专题06 拓展练：集合与常用逻辑用语中参数问题十大题型（高效培优专项训练）数学人教B版2019高一必修第一册

专题06 拓展练：集合与常用逻辑用语中参数问题（高效培优专项训练） 题型01 根据元素与集合的关系求参数 题型02 根据集合中元素的个数求参数 题型03 根据两个集合相等求参数 题型04 根据集合的包含关系求参数 题型05 根据交集的结果求参数 题型06根据并集的结果求参数 题型07根据补集的结果求参数 题型08根据并交补集混合运算的结果求参数 题型09 根据全称（存在）量词命题的真假求参数 题型10 根据充分（必要）性求参数 题型01 根据元素与集合的关系求参数 1．（多选）集合，且若，则，那么下列说法正确的有（      ） A．若，则 B．，则 C． D．若，则 【答案】ABC 【分析】根据集合的定义，由，，得到，，即，，然后利用一元二次不等式的解法化简后逐项判断. 【详解】∵非空集合满足：当时，有 ∴，，. 则，，且，. 即或，且， 所以或，且，故或, 对于A，当时，有，故A正确； 对于B，当时，，所以，所以，故B正确； 对于C，因为或，故C正确； 对于D，当时，可知或，故D错误. 故选：ABC 2．已知集合，集合 (1)若，求实数的取值范围； (2)已知，，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出集合、，利用可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围； （2）根据元素与集合的关系可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）因为或， ， 且，则，解得， 因此，实数的取值范围是. （2）因为，则，解得， 因为，则或，可得或. 综上所述，实数的取值范围是. 3．（1）若关于x的不等式的解集是M，且，求实数m的取值范围； （2）若集合有3个真子集，求实数m的取值范围. 【答案】（1）；（2） . 【分析】（1）由元素和集合的关系可得，解不等式组即可； （2）由集合 P 有3个真子集，所以集合 P 中包含2个元素为0和1，列出不等式即可. 【详解】（1） 因为 即， 解得 （2）因为集合 P 有3个真子集，所以集合 P 中包含2个元素， 因为，所以这2个元素只能是0，1， 所以 ，解得 . 4．已知关于x的不等式的解集为S. (1)当时，求集合S； (2)若且，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入后，将分式不等式转化为一元二次不等式求解； （2）根据元素与集合的关系，转化为不等关系，列式求m的取值范围. 【详解】（1）当时，， 解得：， 所以不等式的集合为； （2）若且， 则或，解得：或， 所以的取值范围是. 5．设，关于的不等式的解集为. (1)若，求集合； (2)若且，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由分式不等式的解法求解即可； （2）由且可得：，解不等式即可得出答案. 【详解】（1）时，，即 ， 解得不等式的解集为； （2）由且可得：， 解得：. 题型02 根据集合中元素的个数求参数 1．（多选）已知集合恰有4个子集，则的值可能为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】ABC 【分析】集合恰有4个子集，则集合有2个元素，问题转化为有两个不相等的实数解即可. 【详解】因为集合恰有4个子集，所以集合有2个元素，则有两个不相等的实数解，则，解得. 故选：ABC. 2．已知集合恰有两个子集，则实数取值集合为 . 【答案】 【分析】分析可知有一个不等于3的实数解，分类讨论最高项系数以及根的个数，运算求解即可. 【详解】由题意可知：方程有且仅有一解， 等价于有一个不等于3的实数解， 1.当时，解为，满足题意； 2.当时，只有一解时， 则，解得， 若，则，解得，符合题意； 3.当时，且有两解但3是方程的解， 故，解得； 综上所述，实数取值集合为. 故答案为：. 3．已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若集合 中恰有3个整数，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）确定，由包含关系构造不等式求解即可； （2）由和两种情况讨论即可； 【详解】（1）由，可得或， 即集合或： 由，得或， 解得或. （2）易知集合的区间长度为6，故中最少有5个整数，而集合中端点“”与“7”相距8个单位，故要使集合中恰有3个整数，则有两种情形： ①当即，要使集合中恰有3个整数，三个整数应为，，， 则，可知 ②当即时，要使集合中恰有3个整数，三个整数应为7，8，9， 则，可知 综上可知 4．已知集合． (1)若，求的值； (2)若中只有一个元素，求的取值范围； (3)若中至多有一个元素，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或时， (3)或 【分析】（1）将代入方程中即可求解， （2）（3）将问题转化为：关于的方程解的问题，分类讨论二次项系数的值，结合二次方程根与判别式的关系，即可得到答案． 【详解】（1）由于，所以是的实数根，故，故 （2）当时，原方程变为，此时，符合题意； 当时，方程为一元二次方程，，即时，原方程的解为，符合题意． 