1）证明：设该四棱锥的高为，则体积 ， 从而， 等腰中，设边的中点为，易知， 在中，，所以，     所以该四棱锥的高为即为，                       即底面，又平面， 所以面底面.                            （2）因为， 所以即为异面直线和所成的角或其补角；             由（1）知平面底面，且平面底面， 在矩形中，，所以平面， 因为平面，从而，      中，，所以，            同理可得，       中，， 由余弦定理可得， 所以异面直线和所成角的余弦值为. 6．（24-25高二上·上海闵行·期末）如图，在直三棱柱中，，，且、分别是、的中点． (1)证明：； (2)求二面角的大小．（结果用反三角函数值表示） 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线线垂直可证明平面，即可利用线面垂直的性质求解， （2）根据线面垂直的性质可得，，故可得为所求的平面角，即可利用三角形的三边关系求解. 【详解】（1）由于三棱柱为直三棱柱，且、分别是、的中点，故平面，故平面，故， 又，故, 平面，故平面， 又平面，故 （2）由于，，故，即， 取中点为，连接, 由（1）知平面，故平面，故， 又故，平面， 故平面，平面，故， 因此为二面角的平面角， 由于,故， 结合为锐角，故, 7．（24-25高二上·上海宝山·期末）已知平面，，两两垂直，直线a，b，c满足，，，则直线a，b，c不可能满足以下哪种关系（    ） A．两两垂直 B．两两异面 C．两两相交 D．两两平行 【答案】D 【分析】对ABC作出相应空间图形即可；对D，通过反证法即可得到其无法两两平行. 【详解】如图1，可得，，可能两两垂直，故A正确； 如图2，可得，，可能两两相交，故C正确； 如图3，可得，，可能两两异面，故B正确；    对D，设，且与均不重合， 假设：，由可得：，， 又，可知，， 又，可得：， 因为两两互相垂直，可知与相交，即与相交或异面， 若与或重合，同理可得与相交或异面， 可知假设错误，由此可知三条直线不能两两平行，故D错误. 故选：D. 8．（22-23高二上·上海黄浦·阶段练习）在棱长为1的正方体中，为底面的中心，是棱上一点，且，，为线段的中点，则下列命题中正确的是（    ） A．与是异面直线 B．三棱锥的体积跟的取值有关 C．当时， D．当时，过、、三点的平面截正方体所得截面的周长为 【答案】D 【分析】对于A，根据中位线定理，可得平行，即得共面，可得答案；对于B，根据正方体的性质，求得点到底面的距离，利用三棱锥体积公式，可得答案；对于C，利用勾股定理，求得的长，根据等腰三角形的性质，可得答案；对于D，利用面面平行的性质定理，可得截面的形状，根据勾股定理，求得边长，可得答案. 【详解】在中，因为、为、的中点，所以，则共面， 所以与共面，A错误； 作，易知，由为的中点，可得， ，即到平面的距离为，， 则三棱针的体积跟的取值无关，B错误； 当时，得，，，，则，所以不成立，C错误； 当的，，过作，则，，，. 过、、三点的正方体的截面是等腰梯形， 所以平面截正方体所截得的周长为，D正确. 故选：D 1．（24-25高二上·上海·阶段练习）一个“皇冠”状的空间图形（如图）由一个正方形和四个正三角形组成，并且正方形与每个正三角形所成的二面角的大小均为.如果把两个这样的“皇冠”倒扣在一起，可以围成一个十面体，则的值为 . 【答案】 【分析】根据题意可知，该几何体的侧面是全等的正三角形，只需利用三垂线定理做出二面角的平面角，再结合直角三角形中余弦函数的定义即可得解. 【详解】因为一个“皇冠”状的空间图形由一个正方形和四个正三角形组成， 并且正方形与每个正三角形所成的二面角的大小均为， 过点作底面的垂线，垂足为分别为上下底面正方形的中心， 连接交于，连接，如图所示， 则，又由题意可得， 所以即为正方形与正三角形所成的二面角的平面角，且为钝角； 所以，则， 由三角形都为正三角形得， 设正方形边长为，则，所以， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，在图形中找到正方形与正三角形所成的二面角的平面角，从而得解. 2．（24-25高二上·上海·期中）已知一个正三棱锥的高为6，底面边长为12，动点分别在其内切球和外接球上，则线段长度的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据条件做出示意图，由正三棱锥的性质得到内切球和外接球的球心均在顶点和底面中心连线上，由勾股定理求出内切球和外接球球心的距离及半径，从而找到球面上两点间的最大距离和最小距离. 【详解】根据题意可作图如下：    在正三棱锥中，是边长为12的正三角形，取中点并连接， 取，连接， 则，， 在正三棱锥中，平面，则， 由正三棱锥的对称可知：内切球和外接球的球心均在直线上， 设内切球球心为，外接球球心为， 设内切球的半径为，外接球的半径为， ∵,∴在的延长线上， 连接，则， 设，则，， ∴，解得，则， 取中点，连接，过点作于点，    在等边三角形中，为中点，∴， 在等腰三角形中，为中点，∴， 平面，平面， ∴平面，又∵平面， ∴平面平面，且平面平面， ∵，∴平面， ∴内切球半径，则， ∵，则， ∵，∴，即，解得， ∴， ∴，即， 故答案为： 【点睛】思路点睛，本题讨论的是正棱柱的内切球和外接球，通过正三棱锥的对称性找到内切球和外接球的球心的大致位置是关键，然后通过勾股定理求出具体位置和两个球的半径，即可得出结果. 3．（24-25高二上·上海·期中）如图，在四面体ABCD中，平面，点M为AD上一点，且，连接BM，CM.    (1)； (2)求二面角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由平面，得，而，则由线面垂直的判定定理可证得平面，再利用线面垂直的性质可证得结论； （2）取的中点，连接，过作于，过作于，连接，则可得为二面角的平面角，然后根据已知的数据在中求解即可. 【详解】（1）证明：因为平面平面，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以；    （2）取的中点，连接，过作于，过作于， 连接，因为在平面中，，所以， 由（1）知，所以因为平面， 所以平面，因为平面，所以 因为平面MEH，所以平面， 因为平面，所以，所以为二面角的平面角， 因为，所以， 在中，，所以， 所以，所以二面角的大小为. 试卷第1页，共3页 1 / 59 学科网（北京）股份有限公司 $$