故当或时，原方程只有一个解，此时只有一个元素． （3）若中最多有一个元素，则中可能无任何元素，或者只有一个元素， 由（1）知当时只有一个元素， 当时，方程为一元二次方程，，即时，为空集； ，即时，方程有两个相等的根，中有一个元素． 中最多有一个元素，或 5．已知集合 (1)若集合A中至多有一个元素，求实数k的取值范围； (2)若集合A最少有一个真子集，求实数k的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分两种情况进行分类讨论，列出不等式即可求得结果. （2）将问题转化为方程至少有一个根，分两种情况进行分类讨论，求得结果. 【详解】（1）当时，，即，符合题意； 当时，，解得：. 综上所述，实数k的取值范围为. （2）集合A最少有一个真子集，则集合中至少有一个元素， 当时，，即，符合题意； 当时，，解得：且. 综上所述，实数k的取值范围为. 6．（1）已知集合 ①若中有且仅有一个元素，求实数的所有取值. ②若中有两个元素，求实数的所有取值. （2）已知集合，若，求实数的值. 【答案】（1）①；②；（2） 【分析】（1）①②讨论参数，根据集合中元素个数及一元二次方程判别式求参数； （2）讨论参数m，结合集合的包含关系求参数即可. 【详解】（1）①若，则，符合题意； 若，且集合A中只有一个元素， 这意味着当且仅当一元二次方程有两个相等的实数根， 从而，解得， 综上，实数的所有取值可能为：； ②中有两个元素，意味着一元二次方程有两个不相等的实数根， 所以，则且 故的取值范围是； （2）.， 当时，，此时满足，符合题意； 当时，， 若要，则或，解得或； 综上所述，实数的值是. 题型03 根据两个集合相等求参数 1．若，则的值为（    ） A． B．3 C． D．7 【答案】C 【分析】由一元二次方程的根与系数的关系，求得P，q的值，由此可得选项. 【详解】因为， 所以，解得， 所以. 故选：C. 2．（多选）已知集合，，且．集合为的取值组成的集合，则下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据已知条件得出，再得出集合D,最后结合元素和集合的关系判断各个选项. 【详解】因为,所以， 因为，所以， 所以且, 所以,, 所以. 故选：ACD. 3．若集合，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】由，根据一元二次方程的性质，得到是方程的两根，结合韦达定理，即可求解. 【详解】由题意，集合， 因为，根据一元二次方程的性质，可得是方程的两根， 由韦达定理，可得，解得， 所以. 故答案为： 【点睛】本题主要考查了根据集合相等求参数，以及一元二次方程的性质的应用，其中解答中熟记集合相等的概念，结合一元二次方程的韦达定理求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 4．已知全集，， (1)设实数x的取值构成集合M，求； (2)当时，求实数x的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据集合元素互异性可求得取值范围，再利用集合的补集运算求解即可 （2）根据集合相等定义，分别列出方程组求解即可. 【详解】（1）由并根据集合中元素的互异性可知， 即，解得且； 所以实数x的取值的集合； 所以 （2）根据集合相等的定义， 当时可得或； 当时，解得， 当时，无解, 所以 5．若，求的值. 【答案】或. 【解析】利用两个集合相等它们的元素分别对应相等,得到关于的方程,再利用集合中元素的互异性进行取舍即可. 【详解】由题意知，当时，，此时符合题意； 当时，，此时不符合集合中元素的互异性，（舍去）； 当时，，此时，符合题意； 综上可知，或. 【点睛】本题考查两个集合相等和集合中元素的互异性;属于中档题、常考题型. 题型04 根据集合的包含关系求参数 1．已知集合，. (1)分别求，； (2)已知，若，求实数a的取值范围. 【答案】(1)或，且； (2). 【分析】（1）应用集合的交运算求得，再由补运算求，根据的关系求； （2）根据集合的包含关系有，即可得参数范围. 【详解】（1）由， 所以或，且； （2）由，显然不是空集，且， 所以，可得. 2．设常数，已知集合，集合． (1)求集合； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解分式不等式，即可求出集合； （2）解一元二次不等式化简集合，依题意可得，即可得到不等式组，解得即可. 【详解】（1）由等价于，解得， 所以； （2）由，即，解得， 所以， 因为，所以， 所以，解得，即的取值范围. 3．已知，集合，． (1)求集合A； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求解分式不等式可求得集合； （2）由题意可得，分，两种情况求解可得实数a的取值范围. 【详解】（1）因为， 所以； （2）因为，所以， 当时，，解得， 当时， 若，由，得，解得， 所以，又可得，即， 当时，由，可得，所以， 又，可得， 综上所述：实数a的取值范围为． 4．已知集合． (1)当时，求； (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，得到，再利用集合的并集运算求解； （2）由，得到，再分和求解. 【详解】（1）不等式解得，集合， 当时，集合， 所以； （2）由，得， 当时，，即，符合题意； 当时， ，解得， 综上：实数m的取值范围. 5．设全集，集合，， (1)求，； (2)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先求出集合M，然后结合集合的基本运算即可分别求解； （2）结合集合的包含关系即可求解． 【详解】（1）全集，集合，， ，或， 则. （2）若，，， 则，解得， 故实数a的取值范围为 6．已知全集，集合. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若集合不是的子集，求实数的取值范围. 【答案】(1)或. (2). 【分析】(1)理解补集的定义，并找到补集，推出，注意分析时分类讨论，(2)找到的取值范围，然后取补集. 【详解】（1）由题意，得集合或. 因为，所以. 当，即，也即时，符合题意； 当，即时，由，得或，解得. 综上，实数a的取值范围是或. （2）由（1）知，若， 当，即时，符合题意； 当时，需满足解得. 所以时，. 所以当集合不是的子集时，，即实数a的取值范围是. 7．已知集合，集合，若，求的取值范围. 【答案】 【分析】化简集合，根据集合的包含关系列不等式可求的范围. 【详解】解不等式得， 所以， 由，，可得 当集合时，，解得； 当集合时，，解得. 综上：. 8．已知集合，． (1)分别求，； (2)已知，若，求实数的取值集合． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先解一元二次不等式化简集合，再根据集合交集和并集的概念求解即可； （2）根据集合的包含关系列不等式组求解即可. 【详解】（1）由解得， 所以，， 所以，. （2）因为，所以， 当时可知，解得， 所以实数的取值集合为． 9．已知全集为，集合，集合. (1)若，求： (2)若，且，求实数的取值范围. 【答案】(1)或，； (2). 【分析】（1）把代入，分别解一元二次不等式化简集合，再利用交集、并集的定义求解. （2）求出集合，再利用集合包含关系列式求解. 【详解】（1）解不等式，得，则， 当时，或， 所以或，. （2）由（1）知或， 由，得或， 由，得， 所以实数的取值范围是. 10．已知集合. (1)求； (2)若的解集为C求实数m取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出集合，再求集合； （2）记，由得解出即可. 【详解】（1）， ； 所以； （2）记 因为 故，所以 即实数m取值范围为 题型05 根据交集的结果求参数 1．设，集合,． (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）转化成求与的交点问题，联立求解. （2）转化为与没有交点，联立，判别式，即可得到答案. 【详解】（1）由，得，解得， 所以. （2）由,得， 由已知方程的判别式， 从所以． 故实数的取值范围为． 2．设集合，． (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解不等式化简集合A，进而可得交集； （2）由题意可知，分和两种情况，结合包含关系列式求解. 【详解】（1）由题意可得：集合， 若，则集合， 所以. （2）若，则， 若，则，解得； 若，则，解得； 综上所述：实数的取值范围为. 3．已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）应用集合的并运算求集合即可； （2）根据包含关系有，即可求参数范围； （3）由交集结果有，讨论、列不等式求参数范围. 【详解】（1）由，则，故； （2）由，则，可得； （3）由，即， 若，则，可得； 若，则，无解； 综上，. 4．集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据，得，分与两种情况来解； （2）根据，分与两种情况来解 【详解】（1）根据题意，得， 又，，以下分与两种情况来解， 当时，，得， 当时，得，即， 综上，的取值范围为; （2），又， 若，则，得， 若，有，得， 此时，得或， 解之得或（舍去）， 综上所述，的取值范围为或. 5．已知非空集合，. (1)当时，求，； (2)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）求出集合、后，借助并集、补集与交集定义计算即可得； （2）由可得，结合与集合计算即可得. 【详解】（1）当时，， 由，解得， 故，或， 故，； （2）由，则，又，， 则有，解得； 故实数a的取值范围为. 题型06根据并集的结果求参数 1．设集合，集合． (1)若，求和； (2)，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据交集并集概念计算；在求取值范围时， （2）根据集合间的包含关系构造不等式组，来确定参数的取值范围. 【详解】（1）若，则， 所以， （2）因为，所以， 当时，满足，此时； 当时，要使，则，解得 综上，实数的取值范围为 2．已知全集为，集合，． (1)当时，求 (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）解不等式可求得集合，由并集和补集定义可求得结果； （2）根据并集结果可直接构造不等式组求得结果. 【详解】（1）由得：，； 当时，，或， 或. （2），又，，解得：， 即实数的取值范围为. 3．已知全集，集合，． (1)当时，求； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）化简集合，结合集合运算法则求结论； （2）根据集合的包含关系列不等式可求的范围. 【详解】（1）化简，． 所以或． 当时，． 所以． （2）因为． 又等价于． 所以， 解得的取值范围是． 4．已知不等式的解集为A，集合． (1)当时，求A和； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先求出集合，再根据补集和交集的定义即可得解； （2）由，可得，再分和两种情况讨论即可得解. 【详解】（1）由，得， 即，解得或， 所以或， 则， 当时，， 所以； （2）因为，所以， 当时，则，解得，此时； 当时，则或， 解得或， 综上所述，的取值范围为或. 5．已知，集合； (1)当时，求和； (2)已知，求实数的取值范围； 【答案】(1)或， (2) 【分析】（1）分别解出两个集合中的不等式，即可得； （2）根据并集的结果得集合间的包含关系，再根据的大小关系分类讨论，进而列不等式，求解即可. 【详解】（1）由，得，解得或， 则或； ； 当时，，解得. （2）由，得， ①当时，得，符合题意； ②当时，若，则， 由，得，此时； 若，则，此时恒成立，故符合题意； 综上所述，实数的取值范围为． 题型07根据补集的结果求参数 1．已知全集，集合，． (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出集合，由，可得出，讨论和，即可求出答案. （2）求出，由，得出，讨论讨论和，求实数a的取值范围，运用补集思想即可得出答案. 【详解】（1）由题意，得集合或，． ∵，∴． 当，即，即时，符合题意； 当，即时，由，得或，得． 综上，实数a的取值范围为． （2），若，则． 当，即时，符合题意； 当时，需满足，解得． ∴当时，． ∴当时，，即实数a的取值范围为． 2．已知全集，集合，． (1)当时，求，； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)；或 (2) 【分析】（1）解不等式求得集合，由此求得，. （2）根据列不等式组，由此求得的取值范围. 【详解】（1）因为, 所以或, 当时，, 所以, 或. （2）因为全集，所以集合． 因为，所以， 解得，所以． 3．已知集合． (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围； (3)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由与，以及为的子集，确定出的范围即可； （2）由与，以及为的子集，确定出的范围即可； （3）分别求出与的补集，根据补集为补集的真子集，确定出的范围即可． 【详解】（1）   ，； （2）   ，； （3）   ，，，，且， ． 4．已知集合，集合． （1）若，求a的取值范围； （2）若全集，且，求a的取值范围． 【答案】（1）  （2） 【解析】（1）结合数轴得到满足条件的不等式，即得；（2），那么，结合数轴得到满足条件的不等式，即得. 【详解】解:，． （1）由，结合数轴（如图所示）， 可知，因此a的取值范围为． （2）∵，∴，要使，结合数轴（如图所示）， 可知故a的取值范围为． 【点睛】本题考查集合的子集和补集，结合数轴来求出变量取值范围. 题型08根据并交补集混合运算的结果求参数 1．定义两种新运算“”与“”，满足如下运算法则：对任意的，有，.设全集，且，，，且，，. (1)求集合； (2)求集合； (3)集合，是否能满足？若能，求出实数的值；若不能，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)能，0或 【分析】（1）根据新定义运算可得，分、与讨论即可求解； （2）根据新定义运算可得，代入即可求解； （3）利用（1）（2）的结论，结合给定的集合运算结果，按是否为空集分类求解. 【详解】（1）对任意的，有，， 全集且， 则 由，得，或，或， 当时，； 当时，； 当时，， 所以. （2），由且，，得，， 因此，所以. （3）由（1）（2）知，，，则， 假设集合，能满足，则，或且， 又，当时，；当时，解得，经验证，或都符合要求， 所以实数的值为0或. 2．已知集合，． (1)当时，求； (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先解一元二次不等式，即可求出集合，再根据并集的定义计算可得； （2）首先求出，再根据，即可求出的取值范围. 【详解】（1）由，即，解得， 所以， 当时，， 所以； （2）因为，所以， 又，， 所以，所以实数m的取值范围为. 3．设集合. (1)当时，求和， (2)若.求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先分别求出集合，再根据交集和并集的定义求解即可； （2）由，得，再分和两种情况讨论即可得解. 【详解】（1）， 当时，， 所以； （2）或， 因为，所以， 当时，， 当时，， 则或， 解得或无解， 综上所述，. 4．已知实数集，集合，集合 (1)当时，求； (2)设，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）先解出集合，将代入解出集合，然后根据集合的运算计算即可； （2）根据，即可得出，分和两种情况讨论即可求解. 【详解】（1）根据已知有：，当时，， 解得：，或， 所以或 . （2）因为，所以， 当时，有，符合题意； 当时，，，解得， 综上可得：的取值范围是. 5．已知集合，． (1)若“”是“”的充分条件，求m的取值范围； (2)若，求m的取值范围； (3)若集合的元素中有且只有两个是整数，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）计算集合和，由充分条件可得，列不等式组即可计算； （2）由得，分，两种情况讨论即可求； （3）由题意知，或，分情况讨论即可. 【详解】（1）因为或， 所以， 因为“”是“”的充分条件， 所以，， 所以，解得， 所以，m的取值范围为. （2）因为，所以， ①当时，，解得，符合题意； ②当时，或， 解得：或， 综上所述，m的取值范围为或. （3）因为， 若的元素中有且只有两个是整数， 则或， 当时，则有，解得； 当时，则有，解得， 综上所述，m的取值范围为或. 题型09 根据全称（存在）量词命题的真假求参数 1．已知命题，若命题是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】由其否定为真命题，通过求解即可； 【详解】因为命题是假命题， 可得：为真命题； 可得：， 解得：， 故选：A 2．已知，，若p是真命题，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由命题p是真命题，可知方程有解，故只需，求解即可. 【详解】已知，，若p是真命题， 则，所以. 故选：B 3．已知命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【分析】根据特称命题的否定是全称命题，结合一元二次不等式的解集的性质进行求解即可. 【详解】因为命题“，”为假命题， 所以命题“，”为真命题， 当时，显然成立， 当时，要想对于恒成立， 只需， 综上所述：实数的取值范围是， 故选：D 4．若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】依题意可得“，”为真命题，则，解得即可. 【详解】命题“，”为假命题， 命题：“，”为真命题． ，，解得． 实数的取值范围是． 故答案为：． 5．已知命题；命题. (1)若是真命题，求实数的取值范围； (2)若与有且只有一个为假命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）参变量分离等价变形后，转化为恒成立问题，再转化为求最值问题，即可得解； （2）分“p真q假”和“p假q真”两类进行讨论，根据题意，分别列出不等式组，即可得解. 【详解】（1）命题为真， 则恒成立，等价于， 令，由基本不等式可得，， 当且仅当时，等号成立，即，所以 故实数a的取值范围为. （2）命题q为真命题：， 故，解得或 由于与有且只有一个为假命题， ①p真q假：，故； ②p假q真：，故； 故实数a的取值范围为. 6．已知命题p：“，”命题，使得． (1)若命题为真命题，求实数a的取值范围； (2)若命题和命题都为真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据二次函数与一元二次不等式之间的关系，即可利用判别式求解， （2）对分类讨论，求解为真时的范围，即可求交集得解. 【详解】（1）若命题为真，则， 即 解得：或 （2）若，使得为真命题， 当时，显然时，，故满足题意， 当时，为开口向下的二次函数，显然符合题意， 当时，此时要使，使得为真命题，则需满足，解得， 综上可知为真命题时，， 故命题和命题都为真命题，则，解得 题型10 根据充分（必要）性求参数 1．若“”是“”的一个充分不必要条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出两个不等式的解集，然后根据充分不必要条件的定义求出实数的取值范围. 【详解】由题意可得，且， 又 ， ， 则解得， 故选：D． 2．已知集合，若是的充分不必要条件，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由一元二次不等式解得集合，根据充分不必要条件可得集合的包含关系，建立不等式，可得答案. 【详解】由或，则， 由是的充分不必要条件，则，且 可得，解得. 故选：C. 3．已知条件p：，条件q：． (1)若，求实数的值； (2)若q是的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据集合的交集，判断出区间端点的值和大小，得到的值，即本题结论； （2）根据充要条件关系得到的取值范围的关系，判断出区间端点值的大小，得到取值范围． 【详解】（1）由已知得：， 因为， ， ， （2）是的充分条件， ，而或， 或， 或 实数的取值范围为或． 4．已知使不等式对于一切实数恒成立的实数取值的集合为A，关于的不等式的解集为B. (1)求集合A与集合B； (2)若，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据一元二次不等式恒成立，利用判别式即可求解，求解含参的一元二次不等式的解得到； （2）根据是的必要不充分条件，故，即可求解. 【详解】（1）因为不等式对于一切实数恒成立， 所以，解得， 即． 因为，所以， 解得，即， （2）因为是的必要不充分条件，故， 即， 所以，解得， 所以实数的取值范围是． 5．（1）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围； （2）已知命题：关于的方程在上有解；命题：仅有一个实数满足关于的不等式.若p，q都是假命题，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）求出不等式的解集，再利用必要不充分条件的定义，结合集合的包含关系列式求解. （2）化简命题，命题，再由已知列出不等式组求解. 【详解】（1）不等式，解得， 当时，不等式，解得， 依题意，，则或，解得， 所以实数的取值范围是. （2）解方程，得或，依题意，或， 解得或，解得或， 于是命题：或； 由仅有一个实数满足关于的不等式，得， 解得或，于是命题：或， 由p，q都是假命题，得，且且，因此或， 所以实数的取值范围是. 6．已知集合，． (1)当时，求，； (2)请在①充分不必要条件；②必要不充分条件；③充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并完成解答．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.） 当时，若“”是“”成立的____，试判断实数是否存在？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，或 (2)答案见解析 【分析】（1）根据题意求集合，进而根据集合间的运算求解； （2）根据题意可得.若选①：可知集合A是集合的真子集，根据真子集关系列式求解即可；若选②：可知所以集合是集合A的真子集，根据真子集关系列式求解即可；若选③：可知集合A等于集合，根据集合相等列式求解即可. 【详解】（1）由题意可知：， 当时，， 所以； 又因为或，所以或. （2）当时，， 若选择条件①：可知集合A是集合的真子集， 则，且等号不能同时取到，解得， 所以实数的取值范围是； 若选择条件②：可知所以集合是集合A的真子集， 则有，且等号不能同时取到，解得， 所以实数的取值范围是； 若选择条件③：可知集合A等于集合， 则有，方程组无解， 所以不存在满足条件的实数. 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 拓展练：集合与常用逻辑用语中参数问题（高效培优专项训练） 题型01 根据元素与集合的关系求参数 题型02 根据集合中元素的个数求参数 题型03 根据两个集合相等求参数 题型04 根据集合的包含关系求参数 题型05 根据交集的结果求参数 题型06根据并集的结果求参数 题型07根据补集的结果求参数 题型08根据并交补集混合运算的结果求参数 题型09 根据全称（存在）量词命题的真假求参数 题型10 根据充分（必要）性求参数 题型01 根据元素与集合的关系求参数 1．（多选）集合，且若，则，那么下列说法正确的有（      ） A．若，则 B．，则 C． D．若，则 2．已知集合，集合 (1)若，求实数的取值范围； (2)已知，，求实数的取值范围. 3．（1）若关于x的不等式的解集是M，且，求实数m的取值范围； （2）若集合有3个真子集，求实数m的取值范围. 4．已知关于x的不等式的解集为S. (1)当时，求集合S； (2)若且，求实数m的取值范围. 5．设，关于的不等式的解集为. (1)若，求集合； (2)若且，求实数的取值范围. 题型02 根据集合中元素的个数求参数 1．（多选）已知集合恰有4个子集，则的值可能为（    ） A． B． C．0 D．1 2．已知集合恰有两个子集，则实数取值集合为 . 3．已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若集合 中恰有3个整数，求实数的取值范围. 4．已知集合． (1)若，求的值； (2)若中只有一个元素，求的取值范围； (3)若中至多有一个元素，求的取值范围． 5．已知集合 (1)若集合A中至多有一个元素，求实数k的取值范围； (2)若集合A最少有一个真子集，求实数k的取值范围. 6．（1）已知集合 ①若中有且仅有一个元素，求实数的所有取值. ②若中有两个元素，求实数的所有取值. （2）已知集合，若，求实数的值. 题型03 根据两个集合相等求参数 1．若，则的值为（    ） A． B．3 C． D．7 2．（多选）已知集合，，且．集合为的取值组成的集合，则下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．若集合，且，则的值为 ． 4．已知全集，， (1)设实数x的取值构成集合M，求； (2)当时，求实数x的值. 5．若，求的值. 题型04 根据集合的包含关系求参数 1．已知集合，. (1)分别求，； (2)已知，若，求实数a的取值范围. 2．设常数，已知集合，集合． (1)求集合； (2)若，求的取值范围． 3．已知，集合，． (1)求集合A； (2)若，求实数a的取值范围． 4．已知集合． (1)当时，求； (2)若，求实数m的取值范围． 5．设全集，集合，， (1)求，； (2)若，求实数a的取值范围. 6．已知全集，集合. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若集合不是的子集，求实数的取值范围. 7．已知集合，集合，若，求的取值范围. 8．已知集合，． (1)分别求，； (2)已知，若，求实数的取值集合． 9．已知全集为，集合，集合. (1)若，求： (2)若，且，求实数的取值范围. 10．已知集合. (1)求； (2)若的解集为C求实数m取值范围. 题型05 根据交集的结果求参数 1．设，集合,． (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 2．设集合，． (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 3．已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围． 4．集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 5．已知非空集合，. (1)当时，求，； (2)若，求实数a的取值范围. 题型06根据并集的结果求参数 1．设集合，集合． (1)若，求和； (2)，求实数的取值范围． 2．已知全集为，集合，． (1)当时，求 (2)若，求实数的取值范围． 3．已知全集，集合，． (1)当时，求； (2)若，求的取值范围． 4．已知不等式的解集为A，集合． (1)当时，求A和； (2)若，求实数a的取值范围． 5．已知，集合； (1)当时，求和； (2)已知，求实数的取值范围； 题型07根据补集的结果求参数 1．已知全集，集合，． (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围． 2．已知全集，集合，． (1)当时，求，； (2)若，求实数的取值范围． 3．已知集合． (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围； (3)若，求实数a的取值范围． 4．已知集合，集合． （1）若，求a的取值范围； （2）若全集，且，求a的取值范围． 题型08根据并交补集混合运算的结果求参数 1．定义两种新运算“”与“”，满足如下运算法则：对任意的，有，.设全集，且，，，且，，. (1)求集合； (2)求集合； (3)集合，是否能满足？若能，求出实数的值；若不能，请说明理由. 2．已知集合，． (1)当时，求； (2)若，求实数m的取值范围． 4．已知实数集，集合，集合 (1)当时，求； (2)设，求实数的取值范围. 5．已知集合，． (1)若“”是“”的充分条件，求m的取值范围； (2)若，求m的取值范围； (3)若集合的元素中有且只有两个是整数，求m的取值范围． 题型09 根据全称（存在）量词命题的真假求参数 1．已知命题，若命题是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 2．已知，，若p是真命题，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．已知命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（   ） A．或 B．或 C． D． 4．若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是 ． 5．已知命题；命题. (1)若是真命题，求实数的取值范围； (2)若与有且只有一个为假命题，求实数的取值范围. 6．已知命题p：“，”命题，使得． (1)若命题为真命题，求实数a的取值范围； (2)若命题和命题都为真命题，求实数的取值范围． 题型10 根据充分（必要）性求参数 1．若“”是“”的一个充分不必要条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，若是的充分不必要条件，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知条件p：，条件q：． (1)若，求实数的值； (2)若q是的充分条件，求实数的取值范围． 4．已知使不等式对于一切实数恒成立的实数取值的集合为A，关于的不等式的解集为B. (1)求集合A与集合B； (2)若，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 5．（1）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围； （2）已知命题：关于的方程在上有解；命题：仅有一个实数满足关于的不等式.若p，q都是假命题，求实数的取值范围. 6．已知集合，． (1)当时，求，； (2)请在①充分不必要条件；②必要不充分条件；③充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并完成解答．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.） 当时，若“”是“”成立的____，试判断实数是否存在？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由． 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$